第八屆上海交通大學大學生物理競賽試題及參考答案上海交通大學物理協會版權所有，未經授權不得修改、復制、翻錄、傳播、翻譯、匯編、公之于眾。

第一試1，一雨滴的初始質量為，在重力的影響下，由靜止開始降落。假定此雨滴從云中得到質量，其質量的增長率正比于它的瞬時質量和瞬時速度的乘積：式中為常量。試證明雨滴的速率實際上最后成為常量，并給出終極速率的表達式。忽略空氣的阻力。答：由變質量的運動方程：，此處速度增加到右邊為0時，加速度為0，速度不再變化。2，考慮一個平面，一條直線把平面分為左右兩邊，質點在兩邊的勢能分別為和，當一個質點以速率斜入射并通過這條直線時，方向如何變化？答：設左右兩邊分界線為直線l，粒子運動速度與l的法線夾角為。當粒子經過l后，速度為，與法線夾角。平行于界面動量不變：機械能守恒：由此解出：3，一個理想成像的薄凸透鏡，一個直的傍軸物體，與主光軸有一定傾斜角，它的像是直的還是彎的？請回答此問題并根據成像公式給出嚴格的數學證明。（只需在平面坐標下證明）你能從物理角度給出一個非常簡潔的的證明么？答：（1）設y軸為凸透鏡，焦距f，物所在直線方程為y=kx+b(x<0)。由成像公式：，且物處于y軸左側，有所以，像所在曲線方程仍為直線，所以成像是直的。（2）假設一束光通過此物體所有點，即沿著此物體傳播，那么此光線的折射光線仍然要沿著像上個點傳播。由于折射后光仍是直線傳播，所以成像必須是直的。4，已知哈雷彗星的周期為76年，試估計其軌道的長半軸。答：由開普勒第三定律：行星軌道半長軸的三次方與周期平方成正比。用a,T表示哈雷彗星軌道的半長軸和周期，用表示地球軌道的半長軸和周期。則：本題只要估計合理即可。如果了解光從太陽射到地球大概要8分鐘，對Au的數量級估計是不會錯的。5，一質點在平面運動，受力其中為離開原點的距離，為橫向（垂直于位移矢量）單位矢量。試分析此力對質點的做功情況，這個力是保守力還是非保守力？答：在平面極坐標下：做功W：此力做功僅和角度有關，為路徑繞過原點的角度。沿一條包圍原點的閉合路徑做功，則,所以F不能沿任何閉合路徑做功為零，所以F不是保守力。6，水的定壓比熱容為4.186，可近似看成與溫度無關。（a）在恒壓條件下，的1.0水突然與的熱庫接觸，當水達到時，求水和熱庫的總熵變。（b）在恒壓條件下，如果的1.0水先與的熱庫接觸，平衡后再與的熱庫接觸，求整個系統的熵變。附注：熵的定義：熵是一個狀態函數，記作S，它在狀態1、2之間的差值定義為：答：(a)對水:對熱庫:T=373K總熵變：0.184kJ/K(b)對水：熵變仍為1.306kJ/K對熱庫1：對熱庫2：總熵變：7，求解如圖所示用一根細線懸掛圓規時，圓規張開多大的角度可以使其旋轉點（即兩臂連接處）抬升得更高，假定圓規兩臂的長度相等。假定圓規臂上質量分布均勻。答：arccos(1/3)如圖，A為懸掛點，0為旋轉點，B為另一腳端點。可知，兩腳的重心為它們的中點E、C，整個圓規重心在EC中點F，懸掛時繩的延長線肯定過F，做OH垂直于AF，則AH代表了O的高度，想讓O最高，則使AH最短。在直角三角形AHO中，AH=AOcos(A),這樣就僅需求出角A的最大值。因為OE=OC,F為CE中點，所以OF垂直于EC，所以無論B點如何變動，角OFC總為直角，這樣，F的軌跡為圓，CO為此圓直徑，如上圖。當AF與此圓O’相切時，角A最大，如下圖。FO’垂直于AF，且AO’=3FO’,所以cos(FO’A)=1/3。因為F、O’為CE，CO中點，所以FO’平行于EO，所以角FO’C=角EOA,即圓規的張角。這樣，想讓圓規旋轉點最高，要使張角為arccos(1/3)。8，兩塊平行的導電平板，面積均為S，兩者內壁相距，它們由一個導電彈簧連接，該彈簧的松弛長度為，勁度系數為k，整個系統是電中性的。最初彈簧處于松弛狀態，且遠小于平板尺度。現將此系統置于一方向和導電平板垂直的均勻電場中，則兩板之間的平衡距離為L。試求L作為，，k和S的函數關系。答：因為兩塊極板被導電彈簧連接，所以兩極板等電勢，兩板間電場強度為0，僅在兩塊導體外側存在感應電荷。由于遠小于平板尺度，導體板可以看作無限大帶電平面。由對稱性，兩極板面電荷密度大小相等，設帶正電的極板面電荷密度為。曲一個直圓柱形高斯面，包圍一小塊極板外表面，兩底平行于極板，底面積為S’。由高斯定理：另一塊極板在此極板處產生場強：E’外界產生的總場強E：此極板受電場力F：由胡克定律：所以l為：本題也可以用虛功原理求極板受的電場力。9，如本題圖，以剛性桿的固有長度恰好與柵欄的間隔相等。桿與柵欄保持平行，向前高速運動，同時具有一個向柵欄靠攏的微小橫向速度。當桿飛臨柵欄所在的平面時，正好對準了一個空檔。因洛侖茲收縮效應，它此刻的長度比柵欄間隔略小，竟未受任何阻礙而順利通過。如果我們變換到桿的靜止參考系類去看問題，則發現柵欄的間隔因洛侖茲收縮而變得比鋼桿的長度小些，桿還通的過嗎？答：如果選v方向為x軸，那么長度收縮只發生在x方向，y方向長度不會發生變化。設在不發生相對論效應時，桿的傾斜方向與速度方向成角。桿和柵欄在y方向的長度（即高度）均為，剛好通過。所以，當發生相對論效應是，無論以誰為參照系，無論x方向長度收縮多少，兩者在y方向的分量相同，桿均可以順利通過柵欄間的空間。下面具體分析。假設桿相對于柵欄速度為v，取v方向為x方向，柵欄與x軸夾角為，柵欄間距l。在柵欄參照系下，觀察到一根桿長度為l的桿，以傾角沿x軸，以速度v通過柵欄。設柵欄兩端為a,b;桿兩端為a’,b’.在柵欄參照系下，a,a’重合與b,b’重合是同時發生的。一個高度為的桿通過一個高度的柵欄，理所當然；從長度角度看，一個長為l的桿通過一個寬為l的柵欄，也是理所當然。這時，可以計算桿的固有長度固有長度分量：可以看出，它與x軸夾角并不是，而是比小，設為。在桿的參照系下，柵欄的長度也發生了變化，如下：柵欄間距變小了，與x軸夾角卻變大了，設為。這樣，在桿參照系下，b,b’先重合，a,a’后重合，這兩個事件不是同時的，所以它是斜著穿過柵欄的。從y方向看，一個高度為的桿通過一個高度的柵欄，理所當然；從長度角度看，雖然柵欄間距比桿小，但桿是斜著穿過的，也是理所當然的。所以，無論從哪個參照系下看此事件，都不違背任何物理規律。10，在基于物理學的雜技表演中，同樣密度、半徑分別為r和R=2r的兩個圓柱，被放置在一個質量為M=6kg的小車上，小圓柱的質量為m=1kg，兩圓柱之間以及圓柱與小車之間的靜摩擦系數達到足以保證兩者之間保持為無滑滾動，在初始狀態下，大圓柱的軸線位于小車的中間位置，并且三者相對靜止。小車受到一個水平拉力F，方向如圖所示，運動過程中兩圓柱的軸連線與水平方向成固定。（1）求外力F的大小；（2）要維持這種狀態1秒鐘，小車至少要多長；（3）角有等于0度的可能嗎？試分析。答：由兩個圓柱的體積關系，可得大圓柱的質量為4m。由已知，小車質量M=6m。設小圓柱和大圓柱的角加速度為，兩圓柱共同的水平方向線加速度為，小車的加速度為。當兩圓柱以及大圓柱與小車均作無滑的無粘滯阻力的滾動時，我們有和由于，因此（1）大小兩圓柱的轉動慣量分別為和。受力分析如圖。有如下動力學方程：由（4），（6）由（5），（6），（7），（8），（9）：兩式相除，又由（1），可解出：把此結果代回（10），可解出：把以上兩結果代回（1），可解出：把以上結果和式（9）代回（2），可解出：由已知，初始時圓柱位于小車中點，要維持一秒，則小車長l滿足：若，則：一切加速度，角加速度，力都是有意義的，所以可以實現。因為題中給出條件，接觸表面絕對粗糙，保證無相對滑動，所以無須考慮摩擦力與正壓力的關系。如果考慮到實際情況，想達到時的平衡，必須要使靜摩擦系數大于1。

第二試1：設粒子在一無窮深勢阱中運動，勢能為（1）求粒子的能級和波函數；（2）處于第個能級的粒子，求其位置平均值的和漲落；（3）求出經典力學下的和并與（2）中的結果比較；（4）計算粒子處在區間[0，]內的量子概率和經典概率，比較其結果；（5）若在t=0時，粒子處在狀態求位置和動量隨時間的演化。（6）下面給出了氫原子電子在n=2,l=1狀態下的波函數（n為主量子數，l為角量子數，m為磁量子數）。表達式為求坐標下的表達式。請定性描述這種狀態下的各種可能電子云形狀，并通過一些簡單的計算支持你的觀點。（答題字數：500以上，前五問要給出盡量詳細的計算過程）答：（1）薛定諤方程把波函數方程的解寫為求解定態的薛定諤方程對于勢阱內部，方程轉化為求解此微分方程有考慮邊界條件，波函數在處為零，即得常數，且有量子化條件于是定態的波函數解為作歸一化處理粒子波函數為（2）對于第n能級，位置平均值和漲落(3)在經典力學下，粒子在陷阱中任一處都是等概率的即，所以可以看到，由量子力學解出的位置平均值和經典力學下的結果是一樣的，這是由對稱性決定的。而量子力學解出的漲落在取的極限就是經典力學下的解，可見經典力學下的解不過是量子力學在取量子數趨向于無窮大的極限，這一點對位置平均值也是適用的。這恰好反映了波爾的對應原理。(4)由對稱性，其結果顯然都為1/2。(5)對于，它并不是一個新的狀態。若粒子的波函數滿足以上等式，我們能肯定的只是粒子在任一時刻要么處在，要么處在，且二者必居其一。這實際上是粒子在不同能級間躍遷時所處的狀態。考慮波函數的時間部分據此求解粒子位移和速度與時間的關系其中A，B為常數，。由上式可見，粒子位置的平均值是隨時間變化的，且形式為簡諧振子。由電磁輻射原理，若此粒子為電子，它會發出頻率為的光子，其能量恰好為。其中C，D，F為常數。取實部，可見其動量平均值亦符合簡諧振子的運動形式，角速度（6）根據計算可以得到p能態電子云應該是繞z軸旋轉對稱的，經計算，m=0的電子云主要分布在z軸附近，形狀類似于一個啞鈴，m=1或m=-1的電子云分布在xy平面，形狀如同中間薄邊緣厚的餅或面包圈。注：對應原理。波爾認為，在原子范疇內的現象與宏觀范圍內的現象可以各自遵循本范圍內的規律，但當把微觀范圍內的規律延伸到經典范圍內時，則它所得到的數值結果應該與經典規律所得到的相一致。2：（1）如果一個物理過程在自然界中發生，它是滿足某一個物理規律。如果有一面鏡子，那么你在鏡子中將看到一個與這個過程“對稱”的過程在鏡子中發生。請問：在鏡子中的那個物理過程是否也滿足同一個物理規律？（2）把一塊牛排放在鏡子旁，在鏡子中會出現一個虛像。如果在現實生活中存在一塊與那個虛像全等的牛排，那么你吃下這塊牛排，將會對你造成什么影響？（3）如圖：一根直導線旁邊放一個磁針，那么磁針會在磁場的作用下旋轉。在這個系統旁邊放一塊鏡子，那么鏡子中的那個直導線產生的磁場和原來的磁場時相同的，但你看到鏡子中的磁針卻像另一個方向偏轉。這是否說明在我們這個世界中適用的物理規律在鏡子中的那個“世界”是不適用的呢？請詳細分析。IIMI’（4）放開你的眼界，你能否找到一個現象，說明在我們這個世界中適用的規律在鏡子中的世界不適用。（5）談談你對對稱性的理解（答題字數：500以上）3：（1）電影《黑客帝國》描述了未來人類與機器人發生戰爭的情景。人類為了戰勝機器，就引爆核彈