專題十九矩形（講義）——中考數學一輪復習備考合集考情分析命題點命題形式命題熱度命題特點矩形矩形的有關證明與計算☆☆☆本專題主要從矩形的性質、判定方面命題，多以選擇題和填空題的形式出現，解答題常見題型為矩形的有關證明與計算，要求學生熟練掌握矩形的性質與判定定理，體現了數形結合的核心素養.講解一：矩形一、矩形的定義及其性質1.矩形：有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形.【注意】（1）矩形是特殊的平行四邊形，但平行四邊形不一定是矩形.（2）矩形必須具備兩個條件：①是平行四邊形；②有一個角是直角.這兩個條件缺一不可.（3）矩形的定義可以作為判定一個四邊形是矩形的方法.2.矩形的性質：矩形是特殊的平行四邊形，它除了具有平行四邊形的所有性質外，還具有自身獨特的性質（見下表）：性質數學語言圖形角矩形的四個角都是直角四邊形是矩形，對角線矩形的對角線相等四邊形是矩形，對稱性矩形是軸對稱圖形，它有兩條對稱軸【注意】（1）矩形的性質可歸結為三個方面.①邊：矩形的對邊平行且相等，鄰邊互相垂直.②角：矩形的四個角都是直角.③對角線：矩形的對角線互相平分且相等.（2）矩形的兩條對稱軸分別是兩對對邊中點連線所在的直線，對稱軸的交點就是對角線的交點.（3）矩形的兩條對角線將矩形分成兩對全等的等腰三角形，這四個三角形的面積相等.二、矩形的判定判定方法數學語言圖形角有一個角是直角的平行四邊形是矩形（定義）在中，，是矩形.有三個角是直角的四邊形是矩形在四邊形中，，四邊形是矩形.對角線對角線相等的平行四邊形是矩形在中，，是矩形命題精練命題形式1矩形的有關證明與計算1.（2024·甘肅·中考真題）如圖，在矩形中，對角線，相交于點O，，，則的長為（）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】C解析：根據矩形的性質，得，∵，∴是等邊三角形，∵，∴，解得．故選C．2．（2024·海南·中考真題）如圖，矩形紙片中，，點E、F分別在邊上，將紙片沿折疊，使點D的對應點在邊上，點C的對應點為，則的最小值為，CF的最大值為．【答案】6解析：如圖所示，過點E作于H，則四邊形是矩形，∴，∵，∴的最小值為6，由折疊的性質可得，∴的最小值為6；如圖所示，連接，由折疊的性質可得，，，∵，∴，∴，∴，∴，在中，由勾股定理得，∴當最大時，最大，即最大時，最大，∴當與點B重合時，最大，設此時，則，∴，解得，∴的最大值為故答案為：，．3.（2024·甘肅蘭州·中考真題）如圖，在中，，D是的中點，，，．(1)求證：四邊形是矩形；(2)若，求的長．解析：（1）證明：∵，D是BC的中點，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，∴四邊形是矩形．（2）由（1）可知四邊形是矩形．∴，，，∵D是的中點，∴，在中，，∴，∵，∴即，∴．4.（2024·陜西·中考真題）如圖，四邊形是矩形，點E和點F在邊上，且．求證：．【答案】見解析解析：證明：∵四邊形是矩形，∴，，∵，∴，即，∴，∴．5.（2024·吉林長春·中考真題）如圖，在四邊形中，，是邊的中點，．求證：四邊形是矩形．【答案】證明見解析．證明：∵是邊的中點，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴四邊形是矩形．6.（2024·貴州·中考真題）如圖，四邊形的對角線與相交于點O，，，有下列條件：①，②．(1)請從以上①②中任選1個作為條件，求證：四邊形是矩形；(2)在（1）的條件下，若，，求四邊形的面積．【答案】(1)見解析(2)解析：證明：∵，，∴是平行四邊形，又∵，∴四邊形是矩形；選擇②，證明：∵，，∴是平行四邊形，又∵，∴四邊形是矩形；（2）∵，∴，∴矩形的面積為．7.（2024·湖南長沙·中考真題）如圖，在中，對角線，相交于點O，．(1)求證：；(2)點E在邊上，滿足．若，，求的長及的值．【答案】(1)見解析(2)，解析