平面解析幾何第八章第5講橢圓【考綱導學】1．掌握橢圓的定義、幾何圖形、標準方程及簡單性質．2．了解圓錐曲線的簡單應用．3．理解數形結合的思想．欄目導航01課前基礎診斷03課后感悟提升02課堂考點突破04配套訓練課前基礎診斷11．橢圓的定義平面內與兩個定點F1，F2的距離的和等于常數(大于|F1F2|)的點的軌跡叫做______．這兩個定點叫做橢圓的______，兩焦點間的距離叫做橢圓的______．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c為常數：(1)若______，則集合P為橢圓；(2)若______，則集合P為線段；(3)若______，則集合P為空集．橢圓焦點焦距a>c

a＝c

a<c

2．橢圓的標準方程和幾何性質－a

a

－b

b

－b

b

－a

a

坐標軸(0,0)

(－a,0)

(a,0)

(0，－b)

(0，b)

(0，－a)

(0，a)

(－b,0)

(b,0)

2a

2b

2c

(0,1)

a2－b2

1．若方程x2＋ky2＝2表示焦點在y軸上的橢圓，那么實數k的取值范圍是(

)A．(0，＋∞)

B．(0,2)C．(1，＋∞)

D．(0,1)【答案】D【答案】B【答案】A判斷下面結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)：(1)平面內與兩個定點F1，F2的距離之和等于常數的點的軌跡是橢圓．(

)(2)橢圓上一點P與兩焦點F1，F2構成△PF1F2的周長為2a＋2c(其中a為橢圓的長半軸長，c為橢圓的半焦距)．(

)(3)橢圓的離心率e越大，橢圓就越圓．(

)【答案】(1)×

(2)√

(3)×

(4)√

(5)×

(6)√課堂考點突破2橢圓的定義

(1)如圖所示，一圓形紙片的圓心為O，F是圓內一定點，M是圓周上一動點，把紙片折疊使點M與F重合，然后抹平紙片，折痕為CD，設CD與OM交于點P，則點P的軌跡是(

)A．橢圓 B．雙曲線C．拋物線 D．圓【答案】(1)A

(2)3【規律方法】橢圓定義的應用主要有兩個方面：一是確認平面內與兩定點有關的軌跡是否為橢圓；二是當P在橢圓上時，與橢圓的兩焦點F1，F2組成的三角形通常稱為“焦點三角形”，利用定義可求其周長；利用定義和余弦定理可求|PF1|·|PF2|；通過整體代入可求其面積等．【跟蹤訓練】1．(2017年天水校級測試)平面內有一長度為4的線段AB，動點P滿足|PA|＋|PB|＝6，則點P的軌跡是(

)A．直線 B．射線C．橢圓 D．雙曲線【答案】C求橢圓的標準方程定義法求橢圓的方程【答案】C待定系數法求橢圓的方程【規律方法】根據條件求橢圓方程常用的主要方法是定義法和待定系數法．定義法的要點是根據題目所給條件確定動點的軌跡滿足橢圓的定義；待定系數法的要點是根據題目所給的條件確定橢圓中的兩個系數a，b.橢圓的幾何性質【規律方法】(1)利用橢圓幾何性質的注意點及技巧：①注意橢圓幾何性質中的不等關系．在求與橢圓有關的一些量的范圍，或者最大值、最小值時，經常用到橢圓標準方程中x，y的范圍，離心率的范圍等不等關系．②利用橢圓幾何性質的技巧．求解與橢圓幾何性質有關的問題時，要結合圖形進行分析，當涉及頂點、焦點、長軸、短軸等橢圓的基本量時，要理清它們之間的內在聯系．(2)求橢圓的離心率問題的一般思路：求橢圓的離心率或其范圍時，一般是依據題設得出一個關于a，b，c的等式或不等式，利用a2＝b2＋c2消去b，即可求得離心率或離心率的范圍．【答案】B【解析】設橢圓的長半軸為a，雙曲線的實半軸為a1(a＞a1)，半焦距為c，由橢圓和雙曲線的定義可知，設|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，|F1F2|＝2c，橢圓和雙曲線的離心率分別為e1，e2.直線與橢圓的綜合問題由直線與橢圓的位置關系研究橢圓的性質由直線與橢圓的位置關系研究直線的性質【規律方法】解決直線與橢圓的位置關系的相關問題，其常規思路是先把直線方程與橢圓方程聯立，消元、化簡，然后應用根與系數的關系建立方程，解決相關問題．涉及弦中點的問題時用“點差法”解決，往往會更簡單．課后感悟提升32種方法——求橢圓標準方程的方法(1)定義法：根據橢圓定義，確定a2，b2的值，再結合焦點位置，直接寫出橢圓的標準方程．(2)待定系數法：根據橢圓焦點是在x軸還是y軸上，設出相應形式的標準方程，然后根據條件確定關于a，b，c的方程組，解出a2，b2，從而寫出橢圓的標準方程．3種技巧——與橢圓性質、方程相關的三種技巧(1)橢圓上任意一點M到焦點F的所有距離中，長軸端點到焦點的距離分別為最大距離和最小距離，且最大距離為a＋c，最小距離為a－c.(2)求橢圓離心率e時，只要求出a，b，c的一個齊次方程