概念：

設動態系統為乳。=Ar（，）+3〃Q）,y（t）=Cx（t）+Du（t）,

（1）若①。）=e",則①Q）稱為（技態轉移矩陣）

（2）若G（S）=C（S/-A）TJB+O,則G（s）稱為（傳遞的感矩陣）

（3）若「,[A8]=[9AB）?氏…,41例，則「」4例稱為（偏控件矩陣）

（4）若I；[若A]=[C,C4,CA2,...,C4"T]"則「/C,A]稱為（怩現器矩陣）

（5）若「，C,A,例=[C8,C4脫…,。'1民。],貝IJ「℃[C,A,5]稱為（輸出錐控

然舞陣）

（6）李雅普諾夫方程4,P+P4=-Q,其中。為正定對稱陣，當使方程成立的「為

（正定時稱陣）時，系統為漸近穩定。

（7）設系統*=/（x）,r>0,/（0）=。，如果存在一個具有一階導數的標量函數

V（x）,V（0）=0,并且對于狀態空間X中的且非零點x滿足如下條件：V（x）為（正

定）；U（幻為（負足）；當IMfOO時，V。）-8。則系統的原點平衡狀態是（大范

因漸近穩定的）。

（8）狀態反餓不改變系統的（可控件）。輸出至狀態微分反饋不改變系統的（可見惻代）。

輸出至參考輸入反饋，不改變系統的（可控植和可現惻代）。狀態反饋和輸出反饋都能

影響系統的（稔靈楹右劭態器惋）。

（9）狀態反饋控制的極點任意配置條件是系統狀態（完全可控）。狀態觀測的極點任意

配置條件是系統狀態（竟辦可觀J。

（10）系統線性變換了=尸工時，變換矩陣尸必須是（雅奇異的，武湍桂）的。

二：已知系統傳遞函數G（s）=-----------,試求約當型動態方程。

（5+1）-（5+2）

5555

解:G(s)=-------------Z------------------1-------------

(S+1)2(5+2)(s+l)~S+15+2

由上式，可得約當型動態方程

%

y=[5-55]/

_43一

--1o0-

三：試求下列狀態方程的解i=0-20x的解

00-3

解：由題意可得：

x=Ax

(si-A)x=x0

x=(si-/4)-'x0

_,-l

x(r)=L(^-A)x0

s+100

1

x(t)=r05+20x0

00s+3

1

00

TTi

1

=Li0

7+20/

1

0

s+3

L00

-2/

0e0x0

00

1

五：設系統狀態方程為土=x+〃，并設系統狀態可控，試求

b

解:

1b

P=[B：AB\=

Cbab-l

>\P\=ab-\-b2wO=時，即可滿足可控性條件c

tb

a1

六:試確定使系統比=x,y=[l一l]x可觀測的a,0.

()h

解:

C1-1

CAa\-b

==/?wa+l時，于是系藥

第A9-3題：系統微分方程為無+3%+2%=〃其中u為輸入量；x為輸出量。

⑴設狀態為=%，工2=%，試寫出系統的動態方程；

⑵設狀態變換%=豆+無2,9=一工一2元2,試確定變換矩陣T,及變換后的動

態方程。

參考答案：

⑴列寫系統的動態方程

⑵求變換矩陣T和變換后的動態方程

/X、」[11

由題宜知1=故變換矩陣T=

\X2)--2

由于

廠1?=「211

-1-1_

一1「1]

B=T-]B=

-1C=CT=[11]

變換后的動態方程

試求可控標準型（A為友矩陣），可觀標準型（A為友矩陣轉置），對角型（A為對角陣）

動態方程。

參考答案：

S2+65+82s+5

由于G(s)==1+

s?+4s+3$2+4s+3

串聯分解，引入中間變量z,可得微分方程

2+42+3z=〃y=22+5z+〃

選取狀態變量=

%=z,x2z

x

則狀態方程A-z，比2=-3%-4X2+〃

則輸出方程>=5%+2々+〃

可控標準型動態方程

利用能控性與能觀性的對偶關系

B0=c：,C°=B、2=0.

由可控標準型得可觀標準型動態方程

-0-35

%y=[O1].

+U+U

J一4卜"2<X2>

「(、[NG)[2s+5

由干G(s)=1+—=1+---------

111JO(s)$2+4S+3

D(5)=s2+4s+3=(s+1)(5+3)=0

故為=7,為=-3為系統的單實極點，且有

N")_2s+5_3/21/2

Q(s)s~+4s+3s+1s+3

3/21/2

因此,小）=i++U(s)

5+1s+3

令狀態變量X(s)=告U(s),X*)=9u(s)

31

-3oX+U

其反拉氏變換％=_%+〃，X2=2>)'=%%+大%+〃

因此對角型動態方程

--101

+U

_0-3J^2J1

第A9-13題：己知線性系統的狀態轉移矩陣為

試求系統的狀態矩陣A。

參考答案1：由狀態轉移矩陣性質

_2_____1__2_____1

(“一A)-I=q①(/)]=s；2，5+15+2

_s+ls+25+1s+2

1s+31

-(5+l)(5+2)|_-2-3

[s+31T

-s+l)(s+2)I?_3

Lod[2s+3」L-2-3j

參考答案2：由狀態轉移矩陣性質

&(，)=AO(r),0(0)一I

所以

-2/+2/2?

A=&Q)r=o=

2/

第A9?14題：設系統(A,B,C)的狀態矩陣為

-010-

A=001

2-54

試求系統的狀態轉移矩陣e

參考答案1：拉氏變換法

"!

s-1052-45+55-41

1

(si-A)T=0s-12s2-4ss

(5-l)2(5-2)

_-25s-42s-55+2s2

-21322-111

+■+

(1)2(5-2)(S—1)2(5-1)(—2)(S—1)2(5-1),(5-2)

-224_2354-122

1十

(If(A-I)(5-2)(s-l)2Gs-1)Cv-2)Cv-1)2Gv-1)(s-2)

-244388-144

------------------------------1-------------++

(5-I)2(5-1)-2)I)2(s-l)(s-2)d)2(：S-1)'(s—2)

-2tel+e2t3tel+2el-2e2t-tel-el+/，

e"=2(s/-A)T=-2心-2一+2e2t3招+5--4/-tef-2d+2e21

-2tel-4d+4e213te1+8d—8/'-te1-3d+4e2/

參考答案2：線性變換法

由于A是友矩陣，故有

/(A)=23-4A2+5/1-2=(A-1)

4=1,^2=1,石二2

所以

-101_-10I-02-1

1

尸=414=112,p=-2-3-1

1141-21

1

110'dte()~

A=P74P=010,/=0d0

002_00e2/

-2tel+e2r(3r+2)er-2e2f-Q+1)d+e2t

-2Q+l)d+23(3t+5)er-4e2/-?+2)d+2人

-2(t+2)el+4e'(3r+8)ef-8e2/一(f+3)el+4e21

參考答案3：待定系數法

根據凱萊-哈密頓定律

At=aa2

e屋o+\(0^+a2(t)A

k=0

因A的特征值1,入3=2,則有

70⑺]1N

a")=0i

1入3

-10o--010-

4=(-2招+e"+((3/+2)d-

010001

001_2-54_

001

+(-Q+l)d+e")2-5

4

8-1811

-2td+e2t(3r+2)，一2e21一(/+l)d+e2'

-2(f+l)e、2/(3r+5)d-43-0+2)d+2e2t

-2(r+2)/+4e”(3r+8)d-8/'一(f+3)/+4e”

第A9-15題：已知線性定常自治系統的狀態方程

010-T

X=001XX(0)=1

0002

試求系統的狀態軌線。

考答案：線性定常齊次狀態方程的解X。)=64式0)

010001

A=001A2000A*=0,\/k>3

000000

1tr/2

eAl=^—tkAk=I+At+—A2r01t

k=ok]2

00t

1t1+/+J

x(r)=eAlx(O)=01=1+2,

002

第A9?19題：已知線性動態方程為

0

X=-2>=[00l]x

-1

試求傳遞函數陣G(s)。

參考答案：

G(s)=c(s/-A)”[0

——[001]--25+652-3S0-1

?-75-6L

—s—5s—1s2+3s+22

_2s2+7S+3

-S3-7S-6

r.-ilOO

ab

第A9-21題：已知ad=be,試計算」=?

參考答案：

ab

設人=,,則A的特征多項式為

ca

-b

/(A)=|A/-A|=A=22-(a+d)A+ad-bc=A2-(4+

A-d

/(A)=A2-(a+d)A=0=>A2={a+d)A

A3=A2A=(a-vd)A2=(a+d)2A

A4=TA=(a+d『A2=(〃+d)3A

由數學歸納法A"，=(a+d)"-A

100

abb

=(4+1)99

d

s2+8s+15

第A9?22題：設系統的傳遞函數為G(s)=

?+752+145+8

試求：⑴可控標準型實現;

⑵可觀標準型實現;

⑶對角型實現；

⑷下三角型實現；

參考答案：

⑴可控標準型實現

引入中間變量Z,使

GO=累.=G+&'+⑸1+752：如+8

可得微分方程

5+82+15z=y,z4-7Z+14Z+8Z-U

選擇=Z,工2=2，工3=乞，則有

Xj=x2

&="8%1—14x)—7工3+〃

y=15尤］+8%+與

系統的可控標準型實現

/、

X01oF0

比200“，y=[1581]?

ix2+o

比3-8—14-713,

⑵可觀標準型實現

對應系統的微分方程,y+7/+149+8y=1+8”+15〃

選擇狀態變量，

%)=/+7/+14y-〃一8〃

x2=y+7y-u

七=>

則有

X=9+7/+14?—〃+8〃=-8七+15〃

x2=y+7y-ii=x}-14x3+8〃

x3=y=x2-lx[-^-u

系統的可觀標準型實現

—815

y=[001]-

-14x2+8u，

-71

⑶對角型實現；

將傳遞函數分解成部分分式

G⑸①一"58/33/21/6

U(s)/+7s2+i4s+8S+\S+2S+4

設X⑸二⑸'兀⑸=X,⑸二七U⑸

可得x=u,xu

x=+%，2-2X2+3=-4X3+

系統的對角型實現為

0

8

-2y=-1?

3

0

⑷下三角型實現；

將傳遞函數分解成

…y(s)52+85+1515+35+5

Cr(S)=-----=—:-----T-----------------=

U(s)53+752+1454-8s+1s+25+4

1c4-3x制,X,⑸二冷2⑸二丫⑸

設K(s)=—；U(s),X2(s)=—

5+15+2

可得Xy=-X]+u,

兌工]-2x-u,

2=X+32X2=l2X2+

與=u

&='+5X2-42X[+3X2-4X3+

系統的三角型實現為

2y=［（）o4々

2

第A9?26題：設有不穩定線性定常系統（A,b,c）,其中

1

A=31]

0

⑴能否通過狀態反饋把系統的閉環極點配置在-10,-1士八四處？若能，試求出實

現上述極點配置的反饋增益向量匕

⑵當系統狀態不可直接測量時，能否通過狀態觀測器來獲取狀態變量？若能，試設

計一個極點位于-4,-3土)處的等維狀態觀測器;

⑵系統狀態可觀測矩陣及秩

11

V=-11,rankV=3

17-1

系統是可觀測的，可以通過狀態觀測器來獲取狀態變量。利用輸出至狀態微分反饋來配

置極點，設反饋增益向量h,先將(A,c)化為能觀標準型伍，c)

det(s/-A)=--9s+2,q=0,a2=-9,=2

變換矩陣

q1-901一1118-2-1()

T=q10V=010-2-112-11

io0I00-17-1-111

28120000-2

一。3

T~l=—3228A=TArx=10-a109

202

-16401010

c=cT-x=[001]

400-2-/7,

設力=09-后

h2

401

狀態觀測器的特征多項式為

4G)=det[A/-(A-he)]=det[A/-(A-he)]

=23+V2+(^-9)2+(^+2)

期望的狀態觀測器的特征多項式為

/")="十4)(%十3+J)(2+3—7)二/十10萬+344+40

h}=38,h2=43,4=10

28

h=T-lh=—32

20

-16

要設計的等維狀態觀測器x=(A-hc)x^hy+bu

28-25-27'F-o-

AA

x=-27-25-23,X+24y+0u

13-11-13131

[A9-27]試用李雅普諾夫第二法判斷系統的原點穩定性:

⑴%1=-X,+工2，比2=2玉-3%2

項—

⑵X=x2,x2=2x2

⑶Xj=-2x(+,x2=-x2

⑷x1(k+1)=0.8((女)-0?4%2(2),%(女+1)=1?2%i(2)+0.2%2(%)

【參考答案1]

方法一：原點(巾=0,X2=0)是該系統唯一的平衡狀態.選取正定標量函數

V(x)=耳X：+wx；>0

則有

1i

XX

V(x)=.J*+—x2x2=X|(F+x2)+—2(2)-3X2)

,31

=-+2X]X-)——xj—(X]—x,——x^><0

對于狀態空間中的一切非零x滿足V(x)正定,它(工)負定，故系統的原點平衡狀態是

大范圍漸近穩定的。

方法二：系統狀態方程寫成向量矩陣形式

(X、「-11]fxA「-11]

?=c-b系統狀態矩陣A=、“，detA=l

L2-3」L27

即A是非奇異的，故原點右=0是系統唯一的平衡狀態。設系統的李雅普諾夫函數

及其導微分分別為

V(x)=xTPx,V(X)=-XTQX,P>(),C>()

則ATP+PA=-Q成立。

取。=/,上式為

-1PllP12+P1!Pl2-11101

1P21〃22」|_〃21P22201

其中PI2=P2I求解該矩陣方程可得

P』P”外]=中45一

〃22」H53_

17

由于〃i>。，det^->0,對稱矩陣P是正定的。系統的原點平衡狀態是

大范圍漸近穩定的。

【參考答案2】

原點⑶二(),X2=0)是該系統唯一的平衡狀態.系統狀態方程向量矩陣形式

X01

上22-14

若選取V(x)=xTPx,V(X)=-XTQX,Q=1

解李雅普諾夫方程ATP+PA=-Q

得小;-1detp>0為不定,則難以判定系統

，由于=一3<0,4

-I

的穩定性。

A-1

用特征根判別dct(〃—A)==A2+2—2=0

—2A+1

可見系統原點平衡狀態是不穩定的。

【參考答案3]

原點(巾=0,X2=0)是該系統唯一的平衡狀態.選取正定標量函數

V(x)=2x；+2/

則有

V(x)=4x,XI+1x2=4x,(-2xj+2x；)+16x；(—3￡)

=-8x；-16^2=-7%j2-(X|2+16x；)

=_722_(再2_4只)2<()

對于狀態空間中的一切非零X滿足V(x