第8講二項分布與正態(tài)分布計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布第十章

(本講對應(yīng)系統(tǒng)復(fù)習P297)課標要求考情概覽1.了解兩個隨機事件獨立性的含義，并能利用獨立性計算概率.2.了解伯努利試驗，掌握二項分布及其數(shù)字特征.3.了解服從正態(tài)分布的隨機變量，了解正態(tài)分布的特征，均值、方差及其含義考向預(yù)測：從近三年高考情況來看，本講是高考中的一個熱點.預(yù)測本年度將會考查：①事件獨立性的應(yīng)用；②獨立重復(fù)試驗與二項分布、正態(tài)分布的應(yīng)用.題型為解答題，試題難度不會太大，屬中檔題型.學科素養(yǎng)：主要考查數(shù)據(jù)分析、數(shù)學模型、數(shù)學運算的素養(yǎng)欄目導(dǎo)航01基礎(chǔ)整合

自測糾偏03素養(yǎng)微專直擊高考02重難突破

能力提升04配套訓練基礎(chǔ)整合自測糾偏1

P(A)P(B)2.伯努利試驗(1)伯努利試驗：只包含兩個可能結(jié)果的試驗叫做伯努利試驗.(2)n重伯努利試驗：①定義：將一個伯努利試驗獨立地重復(fù)進行n次所組成的隨機試驗稱為n重伯努利試驗.②n重伯努利試驗的特征：同一個伯努利試驗重復(fù)做n次；各次試驗的結(jié)果相互獨立.3.二項分布(1)二項分布的定義：一般地，在n重伯努利試驗中，設(shè)每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p(0＜p＜1)，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，則X的分布列為P(X＝k)＝

，k＝0，1，2，…，n.如果隨機變量X的分布列具有上式的形式，那么稱隨機變量X服從二項分布，記作X~

.

(2)二項分布的均值與方差：如果X~B(n，p)，那么E(X)＝

，D(X)＝

.

B(n，p)

np

np(1－p)

4.正態(tài)曲線和正態(tài)分布(1)正態(tài)曲線：函數(shù)f(x)＝

，x∈R，其中μ∈R，σ＞0為參數(shù)，稱f(x)為正態(tài)密度函數(shù)，稱它的圖象為正態(tài)密度曲線，簡稱正態(tài)曲線.

(2)正態(tài)分布：若隨機變量X的概率分布密度函數(shù)為f(x)，則稱隨機變量X服從正態(tài)分布，記為

，特別地，當μ＝0，σ＝1時，稱隨機變量X服從標準正態(tài)分布.

X~N(μ，σ2)(3)正態(tài)曲線的特點：①曲線是單峰的，它關(guān)于直線

對稱；

②曲線在x＝μ處達到峰值

；

③當|x|無限增大時，曲線無限接近x軸.x＝μ

(4)參數(shù)μ和σ對正態(tài)曲線形狀的影響：①當σ較小時，峰值高，曲線“瘦高”，表示隨機變量X的分布比較

；

②當σ較大時，峰值低，曲線“矮胖”，表示隨機變量X的分布比較

.

(5)若X~N(μ，σ2)，則E(X)＝

，D(X)＝

.

(6)3σ原則①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈

；

②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈

；

③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈

.集中

分散

μ

σ2

0.6827

0.95450.9973【特別提醒】1.獨立重復(fù)試驗的條件：(1)每次試驗在相同條件下可重復(fù)進行；(2)各次試驗是相互獨立的；(3)每次試驗都只有兩種結(jié)果，即事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生.2.判斷一個隨機變量是否服從二項分布，要看兩點：(1)是否為n次獨立重復(fù)試驗；(2)隨機變量是否為某事件在這n次獨立重復(fù)試驗中發(fā)生的次數(shù).

A2.(2021年新高考Ⅰ卷)有6個相同的球，分別標有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回地隨機取兩次，每次取1個球.甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則(

)A.甲與丙相互獨立B.甲與丁相互獨立C.乙與丙相互獨立D.丙與丁相互獨立B3.(2023年沈陽模擬)(多選)某產(chǎn)品的質(zhì)量指標值服從正態(tài)分布N(100，σ2)，則下列結(jié)論正確的有(

)A.σ越大，則產(chǎn)品的質(zhì)量指標值落在(99.9，100.1)內(nèi)的概率越大B.該產(chǎn)品的質(zhì)量指標值大于100的概率為0.5C.該產(chǎn)品的質(zhì)量指標值大于100.01的概率與小于99.99的概率相等D.該產(chǎn)品的質(zhì)量指標值落在(99.9，100.2)內(nèi)的概率與落在(100，100.3)內(nèi)的概率相等CD4.(2022年新高考Ⅱ卷)已知隨機變量X服從正態(tài)分布N(2，σ2)，且P(2＜X≤2.5)＝0.36，則P(X＞2.5)＝

.

0.145.(易錯題)箱中有標號為1，2，3，4，5，6且大小相同的6個球，從箱中一次摸出2個球，記下號碼并放回，如果兩球號碼之積是4的倍數(shù)，則獲獎.若有4人參與摸獎，恰好有3人獲獎的概率是

.

互斥事件與相互獨立事件的相同點與不同點：(1)相同點：二者都是描述兩個事件間的關(guān)系.(2)不同點：互斥事件強調(diào)兩事件不可能同時發(fā)生，即P(AB)＝0，相互獨立事件則強調(diào)一個事件的發(fā)生與否對另一個事件發(fā)生的概率沒有影響.重難突破能力提升2相互獨立事件的概率的求法

(2023年北京模擬)為了弘揚中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，加強對學生的美育教育，某校開展了為期5天的傳統(tǒng)藝術(shù)活動，從第1天至第5天依次開展“書畫”“古琴”“漢服”“戲曲”“面塑”共5項傳統(tǒng)藝術(shù)活動，每名學生至少選擇其中一項進行體驗，為了解該校上述活動的開展情況，現(xiàn)從高一、高二、高三學生中各隨機選取了100名學生作為樣本進行調(diào)查，調(diào)查數(shù)據(jù)如表：傳統(tǒng)藝術(shù)活動第1天第2天第3天第4天第5天書畫古琴漢服戲曲面塑高一體驗人數(shù)8045552045高二體驗人數(shù)4060608040高三體驗人數(shù)1550407530(1)從樣本中隨機選取1名學生，求這名學生體驗戲曲活動的概率；(2)從高一、高二、高三年級中各隨機選取1名學生，估計這三名學生中恰有一名參加戲曲體驗的概率；(3)為了解不同年級學生對各項傳統(tǒng)藝術(shù)活動的喜愛程度，現(xiàn)從高一、高二、高三樣本中各隨機選取1名學生進行訪談，設(shè)這3名學生均選擇了第k天傳統(tǒng)藝術(shù)活動的概率為Pk(k＝1，2，3，4，5)，當Pk取得最大值時，寫出k的值.(直接寫出答案即可)

(3)由題可知，P1＝0.8×0.4×0.15＝0.048，P2＝0.45×0.6×0.5＝0.135，P3＝0.55×0.6×0.4＝0.132，P4＝0.2×0.8×0.75＝0.12，P5＝0.45×0.4×0.3＝0.054，故P1＜P5＜P4＜P3＜P2，所以當Pk取得最大值時，k＝2.【解題技巧】求相互獨立事件同時發(fā)生的概率的策略：(1)列出題中涉及的各個事件，并且用適當?shù)姆柋硎荆?2)理清事件之間的關(guān)系(兩個事件是互斥還是對立，或者是相互獨立)，列出關(guān)系式；(3)根據(jù)事件之間的關(guān)系準確選取概率公式進行計算；(4)當直接計算符合條件的事件的概率較復(fù)雜時，可先間接地計算其對立事件的概率，再求出符合條件的事件的概率.

n重伯努利試驗與二項分布

某中學面向全校所有學生開展一項有關(guān)每天睡眠時間的問卷調(diào)查，調(diào)查結(jié)果顯示，每天睡眠時間少于7小時的學生占40%，而每天睡眠時間不少于8小時的學生只有30%.現(xiàn)從所有問卷中隨機抽取4份問卷進行回訪(視頻率為概率).(1)求抽取到的問卷中至少有2份調(diào)查結(jié)果為睡眠時間不少于7小時的概率；(2)記抽取到的問卷中調(diào)查結(jié)果為睡眠時間少于7小時的問卷份數(shù)為X，求X的分布列及均值E(X).

X01234P

【解題技巧】二項分布的解題策略：(1)在根據(jù)n重伯努利試驗求二項分布的有關(guān)問題時，關(guān)鍵是理清事件與事件之間的關(guān)系，確定二項分布的試驗次數(shù)n和變量的概率，從而求得概率.(2)求隨機變量ξ的期望與方差時，如果ξ~B(n，p)，那么用公式E(ξ)＝np，D(ξ)＝np(1－p)求解，可大大減少計算量.【變式精練】2.某公司為了解會員對售后服務(wù)(包括退貨、換貨、維修等)的滿意度，從下半年的會員中隨機調(diào)查了20個會員，得到會員對售后服務(wù)滿意度評分的雷達圖如圖所示.規(guī)定評分不低于80分為滿意，否則為不滿意.(1)求這20個會員對售后服務(wù)滿意的頻率；(2)以(1)中的頻率作為所有會員對該公司售后服務(wù)滿意的概率，假設(shè)每個會員的評價結(jié)果相互獨立，現(xiàn)從下半年的所有會員中隨機選取3個會員.(i)求只有1個會員對售后服務(wù)不滿意的概率；(ii)記這3個會員中對售后服務(wù)滿意的會員的個數(shù)為X，求X的均值與標準差(標準差的結(jié)果精確到0.1).

正態(tài)分布

(2023年揚州三模)隨著網(wǎng)絡(luò)技術(shù)的迅速發(fā)展，各種購物群成為網(wǎng)絡(luò)銷售的新渠道.在鳳梨銷售旺季，某鳳梨基地隨機抽查了100個購物群的銷售情況，各購物群銷售鳳梨的數(shù)量情況如下：鳳梨數(shù)量/盒［100，200)［200，300)［300，400)［400，500)［500，600］購物群數(shù)量/個12m2032m(1)求實數(shù)m的值，并用組中值估計這100個購物群銷售鳳梨總量的平均數(shù)(盒)；(2)假設(shè)所有購物群銷售鳳梨的數(shù)量X服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，其中μ為(1)中的平均數(shù)，σ2＝12100.若該鳳梨基地參與銷售的購物群約有1000個，銷售鳳梨的數(shù)量在［266，596)(單位：盒)內(nèi)的群為“一級群”，銷售數(shù)量小于266盒的購物群為“二級群”，銷售數(shù)量大于等于596盒的購物群為“優(yōu)質(zhì)群”.該鳳梨基地對每個“優(yōu)質(zhì)群”獎勵1000元，每個“一級群”獎勵200元，“二級群”不獎勵，則該鳳梨基地大約需要準備多少資金？(群的個數(shù)按四舍五入取整數(shù))附：若X服從正態(tài)分布X~N(μ，σ2)，則P(μ－σ＜X＜μ＋σ)≈0.683，P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)≈0.955，P(μ－3σ＜X＜μ＋3σ)≈0.997.

【解題技巧】正態(tài)分布常見的兩類概率計算：(1)利用3σ原則求概率問題時，要注意把給出的區(qū)間或范圍與正態(tài)變量的μ，σ進行對比聯(lián)系，確定它們屬于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一個.(2)利用正態(tài)分布密度曲線的對稱性研究相關(guān)概率問題，涉及的知識主要是正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝μ對稱，及曲線與x軸之間的面積為1.注意下面兩個結(jié)論的活用：①P(X＜a)＝1－P(X≥a)；②P(X＜μ－σ)＝P(X≥μ＋σ).

素養(yǎng)微專直擊高考3素養(yǎng)提升——提煉信息：數(shù)據(jù)分析與模型建構(gòu)概率統(tǒng)計綜合問題是高考應(yīng)用型問題，解決問題需要經(jīng)歷收集數(shù)據(jù)、整理數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)、處理數(shù)據(jù)、得出有用的結(jié)論幾個復(fù)雜過程.若數(shù)據(jù)處理不當，則會陷入龐大的數(shù)據(jù)運算中，因此解決這類問題首先需要根據(jù)題目條件提取有用數(shù)據(jù)，然后根據(jù)統(tǒng)計思想對數(shù)據(jù)進行相關(guān)處理、運算.(2022年南昌三模)在某電視節(jié)目上，甲、乙、丙3個人組成的解密團隊參加一項解密挑戰(zhàn)活動，規(guī)則是由密碼專家給出題目，然后由3個人依次出場解密，每人限定時間是1分鐘，超過1分鐘派下一個人.3個人中只要有一個人解密正確，則認為該團隊挑戰(zhàn)成功，否則挑戰(zhàn)失敗.根據(jù)甲以往解密測試情況，隨機抽取了甲100次的測試記錄，繪制了如下的頻率分布直方圖.典例精析(1)若甲解密成功所需時間的中位數(shù)為47，求a，b的值，并求出甲在1分鐘內(nèi)解密成功的頻率；

【思路點撥】(1)根據(jù)中位數(shù)的定義，利用中位數(shù)左、右兩邊的頻率之和都為0.5列方程，解方程求得a，b的值，甲在1分鐘