2024級(jí)高一下學(xué)期3月學(xué)期檢測(cè)試卷數(shù)學(xué)2025.3一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）.1.已知，是夾角為的兩個(gè)單位向量，則（）A.1 B. C. D.2.已知，則（）A. B. C. D.3.要得到函數(shù)的圖象，只需將的圖象（）A.向左平移個(gè)單位 B.向右平移個(gè)單位 C.向左平移個(gè)單位 D.向右平移個(gè)單位4.已知，，其中，的夾角為，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.5.已知，則（）A. B. C. D.6.設(shè)扇形的周長(zhǎng)為，面積為，則扇形的圓心角的弧度數(shù)是（）A.1 B.2 C.3 D.47.《易經(jīng)》是闡述天地世間關(guān)于萬象變化的古老經(jīng)典，其中有一種幾何圖形與正六邊形相關(guān).假設(shè)正六邊形代表六種不同的卦象元素，邊長(zhǎng)為20，點(diǎn)是正六邊形邊內(nèi)部（包括邊界）上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（）A. B. C. D.1008.已知角，且，當(dāng)取得最大值時(shí)，角（）A. B. C. D.二、多項(xiàng)選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）.9.下列等式正確的是（）A. B.C. D.10.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的是（）A. B.C.直線是圖象的一條對(duì)稱軸 D.能使得11.如圖，設(shè)，是平面內(nèi)相交成角的兩條數(shù)軸，，分別是x軸，y軸正方向同向的單位向量，若向量，則把有序數(shù)對(duì)叫做向量在坐標(biāo)系中的坐標(biāo).若在坐標(biāo)系中，，，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.當(dāng)時(shí)，C. D.當(dāng)時(shí)，與的夾角為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.與向量平行的單位向量的坐標(biāo)為________．13.已知，是方程的兩根，則__________．14已知角，滿足，，且，.則________；________.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知為第一象限的角，終邊經(jīng)過點(diǎn)，且.（1）求的值；（2）求的值.16.已知向量，，.（1）當(dāng)，求x，y；（2），且，求向量與的夾角.17.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的最小正周期及單調(diào)增區(qū)間；（2）若，且，求的值.（3）在中，若，求取值范圍.18.某養(yǎng)殖公司有一處正方形養(yǎng)殖池，邊長(zhǎng)100米.（1）如圖1，P，Q分別，上，且，求證：.（2）如圖2，為了便于冬天給養(yǎng)殖池內(nèi)的水加溫，考慮到整體規(guī)劃，要求是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊上，且，該公司計(jì)劃在養(yǎng)殖池內(nèi)鋪設(shè)兩條加溫帶和，并安裝智能照明裝置，經(jīng)核算，在兩條加溫帶增加智能照明裝置的費(fèi)用均為每米400元.問：①設(shè)，求的取值范圍；②如何設(shè)計(jì)才能使安裝智能照明裝置費(fèi)用最低?說明理由，并求出最低費(fèi)用.（參考數(shù)值：，）19.定義函數(shù)的“積向量”為，向量的“積函數(shù)”為.（1）若，，求最大值及對(duì)應(yīng)的取值集合；（2）若向量的“積函數(shù)”滿足，求的值；（3）已知，，設(shè)，且的“積函數(shù)”為，其最大值為，求的最小值，并判斷此時(shí)，的關(guān)系.

2024級(jí)高一下學(xué)期3月學(xué)期檢測(cè)試卷數(shù)學(xué)2025.3一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）.1.已知，是夾角為兩個(gè)單位向量，則（）A.1 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)數(shù)量積的定義計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)椋菉A角為的兩個(gè)單位向量，所以.故選：C2.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用正切的二倍角公式展開后，代入tana值即可求出.【詳解】，故選B.【點(diǎn)睛】本題考查正切函數(shù)二倍角公式的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題.3.要得到函數(shù)的圖象，只需將的圖象（）A.向左平移個(gè)單位 B.向右平移個(gè)單位 C.向左平移個(gè)單位 D.向右平移個(gè)單位【答案】D【解析】【分析】利用三角函數(shù)的圖象變換關(guān)系求解.【詳解】,所以要得到函數(shù)的圖象，只需將的圖象向右平移個(gè)單位，故選:D.4.已知，，其中，的夾角為，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用投影向量的定義求解.【詳解】因?yàn)椋渲校膴A角為，所以在上的投影向量為，故選：D5.已知，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式和二倍角公式即可求解.【詳解】.故選：.6.設(shè)扇形的周長(zhǎng)為，面積為，則扇形的圓心角的弧度數(shù)是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】根據(jù)扇形的周長(zhǎng)為，面積為，得到，解得l，r，代入公式求解.【詳解】因?yàn)樯刃蔚闹荛L(zhǎng)為，面積為，所以，解得，所以，所以扇形的圓心角的弧度數(shù)是2故選：B7.《易經(jīng)》是闡述天地世間關(guān)于萬象變化的古老經(jīng)典，其中有一種幾何圖形與正六邊形相關(guān).假設(shè)正六邊形代表六種不同的卦象元素，邊長(zhǎng)為20，點(diǎn)是正六邊形邊內(nèi)部（包括邊界）上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（）A. B. C. D.100【答案】C【解析】【分析】設(shè)與的夾角為，由向量數(shù)量積的定義可得當(dāng)在方向上的投影最小時(shí)即可求解.【詳解】設(shè)與的夾角為，所以，因?yàn)楸硎驹诜较蛏系耐队埃?dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，最小，此時(shí)，，所以的最小值是.故選：.8.已知角，且，當(dāng)取得最大值時(shí)，角（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用三角函數(shù)的兩角和公式將展開化簡(jiǎn)，得到關(guān)于的表達(dá)式，再根據(jù)均值不等式求出取得最大值時(shí)的值，進(jìn)而求出.詳解】已知，可得：，，可得：，得：，因?yàn)椋裕仁絻蛇呁瑫r(shí)除以和可得：，上式可化為：，又因?yàn)椋肷鲜娇傻茫?/p>

，令，則，，代入可得：，因?yàn)椋裕瑒t.根據(jù)均值不等式對(duì)于有：，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立.所以，即當(dāng)時(shí)，取得最大值.

因?yàn)椋遥?

當(dāng)取得最大值時(shí)，角.故選：D.二、多項(xiàng)選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）.9.下列等式正確的是（）A. B.C. D.【答案】CD【解析】【分析】利用二倍角公式判斷A、B，利用和差角公式判斷C、D.【詳解】對(duì)于A：，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：，故C正確；對(duì)于D：，故D正確.故選：CD10.已知函數(shù)部分圖象如圖所示，則下列說法正確的是（）A. B.C.直線是圖象的一條對(duì)稱軸 D.能使得【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的圖象，先求得的解析式，然后逐項(xiàng)判斷.詳解】由，得，則，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象過點(diǎn)，所以，則，又，則，故A錯(cuò)誤；又函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則，解得，故B正確；所以，而，所以直線是圖象的一條對(duì)稱軸，故C正確；由，得，因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期為，所以在上的值域，與在上的值域相同，則，故D正確；故選：BCD.11.如圖，設(shè)，是平面內(nèi)相交成角的兩條數(shù)軸，，分別是x軸，y軸正方向同向的單位向量，若向量，則把有序數(shù)對(duì)叫做向量在坐標(biāo)系中的坐標(biāo).若在坐標(biāo)系中，，，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.當(dāng)時(shí)，C. D.當(dāng)時(shí)，與的夾角為【答案】ACD【解析】【分析】首先求出，再根據(jù)所給定義及數(shù)量積的運(yùn)算律、夾角公式計(jì)算可得.【詳解】依題意，對(duì)于A：因?yàn)椋裕裕蔄正確；對(duì)于B：當(dāng)時(shí)，則，所以，所以與不垂直，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：，所以，所以當(dāng)時(shí)取得最小值，且，故C正確；對(duì)于D：由C可知，當(dāng)時(shí)，，所以，設(shè)與的夾角為，則，又，所以，所以與的夾角為，故D正確.故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.與向量平行的單位向量的坐標(biāo)為________．【答案】【解析】【分析】設(shè)單位向量坐標(biāo)為，根據(jù)向量共線公式及求模公式，化簡(jiǎn)計(jì)算，即可得答案.【詳解】設(shè)與向量平行的單位向量的坐標(biāo)為，由題意得，解得或，故答案為：13.已知，是方程的兩根，則__________．【答案】##【解析】【分析】將所求式利用兩角和的正弦與兩角差的余弦公式展開，然后根據(jù)商數(shù)關(guān)系弦化切，最后結(jié)合韋達(dá)定理即可求解.【詳解】解：因?yàn)椋欠匠痰膬筛裕裕蚀鸢笧椋?14.已知角，滿足，，且，.則________；________.【答案】①.②.【解析】【分析】由題意，利用兩角差的正弦公式求，先求得，再根據(jù)的范圍求解.【詳解】因?yàn)榻牵瑵M足，，且，.所以，，所以，，因?yàn)椋裕瑒t，所以，，因?yàn)椋遥裕瑒t，所以.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知為第一象限的角，終邊經(jīng)過點(diǎn)，且.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）1（2）【解析】【分析】（1）利用三角函數(shù)的定義求解；（2）由（1）得到，代入求解【小問1詳解】因?yàn)闉榈谝幌笙薜慕牵K邊經(jīng)過點(diǎn)，且，所以，解得，【小問2詳解】由（1）知：，所以，.16.已知向量，，.（1）當(dāng)，求x，y；（2），且，求向量與的夾角.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用向量相等構(gòu)造方程求得；（2）先利用平面向量共線的坐標(biāo)表示求解向量，再利用向量的夾角公式計(jì)算即得.【小問1詳解】依題意，即，解得所以.【小問2詳解】由向量，，所以由，得，解得，所以，所以，所以，又，所以.17.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的最小正周期及單調(diào)增區(qū)間；（2）若，且，求的值.（3）在中，若，求的取值范圍.【答案】（1）最小正周期為；單調(diào)增區(qū)間（2）（3）【解析】【分析】（1）利用誘導(dǎo)公式、正弦的二倍角公式以及輔助角公式化簡(jiǎn)，再由正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解；（2）由已知可得，根據(jù)的范圍和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可得，由兩角差的正弦函數(shù)求解即可；（3）由可得，根據(jù)三角恒等變換結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【小問1詳解】，最小正周期為，令，，所以，，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；【小問2詳解】，因?yàn)椋裕运裕弧拘?詳解】因?yàn)椋裕驗(yàn)椋裕驗(yàn)椋裕裕缘娜≈捣秶鸀?18.某養(yǎng)殖公司有一處正方形養(yǎng)殖池，邊長(zhǎng)為100米.（1）如圖1，P，Q分別在，上，且，求證：.（2）如圖2，為了便于冬天給養(yǎng)殖池內(nèi)的水加溫，考慮到整體規(guī)劃，要求是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊上，且，該公司計(jì)劃在養(yǎng)殖池內(nèi)鋪設(shè)兩條加溫帶和，并安裝智能照明裝置，經(jīng)核算，在兩條加溫帶增加智能照明裝置的費(fèi)用均為每米400元.問：①設(shè)，求的取值范圍；②如何設(shè)計(jì)才能使安裝智能照明裝置的費(fèi)用最低?說明理由，并求出最低費(fèi)用.（參考數(shù)值：，）【答案】（1）證明見解析（2）①；②當(dāng)米時(shí)，安裝智能照明裝置的費(fèi)用最低，最低費(fèi)用為元，理由見解析【解析】【分析】（1）延長(zhǎng)到，使，連接，根據(jù)三角形的邊角關(guān)系即可證明；（2）①由已知當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，最小，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，最大，即可求解；②先表示出，然后通過三角換元，令，由此可得關(guān)于的函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性求解出的最小值，則結(jié)果可知.【小問1詳解】延長(zhǎng)到，使，連接，因?yàn)闉檎叫危裕耘c全等，所以，，因?yàn)椋裕矗耘c全等，所以，所以，所以，又，所以；【小問2詳解】①因?yàn)椋裕?dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，最小，，所以，，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，最大，，所以，所以的取值范圍為；②設(shè)，由①知，，，，設(shè)，因?yàn)椋裕郑裕驗(yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，最小，此時(shí)，即，所以的最小值為，因?yàn)樵趦蓷l加溫帶增加智能照明裝置的費(fèi)用均為每米400元，所以當(dāng)米時(shí)，安裝智能照明裝置的費(fèi)用最低，最低費(fèi)用為元.19.定義函數(shù)的“積向量”為，向量的“積函數(shù)”為.（1）若，，求最大值及對(duì)應(yīng)的取值集合；（2）若向量的“積函數(shù)”滿足，求的值；（3）已知，，設(shè)，且的“積函數(shù)”為，其最大值為，求的最小值，并判斷此時(shí)，的關(guān)系.【答案】