數學上的二項式定理指的是（a+b）n，其展開項共n+1項，分別是Cn0a0bn、Cn1a1bn-1、Cn2a2bn-2、……、Cnnanb0。二項式定理不僅在數學上常用，在高中生物中也有一定的應用，比如生育多個子代的性別和性狀問題，顯性基因的累加效應問題，細胞分裂過程中染色體的分配問題等均可運用二項式定理的思想來做解答。1、多個子代的性別或性狀問題例1：一對夫妻假設生育4個孩子（無同卵雙胞胎），那么4個孩子是3男1女的概率是多少？解：生男生女的概率各占1/2，每個孩子的性別對其他孩子的性別沒有影響即每個孩子的性別是獨立事件，這種情況下可以運用二項式定理來解決。生育4個孩子，孩子的性別情況共有5種，分別是4男、3男1女、2男2女、1男3女和4女，由于生男生女的概率各占1/2，所以可以用（1/2+1/2）4的展開項C40（1/2）0（1/2）4+C41（1/2）1（1/2）3+C42（1/2）2（1/2）2+C43（1/2）3（1/2）1+C44（1/2）4（1/2）0來表示每種情況的概率，3男1女的概率即為C41（1/2）4等于1/4。例2：假設豚鼠的毛色黑色對白色為顯性，一對雜合黑色豚鼠生了8只小豚鼠，出現6黑2白的概率是多少？解：親本均為雜合，子代出現顯性和隱性性狀的概率分別為3/4和1/4。每個小豚鼠的毛色對其他小豚鼠的毛色沒有影響是獨立事件，8只小豚鼠的毛色情況共9種，符合二項式定理的應用條件。（3/4+1/4）8的展開項可以表示每種情況概率，即C80（3/4）0（1/4）8+C81（3/4）1（1/4）7+C82（3/4）2（1/4）6+……+C88（3/4）0（1/4）8，8只小豚鼠出現6黑2白的概率是C86（3/4）6（1/4）2=7*36/47。2、顯性基因的累加效應有的性狀受多對獨立遺傳的基因控制，并且存在顯性基因的累加效應，如人的膚色，種子的粒重和植物的株高。例3：某植物的株高受兩對基因控制，用A、a和B、b表示，最矮的為10cm，每增加1個顯性基因株高增加2cm。株高最高的和最矮的雜交，得到的子一代自交，子二代的株高共有幾種情況，比例如何？解：子一代的基因型是AaBb，自交的后代基因型共有9種，可以根據顯性基因個數分成5種情況分別是0個（1/16aabb）、1個（1/8Aabb和1/8aaBb）、2個（1/16AAbb、1/16aaBB和1/4AaBb）、3個（1/8AABb和1/8AaBB）和4個（1/16AABB）顯性基因，所占比例分別是1/16、4/16、6/16、4/16和1/16。這種傳統算法是可以的，只不過計算量較大。可用二項式定理來解決此類問題，子一代基因型是AaBb，子一代自交即父本和母本均為AaBb，父本的A和a均有1/2的概率傳給子代，父本的B和b均有1/2的概率傳給子代，母本同樣如此，且以上基因的傳遞是獨立事件，符合二項式定理的應用條件，父本加母本共計4個顯性基因向子代傳遞。二項式為（1/2+1/2）4的展開項，C40（1/2）0（1/2）4+C41（1/2）1（1/2）3+C42（1/2）2（1/2）2+C43（1/2）3（1/2）1+C44（1/2）4（1/2）0可以表示每種情況的概率，結果分別為1/16、4/16、6/16、4/16和1/16。由于高中生有數學的二項式定理的基礎，所以運用二項式定理來解題會更快一些。例4：若基因型為AaBb與AaBB兩個親本雜交，子代的株高有幾種性狀，比例如何？解：一方親本為AaBB一定傳遞子代一個B基因，A和a均有1/2的概率傳給子代，而另一方的A和a以及B和b均如此，共有3個顯性基因如此傳遞，二項式用（1/2+1/2）3，展開項C30（1/2）0（1/2）3+C31（1/2）1（1/2）2+C32（1/2）2（1/2）1+C33（1/2）3共4項，分別對應0個、1個、2個和3個顯性基因，比例分別為1/8、3/8、3/8和1/8。由于AaBB一定傳遞子代一個B基因，因此子代含有的顯性基因個數是1個、2個、3個和4個，株高分別為12cm、14cm、16cm和18cm，比例分別占1/8、3/8、3/8和1/8。同理，涉及3對基因及以上的累加效應，如AaBbcc×AABbCc的子代的表型比也可用二項式定理，親本一方是cc純合不遺傳后代顯性基因，一方是AA遺傳后代一個A基因，其余4對是雜合子，二項式為（1/2+1/2）4的展開，子代含有1、2、3、4、5個顯性基因，所占比例分別為1/16、4/16、6/16、4/16、1/16。顯性基因的累加效應，親本雙方相關等位基因雜合子的對數即為二項式定理的n，純合子單算即可。3、細胞分裂過程中染色體的分配問題3.1有絲分裂中標記染色體分配問題例5：一個核DNA數為2N細胞，所有DNA的雙鏈均被放射性標記，把該細胞放在不含放射性的培養基里面培養進行有絲分裂。分裂兩次后，每個細胞的標記情況如何？形成的4個子細胞有幾個帶標記？解：進行一次有絲分裂后形成的2個F1代細胞相同，含有的2N條染色體均被標記，且DNA只有1條鏈帶有標記。F1代細胞進入第二個細胞周期的S期之后，每條染色體的兩條姐妹染色體單體僅有1條含有放射性標記，在分裂后期姐妹染色單體分離，形成2條子染色體隨機分離進入2個F2代細胞中。所有的2N條染色體的分配情況均如此。因此F2代細胞中含有標記染色體的情況可采用二項式定理解答，（1/2+1/2）2N的展開即為F2代細胞含有標記染色體的情況，共計2N+1種情況，分別是含0條、1條、2條、……2N條標記染色體，概率分別為C2N0（1/2）2N、C2N1（1/2）2N、C2N2（1/2）2N、……C2N2N（1/2）2N。需要注意的是2個F1代細胞的第二次分裂是獨立的。1個F1代細胞經過第二次有絲分裂形成2個F2代細胞，每個F2代細胞的標記情況是上述結果，但1個F1代細胞形成的2個F2代細胞并不是獨立的，比如1個F2代細胞含有3條標記染色體，那么同時形成的另外1個F2代細胞一定含有2N-3條標記染色體。唯有1個F2代細胞含有0條標記染色體，同時形成的另一個F2代細胞含有2N條染色體時，2個F2代細胞中僅有1個細胞帶有標記，概率為C2N0（1/2）2N即（1/2）2N，其余均是2個F2代細胞都帶標記，概率占1-C2N0（1/2）2N=（22N-1）/22N。由于2個F1代細胞的分裂是獨立的且形成的F2代細胞僅有1個帶標記的概率也形同的，所以2個F1代細胞經過第二次分裂后形成的4個子細胞的情況也可以用二項式定理，[（1/2）2N+（22N-1）/22N]2展開得到3項，分別為（1/2）4N、22N-1/24N-1、（22N-1/22N）2分別對應2個細胞帶標記、3個細胞帶標記和4個細胞帶標記的概率。3.2減數分裂時染色體的分配問題例6：減數第一次分裂時發生同源染色體的分離，每對同源染色體隨機分離進入兩個子細胞中。對于二倍體生物（2N）來說，含有N對同源染色體，可表示為1至N號染色體，均含有父源和母源的染色體。該生物形成的一個配子中，含有的父源染色體的情況如何？解：1號父源染色體和母源染色體隨機分配進入一個配子中，含父源染色體的概率為1/2，同理2號直至N號也是如此。所以配子中含有父源染色體的情況可以用二項式定理解答。（1/2+1/2）N的展開即為配子中含有父源染色體的情況，共計N+1種情況，分別是含0條、1條、2條、……N條，概率分別為CN0（1/2）N、CN1（1/2）N、CN2（1/2）N、……CNN（1/2）N。例7：男孩含有46條染色體，23條來自父親，23條來自母親，那男孩的46條染色體有幾條來自于爺爺？幾條來自奶奶？幾條來自外公？幾條來自外婆？解：男孩有23條來自于父親，其中1條一定是Y染色體一定來自爺爺。其余的1-22號染色體來自父源即爺爺和來自母源即奶奶概率相同均為1/2，可用二項式定理求來自爺爺和奶奶染色體的概率。（1/2+1/2）22的展開即為爺爺奶奶染色體的情況，共計23種情況，分別是含爺爺1條奶奶22條、爺爺2條奶奶21條、爺爺3條奶奶20條、……爺爺23條奶奶0條，概率分別為C220（1/2）22、C221（1/2）22、C222（1/2）22、……C2222（1/2）22。男孩有23條染色體來自于母親，其中1條一定是X染色體，但是X染色體和其余22條常染色體一樣既可以來源于外公，也可以來源于外婆概率均為1/2。可用二項式定理求來自外公外婆染色體的概率。（1/2+1/2）23的展開即為外公外婆染色體的情況，共計24種情況，分別是僅含來自外婆23條、外公1條外婆22