專題06導數解答題鞏固練習二1．（2023秋·山東青島·高三山東省青島第五十八中學校考階段練習）已知函數.(1)當時，求曲線在點處的切線方程；(2)討論的單調性.【答案】(1)；(2)答案見解析【解析】（1）當時，，所以由于，，所以切線為，即.（2）因為，所以.當時，.所以，在區間上，；在區間上，.故的單調遞增區間為，單調遞減區間為.當時，由，得，所以，在區間和上，；在區間上，.故的單調遞增區間為和，單調遞減區間為.當時，，故的單調遞增區間為.當時，由，得，.所以在區間和上，；在區間上，.故的單調遞增區間為和，單調遞減區間為.綜上所述：當時，的單調遞增區間是，單調遞減區間是；當時，的單調遞增區間是和，單調遞減區間是；當時，的單調遞增區間是；當時，單調遞增區間是和，單調遞減區間是.2．（2023·浙江杭州·校考模擬預測）設函數，.(1)求函數的單調區間；(2)若函數有兩個零點，，求滿足條件的最小正整數的值.【答案】(1)答案詳見解析；(2)【解析】（1）的定義域是，，當時，，所以在上單調遞增，當時，，所以在區間上單調遞減；在區間上單調遞增.（2），，依題意，，所以在區間上單調遞減；在區間上，單調遞增.所以在時取得極小值也即是最小值.要使函數有兩個零點，，則首先要滿足，時，，不符合.時，，不符合.時，，，所以，此時在上單調遞減，在上單調遞增，，，，滿足函數有兩個零點，所以最小正整數的值為.3．（2023·海南海口·農墾中學校考模擬預測）已知函數．(1)判斷函數的單調性；(2)設，證明：當時，函數有三個零點．【解析】（1）根據題意得，，，當時，，在上單調遞增；當時，，得；令，得，故在上單調遞減，在上單調遞增．（2）當時，，則，所以當時，，單調遞減；當時，，單調遞增，故的最小值為，又，；，，故．，設，，則，，則，由，得．因此，當時，，單調遞減；當時，，單調遞增．由于，故，又，由零點存在定理，存在，使得，所以有兩個零點和，即方程有兩個根和．的圖象如下，

當時，因為，故方程有一個根；當時，其中，因為，故由圖角可知，有兩個不同的根，，且．綜上，當時，函數有三個零點．4．（2023·河北保定·河北省唐縣第一中學校考二模）已知函數，其中常數，是自然對數的底數．(1)若，求的最小值；(2)若函數恰有一個零點，求a的值．【答案】(1)(2)【解析】（1）當時，，則，，記，則，①當時，，，可得，可知函數在區間上單調遞減；②當時，，，可知函數單調遞增，又由，可知當時，；當時，，可知函數在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，由①②知函數的減區間為，增區間為，故有；（2）因為函數恰有一個零點，且，0是函數的一個零點，又，不妨設，函數定義域為，則，當時，，又，，所以在恒成立，則函數在上單調遞增，即函數在上單調遞增，又，當時，可得，且時，，則存在，使得，此時在上，有，在上，，故在上為減函數，在上為增函數，故當時，，而時，，故在上存在一個零點，則此時函數至少存在兩個零點，又因為0是函數的唯一零點，故不符合題意；當時，可得，又，所以在區間上存在一點，使得，故當在上，有，在上，有，故在上為增函數，在上為減函數，故當時，，而當時，，故此時函數在上至少存在一個零點，又因為0是函數的唯一零點，故不符合題意；當時，即時，由（1）知，當時，函數取得最小值，最小值，當時，因為，符合題意.綜上，滿足條件的值為.5．（2023·四川成都·校聯考模擬預測）已知函數，.(1)若函數在處的切線的斜率為，求實數a的值（e是自然對數的底數）；(2)若函數有且僅有兩個零點，求實數a的取值范圍.【答案】(1)(2)【解析】（1）因為，所以，又，所以，所以，即，令，則，又因為在上單調遞增，且，所以，所以，即.（2）因為函數有且僅有兩個零點，所以有且僅有兩個大于0的實數根，又，則，即，令，則，由得，由得，由得，所以在上單調遞減，在上單調遞增，又，，，所以，則，即，令，則，由