2024年北京中考數學試題及答案考生須知：1.本試卷共6頁，共兩部分.三道大題，28道小題。滿分100分。考試時間120分鐘。2.在試卷和草稿紙上準確填寫姓名、準考證號、考場號和座位號。3.試題答案一律填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。4.在答題卡上.選擇題、作圖題用2B鉛筆作答，其他試題用黑色字跡簽字筆作答。5.考試結束，將本試卷、答題卡和草稿紙一并交回。第一部分選擇題一、選擇題（共16分，每題2分）第1-8題均有四個選項，符合題意的選項只有一個1．下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（

）A． B． C． D．2．如圖，直線和相交于點，，若，則的大小為（

）A． B． C． D．3．實數，在數軸上的對應點的位置如圖所示，下列結論中正確的是（

）A． B． C． D．4．若關于的一元二次方程有兩個相等的實數根，則實數的值為（

）A． B． C．4 D．165．不透明的袋子中裝有一個紅色小球和一個白色小球，除顏色外兩個小球無其他差別．從中隨機取出一個小球后，放回并搖勻，再從中隨機取出一個小球，則兩次都取到白色小球的概率為（）A． B． C． D．6．為助力數字經濟發展，北京積極推進多個公共算力中心的建設.北京數字經濟算力中心日前已部署上架和調試的設備的算力為Flops（Flops是計算機系統算力的一種度量單位），整體投產后，累計實現的算力將是日前已部署上架和調試的設備的算力的5倍，達到Flops，則的值為（

）A． B． C． D．7．下面是“作一個角使其等于”的尺規作圖方法.（1）如圖，以點為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交，于點，；（2）作射線，以點為圓心，長為半徑畫弧，交于點；以點為圓心，長為半徑畫弧，兩弧交于點；（3）過點作射線，則.上述方法通過判定得到，其中判定的依據是（

）A．三邊分別相等的兩個三角形全等B．兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等C．兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等D．兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個三角形全等8．如圖，在菱形中，，為對角線的交點.將菱形繞點逆時針旋轉得到菱形，兩個菱形的公共點為，，，.對八邊形給出下面四個結論：①該八邊形各邊長都相等；②該八邊形各內角都相等；③點到該八邊形各頂點的距離都相等；④點到該八邊形各邊所在直線的距離都相等。上述結論中，所有正確結論的序號是（

）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④第二部分非選擇題二、填空題（共16分，每題2分）9．若在實數范圍內有意義，則實數的取值范圍是．10．分解因式：.11．方程的解為.12．在平面直角坐標系中，若函數的圖象經過點和，則的值是.13．某廠加工了200個工件，質檢員從中隨機抽取10個工件檢測了它們的質量（單位：g），得到的數據如下：50.03

49.98

50.00

49.99

50.0249.99

50.01

49.97

50.00

50.02當一個工件的質量（單位：g）滿足時，評定該工件為一等品.根據以上數據，估計這200個工件中一等品的個數是.14．如圖，的直徑平分弦（不是直徑）.若，則15．如圖，在正方形中，點在上，于點，于點．若，，則的面積為．16．聯歡會有A，B，C，D四個節目需要彩排.所有演員到場后節目彩排開始。一個節目彩排完畢，下一個節目彩排立即開始.每個節目的演員人數和彩排時長（單位：min）如下：節目ABCD演員人數102101彩排時長30102010已知每位演員只參演一個節目.一位演員的候場時間是指從第一個彩排的節目彩排開始到這位演員參演的節目彩排開始的時間間隔（不考慮換場時間等其他因素）。若節目按“”的先后順序彩排，則節目D的演員的候場時間為min；若使這23位演員的候場時間之和最小，則節目應按的先后順序彩排三、解答題（共68分，第17-19題每題5分，第20-21題每題6分，第22-23題每題5分，第24題6分，第25題5分，第26題6分，第27-28題每題7分）解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程.17．計算：18．解不等式組：19．已知，求代數式的值.20．如圖，在四邊形中，是的中點，，交于點，，.(1)求證：四邊形為平行四邊形；(2)若，，，求的長.21．為防治污染，保護和改善生態環境，自2023年7月1日起，我國全面實施汽車國六排放標準6b階段（以下簡稱“標準”）.對某型號汽車，“標準”要求類物質排放量不超過，，兩類物質排放量之和不超過.已知該型號某汽車的，兩類物質排放量之和原為.經過一次技術改進，該汽車的類物質排放量降低了，類物質排放量降低了，，兩類物質排放量之和為，判斷這次技術改進后該汽車的類物質排放量是否符合“標準”，并說明理由.22．在平面直角坐標系中，函數與的圖象交于點.(1)求，的值；(2)當時，對于的每一個值，函數的值既大于函數的值，也大于函數的值，直接寫出的取值范圍.23．某學校舉辦的“青春飛揚”主題演講比賽分為初賽和決賽兩個階段.(1)初賽由名數師評委和名學生評委給每位選手打分（百分制）對評委給某位選手的打分進行整理、描述和分析.下面給出了部分信息..教師評委打分：

.學生評委打分的頻數分布直方圖如下（數據分6組：第1組，第2組，第3組，第4組，第5組，第6組）：.評委打分的平均數、中位數、眾數如下：平均數中位數眾數教師評委學生評委根據以上信息，回答下列問題：①的值為___________，的值位于學生評委打分數據分組的第__________組；②若去掉教師評委打分中的最高分和最低分，記其余8名教師評委打分的平均數為，則___________（填“”“”或“”）；(2)決賽由5名專業評委給每位選手打分（百分制）.對每位選手，計算5名專業評委給其打分的平均數和方差.平均數較大的選手排序靠前，若平均數相同，則方差較小的選手排序靠前，5名專業評委給進入決賽的甲、乙、丙三位選手的打分如下：評委1評委2評委3評委4評委5甲乙丙若丙在甲、乙、丙三位選手中的排序居中，則這三位選手中排序最靠前的是____________，表中（為整數）的值為____________.24．如圖，是的直徑，點，在上，平分.(1)求證：；(2)延長交于點，連接交于點，過點作的切線交的延長線于點.若，，求半徑的長.25．小云有一個圓柱形水杯（記為1號杯），在科技活動中，小云用所學數學知識和人工智能軟件設計了一個新水杯，并將其制作出來，新水杯（記為2號杯）示意圖如下，當1號杯和2號杯中都有mL水時，小云分別記錄了1號杯的水面高度（單位：cm）和2號杯的水面高度（單位：cm），部分數據如下：/mL040100200300400500/cm02.55.07.510.012.5/cm02.84.87.28.910.511.8(1)補全表格（結果保留小數點后一位）；(2)通過分析數據，發現可以用函數刻畫與，與之間的關系.在給出的平面直角坐標系中，畫出這兩個函數的圖象；(3)根據以上數據與函數圖象，解決下列問題：①當1號杯和2號杯中都有320mL水時，2號杯的水面高度與1號杯的水面高度的差約為___________cm（結果保留小數點后一位）；②在①的條件下，將2號杯中的一都分水倒入1號杯中，當兩個水杯的水面高度相同時，其水面高度約為___________cm（結果保留小數點后一位）．26．在平面直角坐標系中，已知拋物線.(1)當時，求拋物線的頂點坐標；(2)已知和是拋物線上的兩點.若對于，，都有，求的取值范圍.27．已知，點，分別在射線，上，將線段繞點順時針旋轉得到線段，過點作的垂線交射線于點.

(1)如圖1，當點在射線上時，求證：是的中點；(2)如圖2，當點在內部時，作，交射線于點，用等式表示線段與的數量關系，并證明。28．在平面直角坐標系中，的半徑為1，對于的弦和不在直線上的點，給出如下定義：若點關于直線的對稱點在上或其內部，且，則稱點是弦的“可及點”．(1)如圖，點，．①在點，，中，點___________是弦的“可及點”，其中____________；②若點是弦的“可及點”，則點的橫坐標的最大值為__________；(2)已知是直線上一點，且存在的弦，使得點是弦的“可及點”．記點的橫坐標為，直接寫出的取值范圍．1．B【詳解】解：A、是中心對稱圖形，但不是軸對稱圖形，故不符合題意；B、既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故符合題意；C、不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故不符合題意；D、是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形，故不符合題意；故選：B．2．B【詳解】解：∵，∴，∵，，∴，故選：B．3．C【詳解】解：A、由數軸可知，故本選項不符合題意；B、由數軸可知，由絕對值的意義知，故本選項不符合題意；C、由數軸可知，而，則，故，故本選項符合題意；D、由數軸可知，而，因此，故本選項不符合題意．故選：C．4．C【詳解】∵方程，，∴，∴，解得．故選C．5．D【詳解】解：畫樹狀圖如下：共有4種等可能的結果，其中兩次都取到白色小球的結果有1種，兩次都取到白色小球的概率為．故選：D．6．D【詳解】，故選D．7．A【詳解】根據基本作圖中，同圓半徑相等，判定三角形全等的依據是邊邊邊原理，故選A.8．B【詳解】向兩方分別延長，連接，根據菱形，，則，，∵菱形繞點逆時針旋轉得到菱形，∴點一定在對角線上，且，，∴，，∵，∴，∴，，同理可證，∵，∴，∴，∴，∴該八邊形各邊長都相等，故①正確；根據角的平分線的性質定理，得點到該八邊形各邊所在直線的距離都相等，∴④正確；根據題意，得，∵，，∴，∴該八邊形各內角不相等；∴②錯誤，根據，∴，∴，故，∴點到該八邊形各頂點的距離都相等錯誤∴③錯誤，故選B．9．【詳解】解：根據題意得，解得：．故答案為：10．【詳解】．故答案為：．11．【詳解】解：，解得：，經檢驗：是原方程的解，所以，原方程的解為，故答案為：．12．0【詳解】解：∵函數的圖象經過點和，∴有，∴，故答案為：0．13．160【詳解】解：10個工件中為一等品的有49.98，50.00，49.99，50.02，49.99，50.01，50.00，50.02這8個，∴這200個工件中一等品的個數為個，故答案為：160．14．55【詳解】解：∵直徑平分弦，∴，∵，∴，∴，故答案為：55．15．【詳解】解：根據正方形的性質，得，，∴，∵，∴,，，∴，∴，∴，∴的面積為；故答案為：．16．60【詳解】解：①節目D的演員的候場時間為，故答案為：60；②由題意得節目A和C演員人數一樣，彩排時長不一樣，那么時長長的節目應該放在后面，那么C在A的前面，B和D彩排時長一樣，人數不一樣，那么人數少的應該往后排，這樣等待時長會短一些，那么B在D前面，∴①按照順序，則候場時間為：分鐘；②按照順序，則候場時間為：分鐘；③按照順序，則候場時間為：分鐘；④按照順序，則候場時間為：分鐘；⑤按照順序，則候場時間為：分鐘；⑥按照順序，則候場時間為：分鐘．∴按照順序彩排，候場時間之和最小，故答案為：．17．【詳解】解：原式．18．【詳解】∵∴解不等式①，得，解不等式,②，得，∴不等式組的解集為．19．3【詳解】解：原式，∵，∴，∴原式．20．(1)見詳解(2)【詳解】（1）證明：∵是的中點，，∴，∵，∴四邊形為平行四邊形；（2）解：∵，∴，在中，，，∴，∵是的中點，∴，∵四邊形為平行四邊形，∴，∴在中，由勾股定理得．21．符合，理由見詳解【詳解】解：設技術改進后該汽車的A類物質排放量為，則B類類物質排放量為，由題意得：，解得：，∵，∴這次技術改進后該汽車的類物質排放量是符合“標準”．22．(1)(2)【詳解】（1）解：由題意得將代入得：，解得：，將，，代入函數中，得：，解得：，∴；（2）解：∵，∴兩個一次函數的解析式分別為，當時，對于的每一個值，函數的值既大于函數的值，也大于函數的值，即當時，對于的每一個值，直線的圖像在直線和直線的上方，則畫出圖象為：由圖象得：當直線與直線平行時符合題意或者當與x軸的夾角大于直線與直線平行時的夾角也符合題意，∴當直線與直線平行時，，∴當時，對于的每一個值，直線的圖像在直線和直線的上方時，，∴m的取值范圍為．23．(1)①，；②(2)甲，【詳解】（1）①從教師評委打分的情況看，分出現的次數最多，故教師評委打分的眾數為，所以，共有45名學生評委給每位選手打分，所以學生評委給每位選手打分的中位數應當是第個，從頻數分面直方圖上看，可得學生評委給每位選手打分的中位數在第4組，故答案為：，；②去掉教師評委打分中的最高分和最低分，其余8名教師評委打分分別為：，，，，，，，，，故答案為：；（2），，，，丙在甲、乙、丙三位選手中的排序居中，依題意，當，則解得：當時，此時∵，則乙在甲、乙、丙三位選手中的排序居中，不合題意，當時，此時∵，則丙在甲、乙、丙三位選手中的排序居中，這三位選手中排序最靠前的是甲故答案為：甲，．24．(1)見解析(2)【詳解】（1）根據題意，得，∵，∴，∴，∵平分，∴，∴，∴；（2）∵，，不妨設，則，∴，∵，∴，，∴，∴，解得，取的中點M，連接，則∵，∴，∴，∴，∵是的切線，∴，∴，解得，故半徑的長為.25．(1)1.0(2)見詳解(3)1.2，8.5【詳解】（1）解：由題意得，設V與的函數關系式為：，由表格數據得：，解得：，∴，∴當時，，∴；（2）解：如圖所示，即為所畫圖像，（3）解：①當時，，由圖象可知高度差，故答案為：1.2；②由圖象可知當兩個水杯的水面高度相同時，估算高度約為，故答案為：．26．(1)；(2)或．【詳解】（1）解：把代入得，，∴拋物線的頂點坐標為；（2）解：分兩種情況：當時，如圖，此時，∴，又∵，∴；當時，如圖，此時，解得，又∵，∴；綜上，當或，都有．27．(1)見詳解(2)，理由見詳解【詳解】（1）證明：連接，

由題意得：，，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴點是的中點；（2）解：，在射線上取點H，使得，取的中點G，連接，

∵，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，，∴，∵，∴，，∵是的中點，∴，，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴．28．(1)①，45；②(2)或【詳解】（1）解：①：反過來思考，由相對運動理解，作出關于的對稱圓，∵若點關于直線的對稱點在上或其內部，且，則稱點是弦的“可及點”，∴點C應在的圓內或圓上，∵點，，∴，而，∴,由對稱得：，∴為等腰直角三角形，∴,設半徑為，則,故在外，不符合題意；，故在上，符合題意；，故在外，不符合題意，∴點是弦的“可及點”，可知三點共線，∵，∴，故答案為：，45；②取中點為H，連接，∵則，∴，∴點D在以H為圓心，為半徑的上方半圓上運動（不包括端點A、B），∴當點軸時，點D橫坐標最大，∵，，∴，∴，∵點，，∴，∴此時，∴點的橫坐標的最大值為，故答案為：；（2）解：反過來思考，由相對運動理解，作出關于的對稱圓，∵若點關于直線的對稱點在上或其內部，且，則稱點是弦的“可及點”，∴點C應在的圓內或圓上，故點P需要在的圓內或圓上，作出的外接圓，連接，∴點P在以為圓心，為半徑的上運動（不包括端點M、N），∴，∴，由對稱得點在的垂直平分線上，∵的外接圓為，∴點也在的垂直平分線上，記與交于點Q，∴，∴，隨著的增大，會越來越靠近，當點與點重合時，點P在上，即為臨界狀態，此時最大，，連接，∵，∴當最大,時，此時為等邊三角形，由上述過程知∴，∴當，的最大值為2，設，則，解得：，而記直線與交于，與y軸交于點K，過點S作軸，當，當時，，解得，∴與x軸交于點，∴，而∴為等邊三角形，∴，∴，∴，∴t的取值范圍是或．

2023年北京中考數學真題及答案考生須知1.本試卷共6頁，共兩部分，三道大題，28道小題．滿分100分．考試時間120分鐘．2.在試卷和草稿紙上準確填寫姓名、準考證號、考場號和座位號．3.試題答案一律填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效．4在答題卡上，選擇題、作圖題用2B鉛筆作答，其他試題用黑色字跡簽字筆作答．5.考試結束，將本試卷、答題卡和草稿紙一并交回．第一部分選擇題一、選擇題（共16分，每題2分）第1—8題均有四個選項，符合題意的選項只有一個．1．截至2023年6月11日17時，全國冬小麥收款2.39億畝，進度過七成半，將239000000用科學記數法表示應為（

）A． B． C． D．2．下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（

）A．

B．

C．

D．

3．如圖，，，則的大小為（

）

A． B． C． D．4．已知，則下列結論正確的是（

）A． B．C． D．5．若關于的一元二次方程有兩個相等的實數根，則實數的值為（

）A． B． C． D．96．十二邊形的外角和為（

）A． B． C． D．7．先后兩次拋擲同一枚質地均勻的硬幣，則第一次正面向上、第二次反面向上的概率是（

）A． B． C． D．8．如圖，點A、B、C在同一條線上，點B在點A，C之間，點D，E在直線AC同側，，，，連接DE，設，，，給出下面三個結論：①；②；③；

上述結論中，所有正確結論的序號是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③第二部分非選擇題二、填空題（共16分，每題2分）9．若代數式有意義，則實數x的取值范圍是______．10．分解因式：=__________________.11．方程的解為______．12．在平面直角坐標系中，若函數的圖象經過點和，則m的值為______．13．某廠生產了1000只燈泡.為了解這1000只燈泡的使用壽命，從中隨機抽取了50只燈泡進行檢測，獲得了它們的使用壽命（單位：小時），數據整理如下：使用壽命燈泡只數51012176根據以上數據，估計這1000只燈泡中使用壽命不小于2200小時的燈泡的數量為______只．14．如圖，直線AD，BC交于點O，.若，，.則的值為______．

15．如圖，是的半徑，是的弦，于點D，是的切線，交的延長線于點E．若，，則線段的長為______．

16．學校組織學生參加木藝藝術品加工勞動實踐活動．已知某木藝藝術品加工完成共需A，B，C，D，E，F，G七道工序，加工要求如下：①工序C，D須在工序A完成后進行，工序E須在工序B，D都完成后進行，工序F須在工序C，D都完成后進行；②一道工序只能由一名學生完成，此工序完成后該學生才能進行其他工序；③各道工序所需時間如下表所示：工序ABCDEFG所需時間/分鐘99797102在不考慮其他因素的前提下，若由一名學生單獨完成此木藝藝術品的加工，則需要______分鐘；若由兩名學生合作完成此木藝藝術品的加工，則最少需要______分鐘．三、解答題（共68分，第17—19題，每題5分，第20—21題，每題6分，第22—23題，每題5分，第24題6分，第25題5分，第26題6分；第27—28題，每題7分）解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程.17．計算：．18．解不答式組：．19．已知，求代數式的值．20．如圖，在中，點E，F分別在，上，，．

(1)求證：四邊形是矩形；(2)，，，求的長．21．對聯是中華傳統文化的瑰寶，對聯裝裱后，如圖所示，上、下空白處分別稱為天頭和地頭，左、右空白處統稱為邊．一般情況下，天頭長與地頭長的比是，左、右邊的寬相等，均為天頭長與地頭長的和的．某人要裝裱一幅對聯，對聯的長為，寬為．若要求裝裱后的長是裝裱后的寬的4倍，求邊的寬和天頭長．（書法作品選自《啟功法書》）

22．在平面直角坐標系中，函數的圖象經過點和，與過點且平行于x軸的線交于點C．(1)求該函數的解析式及點C的坐標；(2)當時，對于x的每一個值，函數的值大于函數的值且小于4，直接寫出n的值．23．某校舞蹈隊共16名學生，測量并獲取了所有學生的身高（單位：cm），數據整理如下：a.16名學生的身高：161，162，162，164，165，165，165，166，166，167，168，168，170，172，172，175b.16名學生的身高的平均數、中位數、眾數：平均數中位數眾數166.75mn(1)寫出表中m，n的值；(2)對于不同組的學生，如果一組學生的身高的方差越小，則認為該組舞臺呈現效果越好．據此推斷：在下列兩組學生中，舞臺呈現效果更好的是______（填“甲組”或“乙組”）；甲組學生的身高162165165166166乙組學生的身高161162164165175(3)該舞蹈隊要選五名學生參加比賽．已確定三名學生參賽，他們的身高分別為168，168，172，他們的身高的方差為．在選另外兩名學生時，首先要求所選的兩名學生與已確定的三名學生所組成的五名學生的身高的方差小于，其次要求所選的兩名學生與已確定的三名學生所組成的五名學生的身高的平均數盡可能大，則選出的另外兩名學生的身高分別為______和______．24．如圖，圓內接四邊形的對角線，交于點，平分，．

(1)求證平分，并求的大小；(2)過點作交的延長線于點．若，，求此圓半徑的長．25．某小組研究了清洗某種含污物品的節約用水策略．部分內容如下．每次清洗1個單位質量的該種含污物品，清洗前的清潔度均為0.800要求清洗后的清潔度為0.990方案一：采用一次清洗的方式．結果：當用水量為19個單位質量時，清洗后測得的清潔度為0.990．方案二：采用兩次清洗的方式．記第一次用水量為個單位質量，第二次用水量為個單位質量，總用水量為個單位質量，兩次清洗后測得的清潔度為C．記錄的部分實驗數據如下：11.09.09.07.05.54.53.53.03.02.01.00.81.01.31.92.63.24.34.05.07.111.511.810.010.38.98.17.77.87.08.09.112.5C0.9900.9890.9900.9900.9900.9900.9900.9880.9900.9900.990對以上實驗數據進行分析，補充完成以下內容．（Ⅰ）選出C是0.990的所有數據組，并劃“√”；（Ⅱ）通過分析（Ⅰ）中選出的數據，發現可以用函數刻畫第一次用水量和總用水量之間的關系，在平面直角坐標系中畫出此函數的圖象；

結果：結合實驗數據，利用所畫的函數圖象可以推斷，當第一次用水量約為______個單位質量（精確到個位）時，總用水量最小．根據以上實驗數據和結果，解決下列問題：（1）當采用兩次清洗的方式并使總用水量最小時，與采用一次清洗的方式相比、可節水約______個單位質量（結果保留小數點后一位）；（2）當采用兩次清洗的方式時，若第一次用水量為6個單位質量，總用水量為7.5個單位質量，則清洗后的清潔度C______0.990（填“>”“=”或“<”）．26．在平面直角坐標系中，，是拋物線上任意兩點，設拋物線的對稱軸為．(1)若對于，有，求的值；(2)若對于，，都有，求的取值范圍．27．在中、，于點M，D是線段上的動點（不與點M，C重合），將線段繞點D順時針旋轉得到線段．

(1)如圖1，當點E在線段上時，求證：D是的中點；(2)如圖2，若在線段上存在點F（不與點B，M重合）滿足，連接，，直接寫出的大小，并證明．28．在平面直角坐標系中，的半徑為1．對于的弦和外一點C給出如下定義：若直線，中一條經過點O，另一條是的切線，則稱點C是弦的“關聯點”．(1)如圖，點，，①在點，，中，弦的“關聯點”是______．②若點C是弦的“關聯點”，直接寫出的長；(2)已知點，．對于線段上一點S，存在的弦，使得點S是弦的“關聯點”，記的長為t，當點S在線段上運動時，直接寫出t的取值范圍．參考答案1．B【分析】用科學記數法表示絕對值較大的數時，一般形式為，其中，為整數，且比原來的整數位數少1，據此判斷即可．【詳解】解：，故選：B．2．A【分析】根據軸對稱圖形，中心對稱圖形的定義進行判斷即可．【詳解】解：A既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，故符合要求；B不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故不符合要求；C是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故不符合要求；D是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故不符合要求；故選：A．3．C【分析】由，，可求出的度數，再根據角與角之間的關系求解．【詳解】∵，，∴，∵，∴．故選：C．4．B【分析】由可得，則，根據不等式的性質求解即可．【詳解】解：得，則，∴，∴，故選：B．5．C【分析】根據一元二次方程有兩個相等的實數根，可得，進而即可求解．【詳解】解：∵關于的一元二次方程有兩個相等的實數根，∴．解得：．故選：C．6．C【分析】根據多邊形的外角和為360°進行解答即可．【詳解】解：∵多邊形的外角和為360°∴十二邊形的外角和是360°．故選：C．7．A【分析】整個實驗分兩步完成，每步有兩個等可能結果，用列表法或樹狀圖工具輔助處理．【詳解】

如圖，所有結果有4種，滿足要求的結果有1種，故概率為.故選：A8．D【分析】如圖，過作于，則四邊形是矩形，則，由，可得，進而可判斷①的正誤；由，可得，，，，則，是等腰直角三角形，由勾股定理得，，由，可得，進而可判斷②的正誤；由勾股定理得，即，則，進而可判斷③的正誤．【詳解】解：如圖，過作于，則四邊形是矩形，

∴，∵，∴，①正確，故符合要求；∵，∴，，，，∵，∴，，∴是等腰直角三角形，由勾股定理得，，∵，∴，②正確，故符合要求；由勾股定理得，即，∴，③正確，故符合要求；故選：D．9．【分析】根據分式有意義的條件列不等式求解即可．【詳解】解：若代數式有意義，則，解得：，故答案為：．10．【詳解】試題分析：原式提公因式得：y（x2-y2）=11．【分析】方程兩邊同時乘以化為整式方程，解整式方程即可，最后要檢驗．【詳解】解：方程兩邊同時乘以，得，解得：，經檢驗，是原方程的解，故答案為：．12．3【分析】先把點A坐標代入求出反比例函數解析式，再把點B代入即可求出m的值．【詳解】解：∵函數的圖象經過點和∴把點代入得，∴反比例函數解析式為，把點代入得：，解得：，故答案為：3．13．460【分析】用1000乘以抽查的燈泡中使用壽命不小于2200小時的燈泡所占的比例即可．【詳解】解：估計這1000只燈泡中使用壽命不小于2200小時的燈泡的數量為（只），故答案為：460．14．【分析】由平行線分線段成比例可得，，，得出，，從而.【詳解】，

，，，，，，；故答案為：.15．【分析】根據，得出，，根據等腰直角三角形的性質得出，即，根據，，得出為等腰直角三角形，即可得出．【詳解】解：∵，∴，．∵，∴為等腰直角三角形，∴，∴．∵是的切線，∴，∵，∴為等腰直角三角形，∴．故答案為：．16．5328【分析】將所有工序需要的時間相加即可得出由一名學生單獨完成需要的時間；假設這兩名學生為甲、乙，根據加工要求可知甲學生做工序A，乙學生同時做工序B；然后甲學生做工序D，乙學生同時做工序C，乙學生工序C完成后接著做工序G；最后甲學生做工序E，乙學生同時做工序F，然后可得答案．【詳解】解：由題意得：（分鐘），即由一名學生單獨完成此木藝藝術品的加工，需要53分鐘；假設這兩名學生為甲、乙，∵工序C，D須在工序A完成后進行，工序E須在工序B，D都完成后進行，且工序A，B都需要9分鐘完成，∴甲學生做工序A，乙學生同時做工序B，需要9分鐘，然后甲學生做工序D，乙學生同時做工序C，乙學生工序C完成后接著做工序G，需要9分鐘，最后甲學生做工序E，乙學生同時做工序F，需要10分鐘，∴若由兩名學生合作完成此木藝藝術品的加工，最少需要（分鐘），故答案為：53，28；17．【分析】代入特殊角三角函數值，利用負整數指數冪，絕對值和二次根式的性質化簡，然后計算即可．【詳解】解：原式．18．【分析】分別求出每一個不等式的解集，根據口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集．【詳解】解不等式①得：解不等式②得：不等式的解集為：19．2【分析】先將分式進行化簡，再將變形整體代入化簡好的分式計算即可．【詳解】解：原式，由可得，將代入原式可得，原式．20．(1)見解析(2)【分析】（1）利用平行四邊形的性質求出，證明四邊形是平行四邊形，然后根據對角線相等的平行四邊形是矩形得出結論；（2）證明是等腰直角三角形，可得，然后再解直角三角形求出即可．【詳解】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，，∵，∴，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴平行四邊形是矩形；（2）解：由（1）知四邊形是矩形，∴，∵，，∴是等腰直角三角形，∴，又∵，∴，∴，∴．21．邊的寬為，天頭長為【分析】設天頭長為，則地頭長為，邊的寬為，再分別表示礎裝裱后的長和寬，根據裝裱后的長是裝裱后的寬的4倍列方程求解即可．【詳解】解：設天頭長為，由題意天頭長與地頭長的比是，可知地頭長為，邊的寬為，裝裱后的長為，裝裱后的寬為，由題意可得：解得，∴，答：邊的寬為，天頭長為．22．(1)，；(2)．【分析】（1）利用待定系數法可求出函數解析式，由題意知點C的縱坐標為4，代入函數解析式求出點C的橫坐標即可；（2）根據函數圖象得出當過點時滿足題意，代入求出n的值即可．【詳解】（1）解：把點，代入得：，解得：，∴該函數的解析式為，由題意知點C的縱坐標為4，當時，解得：，∴；（2）解：由（1）知：當時，，因為當時，函數的值大于函數的值且小于4，所以如圖所示，當過點時滿足題意，代入得：，解得：．

23．(1)，；(2)甲組(3)170，172【分析】（1）根據中位數和眾數的定義求解即可；（2）計算每一組的方差，根據方差越小數據越穩定進行判斷即可；（3）根據要求，身高的平均數盡可能大且方差小于，結合其余學生的身高即可做出選擇．【詳解】（1）解：將這組數據按照從小到大的順序排列為：161，162，162，164，165，165，165，166，166，167，168，168，170，172，172，175，出現次數最多的數是165，出現了3次，即眾數，16個數據中的第8和第9個數據分別是166，166，∴中位數，∴，；（2）解：甲組身高的平均數為，甲組身高的方差為乙組身高的平均數為，乙組身高的方差為，∵∴舞臺呈現效果更好的是甲組，故答案為：甲組；（3）解：168，168，172的平均數為∵所選的兩名學生與已確定的三名學生所組成的五名學生的身高的方差小于，∴數據的差別較小，數據才穩定，可供選擇的有：170，172，且選擇170，172時，平均數會增大，故答案為：170，172．24．(1)見解析，(2)【分析】（1）根據已知得出，則，即可證明平分，進而根據平分，得出，推出，得出是直徑，進而可得；（2）根據（1）的結論結合已知條件得出，，是等邊三角形，進而得出，由是直徑，根據含度角的直角三角形的性質可得，在中，根據含度角的直角三角形的性質求得的長，進而即可求解．【詳解】（1）解：∵∴，∴，即平分．∵平分，∴，∴，∴，即，∴是直徑，∴；（2）解：∵，，∴，則．∵，∴．∵，∴，∴是等邊三角形，則．∵平分，∴．∵是直徑，∴，則．∵四邊形是圓內接四邊形，∴，則，∴，∴，∴．∵，∴，∴．∵是直徑，∴此圓半徑的長為．25．（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）見解析，4；（1）11.3；（2）<【分析】（Ⅰ）直接在表格中標記即可；（Ⅱ）根據表格中數據描點連線即可做出函數圖象，再結合函數圖象找到最低點，可得第一次用水量約為4個單位質量時，總用水量最小；（1）根據表格可得，用兩次清洗的方式并使總用水量最小時，用水量為7.7個單位質量，計算即可；（2）根據表格可得當第一次用水量為6個單位質量，總用水量超過8個單位質量，則清洗后的清潔度能達到0.990，若總用水量為7.5個單位質量，則清潔度達不到0.990．【詳解】（Ⅰ）表格如下：11.09.09.07.05.54.53.53.03.02.01.00.81.01.31.92.63.24.34.05.07.111.511.810.010.38.98.17.77.87.08.09.112.5C0.990√0.9890.990√0.990√0.990√0.990√0.990√0.9880.990√0.990√0.990√（Ⅱ）函數圖象如下：

由圖象可得，當第一次用水量約為4個單位質量（精確到個位）時，總用水量最小；（1）當采用兩次清洗的方式并使總用水量最小時，用水量為7.7個單位質量，19-7.7=11.3，即可節水約11.3個單位質量；（2）由圖可得，當第一次用水量為6個單位質量，總用水量超過8個單位質量，則清洗后的清潔度能達到0.990，第一次用水量為6個單位質量，總用水量為7.5個單位質量，則清洗后的清潔度，故答案為：<．26．(1)(2)【分析】（1）根據二次函數的性質求得對稱軸即可求解；（2）根據題意可得離對稱軸更近，，則與的中點在對稱軸的右側，根據對稱性求得，進而根據，即可求解．【詳解】（1）解：∵對于，有，∴拋物線的對稱軸為直線，∵拋物線的對稱軸為．∴；（2）解：∵當，，∴，，∵，，∴離對稱軸更近，，則與的中點在對稱軸的右側，∴，即．27．(1)見解析(2)，證明見解析【分析】（1）由旋轉的性質得，，利用三角形外角的性質求出，可得，等量代換得到即可；（2）延長到H使，連接，，可得是的中位線，然后求出，設，，求出，證明，得到，再根據等腰三角形三線合一證明即可．【詳解】（1）證明：由旋轉的性質得：，，∵，∴，∴，∴，∴，即D是的中點；（2）；證明：如圖2，延長到H使，連接，，∵，∴是的中位線，∴，，由旋轉的性質得：，，∴，∵，∴，是等腰三角形，∴，，設，，則，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，即．

28．(1)，；(2)或．【分析】（1）根據題目中關聯點的定義并分情況討論計算即可；（2）根據，兩點來求最值情況，S共有2種情況，分別位于點M和經過點O的的垂直平分線上，運用相似三角形計算即可．【詳解】（1）解：①由關聯點的定義可知，若直線中一經過點O，另一條是的切線，則稱點C是弦的“關聯點”，∵點，，，，，∴直線經過點O，且與相切，∴是弦的“關聯點”，又∵和橫坐標相等，與都位于直線上，∴與相切，經過點O，∴是弦的“關聯點”．②∵，，設，如下圖所示，共有兩種情況，a、若與相切，經過點O，則、所在直線為：，解得：，∴，b、若與相切，經過點O，則、所在直線為：，解得：，∴，綜上，．（2）解：∵線段上一點S，存在的弦，使得點S是弦的“關聯點”，又∵弦隨著S的變動在一定范圍內變動，且，，，∴S共有2種情況，分別位于點M和經過點O的的垂直平分線上，如圖所示，①當S位于點時，為的切線，作，∵，的半徑為1，且為的切線，∴，∵，∴，∴，即，解得，∴根據勾股定理得，，根據勾股定理，，同理，，∴當S位于點時，的臨界值為和．②當S位于經過點O的的垂直平分線上即點K時，∵點，，∴，∴，又∵的半徑為1，∴，∴三角形為等邊三角形，∴在此情況下，，，∴當S位于經過點O的的垂直平分線上即點K時，的臨界值為和，∴在兩種情況下，的最小值在內，最大值在，綜上所述，t的取值范圍為或，

2022年北京中考數學試題及答案第一部分選擇題一、選擇題（共16分，每題2分）第1-8題均有四個選項，符合題意的選項只有一個．1.下面幾何體中，是圓錐的為（）A. B. C. D.【參考答案】B2.截至2021年12月31日，長江干流六座梯級水電站全年累計發電量達2628．83億千瓦時，相當于減排二氧化碳約2.2億噸．將262883000000用科學計數法表示應為（）A. B. C. D.【參考答案】B3.如圖，利用工具測量角，則的大小為（）A.30° B.60° C.120° D.150°【參考答案】A4.實數在數軸上的對應點的位置如圖所示，下列結論中正確的是（）A. B. C. D.【參考答案】D5.不透明的袋子中裝有紅、綠小球各一個，除顏色外兩個小球無其他差別，從中隨機摸出一個小球，放回并搖勻，再從中隨機摸出一個小球，那么第一次摸到紅球、第二次摸到綠球的概率是（）A. B. C. D.【參考答案】A6.若關于的一元二次方程有兩個相等的實數根，則實數的值為（）A. B. C. D.【參考答案】C7.圖中的圖形為軸對稱圖形，該圖形的對稱軸的條數為（）A. B. C. D.【參考答案】D8.下面的三個問題中都有兩個變量：①汽車從A地勻速行駛到B地，汽車的剩余路程y與行駛時間x；②將水箱中的水勻速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y與放水時間x；③用長度一定的繩子圍成一個矩形，矩形的面積y與一邊長x，其中，變量y與變量x之間的函數關系可以利用如圖所示的圖象表示的是（）A.①② B.①③ C.②③ D.①②③【參考答案】A第二部分非選擇題二、填空題（共16分，每題2分）9.若在實數范圍內有意義，則實數x的取值范圍是___________．【參考答案】x≥8【詳解】解：由題意得：x-8≥0，解得：x≥8．故答案為：x≥8．10.分解因式：______．【參考答案】【詳解】故答案為：．11.方程的解為___________．【參考答案】x=5【詳解】解：方程的兩邊同乘x(x+5),得：2x=x+5,解得：x=5,經檢驗：把x=5代入x(x+5)=50≠0.故原方程的解為：x=512.在平面直角坐標系中，若點在反比例函數的圖象上，則______（填“>”“=”或“<”）【參考答案】＞【詳解】解：∵k>0，∴在每個象限內，y隨x的增大而減小，，∴>．故答案為：>．13.某商場準備進400雙滑冰鞋，了解了某段時間內銷售的40雙滑冰鞋的鞋號，數據如下：鞋號353637383940414243銷售量/雙2455126321根據以上數據，估計該商場進鞋號需求最多的滑冰鞋的數量為________雙．【參考答案】120【詳解】解：根據題意得：39碼的鞋銷售量為12雙，銷售量最高，∴該商場進鞋號需求最多的滑冰鞋的數量為雙．故答案為：12014.如圖，在中，平分若則____．【參考答案】1【詳解】解：如圖，作于點F，∵平分，，，∴，∴．故答案為：1．15.如圖，在矩形中，若，則的長為_______．【參考答案】1【詳解】解：在矩形中：，，∴，，∴，∴，故答案為：1．16.甲工廠將生產的I號、II號兩種產品共打包成5個不同的包裹，編號分別為A，B，C，D，E，每個包裹的重量及包裹中I號、II號產品的重量如下：包裹編號I號產品重量/噸II號產品重量/噸包裹的重量/噸A516B325C235D437E358甲工廠準備用一輛載重不超過19.5噸的貨車將部分包裹一次運送到乙工廠．（1）如果裝運的I號產品不少于9噸，且不多于11噸，寫出一中滿足條件的裝運方案________（寫出要裝運包裹的編號）；（2）如果裝運的I號產品不少于9噸，且不多于11噸，同時裝運的II號產品最多，寫出滿足條件的裝運方案________（寫出要裝運包裹的編號）．【參考答案】①.ABC（或ABE或AD或ACD或BCD）②.ABE或BCD【詳解】解：（1）根據題意，選擇ABC時，裝運的I號產品重量為：（噸），總重（噸），符合要求；選擇ABE時，裝運的I號產品重量為：（噸），總重（噸），符合要求；選擇AD時，裝運I號產品重量為：（噸），總重（噸），符合要求；選擇ACD時，裝運的I號產品重量為：（噸），總重（噸），符合要求；選擇BCD時，裝運的I號產品重量為：（噸），總重（噸），符合要求；選擇DCE時，裝運的I號產品重量為：（噸），總重（噸），不符合要求；選擇BDE時，裝運的I號產品重量為：（噸），總重（噸），不符合要求；綜上，滿足條件的裝運方案有ABC或ABE或AD或ACD或BCD．故答案為：ABC（或ABE或AD或ACD或BCD）．（2）選擇ABC時，裝運的II號產品重量為：（噸）；選擇ABE時，裝運的II號產品重量為：（噸）；選擇AD時，裝運的II號產品重量為：（噸）；選擇ACD時，裝運的II號產品重量為：（噸）；選擇BCD時，裝運的II號產品重量為：（噸）；故答案為：ABE或BCD．三、解答題（共68分，第17-20題，每題5分，第21題6分，第22題5分，第23-24題，每題6分，第25題5分，第26題6分，第27-28題，每題7分）解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程．17.計算：【參考答案】4【詳解】解：．【點睛】本題考查了實數的混合運算，掌握零次冪、特殊角的正弦值、二次根式的化簡及去絕對值是解題的關鍵．18.解不等式組：【參考答案】【詳解】解：解不等式①得，解不等式②得，故所給不等式組的解集為：．19.已知，求代數式的值．【參考答案】５【詳解】解：∵，∴，∴20.下面是證明三角形內角和定理的兩種添加輔助線的方法，選擇其中一種，完成證明．三角形內角和定理：三角形三個內角和等于180°，已知：如圖，,求證：方法一證明：如圖，過點A作方法二證明：如圖，過點C作【參考答案】答案見解析【詳解】證明：過點作，則，．兩直線平行，內錯角相等）點，，在同一條直線上，．（平角的定義）．即三角形的內角和為．21.如圖，在中，交于點，點在上，．（1）求證：四邊形是平行四邊形；（2）若求證：四邊形是菱形．【參考答案】（1）見解析（2）見解析【小問1詳解】證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴，，∵，∴，即，∴四邊形是平行四邊形．【小問2詳解】∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴，∴，∵∴，∴，∴四邊形ABCD為菱形，∴，即，∵四邊形是平行四邊形，∴四邊形是菱形．22.在平面直角坐標系中，函數的圖象經過點，，且與軸交于點．（1）求該函數的解析式及點的坐標；（2）當時，對于的每一個值，函數的值大于函數的值，直接寫出的取值范圍．【參考答案】（1），（2）【小問1詳解】解：將，代入函數解析式得，，解得，∴函數解析式為：，當時，得，∴點A的坐標為．【小問2詳解】由題意得，，即，又由，得，解得，∴的取值范圍為．23.某校舉辦“歌唱祖國”演唱比賽，十位評委對每位同學的演唱進行現場打分，對參加比賽的甲、乙、丙三位同學得分的數據進行整理、描述和分析，下面給出了部分信息．a．甲、乙兩位同學得分的折線圖：b．丙同學得分：10，10，10，9，9，8，3，9，8，10c．甲、乙、丙三位同學得分的平均數：同學甲乙丙平均數8.68.6m根據以上信息，回答下列問題：（1）求表中m的值；（2）在參加比賽的同學中，如果某同學得分的10個數據的方差越小，則認為評委對該同學演唱的評價越一致．據此推斷：甲、乙兩位同學中，評委對_________的評價更一致（填“甲”或“乙”）；（3）如果每位同學的最后得分為去掉十位評委打分中的一個最高分和一個最低分后的平均分，最后得分越高，則認為該同學表現越優秀．據此推斷：在甲、乙、丙三位同學中，表現最優秀的是_________（填“甲”“乙”或“丙”）．【參考答案】（1）（2）甲（3）乙【小問1詳解】解：丙的平均數：，則．【小問2詳解】，，，∴甲、乙兩位同學中，評委對甲的評價更一致，故答案為：甲．【小問3詳解】由題意得，去掉一個最高分和一個最低分后的平均分為：甲：，乙：，丙：，∵去掉一個最高分和一個最低分后乙的平均分最高，因此最優秀的是乙，故答案為：乙．24.如圖，是的直徑，是的一條弦，連接（1）求證：（2）連接,過點作交的延長線于點，延長交于點，若為的中點，求證：直線為的切線．【參考答案】（1）答案見解析（2）答案見解析【小問1詳解】證明：設交于點，連接，由題可知，，，，，，，，，；【小問2詳解】證明：連接，，，同理可得：,，∵點H是CD的中點，點F是AC的中點，，，，，為的直徑，，，，，，，直線為的切線．25.單板滑雪大跳臺是北京冬奧會比賽項目之一，舉辦場地為首鋼滑雪大跳臺，運動員起跳后的飛行路線可以看作是拋物線的一部分，建立如圖所示的平面直角坐標系，從起跳到著陸的過程中，運動員的豎直高度（單位：m）與水平距離（單位：m）近似滿足函數關系．某運動員進行了兩次訓練．（1）第一次訓練時，該運動員的水平距離與豎直高度的幾組數據如下：水平距離x/m02581114豎直高度y/m20.0021.4022.7523.2022.7521.40根據上述數據，直接寫出該運動員豎直高度的最大值，并求出滿足的函數關系（2）第二次訓練時，該運動員的豎直高度y與水平距離x近似滿足函數關系記該運動員第一次訓練的著陸點的水平距離為d1，第二次訓練的著陸點的水平距離為，則______（填“>”“=”或“<”）．【參考答案】（1）23.20m；（2）【小問1詳解】解：根據表格中的數據可知，拋物線的頂點坐標為：，∴，，即該運動員豎直高度的最大值為23.20m，根據表格中的數據可知，當時，，代入得：，解得：，∴函數關系關系式為：．【小問2詳解】設著陸點的縱坐標為，則第一次訓練時，，解得：或，∴根據圖象可知，第一次訓練時著陸點的水平距離，第二次訓練時，，解得：或，∴根據圖象可知，第二次訓練時著陸點的水平距離，∵，∴，∴．故答案為：．26.在平面直角坐標系中，點在拋物線上，設拋物線的對稱軸為（1）當時，求拋物線與y軸交點坐標及的值；（2）點在拋物線上，若求的取值范圍及的取值范圍．【參考答案】（1）（0，2）；2（2）取值范圍為，的取值范圍為【小問1詳解】解：當時，，∴當x=0時，y=2，∴拋物線與y軸交點的坐標為（0，2）；∵，∴點關于對稱軸為對稱，∴；【小問2詳解】解：當x=0時，y=c，∴拋物線與y軸交點坐標為（0，c），∴拋物線與y軸交點關于對稱軸的對稱點坐標為（2t，c），∵，∴當時，y隨x增大而減小，當時，y隨x的增大而增大，當點，點，（2t，c）均在對稱軸的右側時，，∵1＜3，∴2t＞3，即（不合題意，舍去），當點在對稱軸的左側，點，（2t，c）均在對稱軸的右側時，點在對稱軸的右側，，此時點到對稱軸的距離大于點到對稱軸的距離，∴，解得：，∵1＜3，∴2t＞3，即，∴，∵，，對稱軸為，∴，∴，解得：，∴的取值范圍為，的取值范圍為．27.在中，，D為內一點，連接，延長到點，使得（1）如圖1，延長到點，使得，連接，若，求證：；（2）連接，交的延長線于點，連接，依題意補全圖2，若，用等式表示線段與的數量關系，并證明．【參考答案】（1）見解析（2）；證明見解析【小問1詳解】證明：在和中，，∴，∴，∴，∵，∴．【小問2詳解】解：補全后的圖形如圖所示，，證明如下：延長BC到點M，使CM＝CB，連接EM，AM，∵，CM＝CB，∴垂直平分BM，∴，在和中，，∴，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，即，∵，∴，∴．28.在平面直角坐標系中，已知點對于點給出如下定義：將點向右或向左平移個單位長度，再向上或向下平移個單位長度，得到點，點關于點的對稱點為，稱點為點的“對應點”．（1）如圖，點點在線段的延長線上，若點點為點的“對應點”．①在圖中畫出點；②連接交線段于點求證：（2）的半徑為1，是上一點，點在線段上，且，若為外一點，點為點的“對應點”，連接當點在上運動時直接寫出長的最大值與最小值的差（用含的式子表示）【參考答案】（1）見解析（2）【小問1詳解】解：①點Q如下圖所示．∵點，∴點向右平移1個單位長度，再向上平移1個單位長度，得到點，∴，∵點關于點的對稱點為，，∴點的橫坐標為：，縱坐標為：，∴點，在坐標系內找出該點即可；②證明：如圖延長ON至點，連接AQ，∵，∴，在與中，，∴，∴，∵，，，∴，，，∴，∴，∴；【小問2詳解】解：如圖所示，連接PO并延長至S，使，延長SQ至T，使，∵，點向右或向左平移個單位長度，再向上或向下平移個單位長度，得到點，∴，∵點關于點的對稱點為，∴，又∵，∴OM∥ST，∴NM為的中位線，∴，，∵，∴，∴，在中，，結合題意，，，∴，即長的最大值與最小值的差為．

2021年北京中考數學試題及答案一、選擇題(共16分，每題2分)第1-8題均有四個選項，符合題意的選項只有一個。1．如圖是某幾何體的展開圖，該幾何體是（）A．長方體 B．圓柱 C．圓錐 D．三棱柱2．黨的十八大以來，堅持把教育扶貧作為脫貧攻堅的優先任務．2014﹣2018年，中央財政累計投入“全面改善貧困地區義務教育薄弱學校基本辦學條件”專項補助資金1692億元，將169200000000用科學記數法表示應為（）A．0.1692×1012 B．1.692×1012 C．1.692×1011 D．16.92×10103．如圖，點O在直線AB上，OC⊥OD．若∠AOC＝120°，則∠BOD的大小為（）A．30° B．40° C．50° D．60°4．下列多邊形中，內角和最大的是（）A． B． C． D．5．實數a，b在數軸上的對應點的位置如圖所示，下列結論中正確的是（）A．a＞﹣2 B．|a|＞b C．a+b＞0 D．b﹣a＜06．同時拋擲兩枚質地均勻的硬幣，則一枚硬幣正面向上、一枚硬幣反面向上的概率是（）A． B． C． D．7．已知432＝1849，442＝1936，452＝2025，462＝2116．若n為整數且n＜＜n+1，則n的值為（）A．43 B．44 C．45 D．468．如圖，用繩子圍成周長為10m的矩形，記矩形的一邊長為xm，它的鄰邊長為ym，矩形的面積為Sm2．當x在一定范圍內變化時，y和S都隨x的變化而變化，則y與x，S與x滿足的函數關系分別是（）A．一次函數關系，二次函數關系 B．反比例函數關系，二次函數關系 C．一次函數關系，反比例函數關系 D．反比例函數關系，一次函數關系二、填空題(共16分，每題2分)9．若在實數范圍內有意義，則實數x的取值范圍是．10．分解因式：5x2﹣5y2＝．11．方程＝的解為．12．在平面直角坐標系xOy中，若反比例函數y＝（k≠0）的圖象經過點A（1，2）和點B（﹣1，m），則m的值為．13．如圖，PA，PB是⊙O的切線，A，B是切點．若∠P＝50°，則∠AOB＝．14．如圖，在矩形ABCD中，點E，F分別在BC，AD上，AF＝EC．只需添加一個條件即可證明四邊形AECF是菱形，這個條件可以是（寫出一個即可）．15．有甲、乙兩組數據，如下表所示：甲1112131415乙1212131414甲、乙兩組數據的方差分別為s甲2，s乙2，則s甲2s乙2（填“＞”，“＜”或“＝”）．16．某企業有A，B兩條加工相同原材料的生產線．在一天內，A生產線共加工a噸原材料，加工時間為（4a+1）小時；在一天內，B生產線共加工b噸原材料，加工時間為（2b+3）小時．第一天，該企業將5噸原材料分配到A，B兩條生產線，兩條生產線都在一天內完成了加工，且加工時間相同，則分配到A生產線的噸數與分配到B生產線的噸數的比為．第二天開工前，該企業按第一天的分配結果分配了5噸原材料后，又給A生產線分配了m噸原材料，給B生產線分配了n噸原材料．若兩條生產線都能在一天內加工完各自分配到的所有原材料，且加工時間相同，則的值為．三、解答題（共68分，第17-20題，每題5分，第21-22題，每題6分，第23題5分，第24題6分，第25題5分，第26題6分，第27-28題，每題7分）解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程。17．計算：2sin60°++|﹣5|﹣（π+）0．18．解不等式組：．19．已知a2+2b2﹣1＝0，求代數式（a﹣b）2+b（2a+b）的值．20．《淮南子?天文訓》中記載了一種確定東西方向的方法，大意是：日出時，在地面上點A處立一根桿，在地面上沿著桿的影子的方向取一點B，使B，A兩點間的距離為10步（步是古代的一種長度單位），在點B處立一根桿；日落時，在地面上沿著點B處的桿的影子的方向取一點C，使C，B兩點間的距離為10步，在點C處立一根桿．取CA的中點D，那么直線DB表示的方向為東西方向．（1）上述方法中，桿在地面上的影子所在直線及點A，B，C的位置如圖所示．使用直尺和圓規，在圖中作CA的中點D（保留作圖痕跡）；（2）在如圖中，確定了直線DB表示的方向為東西方向．根據南北方向與東西方向互相垂直，可以判斷直線CA表示的方向為南北方向，完成如下證明．證明：在△ABC中，BA＝，D是CA的中點，∴CA⊥DB（）（填推理的依據）．∵直線DB表示的方向為東西方向，∴直線CA表示的方向為南北方向．21．已知關于x的一元二次方程x2﹣4mx+3m2＝0．（1）求證：該方程總有兩個實數根；（2）若m＞0，且該方程的兩個實數根的差為2，求m的值．22．如圖，在四邊形ABCD中，∠ACB＝∠CAD＝90°，點E在BC上，AE∥DC，EF⊥AB，垂足為F．（1）求證：四邊形AECD是平行四邊形；（2）若AE平分∠BAC，BE＝5，cosB＝，求BF和AD的長．23．在平面直角坐標系xOy中，一次函數y＝kx+b（k≠0）的圖象由函數y＝x的圖象向下平移1個單位長度得到．（1）求這個一次函數的解析式；（2）當x＞﹣2時，對于x的每一個值，函數y＝mx（m≠0）的值大于一次函數y＝kx+b的值，直接寫出m的取值范圍．24．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AD是⊙O的直徑，AD⊥BC于點E．（1）求證：∠BAD＝∠CAD；（2）連接BO并延長，交AC于點F，交⊙O于點G，連接GC．若⊙O的半徑為5，OE＝3，求GC和OF的長．25．為了解甲、乙兩座城市的郵政企業4月份收入的情況，從這兩座城市的郵政企業中，各隨機抽取了25家郵政企業，獲得了它們4月份收入（單位：百萬元）的數據，并對數據進行整理、描述和分析．下面給出了部分信息．a．甲城市郵政企業4月份收入的數據的頻數分布直方圖如下（數據分成5組：6≤x＜8，8≤x＜10，10≤x＜12，12≤x＜14，14≤x≤16）：b．甲城市郵政企業4月份收入的數據在10≤x＜12這一組的是：10.010.010.110.911.411.511.611.8c．甲、乙兩座城市郵政企業4月份收入的數據的平均數、中位數如下：平均數中位數甲城市10.8m乙城市11.011.5根據以上信息，回答下列問題：（1）寫出表中m的值；（2）在甲城市抽取的郵政企業中，記4月份收入高于它們的平均收入的郵政企業的個數為p1．在乙城市抽取的郵政企業中，記4月份收入高于它們的平均收入的郵政企業的個數為p2．比較p1，p2的大小，并說明理由；（3）若乙城市共有200家郵政企業，估計乙城市的郵政企業4月份的總收入（直接寫出結果）．26．在平面直角坐標系xOy中，點（1，m）和點（3，n）在拋物線y＝ax2+bx（a＞0）上．（1）若m＝3，n＝15，求該拋物線的對稱軸；（2）已知點（﹣1，y1），（2，y2），（4，y3）在該拋物線上．若mn＜0，比較y1，y2，y3的大小，并說明理由．27．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，M為BC的中點，點D在MC上，以點A為中心，將線段AD順時針旋轉α得到線段AE，連接BE，DE．（1）比較∠BAE與∠CAD的大小；用等式表示線段BE，BM，MD之間的數量關系，并證明；（2）過點M作AB的垂線，交DE于點N，用等式表示線段NE與ND的數量關系，并證明．28．在平面直角坐標系xOy中，⊙O的半徑為1．對于點A和線段BC，給出如下定義：若將線段BC繞點A旋轉可以得到⊙O的弦B′C′（B′，C′分別是B，C的對應點），則稱線段BC是⊙O的以點A為中心的“關聯線段”．（1）如圖，點A，B1，C1，B2，C2，B3，C3的橫、縱坐標都是整數．在線段B1C1，B2C2，B3C3中，⊙O的以點A為中心的“關聯線段”是；（2）△ABC是邊長為1的等邊三角形，點A（0，t），其中t≠0．若BC是⊙O的以點A為中心的“關聯線段”，求t的值；（3）在△ABC中，AB＝1，AC＝2．若BC是⊙O的以點A為中心的“關聯線段”，直接寫出OA的最小值和最大值，以及相應的BC長．參考答案：1.【答案】B2.【答案】C3.【答案】A4.【答案】D5.【答案】B6.【答案】C7.【答案】B8.【答案】A9.【答案】【詳解】解：由題意得：，解得：；故答案為．10.【答案】【詳解】解：；故答案為．11.【答案】【詳解】解：，∴，經檢驗：是原方程解．故答案為：x=3．12.【答案】【詳解】解：把點代入反比例函數得：，∴，解得：，故答案為-2．13.【答案】130°【詳解】解：∵是的切線，∴，∴由四邊形內角和可得：，∵，∴；故答案為130°．14.【答案】（答案不唯一）【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，若要添加一個條件使其為菱形，則可添加或AE=CE或CE=CF或AF=CF，理由：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；故答案為（答案不唯一）．15.【答案】＞【詳解】解：由題意得：，，∴，，∴，∴；故答案為＞．16.【答案】①.2∶3②.【詳解】解：設分配到生產線噸數為x噸，則分配到B生產線的噸數為（5-x）噸，依題意可得：，解得：，∴分配到B生產線的噸數為5-2=3（噸），∴分配到生產線的噸數與分配到生產線的噸數的比為2∶3；∴第二天開工時，給生產線分配了噸原材料，給生產線分配了噸原材料，∵加工時間相同，∴，解得：，∴；故答案為，．17.【答案】【詳解】解：原式=．18.【答案】【詳解】解：由①可得：，由②可得：，∴原不等式組的解集為．19.【答案】1【詳解】解：==，∵，∴，代入原式得：原式=．20.【答案】（1）圖見詳解；（2），等腰三角形的三線合一【詳解】解：（1）如圖所示：（2）證明：在中，，是的中點，（等腰三角形的三線合一）（填推理的依據）．∵直線表示的方向為東西方向，∴直線表示的方向為南北方向；故答案為，等腰三角形的三線合一．【點睛】本題主要考查垂直平分線的尺規作圖及等腰三角形的性質，熟練掌握垂直平分線的尺規作圖及等腰三角形的性質是解題的關鍵．21.【答案】（1）見詳解；（2）【詳解】（1）證明：由題意得：，∴，∵，∴，∴該方程總有兩個實數根；（2）解：設關于的一元二次方程的兩實數根為，則有：，∵，∴，解得：，∵，∴．22.【答案】（1）見詳解；（2），【詳解】（1）證明：∵，∴AD∥CE，∵，∴四邊形是平行四邊形；（2）解：由（1）可得四邊形是平行四邊形，∴，∵，平分，，∴，∴EF=CE=AD，∵，∴，∴，∴．23.【答案】（1）；（2）【詳解】解：（1）由一次函數圖象由函數的圖象向下平移1個單位長度得到可得：一次函數的解析式為；（2）由題意可先假設函數與一次函數的交點橫坐標為，則由（1）可得：，解得：，函數圖象如圖所示：∴當時，對于的每一個值，函數的值大于一次函數的值時，根據一次函數的k表示直線的傾斜程度可得當時，符合題意，當時，則函數與一次函數的交點在第一象限，此時就不符合題意，綜上所述：．24.【答案】（1）見詳解；（2），【詳解】（1）證明：∵是的直徑，，∴，∴；（2）解：由題意可得如圖所示：由（1）可得點E為BC的中點，∵點O是BG的中點，∴，∴，∴，∵，∴，∵的半徑為5，∴，∴，∴．25.【答案】（1）；（2），理由見詳解；（3）乙城市的郵政企業4月份的總收入為2200百萬元．【詳解】解：（1）由題意可得m為甲城市的中位數，由于總共有25家郵政企業，所以第13家郵政企業的收入作為該數據的中位數，∵有3家，有7家，有8家，∴中位數落在上，∴；（2）由（1）可得：甲城市中位數低于平均數，則最大12個；乙城市中位數高于平均數，則至少為13個，∴；（3）由題意得：（百萬元）；答：乙城市的郵政企業4月份的總收入為2200百萬元．26.【答案】（1）；（2），理由見解析【詳解】解：（1）當時，則有點和點，代入二次函數得：，解得：，∴拋物線解析式為，∴拋物線的對稱軸為；（2）由題意得：拋物線始終過定點，則由可得：①當時，由拋物線始終過定點可得此時的拋物線開口向下，即，與矛盾；②當時，∵拋物線始終過定點，∴此時拋物線的對稱軸的范圍為，∵點在該拋物線上，∴它們離拋物線對稱軸的距離的范圍分別為，∵，開口向上，∴由拋物線的性質可知離對稱軸越近越小，∴．27.【答案】（1），，理由見詳解；（2），理由見詳解．【詳解】（1）證明：∵，∴，∴，由旋轉的性質可得，∵，∴，∴，∵點M為BC的中點，∴，∵，∴；（2）證明：，理由如下：過點E作EH⊥AB，垂足為點Q，交AB于點H，如圖所示：∴，由（1）可得，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴．28.【答案】（1）；（2）；（3）當時，此時；當時，此時．【詳解】解：（1）由題意得：通過觀察圖象可得：線段能繞點A旋轉90°得到的“關聯線段”，都不能繞點A進行旋轉得到；故答案為；（2）由題意可得：當是的以點為中心的“關聯線段”時，則有是等邊三角形，且邊長也為1，當點A在y軸的正半軸上時，如圖所示：設與y軸的交點為D，連接，易得軸，∴，∴，，∴，∴；當點A在y軸的正半軸上時，如圖所示：同理可得此時的，∴；（3）由是的以點為中心的“關聯線段”，則可知都在上，且，則有當以為圓心，1為半徑作圓，然后以點A為圓心，2為半徑作圓，即可得到點A的運動軌跡，如圖所示：由運動軌跡可得當點A也在上時為最小，最小值為1，此時為的直徑，∴，∴，∴；由以上情況可知當點三點共線時，OA的值為最大，最大值為2，如圖所示：連接，過點作于點P，∴，設，則有，∴由勾股定理可得：，即，解得：，∴，∴，在中，，∴；綜上所述：當時，此時；當時，此時．

2020年北京中考數學試題及答案滿分：100分時間：120分鐘一.選擇題（本題共16分，每小題2分）第1-8題均有四個選項，符合題意的選項只有一個1.右圖是某幾何體的三視圖，該幾何體是（）A.圓柱B.圓錐C.三棱錐D.長方體2.2020年6月23日，北斗三號最后一顆全球組網衛星從西昌發射中心發射升空，6月30日成功定點于距離地球36000公里的地球同步軌道.將36000用科學記數法表示應為（）A.B.C.D.3.如圖，AB和CD相交于點O，則下列結論正確的是（）A.∠1=∠2B.∠2=∠3C.∠1＞∠4+∠5D.∠2＜∠54.下列圖形中，既是中心對稱圖形也是軸對稱圖形的是（）5.正五邊形的外角和為（）A.180°B.360°C.540°D.720°6.實數在數軸上的對應點的位置如圖所示.若實數滿足，則的值可以是（）A.2B.-1C.-2D.-37.不透明的袋子中裝有兩個小球，上面分別寫著“1”，“2”，除數字外兩個小球無其他差別.從中隨機摸出一個小球，記錄其數字，放回并搖勻，再從中隨機摸出一個小球，記錄其數字，那么兩次記錄的數字之和為3的概率是（）A.B.C.D.8.有一個裝有水的容器，如圖所示.容器內的水面高度是10cm，現向容器內注水，并同時開始計時，在注水過程中，水面高度以每秒0.2cm的速度勻速增加，則容器注滿水之前，容器內的水面高度與對應的注水時間滿足的函數關系是（）A.正比例函數關系B.一次函數關系C.二次函數關系D.反比例函數關系二、填空題（本題共16分，每小題2分）9.若代數式有意義，則實數的取值范圍是.10.已知關于的方程有兩個相等的實數根，則的值是.11.寫出一個比大且比小的整數.12方程組的解為.13.在平面直角坐標系中，直線與雙曲線交于A，B兩點.若點A，B的縱坐標分別為，則的值為.14.在△ABC中，AB=AC，點D在BC上（不與點B，C重合）.只需添加一個條件即可證明△ABD≌△ACD，這個條件可以是（寫出一個即可）15.如圖所示的網格是正方形網格，A，B，C，D是網格交點，則△ABC的面積與△ABD的面積的大小關系為：（填“＞”，“＝”或“＜”）16.下圖是某劇場第一排座位分布圖甲、乙、丙、丁四人購票，所購票分別為2,3,4,5.每人選座購票時，只購買第一排的座位相鄰的票，同時使自己所選的座位之和最小.如果按“甲、乙、丙、丁”的先后順序購票，那么甲甲購買1,2號座位的票，乙購買3,5,7號座位的票，丙選座購票后，丁無法購買到第一排座位的票.若丙第一購票，要使其他三人都能購買到第一排座位的票，寫出一種滿足條件的購票的先后順序.三、解答題（本題共68分，第17-20題，每小題5分，第21題6分，第22題5分，第23-24題，每小題6分，第25題5分，第26題6分，第27