2024-2025年中學生能力訓練數學階段練習（六）（本試卷共23道題滿分120分考試時間共120分鐘）注意：所有試題必須在答題卡上作答，在本試卷上作答無效一、選擇題（本題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.已知，則值為（）A. B. C. D.2.如圖，是由一個正六棱柱和圓柱組成的幾何體，其俯視圖是（）A. B. C. D.3.如果是一元二次方程的一個根，則m的值是（）A. B.4 C. D.24.在一個不透明的布袋中裝有4個白球和若干個黑球，除顏色外其他都相同，小紅每次摸出一個球并放回，通過多次試驗后發現，摸到黑球的頻率穩定在左右，則布袋中黑球的個數可能有（）A.3 B.6 C.8 D.105.如圖，在直角坐標系中，已知中，B的坐標為，以原點O為位似中心，在第一象限內作與位似，位似比為，則頂點的坐標為（）A. B. C. D.6.一元二次方程的根的情況是（）A.沒有實數根 B.有兩個相等的實數根C.有兩個不相等的實數根 D.無法判斷7.凸透鏡成像的原理如圖所示，．若物體H到焦點F的距離與焦點F到凸透鏡中心線的距離之比為，則物體被縮小到原來的（）A. B. C. D.8.如圖，圓形拱門最下端在地面上，為的中點，為拱門最高點，線段經過拱門所在圓的圓心，若，，則拱門所在圓的半徑為（）A. B. C. D.9.若是方程的兩個實數根，則的值為（）A. B. C.4046 D.202310.如圖，在矩形中，，點E在線段上，且，動點P在線段上，從點A出發以的速度向點B運動，同時點Q在線段上．以的速度由點B向點C運動，當與全等時，v的值為（）A.2 B.4 C.4或 D.2或二、填空題（本題共5小題，每小題3分，共15分）11.若，則______．12.如圖，是等腰三角形，，分別以點、為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于點，作射線，若，則扇形的面積___________．13.如圖，直線與拋物線交于A，B兩點，其中點，點，不等式的解集為______．14.如圖，點在反比例函數的圖象上，點的橫坐標為2．經過點的直線與軸交于點．則的值為___________．15.如圖，正方形的邊長為2，將繞點順時針旋轉一定角度得到線段，平分交射線于．在旋轉過程中，線段的最大值為___________．三、解答題（本題共8小題，共75分．解答應寫出文字說明、演算步驟或推理過程）16.計算：（1）；（2）．17.某校組織九年級學生參加冬季研學活動，數學興趣小組的同學們發現某競賽活動場地為一個長方形，該長方形場地一邊靠墻，墻長為28米，長方形場地面積是250平方米．（1）據場地管理人員介紹，該場地2022年的面積只有160平方米，連續兩年擴建，并且兩年的增長率相同，請求出這個增長率；（2）如圖，為競賽場地示意圖．為了美化場地，要對競賽場地的四周用裝飾板材進行裝飾，裝飾板材共用去51米，在板材上有兩處各開了一扇寬為2米的門，場地面積不變，求場地的寬為多少米？18.在“書香校園”創建活動中，我區某校為扎實推進工作，在全校范圍內隨機抽查了部分學生上一學期閱讀量，學校將閱讀量分成優秀、良好、較好、一般四個等級，繪制如下統計表：等級一般較好良好優秀閱讀量/本3456頻數4頻率請根據統計表中提供的信息，解答下列問題：（1）表中_______，_______，_______（2）求所抽查學生閱讀量眾數和平均數；（3）樣本數據中優秀等級學生有4人，其中僅有1名男生．現從中任選派2名學生去參加讀書分享會，請用樹狀圖法或列表法求所選2名同學中有男生的概率．19.直播帶貨新平臺“西方甄選”所推銷的大米成本為每袋40元，當售價為每袋80元時，每分鐘可銷售100袋，為了吸引更多顧客，“西方甄選”采取降價措施，據市場調查反映：銷售單價每降1元，則每分鐘可多銷售5袋，設每袋大米的售價為x元（x為正整數），每分鐘的銷售量為y袋．（1）求出y與x的函數關系式；（2）設“西方甄選”每分鐘獲得的利潤為w元，當銷售單價為多少元時，每分鐘獲得的利潤最大，最大利潤是多少？20.某數學綜合實踐小組利用無人機測量建筑物的高度，已知無人機在距離水平地面m空中水平飛行，無人機在、兩點分別測得建筑物頂端的俯角為、，、兩點的水平距離為m．（在同一平面上）（1）求建筑物的高度；（2）若建筑物的左側m處有一建筑物高為m，會不會影響本次測量？請說明理由．（結果精確到1m，參考數據：）．21.如圖，為的直徑，，為上的兩點，且在直徑的兩側，連接，以為邊作平行四邊形．（1）求證：為切線；（2）若，，求的長．22.如圖1，正方形中，，點為邊上的點，為的垂直平分線，垂足為，交邊于點，交邊于點，將繞點順時針旋轉得到線段，連接．（1）四邊形的形狀為___________；（2）若四邊形為菱形時，求的長；（3）如圖2，點在上運動過程中，當點三點共線時，判斷之間的數量關系，并說明理由．23.定義：在平面直角坐標系中，當點在圖形上，且，則稱點為圖形的“互為零點”．（1）如圖1，矩形的頂點坐標分別是，，矩形的“互為零點”的是___________；（2）若點為反比例函數圖象上的“互為零點”，且，則___________；（3）如圖2，已知點為拋物線的“互為零點”，點恰好是該拋物線的頂點，拋物線于軸的交點為，．①求值；②若存在一點，使得四邊形為平行四邊形，直接寫出點的坐標．

2024-2025年中學生能力訓練數學階段練習（六）（本試卷共23道題滿分120分考試時間共120分鐘）注意：所有試題必須在答題卡上作答，在本試卷上作答無效一、選擇題（本題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.已知，則的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了比例式的性質，正確用同一未知數表示各數是解題關鍵．直接利用比例的性質假設出未知數，進而得出答案．【詳解】解：∵，故設，，∴．故選：B．2.如圖，是由一個正六棱柱和圓柱組成的幾何體，其俯視圖是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查三視圖的知識，根據三視圖的形成，從正面、左面和上面三個方向看立體圖形得到的平面圖形，注意所有的看到的或看不到的棱都應表現在三視圖中，看得見的用實線，看不見的用虛線，虛實重合用實線．準確把握從正面、左面和上面三個方向看立體圖形得到的平面圖形是解決問題的關鍵．【詳解】解：俯視圖是從上面看幾何體，得到的平面圖形內部是圓，看得見，用實線；外部是正六邊形，如圖所示：故選：C．3.如果是一元二次方程的一個根，則m的值是（）A. B.4 C. D.2【答案】A【解析】【分析】本題考查一元二次方程的解得定義，熟練掌握能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數的值是一元二次方程的解是解題的關鍵．把代入方程求解即可．【詳解】解：∵是一元二次方程的一個根，∴，∴，故選：A．4.在一個不透明的布袋中裝有4個白球和若干個黑球，除顏色外其他都相同，小紅每次摸出一個球并放回，通過多次試驗后發現，摸到黑球的頻率穩定在左右，則布袋中黑球的個數可能有（）A.3 B.6 C.8 D.10【答案】B【解析】【分析】本題考查了用頻率估計概率，分式方程的應用，設黑球的個數為個，根據頻率可列出方程，解方程即可求得，從而得到答案，根據概率列出方程是關鍵．【詳解】設袋中有黑球個，由題意得：，解得：，經檢驗，是分式方程的解，則布袋中黑球的個數可能有6個．故選：B．5.如圖，在直角坐標系中，已知中，B的坐標為，以原點O為位似中心，在第一象限內作與位似，位似比為，則頂點的坐標為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了位似的性質．熟練掌握位似的性質是解題的關鍵．根據位似的性質求解作答即可．【詳解】解：∵B的坐標為，原點O為位似中心，與位似，位似比為，∴第一象限內頂點的坐標為，故選：D．6.一元二次方程的根的情況是（）A.沒有實數根 B.有兩個相等的實數根C.有兩個不相等的實數根 D.無法判斷【答案】A【解析】【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式，解題的關鍵是掌握根的判別式與根的關系．先確定方程中各項系數，再代入根的判別式公式計算，根據判別式的值判斷根的情況．【詳解】解：對于一元二次方程，其根的判別式，在方程中，，將值代入判別式可得，因為當時，一元二次方程沒有實數根，這里，所以方程沒有實數根，故選：A．7.凸透鏡成像的原理如圖所示，．若物體H到焦點F的距離與焦點F到凸透鏡中心線的距離之比為，則物體被縮小到原來的（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題主要考查了相似三角形的應用，從實際問題中找到相似三角形并利用相似三角形的性質進行求解是解題的關鍵．先證出四邊形為矩形，得到，再根據，求出，從而得到物體被縮小到原來的幾分之幾．詳解】解：∵，∴四邊形為矩形，∴，∵，，∴，∴，∴，即,∴物體被縮小到原來的．故選：C．8.如圖，圓形拱門最下端在地面上，為的中點，為拱門最高點，線段經過拱門所在圓的圓心，若，，則拱門所在圓的半徑為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查的是垂徑定理的實際應用。勾股定理的應用，如圖，連接，先證明，，再進一步的利用勾股定理計算即可；【詳解】解：如圖，連接，∵為的中點，為拱門最高點，線段經過拱門所在圓的圓心，，∴，，設拱門所在圓的半徑為，∴，而，∴，∴，解得：，∴拱門所在圓的半徑為；故選B9.若是方程的兩個實數根，則的值為（）A. B. C.4046 D.2023【答案】C【解析】【分析】本題考查一元二次方程根與系數的關系．根據題意先得出即可．【詳解】解：是方程的兩個實數根．故選：C．10.如圖，在矩形中，，點E在線段上，且，動點P在線段上，從點A出發以的速度向點B運動，同時點Q在線段上．以的速度由點B向點C運動，當與全等時，v的值為（）A.2 B.4 C.4或 D.2或【答案】D【解析】【分析】本題考查了矩形的性質及全等三角形的判定與性質等知識點，數形結合、分類討論并熟練掌握相關性質及定理是解題的關鍵．當與全等時，有兩種情況：①當時，，②當時，，分別按照全等三角形的性質及行程問題的基本數量關系求解即可．【詳解】解：當與全等時，有兩種情況：①當時，，，，，，；動點在線段上，從點出發以的速度向點運動，點和點的運動時間為：，∴；②當時，，，，，，，，綜上，v的值為2或．故選：D．二、填空題（本題共5小題，每小題3分，共15分）11.若，則______．【答案】##30度【解析】【分析】本題考查了相似三角形的性質，相似三角形的對應角相等，這道題的是對應角，據此即可作答．【詳解】解：∵∴故答案為：12.如圖，是等腰三角形，，分別以點、為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于點，作射線，若，則扇形的面積___________．【答案】【解析】【分析】本題考查了垂直平分線的判定與性質，等腰三角形的三線合一，扇形面積，正確掌握相關性質內容是解題的關鍵．先根據作圖得，證明是線段的垂直平分線，結合等腰三角形的三線合一，得，再運用扇形面積公式列式計算，即可作答．【詳解】解：如圖：連接，∵分別以點、為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于點，∴，∵，∴是線段的垂直平分線，∵是等腰三角形，∴，∴，∴扇形的面積，故答案為：．13.如圖，直線與拋物線交于A，B兩點，其中點，點，不等式的解集為______．【答案】【解析】【分析】本題考查了二次函數與不等式，根據、兩點的橫坐標和函數的圖象得出不等式的解集即可，掌握二次函數的圖象與性質是解題的關鍵．【詳解】解：由圖象可得，在點，之間的拋物線在直線下方，∴時，，故答案為：．14.如圖，點在反比例函數的圖象上，點的橫坐標為2．經過點的直線與軸交于點．則的值為___________．【答案】12【解析】【分析】本題考查求反比例函數的解析式，根據題意求得點的坐標為，再代入反比例函數解析式即可．【詳解】解：對于，當時，，∴點的坐標為，將其代入，得：，故答案為：12．15.如圖，正方形的邊長為2，將繞點順時針旋轉一定角度得到線段，平分交射線于．在旋轉過程中，線段的最大值為___________．【答案】【解析】【分析】先結合旋轉性質，正方形的性質得出，根據角平分線的定義，得，證明，再得出，然后得出是的垂直平分線，即，當時，，此時面積最大，運用勾股定理算出線段的值，即可作答．【詳解】解：依題意，連接，過點作的延長線一點，如圖所示：∵正方形的邊長為2，將繞點順時針旋轉一定角度得到線段，∴，∵平分交射線于．∴，∵，∴，∴，則，在中，，∵，，∴是的垂直平分線，當時，，此時面積最大，則點E與點A重合，點F與點D重合，∴，此時有最大值，且．故答案為：．【點睛】本題考查了旋轉性質，正方形的性質，全等三角形的性質，垂直平分線的判定與性質，勾股定理，正確掌握相關性質內容是解題的關鍵．三、解答題（本題共8小題，共75分．解答應寫出文字說明、演算步驟或推理過程）16.計算：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】本題考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接開平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，靈活選擇合適的方法是解答本題的關鍵．（1）用因式分解法求解即可；（2）用因式分解法求解即可．【小問1詳解】解：，，或，；【小問2詳解】解：，，，或，．17.某校組織九年級學生參加冬季研學活動，數學興趣小組的同學們發現某競賽活動場地為一個長方形，該長方形場地一邊靠墻，墻長為28米，長方形場地面積是250平方米．（1）據場地管理人員介紹，該場地2022年的面積只有160平方米，連續兩年擴建，并且兩年的增長率相同，請求出這個增長率；（2）如圖，為競賽場地的示意圖．為了美化場地，要對競賽場地的四周用裝飾板材進行裝飾，裝飾板材共用去51米，在板材上有兩處各開了一扇寬為2米的門，場地面積不變，求場地的寬為多少米？【答案】（1）這個增長率為（2）場地的寬為10米【解析】【分析】本題考查了一元二次方程的應用．（1）設這個增長率為，根據該場地2022年的面積只有160平方米，連續兩年擴建后面積是250平方米，列出一元二次方程，解之取其正值即可；（2）設重建后的養雞場的寬為米，則的長為米，根據養雞場的面積是250平方米．列出一元二次方程，解之取符合題意的值即可．【小問1詳解】解：設這個增長率為，由題意得：，解得：（不合題意舍去），，答：這個增長率為；【小問2詳解】解：設重建后的養雞場的寬為米，則的長為米，由題意得：，整理得：，解得：，當時，的長為：（米）米，不合題意，舍去：當時，的長為：（米）米，符合題意：米，答：場地的寬為10米．18.在“書香校園”創建活動中，我區某校為扎實推進工作，在全校范圍內隨機抽查了部分學生上一學期閱讀量，學校將閱讀量分成優秀、良好、較好、一般四個等級，繪制如下統計表：等級一般較好良好優秀閱讀量/本3456頻數4頻率請根據統計表中提供的信息，解答下列問題：（1）表中_______，_______，_______（2）求所抽查學生閱讀量的眾數和平均數；（3）樣本數據中優秀等級學生有4人，其中僅有1名男生．現從中任選派2名學生去參加讀書分享會，請用樹狀圖法或列表法求所選2名同學中有男生的概率．【答案】（1），，（2）4，（3）【解析】【分析】（1）由題意知，總人數為（人），根據，，，計算求解即可；（2）根據眾數的定義，平均數的計算公式求解即可；（3）由題意畫樹狀圖，然后求概率即可．【小問1詳解】解：由題意知，總人數為（人），∴，，，故答案為：，，；【小問2詳解】解：由題意知，眾數為4，平均數為，∴眾數為4，平均數為；【小問3詳解】解：由題意畫樹狀圖如下：共有種情況，其中所選2名同學中有男生的有6種結果，∵，所選2名同學中有男生的概率為．【點睛】本題考查了頻率、頻數，眾數，平均數，列舉法求概率．熟練掌握頻率、頻數，眾數，平均數，列舉法求概率是解題的關鍵．19.直播帶貨新平臺“西方甄選”所推銷大米成本為每袋40元，當售價為每袋80元時，每分鐘可銷售100袋，為了吸引更多顧客，“西方甄選”采取降價措施，據市場調查反映：銷售單價每降1元，則每分鐘可多銷售5袋，設每袋大米的售價為x元（x為正整數），每分鐘的銷售量為y袋．（1）求出y與x的函數關系式；（2）設“西方甄選”每分鐘獲得的利潤為w元，當銷售單價為多少元時，每分鐘獲得的利潤最大，最大利潤是多少？【答案】（1）y與x的函數關系式為；（2）當銷售單價為70元時，每分鐘獲得的利潤最大，最大利潤是4500元；【解析】【分析】（1）根據銷售單價每降1元，則分鐘可多銷售5袋，寫出與的函數關系式；（2）根據“西方甄選”每分鐘獲得的利潤元等于每袋的利潤乘以銷售量，列出函數關系式，根據二次函數的性質求解即可．【小問1詳解】由題意可得：，與的函數關系式為；【小問2詳解】由題意，得：，，拋物線開口向下，當時，最大，最大值4500，答：當銷售單價為70元時，每分鐘獲得的利潤最大，最大利潤是4500元；【點睛】本題考查了二次函數和一元二次方程在銷售問題中的應用，理清題中的數量關系、熟練掌握二次函數的性質是解題的關鍵．20.某數學綜合實踐小組利用無人機測量建筑物的高度，已知無人機在距離水平地面m空中水平飛行，無人機在、兩點分別測得建筑物頂端的俯角為、，、兩點的水平距離為m．（在同一平面上）（1）求建筑物的高度；（2）若建筑物的左側m處有一建筑物高為m，會不會影響本次測量？請說明理由．（結果精確到1m，參考數據：）．【答案】（1）日塔的高度約為m（2）會影響，理由見解析【解析】【分析】本題主要考查了解直角三角形的應用，解題的關鍵是根據題意添加輔助線，構造出直角三角形．（1）延長，交的延長線于，構造出兩個直角三角形，根據已知條件，解兩個直角三角形即可解答此題；（2）設建筑物與交與點，構造，解直角三角形，求出和，最后對比可得答案．【小問1詳解】解：如圖，延長，交的延長線于，則，，，，m，在中，，，m，m．答：日塔的高度約為m；【小問2詳解】解：會影響，理由：設建筑物與交與點，由題意可知，m，過點作與點，，在中，m，，m，m，，會影響本次測量．21.如圖，為的直徑，，為上的兩點，且在直徑的兩側，連接，以為邊作平行四邊形．（1）求證：為的切線；（2）若，，求的長．【答案】（1）見解析（2）10【解析】【分析】本題考查了圓的切線判定，圓周角的性質，平行四邊形的性質以及三角函數的應用，解題的關鍵是熟練運用圓的相關性質以及平行四邊形的性質進行推理和計算．（1）連接，利用圓中半徑相等得到，再由平行四邊形對邊平行的性質得出，進而推出，因為是半徑且，所以為的切線；（2）連接，連接，則，得到，由直徑所對的圓周角是直角，可知，最后在中，由，求出的長度．【小問1詳解】解：連接，，，，，四邊形是平行四邊形，，，是的半徑，是的切線；【小問2詳解】解：連接，則，，，是的直徑，，，，，．22.如圖1，正方形中，，點為邊上的點，為的垂直平分線，垂足為，交邊于點，交邊于點，將繞點順時針旋轉得到線段，連接．（1）四邊形形狀為___________；（2）若四邊形為菱形時，求的長；（3）如圖2，點在上運動過程中，當點三點共線時，判斷之間的數量關系，并說明理由．【答案】（1）平行四邊形；（2）；（3），理由見解析．【解析】【分析】（1）先證明，則，由旋轉得，，故，由得到，即可證明；（2）連接，證明，則，設，則，在中，，在中，，即可建立方程求解；（3）過點作，在上截取，連接，證明，可得，在中，，在中，，則．【小問1詳解】解：過點F作于點T，則，∵四邊形是正方形，∴，∴，∴四邊形為矩形，∴，由題意得，∴，∵，∴，∴，由旋轉得，，∴，∵，∴，∴四邊形為平行四邊形；【小問2詳解】解：連接，為的垂直平分線，，又四邊形為菱形，，，又四邊形為正方形，，，，設，則，在中，，在中，，，（舍），；【小問3詳解】解：，理由如下：過點作，在上截取，連接，，，，，，當點三點共線時，則，在中，，在中，，．【點睛】本題考