中考數(shù)學一模試卷一、選擇題（本大題共6題，每題4分，滿分24分）【下列各題的四個選項中，有且只有一個選項是正確的，選擇正確項的代號并填涂在答題紙的相應位置上】1．（4分）在比例尺為1：500的圖紙上，量得一座塔的高是2.2厘米，那么它實際的高度是（）A．11米 B．110米 C．22米 D．220米2．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果sinA=12，那么cosA．32 B．12 C．333．（4分）下列圖形，相似的一組是（）A．兩個直角三角形 B．兩個等腰三角形 C．有一個內(nèi)角為80°的兩個菱形 D．邊長分別是2厘米和3厘米的兩個菱形4．（4分）在平面直角坐標系xOy中，如果點(13，a)、(A．a(chǎn)＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．b＜a＜c5．（4分）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD＝AD，∠B＝60°，設AB→=a→，AD→A．DC→=a→?b→ B．6．（4分）如圖，已知△ABC，∠ACB＝90°，BC＝2AC，延長AC至點D，使AD＝AB，以CD為邊作正方形CDEF，聯(lián)結(jié)BD、BE，BD交EF于點G．某同學得到以下兩個結(jié)論：①G是線段EF的黃金分割點；②S△BGE關于結(jié)論①和②，下列說法正確的是（）A．①正確②錯誤 B．①錯誤②正確 C．①和②都錯誤 D．①和②都正確二、填空題（本大題共12題，每題4分，滿分48分）【請將結(jié)果直接填入答題紙的相應位置上】7．（4分）已知a3=b4=8．（4分）計算：a→+19．（4分）計算：sin245°?2sin60°10．（4分）如果二次函數(shù)y＝（m﹣1）x2+m的圖象開口向下，那么m的取值范圍是．11．（4分）如圖，O是四邊形ABCD內(nèi)一點，點E、F、G、H分別在線段AO、BO、CO、DO上，如果EF∥AB，F(xiàn)G∥BC，GH∥CD，且EF＝2，AB＝5，AD＝6，那么EH的長是．12．（4分）在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝（x﹣1）2+2關于y軸對稱的拋物線的表達式為．13．（4分）在平面直角坐標系xOy中，將拋物線y＝a（x﹣m）2+k先向左平移3個單位，再向上平移4個單位，所得到的新拋物線的對稱軸方程是x＝﹣1，那么原拋物線的頂點的橫坐標是．14．（4分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E分別是邊AB、AC的中點，如果BC＝4，△ADE的面積是5，那么∠ACD的正切值是．15．（4分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，tanB=34，D是斜邊AB上任意一點，聯(lián)結(jié)CD，點E、F分別是△ACD、△BCD的重心，那么四邊形CEDF的面積是16．（4分）在數(shù)學活動課上，需要用三角形紙片裁剪出一張正方形紙片．如圖，現(xiàn)有三角形紙片（△ABC），已知∠ACB＝90°，AC＝40cm，BC＝30cm．裁剪出的正方形CDEF的一個頂點是直角頂點C，其余三個頂點D、E、F分別在邊AC、AB、BC上，那么正方形的邊長是cm．17．（4分）一個二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點（t，0），則稱t的值是這個函數(shù)的“零點”．例如：二次函數(shù)y＝a（x﹣3）（x+2）（a≠0），無論a取何值，這個函數(shù)的圖象總經(jīng)過點（3，0）和點（﹣2，0），所以3和﹣2是這個函數(shù)的“零點”．如果一個二次函數(shù)有且只有一個“零點”﹣1，那么這個二次函數(shù)的解析式可以是．（寫出一個符合要求的函數(shù)解析式即可）18．（4分）如圖，已知△ABC，AB＝AC＝4，∠B＝30°，D是邊BC的中點，線段AB繞點D順時針旋轉(zhuǎn)得到對應線段A′B′，線段A′B′與邊AC、BC分別交于點E、F．如果△EFC是直角三角形，那么AE的長是．三、解答題（本大題共7題，滿分78分）19．（10分）一副三角尺由兩塊直角三角尺組成，其中一塊是含30°角的直角三角形，另一塊是含45°角的直角三角形．用這兩塊三角尺可以拼成一個四邊形ABCD（如圖），設AB＝a．（1）用含a的代數(shù)式直接表示：AD＝．（2）求∠BDC的正切值．20．（10分）為了方便居民出入小區(qū)，小區(qū)業(yè)委會決定對大門口的一段斜坡進行改造．原坡面是矩形ABCD（如圖1），AB＝4米，AD＝2米，斜坡AB的坡角為30°．計劃將斜坡AB改造成坡比為1：2.5的斜坡AE（如圖2所示），坡面的寬度AD不變．（1）求改造后斜面底部延伸出來的部分（BE）的長度；（2）改建這條斜坡需要多少立方米的混凝土材料？21．（10分）在平面直角坐標系xOy中，已知A（﹣1，n），B（5，n）是拋物線y＝a（x﹣m）2+k（a＞0）上的兩點．（1）m＝；（2）如果該拋物線與x軸交于點C、D（點C在點D的右側(cè)），且CD＝4，四邊形ABCD的面積是25，求這個拋物線的表達式．22．（10分）如圖，正方形ABCD的邊長是3，點E、F分別在邊AD、CD上，∠EBF＝45°，BE、BF分別與對角線AC交于點G、H．（1）當∠ABE＝°時，AG＝CH，先補全條件，再說明理由；（2）如果CH=2，求BG23．（12分）學完“相似三角形”之后，小明和同學嘗試探索相似四邊形的判定與性質(zhì)，以下是他們的思考，請你和他們一起完成探究過程．【定義】如果兩個四邊形的四個角對應相等，四條邊對應成比例，那么這兩個四邊形相似．兩個相似四邊形的對應邊的比，叫做這兩個四邊形的相似比．【思考】類比相似三角形，對相似四邊形的判定與性質(zhì)提出了許多猜測，如：①四條邊對應成比例，且有一組角對應相等的兩個四邊形相似；②四個角對應相等，且有兩條相鄰的邊對應成比例的兩個四邊形相似；③相似四邊形的面積的比等于相似比的平方．……【探究】請完成上述猜測中第③個結(jié)論的證明．已知：如圖，四邊形ABCD與四邊形A′B′C′D′相似，點A、B、C、D分別與點A′、B′、C′、D′對應，四邊形ABCD與四邊形A′B′C′D′的相似比為k．求證：S四邊形ABCD證明：【運用】同學們通過討論，證明了上述猜測都是正確的．試運用這些結(jié)論，解決問題：如圖，已知矩形ABCD，E、F分別是邊AD、AB上的點，AE=12AB，AF=12AD，聯(lián)結(jié)BE、DF交于點24．（12分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y＝ax2+4的頂點為D，點A、B在拋物線上，且都在y軸右側(cè)，橫坐標分別是m、m+1．（1）聯(lián)結(jié)AD、BD，求cot∠ODA﹣cot∠ODB的值（結(jié)果用含a的代數(shù)式表示）；（2）如果y軸上存在點C，使得AC⊥BC，且AC＝BC，①求拋物線的表達式；②若AB=10，點E在y軸上，且△ADE與△ABC相似，求點E25．（14分）如圖，已知△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，AC＝3，點E、F分別在邊AC、AB上（不與端點重合），BE⊥CF，垂足為點D．（1）當CE＝1時，求AF的長；（2）當BE＝CF時，求tan∠CBE值；（3）聯(lián)結(jié)EF，如果△AEF是直角三角形，求這時四邊形BCEF的面積．

一．選擇題（共6小題）題號123456答案ABCABD一、選擇題（本大題共6題，每題4分，滿分24分）【下列各題的四個選項中，有且只有一個選項是正確的，選擇正確項的代號并填涂在答題紙的相應位置上】1．【答案】A【解答】解：∵比例尺=圖上距離實際距離，∴實際距離1100厘米＝11米．故選：A．2．【答案】B【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∴cosB＝sinA=1故選：B．3．【答案】C【解答】解：A、兩個直角三角形不一定相似，不符合題意；B、兩個等腰三角形不一定相似，不符合題意；C、有一個內(nèi)角為80°的兩個菱形對應邊成比例，對應角相等，相似，符合題意；D、邊長分別為2厘米和3厘米的兩個菱形對應角不一定相等，故不一定相似，不符合題意．故選：C．4．【答案】A【解答】解：∵拋物線y=23x∴x＞0時，y隨x的增大而增大，∵點(13，a)、(32∴a＜b＜c．故選：A．5．【答案】B【解答】解：如圖，過點A作AH∥CD交BC于點H．在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD＝AD，∴∠B＝∠C＝60°，∵AH∥CD，∴∠AHB＝∠C＝60°，∴△ABH是等邊三角形，∴AB＝BH，∵AD∥CH，AH∥CD，∴四邊形ADCH是平行四邊形，∴AD＝CH＝BH，∴BC→=2∴DC→=DA故選：B．6．【答案】D【解答】解：①∵在△ABC，∠ACB＝90°，BC＝2AC，∴設AC＝a，則BC＝2a，由勾股定理得：AB=A∴AD＝AB=5∴CD＝AD﹣AC=(5∵四邊形CDEF正方形，∴CD＝DE＝EF＝CF=(5?1)a，BC∥∴BF＝BC﹣CF=2a?(5∵BC∥DE，∴△BFG∽△DEG，∴FGEG∴FGEG∴G是線段EF的黃金分割點，故結(jié)論①正確；②∵FGEG∴設FG=(5?1)k，EG＝2∵FG+EG＝EF=(5∴（(5解得：k=(3?∴FG=(5?1)k=(25?4)a，EG∴S△BGE=12EG?BFS△BDE=12DC?CD=1∴S△BGE又∵S△BGF=12FG?BFS△DEG=12DE?EG∴S△BGFS△DEG∴S△BGE故結(jié)論②正確，綜上所述：結(jié)論①和②都正確．故選：D．二、填空題（本大題共12題，每題4分，滿分48分）【請將結(jié)果直接填入答題紙的相應位置上】7．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：∵a3∴設a＝3k，b＝4k，c＝5k，∴2a+bc故答案為：2．8．【答案】23【解答】解：原式=a故答案為：239．【答案】0．【解答】解：原式＝（22）2=12?＝0，故答案為：0．10．【答案】m＜1．【解答】解：∵二次函數(shù)y＝（m﹣1）x2+m的圖象開口向下，∴m﹣1＜0，∴m＜1．故答案為：x＜1．11．【答案】125【解答】解：∵EF∥AB，且EF＝2，AB＝5，∴△OEF∽△OAB，∴OEOA∵GH∥CD，F(xiàn)G∥BC，∴OHOD∵OHOD=OEOA，且∠EOH＝∠∴△OEH∽△OAD，∴EHAD∴EH=25AD=2∴故答案為：12512．【答案】y＝（x+1）2+2．【解答】解：∵拋物線y＝（x﹣1）2+2的頂點為（1，2），頂點關于y軸對稱的點的坐標為（﹣1，2），∴拋物線y＝（x﹣1）2+2關于y軸對稱的拋物線的表達式為y＝（x+1）2+2．故答案為：y＝（x+1）2+2．13．【答案】2．【解答】解：根據(jù)“上加下減，左加右減”的原則，將拋物線y＝a（x﹣m）2+k先向左平移3個單位，再向上平移4個單位，所得到的新拋物線的解析式為y＝a（x﹣m+3）2+k+4，∵所得到的新拋物線的對稱軸方程是x＝﹣1，∴m﹣3＝﹣1，∴m＝2，∴拋物線y＝a（x﹣2）2+k的頂點的橫坐標為2．故答案為：2．14．【答案】25【解答】解：∵D、E分別是邊AB、AC的中點，∴DE是△ABC的中位線，∴DE∥BC，DE=1又∵∠ACB＝90°，BC＝4，∴∠AED＝90°，DE＝2，∴DE垂直平分AC，∴DA＝DC，∴∠ACD＝∠A．∵△ADE的面積是5，∴12則AE＝5，∴AC＝2AE＝10．在Rt△ABC中，tanA=BC∴tan∠ACD＝tanA=2故答案為：2515．【答案】8．【解答】解：在Rt△ACB中，tanB=AC∵AC＝6，tanB=3∴BC＝8，∴S△ABC∴S△ACD+S△BCD＝24．連接AE，BF并延長，與CD分別交于點M，N，∵E，F(xiàn)分別為△ACD和△BCD的重心，∴點M為CD中點，點N為CD中點，∴M，N重合．∵點E為△ACD的重心，∴AE＝2EM，∴S△ADE＝2S△DEM，S△ACE＝2S△CEM，∴S△CDE同理可得，S△CDF∴S△CDE即四邊形CEDF的面積為8．故答案為：8．16．【答案】1207【解答】解：設正方形CDEF的邊長為xcm，則CD＝DE＝xcm，∵四邊形ABCD為正方形，∴DE∥CF，∴△ADE∽△ACB，∴ADAC=DE解得x=120即正方形的邊長為1207cm故答案為：120717．【答案】y＝（x+1）2，答案不唯一．【解答】解：∵一個二次函數(shù)有且只有一個“零點”﹣1，∴這個二次函數(shù)的解析式可以是y＝（x+1）2，答案不唯一．故答案為：y＝（x+1）2，答案不唯一．18．【答案】3+1【解答】解：連接AD，∵AB＝AC＝4，D是BC中點，∴AD⊥BC，即∠ADB＝90°，BD＝CD，∵∠B＝30°，∴∠BAD＝60°，AD=12AB=2，BD＝CD＝AB∵線段AB繞點D順時針旋轉(zhuǎn)得到對應線段A′B′，∴△ABD≌△A'B'D，∴∠BAD＝∠A'＝60°，∠B＝∠B'＝30°，A'D＝AD＝2，BD＝B'D＝23，①當∠FEC＝90°時，∵∠C＝30°，∴∠EFC＝60°＝∠DFA'，∴△A'DF是等邊三角形，∴DF＝A'D＝2，∴CF＝CD﹣DF＝23?2∴CE＝CF?cos30°＝3?3∴AE＝AC﹣CE＝4﹣（3?3）=②當∠EFC＝90°時，此時∠A'FD＝90°，在Rt△A'FD中，A'D＝2，∠A'＝60°，∴DF＝A'D?sin60°=3∴CF＝CD﹣FD=3在Rt△EFC中，∠C＝30°，∴CE=CF∴AE＝AB﹣CE＝2．三、解答題（本大題共7題，滿分78分）19．【答案】（1）26（2）23【解答】解：（1）在Rt△ABC中，cos∠BAC=AB∵AB＝a，∴AC=2在Rt△ACD中，cos∠CAD=AC∴AD=2故答案為：26（2）過點B作CD的垂線，垂足為M，∵AB＝a，且△ABC是等腰直角三角形，∴BC＝AB＝a．∵∠BCA＝45°，∠ACD＝90°，∴∠BCM＝45°，∴△BCM是等腰直角三角形，∴BM＝CM=2在Rt△ACD中，tan∠CAD=CD∴CD=3∴DM＝CM+CD=2在Rt△BDM中，tan∠BDC=BM20．【答案】（1）改造后斜面底部延伸出來的部分（BE）的長度為（5﹣23）米；（2）改建這條斜坡需要（10﹣43）立方米的混凝土材料．【解答】解：（1）過A作AH⊥EB交EB的延長線于H，∵∠ABH＝30°，AB＝4米，∴AH=12AB=2（米），BH=3在Rt△AEH中，∵AHEH∴EH＝2.5AH＝2.5×2＝5（米），∴BE＝EH﹣BH＝（5﹣23）米，答：改造后斜面底部延伸出來的部分（BE）的長度為（5﹣23）米；（2）∵S△ABE=12BE?AH=12×∴（5﹣23）×AD＝（5﹣23）×2＝（10﹣43）立方米，答：改建這條斜坡需要（10﹣43）立方米的混凝土材料．21．【答案】（1）2．（2）y＝（x﹣2）2﹣4．【解答】解：（1）∵A（﹣1，n），B（5，n）是拋物線y＝a（x﹣m）2+k上的兩點，∴m=?1+5故答案為：2．（2）由（1）得，拋物線的解析式為y＝a（x﹣2）2+k，對稱軸為直線x＝2，∵該拋物線與x軸交于點C、D，∴點C，D關于直線x＝2對稱，∵CD＝4，∴D（0，0），C（4，0）．∵A（﹣1，n），B（5，n），∴n＞0，AB＝6，AB∥CD．∵四邊形ABCD的面積是25，∴12解得n＝5，∴A（﹣1，5）．將D（0，0），A（﹣1，5）代入y＝a（x﹣2）2+k，得4a+k=09a+k=5解得a=1k=?4∴這個拋物線的表達式為y＝（x﹣2）2﹣4．22．【答案】（1）22.5°；理由見解答過程；（2）310【解答】解：（1）當∠ABE＝22.5°時，AG＝CH，理由如下：∵四邊形ABCD是正方形，且邊長為3，∴AB＝BC＝3，∠ABC＝∠BCD＝90°，∠BAG＝∠BCH＝∠ACD＝45°，AB∥CD，∵∠EBF＝45°，∠ABE＝22.5°∴∠CBH＝∠ABC﹣∠EBF﹣∠ABE＝90°﹣45°＝22.5°＝22.5°，∴∠ABE＝∠CBF＝22.5°，在△ABG和△CBH中，∠BAG=∠BCHAB=BC∴△ABG≌△CBH（ASA），∴AG＝CH，故答案為：22.5°；（2）連接GF，如圖所示：∵∠EBF＝∠ACD＝45°，∠BHG＝∠CHF∴△BHG∽△CHF，∴BHCH=GHFH，∠∴BHGH又∴∠BHC＝∠GHF，∴△BHC∽△GHF，∴∠CBH＝∠FGH，∴∠BGH+∠FGH＝∠CFH+∠CBH，∵∠BCD＝90°，∴∠CBH+∠CFH＝90°，∴∠BGH+∠FGH＝90°，即∠BGF＝90°，∴△BGF是等腰直角三角形，∴BG＝FG，由勾股定理得：BF=BG∴BG=22在Rt△ABC中，AB＝BC＝3，由勾股定理得：AC=A∵CH=2∴AH＝AC﹣CH=32∵AB∥CD，∴△CHF∽△AHB，∴CFAB∴CF3∴CF=3在Rt△BCF中，由勾股定理得：BF=B∴BG=22BF23．【答案】【探究】證明見解析；【運用】14【解答】【探究】證明：連接AC，A'C'，∵四邊形ABCD與四邊形A′B′C′D′相似，∴ABA′B′=BCB′C′=CDC′D′=AD∴△ABC∽△A′B′C′，△ACD∽△A′C′D′，∴S△ABCS△A′B′C′∴S四邊形ABCDS四邊形A′B′C′D′【運用】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AD∥BC，∠A＝∠C＝90°，AB＝CD，AD＝BC，∴∠AFG＝∠GDC，∠AEG＝∠CBG，∵AE=12AB，AF=∴AE=12CD，AF=∴AECD∵∠FGE＝∠BGD，∴四邊形AEGF∽四邊形CDGB，∴S四邊形AEGF24．【答案】（1）a；（2）①y＝﹣x2+4；②E（0，3）或（0，2）．【解答】解：設點A、B的坐標分別為：（m，am2+4），（m+1，a（m+1）2+4），（1）由拋物線的表達式知，點D（0，4），則cot∠ODA﹣cot∠ODB=yD（2）①AC⊥BC，且AC＝BC，則△ABC為等腰直角三角形，設點C（0，y），過點A、B分別作y軸的垂線，垂足分別為點M、N，∵∠MCA+∠BCN＝90°，∠BCN+∠NCB＝90°，∴∠MAC＝∠NCB，∵∠CMA＝∠BNC＝90°，∴△CMA≌△BNC（AAS），則MA＝CN，CM＝BN，即m＝y(tǒng)﹣[a（m+1）2+4]且m+1＝am2+4﹣y，整理得：2m+1＝a（2m+1）×（﹣1），則a＝﹣1，故拋物線的表達式為：y＝﹣x2+4；②由點A、B的坐標得：（m+1﹣m）2+[﹣（m+1）2+4﹣m2﹣4]2，解得：m＝1，則點A、B的坐標分別為：（1，3）、（2，0），由m＝y(tǒng)﹣[a（m+1）2+4]得：y＝1，即點C（0，1）；∵AC⊥BC，且AC＝