2024-2025學年江蘇省蘇州市九年級上學期期中數學檢測試卷（一）一、選擇題（本大題共8小題，每題3分，共24分）1．（3分）cos60°的值等于（）A． B． C． D．2．（3分）關于一元二次方程x2+4x+4＝0根的情況，下列說法中正確的是（）A．有兩個不相等的實數根 B．有兩個相等的實數根 C．沒有實數根 D．無法確定3．（3分）關于拋物線y＝﹣x2+x+2，下列結論正確的是（）A．拋物線開口向上 B．當x＜1時，y隨x的增大而減小 C．拋物線的對稱軸是直線 D．函數y＝﹣x2+x+2的最大值為24．（3分）為執行國家藥品降價政策，給人民群眾帶來實惠，某藥品經過兩次降價，每瓶零售價由100元降為64元，求平均每次降價的百分率．設平均每次降價的百分率為x，可列方程得（）A．100（1﹣x）2＝64 B．100（1+x）2＝64 C．100（1﹣2x）＝64 D．100（1+2x）＝645．（3分）若A（﹣4，y1），B（﹣3，y2），C（1，y3）為二次函數y＝ax2+4ax+a（a＞0）的圖象上的三點，則y1，y2，y3的大小關系是（）A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y3＜y26．（3分）函數y＝ax2﹣a與y＝ax﹣a（a≠0）在同一坐標系中的圖象可能是（）A． B． C． D．7．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB邊上的高，CE是AB邊上的中線，AD＝3，CE＝5，則tan∠BCE的值為（）A． B． C． D．8．（3分）如圖，O為坐標原點，邊長為1的正方形OABC的頂點A在x軸的正半軸上，將正方形OABC繞頂點O順時針旋轉75°，使點B落在某拋物線上，則該拋物線的解析式為（）A．y＝x2 B．y＝﹣x2 C．y＝﹣x2 D．y＝﹣3x2二、填空題（本大題共8小題每小題3分，共24分）9．（3分）二次函數y＝x2﹣2x+5圖象的頂點坐標為．10．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，，BC＝12，則AC＝．11．（3分）若關于x的一元二次方程x2+3x+m＝0有一個根為x1＝﹣4，則另一根為x2＝．12．（3分）若m是方程x2+x﹣1＝0的一個根，則代數式﹣2m+2025﹣2m2的值為．13．（3分）如圖，在4×4網格正方形中，每個小正方形的邊長為1，頂點為格點，若△ABC的頂點均是格點，則sin∠BAC的值為．14．（3分）為了使居住環境更加美觀，某小區建造了一個小型噴泉，水流從地面上的點O噴出，在各個方向上沿形狀相同的拋物線落到地面，某方向上拋物線的形狀如圖所示，落點A到點O的距離為4，水流噴出的高度y（m）與水平距離x（m）之間近似滿足函數關系式，則水流噴出的最大高度為．15．（3分）已知二次函數y＝ax2+2ax+b，當﹣5≤x≤﹣3時，y≥0；當﹣1≤x≤1時，y≤0，則b與a滿足的關系式是．16．（3分）如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的頂點A、C分別是直線與坐標軸的交點，點B（﹣2，0），點D是邊AC上的一點，DE⊥BC，垂足為E，點F在AB邊上，且D、F兩點關于y軸上某點成中心對稱，連接DF、EF．線段EF長度的最小值為．三、解答題（本大題共10小題，共82分）17．（8分）解方程：（1）2x2﹣7x+3＝0；（2）9x2﹣（x﹣1）2＝0．18．（6分）計算：4sin30°+|1﹣tan60°|﹣cos45°．19．（6分）已知二次函數y＝x2+3mx+2m2﹣1（m為常數）．（1）若點（0，1）在該函數圖象上，求m的值；（2）求證：不論m為何值，該二次函數圖象與x軸總有2個公共點．20．（8分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足為點D，BC＝18，AD＝6．（1）求sinB的值；（2）點E在AB上，且BE＝2AE，過E作EF⊥BC，垂足為點F，求DE的長．21．（8分）在一元二次方程x2﹣2ax+b＝0中，若a2﹣b＞0，則稱a是該方程的中點值．（1）方程x2﹣8x+3＝0的中點值是．（2）已知x2﹣mx+n＝0的中點值是3，其中一個根恰好等于n，求n的值．22．（8分）已知二次函數y＝ax2+4ax+3a（a為常數）．（1）若二次函數的圖象經過點（2，3），求函數y的表達式．（2）在（1）的條件下，當﹣1≤x≤2時，求函數y的最大值和最小值．（3）若二次函數在﹣3≤x≤1時有最大值8，求a的值．23．（8分）通過學習三角函數，我們知道在直角三角形中，一個銳角的大小與兩條邊長的比值相互唯一確定，因此邊長與角的大小之間可以相互轉化．類似的，可以在等腰三角形中建立邊角之間的聯系．我們定義：等腰三角形中底邊與腰的比叫做頂角的正對（sad）．如圖①：在△ABC中，AB＝AC，頂角A的正對記作sadA，這時sadA＝，容易知道一個角的大小與這個角的正對值也是相互唯一確定的．根據上述角的正對定義，解下列問題：（1）sad60°＝．（2）對于0°＜A≤90°，∠A的正對值sadA的取值范圍是．（3）如圖②，已知cosA＝，其中∠A為銳角，試求sadA的值．24．（10分）如圖，拋物線y＝﹣x2+2x+3交y軸于點A，點B是x軸正半軸上一動點，點P為拋物線在第一象限的點，其縱坐標為，OC∥BP交x軸上方的拋物線于點C，經過C，P的直線交y軸于點E，交x軸于點F．（1）點P的坐標為；（2）當點C與點A重合時，求OF的長；（3）當OB＝BF，且∠CEO＝∠COE時，設△BFP，四邊形OBPC，△OEC的面積分別為S1，S2，S3，則S1：S2：S3＝．25．（10分）根據以下素材，完成探索任務．問題的提出根據以下提供的素材，在總費用（新墻的建筑費用與門的價格和）不高于6400元的情況下，如何設計最大飼養室面積的方案？素材1：圖1是某農場擬建兩間矩形飼養室，飼養室的一面靠現有墻，中間用一道墻隔開，計劃中建筑材料可建圍墻的總長為20m，開2個門，且門寬均為1m．素材2：2個門要求同一型號，有關門的采購信息如表．如表型號ABC規格（門寬）1米1.2米1米單價（元）250280300素材3：與現有墻平行方向的墻建筑費用為400元/米，與現有墻垂直方向的墻建筑費用為200元/米．問題解決任務1確定飼養室的形狀設AB＝x，矩形ABCD的面積為S，求S關于x的函數表達式．任務2探究自變量x的取值范圍．任務3確定設計方案我的設計方案是選型號門，AB＝m，BC＝m，S的最大值為m2．26．（10分）如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+c經過點A（0，3），B（1，0），其對稱軸為直線l：x＝2，過點A作AC∥x軸交拋物線于點C，∠AOB的平分線交線段AC于點E，點P是拋物線上的一個動點，設其橫坐標為m．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，動點P在直線BC下方的拋物線上，連接PO，PC，當m為何值時，四邊形OPCE面積最大，并求出其最大值；（3）如圖2，F是拋物線的對稱軸l上的一點，連接PO，PF，OF，在拋物線x軸下方的圖象上是否存在點P使△POF滿足：①∠OPF＝90°；②？若存在，求點P的坐標，若不存在，請說明理由．

答案與試題解析一、選擇題（本大題共8小題，每題3分，共24分）1．（3分）cos60°的值等于（）A． B． C． D．【分析】根據特殊角的三角函數值，即可解答．解：cos60°＝，故選：D．【點評】本題考查了特殊角的三角函數值，熟練掌握特殊角的三角函數值是解題的關鍵．2．（3分）關于一元二次方程x2+4x+4＝0根的情況，下列說法中正確的是（）A．有兩個不相等的實數根 B．有兩個相等的實數根 C．沒有實數根 D．無法確定【分析】求出方程判別式Δ的值，判斷其與0的大小關系，再判斷每個選項的說法正確與否即可．解：根據題意有，Δ＝42﹣4×1×4＝0，∴方程有兩個相等的實數根．故選：B．【點評】本題考查了根的判別式，熟練掌握一元二次方程根的判別式的應用是解本題的關鍵，難度不大，仔細審題即可．3．（3分）關于拋物線y＝﹣x2+x+2，下列結論正確的是（）A．拋物線開口向上 B．當x＜1時，y隨x的增大而減小 C．拋物線的對稱軸是直線 D．函數y＝﹣x2+x+2的最大值為2【分析】把函數配方為頂點式，運用性質逐一判斷即可．解：拋物線y＝﹣x2+x+2＝﹣（x﹣）2+，由于a＝﹣1＜0，開口向下，選項A不正確；拋物線的對稱軸是直線x＝﹣＝，故選項C正確；所以當x＜時，y隨x的增大而減小，故選項B不正確；函數y＝﹣x2+x+2的最大值為，選項D不正確．故選：C．【點評】題考查二次函數的性質，e二次函數的最值，熟練掌握二次函數的性質是解題的關鍵．4．（3分）為執行國家藥品降價政策，給人民群眾帶來實惠，某藥品經過兩次降價，每瓶零售價由100元降為64元，求平均每次降價的百分率．設平均每次降價的百分率為x，可列方程得（）A．100（1﹣x）2＝64 B．100（1+x）2＝64 C．100（1﹣2x）＝64 D．100（1+2x）＝64【分析】設該藥品平均每次降價的百分率為x，根據降價后的價格＝降價前的價格×（1﹣降價的百分率），則第一次降價后的價格是100（1﹣x），第二次降價后的價格是100（1﹣x）2，據此即可列方程求解．解：根據題意得：100（1﹣x）2＝64，故選：A．【點評】此題主要考查了一元二次方程的應用，關鍵是根據題意找到等式兩邊的平衡條件，這種價格問題主要解決價格變化前后的平衡關系，列出方程即可．5．（3分）若A（﹣4，y1），B（﹣3，y2），C（1，y3）為二次函數y＝ax2+4ax+a（a＞0）的圖象上的三點，則y1，y2，y3的大小關系是（）A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y3＜y2【分析】先求出拋物線對稱軸解析式，再根據點A、B、C到對稱軸的距離的大小與拋物線的增減性解答．解：二次函數y＝ax2+4ax+a（a＞0）的對稱軸為直線x＝﹣＝﹣2，∵a＞0，∴拋物線開口向上，∵點A、B、C到對稱軸的距離分別為2、1、3，∴y2＜y1＜y3．故選：B．【點評】本題考查了二次函數圖象上點的坐標特征，主要利用了二次函數的增減性，求出對稱軸解析式是解題的關鍵．6．（3分）函數y＝ax2﹣a與y＝ax﹣a（a≠0）在同一坐標系中的圖象可能是（）A． B． C． D．【分析】分a＞0與a＜0兩種情況考慮兩函數圖象的特點，再對照四個選項中圖形即可得出結論．解：①當a＞0時，二次函數y＝ax2﹣a的圖象開口向上、對稱軸為y軸、頂點在y軸負半軸，一次函數y＝ax﹣a（a≠0）的圖象經過第一、三、四象限，且兩個函數的圖象交于y軸同一點；②當a＜0時，二次函數y＝ax2﹣a的圖象開口向下、對稱軸為y軸、頂點在y軸正半軸，一次函數y＝ax﹣a（a≠0）的圖象經過第一、二、四象限，且兩個函數的圖象交于y軸同一點．對照四個選項可知D正確．故選：D．【點評】本題考查了一次函數的圖象以及二次函數圖象與系數的關系，根據二次函數及一次函數系數找出其大概圖象是解題的關鍵．7．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB邊上的高，CE是AB邊上的中線，AD＝3，CE＝5，則tan∠BCE的值為（）A． B． C． D．【分析】由直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半得AE＝BE＝CE，由BE＝CE得∠BCE＝∠BEC，通過勾股定理求出CD長，然后求解．解：∵CE是AB邊上的中線，CE＝5，∴AE＝BE＝5，AB＝10，∴∠BCE＝∠EBC，∵AD＝3，∴BD＝AB﹣AD＝7，DE＝AE﹣AD＝2，在Rt△CDE中，由勾股定理得：CD＝＝＝，∴tan∠BCE＝tan∠EBC＝＝．故選：B．【點評】本題考查解直角三角形，解題關鍵是熟練掌握直角三角形的性質及解直角三角形的方法．8．（3分）如圖，O為坐標原點，邊長為1的正方形OABC的頂點A在x軸的正半軸上，將正方形OABC繞頂點O順時針旋轉75°，使點B落在某拋物線上，則該拋物線的解析式為（）A．y＝x2 B．y＝﹣x2 C．y＝﹣x2 D．y＝﹣3x2【分析】過點B向x軸引垂線，連接OB，可得OB的長度，進而得到點B的坐標，代入二次函數解析式即可求解．解：如圖，作BE⊥x軸于點E，連接OB，∵正方形OABC繞頂點O順時針旋轉75°，∴∠AOE＝75°，∵∠AOB＝45°，∴∠BOE＝30°，∵OA＝1，∴OB＝，∵∠OEB＝90°，∴BE＝OB＝，∴OE＝，∴點B坐標為（，﹣），設拋物線的解析式為y＝ax2（a＜0），代入y＝ax2（a＜0）得a＝﹣，∴y＝﹣x2．故選：B．【點評】本題考查用待定系數法求函數解析式，關鍵是利用正方形的性質及相應的三角函數得到點B的坐標．二、填空題（本大題共8小題每小題3分，共24分）9．（3分）二次函數y＝x2﹣2x+5圖象的頂點坐標為（1，4）．【分析】把二次函數解析式化為頂點式可求得答案．解：∵y＝x2﹣2x+5＝（x﹣1）2+4，∴二次函數圖象的頂點坐標為（1，4），故（1，4）．【點評】本題主要考查二次函數的性質，掌握二次函數的頂點式是解題的關鍵，即在y＝a（x﹣h）2+k中，對稱軸為x＝h，頂點坐標為（h，k）．10．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，，BC＝12，則AC＝16．【分析】先利用三角函數求出AB的長，在根據勾股定理可以求解．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴，即，∴AB＝20，由勾股定理得：，故16．【點評】此題考查了三角函數的應用，解題的關鍵是正確理解正弦函數和勾股定理的應用．11．（3分）若關于x的一元二次方程x2+3x+m＝0有一個根為x1＝﹣4，則另一根為x2＝1．【分析】由方程的另一個根為x2，結合根與系數的關系可得出﹣4+x2＝﹣3，從而可得答案．解：∵x1＝﹣4，方程的另一個根為x2，∴﹣4+x2＝﹣3，∴x2＝1．故1．【點評】本題考查了一元二次方程的根與系數的關系，熟記、是解本題的關鍵．12．（3分）若m是方程x2+x﹣1＝0的一個根，則代數式﹣2m+2025﹣2m2的值為2023．【分析】利用一元二次方程根的定義得到m2+m﹣1＝0，然后把m2+m＝1代入﹣2m+2025﹣2m2中進行整式的運算即可．解：∵m是方程x2+x﹣1＝0的一個根，∴m2+m﹣1＝0，∴m2+m＝1，∴﹣2m+2025﹣2m2＝2025﹣2（m2+m）＝2025﹣2＝2023．故2023．【點評】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數的值是一元二次方程的解．利用整體代入的方法解決此類問題．13．（3分）如圖，在4×4網格正方形中，每個小正方形的邊長為1，頂點為格點，若△ABC的頂點均是格點，則sin∠BAC的值為．【分析】連接BD，CD，由tan∠ACK＝tan∠DCM＝，得到∠ACK＝∠DCM，由∠DCM+∠DCK＝180°，得到∠ACK+∠DCK＝180°，推出A、C、D共線，由勾股定理的逆定理推出∠BDC＝90°，由勾股定理求出BD＝，AB＝＝5，即可求出sin∠BAC＝＝．解：連接BD，CD，∵tan∠ACK＝tan∠DCM＝，∴∠ACK＝∠DCM，∵∠DCM+∠DCK＝180°，∴∠ACK+∠DCK＝180°，∴A、C、D共線，∵CD2＝BD2＝22+12，BC2＝32+12，∴BC2＝BD2+CD2，∴∠BDC＝90°，∵BD＝，AB＝＝5，∴sin∠BAC＝＝．故．【點評】本題考查解直角三角形，關鍵是通過作輔助線構造直角三角形，應用銳角的正弦定義求解．14．（3分）為了使居住環境更加美觀，某小區建造了一個小型噴泉，水流從地面上的點O噴出，在各個方向上沿形狀相同的拋物線落到地面，某方向上拋物線的形狀如圖所示，落點A到點O的距離為4，水流噴出的高度y（m）與水平距離x（m）之間近似滿足函數關系式，則水流噴出的最大高度為m．【分析】先確定點A的坐標，進而可求出a的值，得到函數關系式，利用配方法或頂點公式可求出水流噴出的最大高度．解：由題意，得點A的坐標為（4，0），將A（4，0）代入得0＝16a+×4，解得a＝，∴函數關系式為y＝x2+x，∵y＝x2+x＝，∴水流噴出的最大高度為m．故m．【點評】本題考查二次函數的應用，掌握待定系數法和求二次函數的最值的方法是解題的關鍵．15．（3分）已知二次函數y＝ax2+2ax+b，當﹣5≤x≤﹣3時，y≥0；當﹣1≤x≤1時，y≤0，則b與a滿足的關系式是b＝﹣3a．【分析】先求出拋物線的對稱軸為直線x＝﹣1．利用拋物線的對稱性得到x＝﹣3和x＝1時，函數值相等，從而可判斷拋物線經過點（1，0），然后把（1，0）代入y＝ax2+2ax+b得a、b的關系．解：∵拋物線的對稱軸為直線x＝﹣＝﹣1，∴x＝﹣3和x＝1時，函數值相等，而當﹣5≤x≤﹣3時，y≥0；當﹣1≤x≤1時，y≤0，∴x＝﹣3時，y＝0；x＝1時，y＝0，即拋物線經過點（1，0），把（1，0）代入y＝ax2+2ax+b得a+2a+b＝0，∴b＝﹣3a．故b＝﹣3a．【點評】本題考查了二次函數圖象與系數的關系：二次項系數a決定拋物線的開口方向和大小．當a＞0時，拋物線向上開口；當a＜0時，拋物線向下開口；拋物線的對稱軸為直線x＝﹣：當a與b同號時，對稱軸在y軸左；當a與b異號時，對稱軸在y軸右．常數項c決定拋物線與y軸交點：拋物線與y軸交于（0，c）．16．（3分）如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的頂點A、C分別是直線與坐標軸的交點，點B（﹣2，0），點D是邊AC上的一點，DE⊥BC，垂足為E，點F在AB邊上，且D、F兩點關于y軸上某點成中心對稱，連接DF、EF．線段EF長度的最小值為．【分析】過點F，D分別作FG，DH垂直于y軸，垂足分別為G，H，證明Rt△FGK≌Rt△DHK，由全等三角形的性質得出FG＝DH，可求出F（﹣m，﹣2m+4），根據勾股定理得出L＝EF2＝8m2﹣16m+16＝8（m﹣1）2+8，由二次函數的性質可得出答案．解：過點F，D分別作FG，DH垂直于y軸，垂足分別為G，H，則∠FGK＝∠DHK＝90°，記FD交y軸于點K，∵D點與F點關于y軸上的K點成中心對稱，∴KF＝KD，∵∠FKG＝∠DKH，∴Rt△FGK≌Rt△DHK，∴FG＝DH，∵直線AC的解析式為，∴x＝0時，y＝4，∴A（0，4），又∵B（﹣2，0），設直線AB的解析式為y＝kx+b，∴，解得，∴直線AB的解析式為y＝2x+4，過點F作FR⊥x軸于點R，∵D點的橫坐標為m，∴F（﹣m，﹣2m+4），∴ER＝2m，FR＝﹣2m+4，∵EF2＝FR2+ER2，∴l＝EF2＝8m2﹣16m+16＝8（m﹣1）2+8，令，得，∴．∴當m＝1時，l的最小值為8，∴EF的最小值為．【點評】本題考查了待定系數法求解析式，二次函數的最值，數形結合是本題的突破口．三、解答題（本大題共10小題，共82分）17．（8分）解方程：（1）2x2﹣7x+3＝0；（2）9x2﹣（x﹣1）2＝0．【分析】（1）（2）利用因式分解法解方程．解：（1）2x2﹣7x+3＝0，因式分解得：（x﹣3）（2x﹣1）＝0，∴x﹣3＝0或2x﹣1＝0，∴x1＝3，x2＝；（2）∵9x2﹣（x﹣1）2＝0，因式分解得：（3x+x﹣1）（3x﹣x+1）＝0，∴4x﹣1＝0或2x+1＝0，∴x1＝，x2＝﹣．【點評】此題考查了解一元二次方程﹣因式分解法，解題的關鍵是結合方程的特點選擇適合的方法．18．（6分）計算：4sin30°+|1﹣tan60°|﹣cos45°．【分析】將sin30°＝，tan60°＝，cos45°＝代入求解即可得出答案．解：∵sin30°＝，tan60°＝，cos45°＝，∴原式＝2+﹣1﹣1＝．【點評】此題考查了特殊角的三角函數值，及絕對值的知識，解答本題的關鍵是掌握一些特殊角度的三角函數值，難度一般．19．（6分）已知二次函數y＝x2+3mx+2m2﹣1（m為常數）．（1）若點（0，1）在該函數圖象上，求m的值；（2）求證：不論m為何值，該二次函數圖象與x軸總有2個公共點．【分析】（1）將（0，1）代入函數表達式，即可求解；（2）由Δ＞0，即可求解．（1）解：將（0，1）代入函數表達式得：2m2﹣1＝1，解得：m＝±1；（2）證明：Δ＝b2﹣4ac＝9m2﹣4（2m2﹣1）＝m2+4＞0，故不論m為何值，該二次函數圖象與x軸總有2個公共點．【點評】此題主要考查了二次函數的性質，解答此題的關鍵是熟練掌握二次函數與x軸有兩個交點的條件．20．（8分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足為點D，BC＝18，AD＝6．（1）求sinB的值；（2）點E在AB上，且BE＝2AE，過E作EF⊥BC，垂足為點F，求DE的長．【分析】（1）先利用等腰三角形三線合一的性質求出BD，然后在Rt△ABD中，利用勾股定理求出AB，再根據sinB＝計算即可；（2）由EF∥AD，BE＝2AE，可得＝＝＝，求出EF、DF，再利用勾股定理解決問題．解：（1）∵AB＝AC，AD⊥BC，BC＝18，∴BD＝DC＝BC＝9，∴AB＝＝＝3，∴sinB＝＝＝；（2）∵AD⊥BC，EF⊥BC，∴EF∥AD，∴＝＝＝，∴EF＝AD＝×6＝4，BF＝BD＝×9＝6，∴DF＝BD﹣BF＝9﹣6＝3，在Rt△DEF中，DE＝＝＝5．【點評】本題考查了勾股定理，解直角三角形，等腰三角形的性質，平行線分線段成比例定理等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考常考題型．21．（8分）在一元二次方程x2﹣2ax+b＝0中，若a2﹣b＞0，則稱a是該方程的中點值．（1）方程x2﹣8x+3＝0的中點值是4．（2）已知x2﹣mx+n＝0的中點值是3，其中一個根恰好等于n，求n的值．【分析】（1）利用方程的中點值求解，即可解答；（2）先根據方程的中點值的定義可得＝3，從而可得：m＝6，進而可得x2﹣6x+n＝0，然后把x＝n代入方程x2﹣6x+n＝0中得：n2﹣6n+n＝0，從而進行計算即可解答．解：（1）∵（）2﹣3＝42﹣3＝16﹣3＝13＞0，∴方程x2﹣8x+3＝0的中點值是4，故4；（2）由題意得：＝3，解得：m＝6，∴方程可化為：x2﹣6x+n＝0，把x＝n代入方程x2﹣6x+n＝0中得：n2﹣6n+n＝0，即n2﹣5n＝0，n（n﹣5）＝0，解得：n＝0或n＝5．【點評】本題考查了解一元二次方程﹣因式分解法，一元二次方程的解，理解定義的新運算是解題的關鍵．22．（8分）已知二次函數y＝ax2+4ax+3a（a為常數）．（1）若二次函數的圖象經過點（2，3），求函數y的表達式．（2）在（1）的條件下，當﹣1≤x≤2時，求函數y的最大值和最小值．（3）若二次函數在﹣3≤x≤1時有最大值8，求a的值．【分析】（1）利用待定系數法即可求得；（2）拋物線開口向上，頂點為最低點，x＝﹣1時y取最小值0，x＝2時y取最大值3．（3）求得拋物線的對稱軸為直線x＝﹣2，即可根據題意得到x＝1時，y＝8或﹣a＝8，即可得到a＝1或a＝﹣8．解：（1）∵二次函數的圖象經過點（2，3），∴3＝4a+8a+3a，∴a＝，∴函數y的表達式為y＝x2+x+．（2）∵y＝x2+x+＝（x+2）2﹣，∴拋物線開口向上，頂點為（﹣2，﹣），∴x＝﹣1時，y＝（﹣1+2）2﹣＝0，當x＝2時，y＝（2+2）2﹣＝3，∴當﹣1≤x≤2時，函數y的最大值是3，最小值0．（3）∵y＝ax2+4ax+3a＝a（x+2）2﹣a，∴拋物線對稱軸為直線x＝﹣2，∵二次函數在﹣3≤x≤1時有最大值8，∴x＝1時，y＝8或﹣a＝8，∴a+4a+3a＝8，∴a＝1或a＝﹣8．∴a的值是1或﹣8．【點評】本題考查了待定系數法求二次函數的解析式，二次函數圖象上點的坐標特征，二次函數的性質，二次函數的最值，解題關鍵是熟練掌握二次函數的性質．23．（8分）通過學習三角函數，我們知道在直角三角形中，一個銳角的大小與兩條邊長的比值相互唯一確定，因此邊長與角的大小之間可以相互轉化．類似的，可以在等腰三角形中建立邊角之間的聯系．我們定義：等腰三角形中底邊與腰的比叫做頂角的正對（sad）．如圖①：在△ABC中，AB＝AC，頂角A的正對記作sadA，這時sadA＝，容易知道一個角的大小與這個角的正對值也是相互唯一確定的．根據上述角的正對定義，解下列問題：（1）sad60°＝1．（2）對于0°＜A≤90°，∠A的正對值sadA的取值范圍是0＜sadA≤．（3）如圖②，已知cosA＝，其中∠A為銳角，試求sadA的值．【分析】（1）當頂角為60°時，可求出等腰三角形底角度數，進而得到該三角形為等邊三角形，從而得出sad60°的值；（2）可分別根據當∠A接近0°時和當∠A＝90°時，分別討論，就可得出sadA的取值范圍；（3）設AB＝13a，AC＝12a，則BC＝5a，要求sadA的值，就要構造等腰三角形，即在AB上取點D，使AD＝AC＝12a，連接CD，作DH⊥AC于點H，用a表示出DH和AH的長，從而得出CH的長，再根據勾股定理就可得出CD的長，再利用sadA的定義就可得出答案．解：（1）根據正對定義，當頂角為60°時，等腰三角形底角為60°，則三角形為等邊三角形，則sad60°＝＝1．故1；（2）當∠A接近0°時，sadA接近0，當∠A＝90°時，等腰三角形的底等于腰的倍，故sadA＝，∴sadA的取值范圍是0＜sadA≤．故0＜sadA≤；（3）如圖△ACB為直角三角形．設AB＝13a，AC＝12a，則BC＝5a，∴sinA＝，在AB上取點D，使AD＝AC＝12a，連接CD，作DH⊥AC于點H，則DH＝AD?sinA＝12a×＝a，AH＝AD?cosA＝12a×＝a，∴CH＝12a﹣a＝a∴CD＝＝＝a，由正對的定義可得：sadA＝＝．【點評】本題屬于三角形綜合題，考查了解直角三角形，頂角A的正對的定義等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．24．（10分）如圖，拋物線y＝﹣x2+2x+3交y軸于點A，點B是x軸正半軸上一動點，點P為拋物線在第一象限的點，其縱坐標為，OC∥BP交x軸上方的拋物線于點C，經過C，P的直線交y軸于點E，交x軸于點F．（1）點P的坐標為（2.5，）；（2）當點C與點A重合時，求OF的長；（3）當OB＝BF，且∠CEO＝∠COE時，設△BFP，四邊形OBPC，△OEC的面積分別為S1，S2，S3，則S1：S2：S3＝1：3：4．【分析】（1）把y＝代入解析式y＝﹣x2+2x+3中，利用點P為拋物線在第一象限的點，進而得出點P的坐標即可；（2）當點C與點A重合時，畫出圖形，利用利用A，P坐標得出直線AP的解析式，令y＝0得出點F的坐標，進而解答即可；（3）利用相似三角形的性質解答即可．解：（1）∵點P為拋物線在第一象限的點，其縱坐標為，把y＝代入解析式y＝﹣x2+2x+3中，可得：x＝﹣0.5（舍去），x＝2.5，∴點P的坐標為（2.5，）；故（2.5，）；（2）當點C與點A重合時，如備用圖：∵OC∥BP，∴直線CP即為直線AP，設直線AP的解析式為：y＝kx+b，把（0，3），（2.5，）代入y＝kx+b中，可得：，解得：，∴直線AP的解析式為：y＝﹣0.5x+3，令y＝0，可得：x＝6∴OF＝6．（3）∵OC∥BP，∴△BPF∽△OCF，∵OB＝BF，∴，∴S1：S2＝1：3，∵∠CEO＝∠COE，∴CE＝OC，∵OB＝BF，OC∥BP，∴CP＝PF，∴EC＝CF，∴，∴S2：S3＝1：1，∴S1：S2：S3＝1：3：4，故1：3：4．【點評】此題考查的是二次函數的綜合題，解題關鍵是利用待定系數法、直線與坐標軸的交點、相似的判定和性質等知識解答．25．（10分）根據以下素材，完成探索任務．問題的提出根據以下提供的素材，在總費用（新墻的建筑費用與門的價格和）不高于6400元的情況下，如何設計最大飼養室面積的方案？素材1：圖1是某農場擬建兩間矩形飼養室，飼養室的一面靠現有墻，中間用一道墻隔開，計劃中建筑材料可建圍墻的總長為20m，開2個門，且門寬均為1m．素材2：2個門要求同一型號，有關門的采購信息如表．如表型號ABC規格（門寬）1米1.2米1米單價（元）250280300素材3：與現有墻平行方向的墻建筑費用為400元/米，與現有墻垂直方向的墻建筑費用為200元/米．問題解決任務1確定飼養室的形狀設AB＝x，矩形ABCD的面積為S，求S關于x的函數表達式．任務2探究自變量x的取值范圍．任務3確定設計方案我的設計方案是選型號A門，AB＝m，BC＝m，S的最大值為m2．【分析】任務一：先根據題中條件寫BC的長，即可求出S關于x的函數表達式；任務二：先根據1＜BC≤16，解出2≤x＜7，寫出新墻建筑費用的代數式，然后分選用型號A門和型號C門兩種情況，利用總費用不高于6400元，分別求出x的取值范圍即可；任務三：先把函數表達式配成頂點式，然后根據x的取值范圍和圖象開口方向即可求出面積的最大值．解：任務1：根據題意可得BC＝20+2﹣3x＝（22﹣3x）m，∴S＝AB?BC＝x（22﹣3x）＝﹣3x2+22x；任務2：由題意知1＜BC≤16，即1＜22﹣3x≤16，解得：2≤x＜7，根據題意可得：新墻建筑費用＝200（3x﹣1）+400（21﹣3x）＝（8200﹣600x）元，若選型號A門，則總費用＝8200﹣600x+500＝（8700﹣600x）元，∵總費用不高于6400元，∴8700﹣600x≤6400，解得：x≥，∴≤x＜7；若選型號C門，則總費用＝8200﹣600x+600＝（8800﹣600x）元，∵總費用不高于6400元，∴8800﹣600x≤6400，解得：x≥4，∴4≤x＜7；綜上所述：當選型號A門時，自變量x的取值范圍為：≤x＜7，當選型號C門時，自變量x的取值范圍為：4≤x＜7；任務3：由任務1知S＝﹣3x2+22x＝﹣3（x﹣）2+，∵﹣3＜0，圖象開口向下，且＜＜4，∴當x＝時，面積S有最大值，最大值為，此時BC＝22﹣3×＝（m），∴我的設計方案是選型號A門，AB＝m，BC＝m，S的最大值為m2；故A，，，．【點評】本題考查的是二次函數的實際應用，解題關鍵：一是列出S關于x的函數表達式，二是配成頂點式．26．（10分）如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+c經過點A（0，3），B（1，0），其對稱軸為直線l：x＝2，過點A作AC∥x軸交拋物線于點C，∠AOB的平分線交線段AC于點E，點P是拋物線上的一個動點，設其橫坐標為m．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，動點P在直線BC下方的拋物線上，連接PO，PC，當m為何值時，四邊形OPCE面積最大，并求出其最大值；（3）如圖2，F是拋物線的對稱軸l上的一點，連接PO，PF，OF，在拋物線x軸下方的圖象上是否存在點P使△POF滿足：①∠OPF＝90°；②？若存在，求點P的坐標，若不存在，請說明理由．【分析】（1）由題意得：，解之即可求解；（2）四邊形OPCE面積S＝S△OCE+S△OCP＝×EF×AC+PH×AC，即可求解；（3）證明△PMO∽△FNP，而，則△PMO和△FNP的相似比為2：1，即OM＝2PN，即可求解．解：（1）由題意得：，解得，故拋物線的表達式為：y＝x2﹣4x+3；（2）點A（0，3），函數的對稱軸為直線x＝2，則點C（4，3），∵OE是∠AOB的平分線，故∠AOE＝45°，則△AOE為等腰直角三角形，故AE＝OA＝3，故點E（3，3）；連接OC，過點E、P分別作y軸的平行線分別交OC于點F、H，由點O、C的坐標得，直線OC的表達式為：y＝x，當x＝3時，y＝，故F（3，），則EF＝3﹣＝，設點P（m，m2﹣4m+3），則點H（m，m），則四邊形OPCE面積S＝S△OCE+S△OCP＝×EF×AC+PH×AC＝×4×（+m﹣m2+4m﹣3）＝﹣2m2+m﹣，∵﹣2＜0，故S有最大值，當m＝時，S的最大值為；（3）存在，理由：過點P作x軸的平行線交y軸于點M，交直線l于點N，設點P（m，m2﹣4m+3），∵∠OPF＝90°，則∠MOP+∠MPO＝90°，∠OPM+∠FPN＝90°，∵∠FPN＝∠POM，∴△PMO∽△FNP，∵，即△PMO和△FNP的相似比為2：1，則OM＝2PN，即﹣（m2﹣4m+3）＝2|2﹣m|，解得：m＝3﹣或1+，故點P的坐標為（3﹣，2﹣2）或（1，2﹣2）．【點評】本題考查的是二次函數綜合運用，涉及到一次函數的性質、三角形相似、面積的計算等，綜合性強，難度適中．著作權屬所有，未經書面同意，不得復制發布日期：2024/9/207:36:18；用戶：試用號；；2024-2025學年江蘇省蘇州市九年級上學期期中數學檢測試卷（二）一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分.在所給出的四個選項中，有且僅有一項是符合題目要求的，請將正確選項的字母代號填寫在答題卡相應位置上）1．（3分）下列方程為一元二次方程的是（）A．2x﹣x2＝4 B．2x+y＝22 C．x3+2x﹣1＝0 D．2．（3分）若線段MN的長為2cm，點P是線段MN的黃金分割點，則最短的線段MP的長為（）A．（﹣1）cm B．cm C．（3﹣）cm D．cm3．（3分）用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0，下列變形結果正確的是（）A．（x﹣2）2＝1 B．（x﹣2）2＝7 C．（x﹣4）2＝1 D．（x﹣4）2＝74．（3分）下列說法正確的是（）A．等弧所對的圓周角相等 B．平分弦的直徑垂直于弦 C．相等的圓心角所對的弧相等 D．圓是軸對稱圖形，任何一條直徑都是它的對稱軸5．（3分）如圖，AB為⊙O的直徑，C，D為⊙O上兩點，∠BCD＝40°，則∠ABD的度數為（）A．20° B．40° C．50° D．60°6．（3分）用圖中兩個可自由轉動的轉盤做游戲：分別旋轉兩個轉盤，轉出的兩個數字之積為6的概率是（）A． B． C． D．7．（3分）如圖，邊長為1的小正方形網格中，點A、B、C、E在格點上，連接AE、BC，點D在BC上且滿足AD⊥BC，則∠AED的正切值是（）A． B．7 C． D．8．（3分）如圖，四邊形ABCD為矩形，AB＝6，BC＝8，點P是線段BC上一動點，DM⊥AP，垂足為M，則BM的最小值為（）A．5 B． C． D．二、填空題（本大題共10小題，每小題3分，共30分.不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在答題卡相應位置上）9．（3分）一個正多邊形的中心角為36°，則它的邊數是．10．（3分）關于x的一元二次方程mx2﹣4x﹣1＝0有兩個不相等的實數根，則m的取值范圍是．11．（3分）小明用]，計算一組數據的方差，那么x1+x2+x3+…+x10＝．12．（3分）在△ABC中，若，∠A，∠B都是銳角，則△ABC是三角形．13．（3分）某人沿著坡度的山坡走了150米，則他離地面的高度上升了米．14．（3分）一個直角三角形的兩條直角邊長是方程x2﹣7x+12＝0的兩個根，則此直角三角形的內切圓的半徑為．15．（3分）已知圓錐的母線長為4，底面半徑為2，則圓錐的側面積為．16．（3分）如圖，AB是⊙O的直徑，點D在AB的延長線上，DC切⊙O于點C，若∠D＝36°，則∠A的度數為．17．（3分）如圖，點A、B、C、D在網格中小正方形的頂點處，AD與BC相交于點O，若小正方形的邊長為1，則DO的長為．18．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝8，CA＝6，⊙C半徑為4，P為圓上一動點，連接AP，BP，的最小值為．三、解答題（本大題共10題，共96分，請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）19．（8分）（1）解方程：（x﹣2）2﹣5＝0；（2）計算：tan60°cos30°﹣3sin245°．20．（8分）關于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0．（1）求證：方程總有兩個實數根；（2）若方程有一個根小于2，求k的取值范圍．21．（8分）近年來，共享單車逐漸成為高校學生喜愛的“綠色出行”方式之一，某高校為了解本校學生出行使用共享單車的情況，隨機調查了某天50名出行學生使用共享單車次數的情況，并整理成如下統計表．使用次數12345人數81311126（1）這50名出行學生使用共享單車次數的中位數是，眾數是；（2）這天中，這50名出行學生平均每人使用共享單車多少次？22．（8分）為慶祝神舟十五號載人飛船發射成功，某中學組織志愿者周末到社區進行航天航空知識宣講活動，現有A、B、C、D四名同學報名參加．（1）若從這四人中隨機選取一人，恰好選中A同學參加活動的概率是；（2）若從這四人中隨機選取兩人，請用列表或畫樹狀圖的方法求恰好選中A、B兩名同學參加活動的概率．23．（10分）如圖中的小方格都是邊長為1的正方形，△ABC的頂點和O點都在正方形的頂點上．（1）以點O為位似中心，在方格圖中將△ABC放大為原來的2倍，得到△A′B′C′；（2）將△A'B'C'繞點B′順時針旋轉90°；畫出旋轉后得到的△A″B'C″；（3）在（2）的旋轉過程中，求邊A'C'．24．（10分）某面店銷售某種商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，元旦期間，該店決定采取降價措施，經過市場調查發現，每降價5元，日銷售量可以增加10件．（1）若降價10元，則平均每天的銷售量為件．（2）當每件商品降價多少元時，該商店每天銷售利潤為1050元？25．（10分）如圖，AB是⊙O的直徑，AC、CD是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足為E，連接BD并延長，與過點A的直線AM相交于點P，且∠CAB＝∠APB．（1）求證：AM是⊙O的切線；（2）若⊙O的半徑為5，AC＝8，求線段PD的長．26．（10分）如圖是小朋友玩的“滾鐵環”游戲的示意圖，⊙O向前滾動時，鐵棒DE保持與OE垂直．⊙O與地面接觸點為A，若⊙O的半徑為25cm，∠AOE＝53°．（1）求點E離地面AC的距離BE的長；（2）設人站立點C與點A的距離AC＝53cm，DC⊥AC，求鐵棒DE的長．（參考數據：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6）27．（12分）已知，矩形ABCD中，點F在CD上，連接BF交AC于點E．（1）若AC⊥BF于點E，如圖1．①證明：△ACD∽△CBE；②若DF＝AB，求∠BAC的度數；（2）若，點F是CD的中點，連接AF，如圖2，求sin∠CAF的值．28．（12分）在平面直角坐標系xOy中，圖形W上任意兩點間的距離若有最大值，將這個最大值記為d．對于點P和圖形W給出如下定義：點Q是圖形W上任意一點，若P，Q兩點間的距離有最小值，且最小值恰好為d，則稱點P為圖形W的“關聯點”．（1）如圖1，圖形W是矩形AOBC，其中點A的坐標為（0，3），點C的坐標為（4，3），則d＝，在點P1（﹣1，0），P2（2，8），P3（3，1），中，矩形AOBC的“關聯點”是．（2）如圖2，圖形W是中心在原點的正方形DEFG，其中D點的坐標為（1，1）．若直線y＝x+b上存在點P，使點P為正方形DEFG的“關聯點”．求b的取值范圍；（3）已知點，圖形W是以T（t，0）為圓心，1為半徑的⊙T．若線段MN上存在點P，使點P為⊙T的“關聯點“，直接寫出t的取值范圍．答案與試題解析一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分.在所給出的四個選項中，有且僅有一項是符合題目要求的，請將正確選項的字母代號填寫在答題卡相應位置上）1．（3分）下列方程為一元二次方程的是（）A．2x﹣x2＝4 B．2x+y＝22 C．x3+2x﹣1＝0 D．【分析】根據一元二次方程的定義對各選項進行分析即可．解：A、2x﹣x2＝4是一元二次方程，符合題意；B、2x+y＝22是二元一次方程，不符合題意；C、x3+2x﹣1＝0是一元三次方程，不符合題意；D、x+＝6是分式方程，不符合題意．故選：A．【點評】本題考查的是一元二次方程的定義，只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的整式方程叫一元二次方程．2．（3分）若線段MN的長為2cm，點P是線段MN的黃金分割點，則最短的線段MP的長為（）A．（﹣1）cm B．cm C．（3﹣）cm D．cm【分析】較長的線段MP的長為xcm，則較短的線段長是（2﹣x）cm．根據黃金分割的定義即可列方程求解．解：較長的線段MP的長為xcm，則較短的線段長是（2﹣x）cm．則x2＝2（2﹣x），解得x＝﹣1或﹣﹣1（舍去）．較短的線段長是2﹣（﹣1）＝3﹣（cm）故選：C．【點評】本題考查了黃金分割，與一元二次方程的解法，正確理解黃金分割的定義是關鍵．3．（3分）用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0，下列變形結果正確的是（）A．（x﹣2）2＝1 B．（x﹣2）2＝7 C．（x﹣4）2＝1 D．（x﹣4）2＝7【分析】首先移項，再進行配方，方程左右兩邊同時加上一次項系數一半的平方，即可變形成左邊是完全平方，右邊是常數的形式．解：x2﹣4x﹣3＝0，∴x2﹣4x+4＝3+4，即（x﹣2）2＝7，故選：B．【點評】本題考查了用配方法解一元二次方程，熟練掌握配方法是解題的關鍵．4．（3分）下列說法正確的是（）A．等弧所對的圓周角相等 B．平分弦的直徑垂直于弦 C．相等的圓心角所對的弧相等 D．圓是軸對稱圖形，任何一條直徑都是它的對稱軸【分析】根據圓周角定理、垂徑定理及圓的對稱性分別判斷后即可確定正確的選項．解：A、等弧所對的圓周角相等，正確，符合題意；B、平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，故原命題錯誤，不符合題意；C、同圓或等圓中相等的圓心角所對的弧相等，故原命題錯誤，不符合題意；D、圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在的直線都是它的對稱軸，故原命題錯誤，不符合題意，故選：A．【點評】考查了圓周角定理、垂徑定理及圓的對稱性等知識，解題的關鍵是了解有關性質或定理，難度不大．5．（3分）如圖，AB為⊙O的直徑，C，D為⊙O上兩點，∠BCD＝40°，則∠ABD的度數為（）A．20° B．40° C．50° D．60°【分析】連接AC，如圖，先利用圓周角定理得到∠ACB＝90°，則利用互余計算出∠ACD＝50°，然后再利用圓周角定理得到∠ABD的度數．解：連接AC，如圖，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠ACD＝90°﹣∠BCD＝90°﹣40°＝50°，∴∠ABD＝∠ACD＝50°．故選：C．【點評】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．6．（3分）用圖中兩個可自由轉動的轉盤做游戲：分別旋轉兩個轉盤，轉出的兩個數字之積為6的概率是（）A． B． C． D．【分析】畫樹狀圖，共有4種等可能的結果，其中轉出的兩個數字之積為6的結果有2種，再由概率公式求解即可．解：畫樹狀圖如下：共有4種等可能的結果，其中轉出的兩個數字之積為6的結果有2種，∴轉出的兩個數字之積為6的概率為＝，故選：A．【點評】本題考查的是用樹狀圖法求概率．樹狀圖法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，適合兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識點為：概率＝所求情況數與總情況數之比．7．（3分）如圖，邊長為1的小正方形網格中，點A、B、C、E在格點上，連接AE、BC，點D在BC上且滿足AD⊥BC，則∠AED的正切值是（）A． B．7 C． D．【分析】連接OD，證明點A、D、B、E在以O為圓心，1為半徑的同一個圓上，把求∠AED的正切值轉化為求∠ABC的正切值．解：連接OD，∵AD⊥BC，O是AB中點，∴，∴OD＝OA＝OE＝OD∴點A、D、B、E在以O為圓心，1為半徑的同一個圓上，∴∠ABC＝∠AED，∴．故選：A．【點評】本題考查了解直角三角形，掌握四點共圓的證明及三角函數的應用是解題關鍵，其中連接OD，證明點A、D、B、E在以O為圓心，1為半徑的同一個圓上是本題的難點．8．（3分）如圖，四邊形ABCD為矩形，AB＝6，BC＝8，點P是線段BC上一動點，DM⊥AP，垂足為M，則BM的最小值為（）A．5 B． C． D．【分析】首先得出點M在O點為圓心，以AO為半徑的圓上，然后得到當直線BM過圓心O時，BM最短，從而利用勾股定理計算出答案．解：設AD的中點為O，以O點為圓心，AO為半徑畫圓，∵四邊形ABCD為矩形，AB＝6，BC＝8，∴AD＝BC＝8，∵DM⊥AP，∴點M在O點為圓心，以AO為半徑的圓上，連接OB交圓O與點N，∵點B為圓O外一點，∴當直線BM過圓心O時，BM最短，∵BO2＝AB2+AO2，，∴BO2＝36+16＝52，∴，∵．故選：D．【點評】本題考查直角三角形、圓的性質，勾股定理，直徑所對圓周角是直角等知識，解題的關鍵是熟練掌握直角三角形和圓的相關知識．二、填空題（本大題共10小題，每小題3分，共30分.不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在答題卡相應位置上）9．（3分）一個正多邊形的中心角為36°，則它的邊數是10．【分析】一個正多邊形的中心角都相等，且所有中心角的和是360度，用360度除以中心角的度數，就得到中心角的個數，即多邊形的邊數．解：由題意可得：邊數為360°÷36°＝10，則它的邊數是10．【點評】根據多邊形中心角的個數與邊數之間的關系解題，本題是一個基本的問題．10．（3分）關于x的一元二次方程mx2﹣4x﹣1＝0有兩個不相等的實數根，則m的取值范圍是m＞﹣4且m≠0．【分析】根據一元二次方程根的判別式即可求解．解：關于x的一元二次方程mx2﹣4x﹣1＝0有兩個不相等的實數根，∴Δ＝（﹣4）2﹣4×m×（﹣1）＝16+4m＞0且m≠0，解得m＞﹣4且m≠0，故m＞﹣4且m≠0．【點評】本題主要考查一元二次方程根的判別式，熟記根的判別式是解題關鍵．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關系：①當Δ＞0時，方程有兩個不相等的兩個實數根；②當Δ＝0時，方程有兩個相等的兩個實數根；③當Δ＜0時，方程無實數根．11．（3分）小明用]，計算一組數據的方差，那么x1+x2+x3+…+x10＝30．【分析】根據計算方差的公式能夠確定數據的個數和平均數，從而求得所有數據的和．解：∵]，∴平均數為3，共10個數據，∴x1+x2+x3+…+x10＝10×3＝30，故30．【點評】本題考查了方差的知識，牢記方差公式是解答本題的關鍵，難度不大．12．（3分）在△ABC中，若，∠A，∠B都是銳角，則△ABC是等邊三角形．【分析】直接利用特殊角的三角函數值得出∠A＝60°，∠B＝60°，進而得出答案．解：∵，∴sinA＝，cosB＝，∴∠A＝60°，∠B＝60°，∴△ABC是等邊三角形．故等邊．【點評】此題主要考查了特殊角的三角函數值，正確記憶相關數據是解題關鍵．13．（3分）某人沿著坡度的山坡走了150米，則他離地面的高度上升了75米．【分析】根據正切的定義求出山坡的坡角，根據含30°角的直角三角形的性質計算即可．解：設山坡的坡角為α，∵山坡的坡度為1：，∴tanα＝＝，則α＝30°，∴他離地面的高度為：×150＝75（米），故75．【點評】本題考查的是解直角三角形的應用﹣坡度坡角問題，掌握坡度與坡角的關系是解題的關鍵．14．（3分）一個直角三角形的兩條直角邊長是方程x2﹣7x+12＝0的兩個根，則此直角三角形的內切圓的半徑為1．【分析】先解一元二次方程，根據勾股定理解得三角形的斜邊，利用直角三角形內切圓的半徑等于兩直角邊之和與斜邊之差的一半，可得結果．解：解方程x2﹣7x+12＝0得，x1＝3，x2＝4，由勾股定理得，斜邊為5，∴此直角三角形的內切圓的半徑為＝＝1，故1．【點評】本題主要考查了因式分解法解一元二次方程，熟記直角三角形內切圓的半徑等于兩直角邊之和與斜邊之差的一半是解答此題的關鍵．15．（3分）已知圓錐的母線長為4，底面半徑為2，則圓錐的側面積為8π．【分析】求出圓錐的底面圓周長，利用公式S＝LR即可求出圓錐的側面積．解：圓錐的底面圓周長為2π2＝4π，則圓錐的側面積為×4π×4＝8π．故答案為8π．【點評】本題考查了圓錐的計算，能將圓錐側面展開是解題的關鍵，并熟悉相應的計算公式．16．（3分）如圖，AB是⊙O的直徑，點D在AB的延長線上，DC切⊙O于點C，若∠D＝36°，則∠A的度數為27°．【分析】如圖所示，連接OC，利用切線的性質得到∠OCD＝90°，根據三角形內角和定理得到∠DOC＝54°，即可利用圓周角定理求出∠A的度數．解：如圖所示，連接OC，∵DC是⊙O的切線，∴∠OCD＝90°，∵∠D＝36°，∴∠DOC＝180°﹣∠D﹣∠OCD＝54°，∴，故27°．【點評】本題主要考查了切線的性質，圓周角定理，三角形內角和定理，熟知切線的性質與圓周角定理是解題的關鍵．17．（3分）如圖，點A、B、C、D在網格中小正方形的頂點處，AD與BC相交于點O，若小正方形的邊長為1，則DO的長為3．【分析】連接AE，證明四邊形AECB是平行四邊形得AE∥BC，由勾股定理得AD＝5，從而有AD＝DE＝5，然后利用等腰三角形的性質可得∠DAE＝∠DEA，再利用平行線的性質可得∠DOC＝∠DCO，進而可得DO＝DC＝3．解：如圖，連接AE，∵AB∥EC，AB＝EC＝2，∴四邊形AECB是平行四邊形，∴AE∥BC，∵，DE＝5，∴AD＝DE＝5，∴∠DAE＝∠DEA，∵AE∥BC，∴∠DAE＝∠DOC，∠DEA＝∠DCO，∴∠DOC＝∠DCO，∴DO＝DC＝3，故3．【點評】本題考查了平行四邊形的判定及性質，等腰三角形的判定與性質，勾股定理，根據題目的已知條件并結合圖形添加適當的輔助線是解題的關鍵．18．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝8，CA＝6，⊙C半徑為4，P為圓上一動點，連接AP，BP，的最小值為．【分析】連接CP，在CB上取點D，使CD＝2，連接AD、PD，則有，然后根據相似三角形判定的方法，判斷出△PCD∽△BCP，即可推導出，再應用勾股定理，求出AP+BP的最小值即可，解：連接CP，在CB上取點D，使CD＝2，連接AD、PD，∵，∠PCD＝∠BCP，∴△PCD∽△BCP，∴，∴，∴，∴當點A、P、D在同一條直線時，的值最小，在Rt△ACD中，∵CD＝2，CA＝6，∴，∴的值最小為，故．【點評】此題考查了最短路線問題，兩點之間線段最短，以及勾股定理的應用，正確輔助線并判斷出AD的長度即為所求的最小值是解題的關鍵．三、解答題（本大題共10題，共96分，請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）19．（8分）（1）解方程：（x﹣2）2﹣5＝0；（2）計算：tan60°cos30°﹣3sin245°．【分析】（1）移項，利用直接開平方法即可求解；（2）把特殊角的三角函數值代入計算即可求解；解：（1）移項得，（x﹣2）2＝5，開平方得，，∴，；（2）原式＝，＝，＝，＝0．【點評】本題考查了實數的運算，解一元二次方程﹣直接開方法，特殊角的三角函數值的混合運算，熟記特殊角的三角函數值及掌握直接開平方法是解題的關鍵．20．（8分）關于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0．（1）求證：方程總有兩個實數根；（2）若方程有一個根小于2，求k的取值范圍．【分析】（1）計算一元二次方程根的判別式，根據根的判別式進行判斷即可得證；（2）根據公式法求得方程的解，得出x1＝2，x2＝k+1，根據題意列出不等式，解不等式即可求解．（1）證明：關于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0，∴a＝1，b＝﹣（k+3），c＝2k+2，∵b2﹣4ac＝[﹣（k+3）]2﹣4×1×（2+2k）＝k2﹣2k+1＝（k﹣1）2≥0，∴此方程總有兩個實數根；（2）解：∵x2﹣（k+3）x+2k+2＝0，∵Δ＝（k﹣1）2，∴，解得：x1＝2，x2＝k+1，∵方程有一個根小于2，∴k+1＜2，解得k＜1．【點評】本題考查了一元二次方程根的判別式，解一元二次方程，熟練掌握一元二次方程根的情況與判別式的關系是解題的關鍵．21．（8分）近年來，共享單車逐漸成為高校學生喜愛的“綠色出行”方式之一，某高校為了解本校學生出行使用共享單車的情況，隨機調查了某天50名出行學生使用共享單車次數的情況，并整理成如下統計表．使用次數12345人數81311126（1）這50名出行學生使用共享單車次數的中位數是3，眾數是2；（2）這天中，這50名出行學生平均每人使用共享單車多少次？【分析】（1）根據中位數的概念求解可得；（2）利用加權平均數的概念列式計算可得；解：（1）這50名出行學生使用共享單車次數的中位數是＝3（次），眾數為2，故3，2；（2）這50名出行學生平均每人使用共享單車×（1×8+2×13+3×11+4×12+5×6）＝2.9（次）．【點評】本題考查了中位數、平均數的概念以及利用樣本平均數估計總體．抓住概念進行解題，難度不大，但是中位數一定要先將所給數據按照大小順序重新排列后再求，以免出錯．22．（8分）為慶祝神舟十五號載人飛船發射成功，某中學組織志愿者周末到社區進行航天航空知識宣講活動，現有A、B、C、D四名同學報名參加．（1）若從這四人中隨機選取一人，恰好選中A同學參加活動的概率是；（2）若從這四人中隨機選取兩人，請用列表或畫樹狀圖的方法求恰好選中A、B兩名同學參加活動的概率．【分析】（1）根據概率計算公式求解即可；（2）先列出表格得到所有的等可能性的結果數，再找到恰好選中A、B兩名同學參加活動的結果數，最后依據概率計算公式求解即可．解：（1）∵一共有4個人，每個人被選取的概率相同，∴從這四人中隨機選取一人，恰好選中A同學參加活動的概率是，故．（2）列表如下：ABCDA（A，B）（A，C）（A，D）B（B，A）（B，C）（B，D）C（C，A）（C，B）（C，D）D（D，A）（D，B）（D，C）由表格可知一共有12種等可能性的結果數，其中恰好選中A、B兩名同學參加活動的結果數有2種，∴恰好選中A、B兩名同學參加活動的概率＝．【點評】本題主要考查了簡單的概率計算，樹狀圖或列表法求解概率，靈活運用所學知識是解題的關鍵．23．（10分）如圖中的小方格都是邊長為1的正方形，△ABC的頂點和O點都在正方形的頂點上．（1）以點O為位似中心，在方格圖中將△ABC放大為原來的2倍，得到△A′B′C′；（2）將△A'B'C'繞點B′順時針旋轉90°；畫出旋轉后得到的△A″B'C″；（3）在（2）的旋轉過程中，求邊A'C'．【分析】（1）連接AO、BO、CO并延長到2AO、2BO、2CO長度找到各點的對應點，順次連接即可．（2）△A′B′C′的A′、C′繞點B′順時針旋轉90°得到對應點，順次連接即可；（3）根據扇形面積公式，利用邊A′C′在旋轉過程中掃過的圖形面積＝S扇形C′B′C″﹣S扇形A′B′A″進行計算即可．解：（1）如圖，△A′B′C′為所作；（2）如圖，△A″B′C″為所作；（3）∵B′C′＝6，A′B′＝＝2，∴邊A′C′在旋轉過程中掃過的圖形面積＝S扇形C′B′C″﹣S扇形A′B′A″＝﹣＝4π．【點評】本題考查了作圖﹣位似變換，作圖﹣旋轉變換，扇形面積的計算，解題的關鍵是掌握位似變換，旋轉變換的性質，24．（10分）某面店銷售某種商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，元旦期間，該店決定采取降價措施，經過市場調查發現，每降價5元，日銷售量可以增加10件．（1）若降價10元，則平均每天的銷售量為40件．（2）當每件商品降價多少元時，該商店每天銷售利潤為1050元？【分析】（1）根據每降價5元，日銷售量可以增加10件，求解即可；（2）設每件商品降價x元，根據該商店每天銷售利潤為1050元，列一元二次方程，求解即可．解：（1）根據題意，得20+10×＝40（件），故40；（2）設每件商品降價x元，根據題意，得（40﹣x）（20+）＝1050，解得x1＝5，x2＝25，答：當每件降價5元或25元時，該商店每天銷售利潤為1050元．【點評】本題考查了一元二次方程的應該，理解題意并根據題意建立等量關系是解題的關鍵．25．（10分）如圖，AB是⊙O的直徑，AC、CD是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足為E，連接BD并延長，與過點A的直線AM相交于點P，且∠CAB＝∠APB．（1）求證：AM是⊙O的切線；（2）若⊙O的半徑為5，AC＝8，求線段PD的長．【分析】（1）首先證明AM∥CD，根據平行線的性質得到AB⊥AM，再根據切線的判定定理證明結論即可；（2）連接AD，根據勾股定理可求出BD，證明△BDA≌△BAP，再根據相似三角形的性質計算，即可求得線段PD的長．（1）證明：由圓周角定理得：∠CAB＝∠CDB，∵∠CAB＝∠APB，∴∠CDB＝∠APB，∴AM∥DC，∵CD⊥AB，∴AB⊥AM，∵OA是⊙O的半徑，∴AM是⊙O的切線；（2）解：如圖，連接AD，∵AB是⊙O的直徑，CD⊥AB，∴CE＝DE，∴AD＝AC＝8，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，AB＝2×5＝10，∴，∵∠BDA＝∠BAP＝90°，∠B＝∠B，∴△BDA∽△BAP，∴，即，解得：，∴．【點評】本題考查了切線的判定和性質、圓周角定理及推論、垂徑定理、勾股定理、相似三角形的判定和性質，掌握經過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線是解題的關鍵．26．（10分）如圖是小朋友玩的“滾鐵環”游戲的示意圖，