第21頁（共21頁）2024-2025學(xué)年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)北師大版（2024）七年級同步經(jīng)典題精練之兩條直線的位置關(guān)系一．選擇題（共5小題）1．（2024秋?晉安區(qū)期末）在下列生活、生產(chǎn)現(xiàn)象中，可以用基本事實“垂線段最短”來解釋的是（）A．平板彈墨線 B．建筑工人砌墻 C．彎河道改直 D．測量跳遠成績2．（2024秋?增城區(qū)期末）如圖，將一副三角尺按不同位置擺放，∠α與∠β互余的是（）A． B． C． D．3．（2024秋?洛陽期末）我們知道，2條直線相交只有1個交點，3條直線兩兩相交最多能有3個交點，4條直線兩兩相交最多能有6個交點，5條直線兩兩相交最多能有10個交點，…10條直線兩兩相交最多能有（）A．28 B．36 C．45 D．554．（2024秋?酉陽縣期末）如圖，點O在直線AB上，∠COB＝∠EOD＝90°，下列說法錯誤的是（）A．∠1＝∠2 B．∠AOE與∠2互余 C．∠AOD與∠1互補 D．∠AOD與∠COD互補5．（2024秋?蜀山區(qū)期末）下列說法錯誤的是（）A．35°37′的余角度數(shù)為64°23' B．兩點確定一條直線 C．同角的補角相等 D．兩點之間線段的長度叫作兩點之間的距離二．填空題（共5小題）6．（2024秋?東臺市期末）一個角為60°，則它的補角的大小為．7．（2024秋?江都區(qū)期末）一副三角板按如圖所示的方式擺放，∠2＝25°，則∠1＝°．8．（2024秋?倉山區(qū)校級期末）如圖，AO⊥OC，點B，O，D在同一條直線上，若∠1＝15°，則∠2的度數(shù)是．9．（2024秋?東海縣期末）一個銳角的大小是50°30'，則它的余角的大小為．10．（2024秋?伊川縣期末）大雁遷徙時常排成人字形，這個人字形的一邊與其飛行方向夾角是54°44′8″，從空氣動力學(xué)角度看，這個角度對于大雁隊伍飛行最佳，所受阻力最小．則54°44′8″的補角是．三．解答題（共5小題）11．（2024秋?儀征市期末）如圖，直線AB、CD相交于點O，OE⊥AB，OF⊥CD．（1）圖中∠AOF的余角除了∠AOC，還有；（2）若∠EOF＝35°，求∠AOD的度數(shù)．12．（2024秋?楊浦區(qū)期末）如圖，射線OE、OS、OW、ON分別表示東、南、西、北方向，已知∠AOB＝90°．（1）圖中與∠AON互余的角是；（2）圖中與∠AON互補的角是；（3）如果∠BOE＝118°，那么點A在點O的方向．13．（2024秋?永川區(qū)期末）如圖，直線AB，CD交于點O，OE⊥AB，垂足為O．（1）若∠EOD＝32°，求∠COB的度數(shù)；（2）若∠AOC：∠COB＝2：7，求∠EOD的度數(shù)．14．（2024秋?嵊州市期末）以直線AB上一點O為端點作射線OC，使∠BOC＝60°，將一個直角三角形DOE的直角頂點放在點O處．（1）如圖1，若直角三角形DOE的一邊OD放在射線OB上，則∠COE＝；（2）如圖2，將直角三角形DOE繞點O逆時針方向轉(zhuǎn)動到某個位置，若OE恰好平分∠AOC，請判斷OD是否平分∠BOC，并說明理由；（3）將三角形DOE繞點O逆時針轉(zhuǎn)動到某個位置時，若恰好∠AOE＝5∠COD，求∠BOD的度數(shù)．15．（2024秋?橋西區(qū)期末）如圖1所示，點O為直線AB上一點，∠AOC＝60°，三角形MON的一條邊OM在射線OB上且∠MON＝90°．（1）如圖1，∠BOC的度數(shù)為°，∠CON的度數(shù)為°；（2）如圖2，三角形MON繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)邊OM恰好平分∠BOC時，求∠AON的度數(shù)；（3）三角形MON由圖1位置繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)120°的過程中，請直接寫出∠COM與∠AON的數(shù)量關(guān)系．

2024-2025學(xué)年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)北師大版（2024）七年級同步經(jīng)典題精練之兩條直線的位置關(guān)系參考答案與試題解析題號12345答案DACDA一．選擇題（共5小題）1．（2024秋?晉安區(qū)期末）在下列生活、生產(chǎn)現(xiàn)象中，可以用基本事實“垂線段最短”來解釋的是（）A．平板彈墨線 B．建筑工人砌墻 C．彎河道改直 D．測量跳遠成績【考點】垂線段最短．【專題】線段、角、相交線與平行線；應(yīng)用意識．【答案】D【分析】根據(jù)垂線段最短解答即可．【解答】解：A、平板彈墨線，用基本事實“兩點確定一條直線”來解釋，不符合題意；B、建筑工人砌墻，用基本事實“兩點確定一條直線”來解釋，不符合題意；C、彎河道改直，用基本事實“兩點之間，線段最短”來解釋，不符合題意；D、測量跳遠成績，用基本事實“垂線段最短”來解釋，符合題意；故選：D．【點評】本題考查的是垂線段最短，垂線段最短，指的是從直線外一點到這條直線所作的垂線段最短．2．（2024秋?增城區(qū)期末）如圖，將一副三角尺按不同位置擺放，∠α與∠β互余的是（）A． B． C． D．【考點】余角和補角．【答案】A【分析】根據(jù)余角和補角的概念、結(jié)合圖形進行判斷即可．【解答】解：A，∠α與∠β互余，故本選項正確；B，∠α＝∠β，故本選項錯誤；C，∠α＝∠β，故本選項錯誤；D，∠α與∠β互補，故本選項錯誤，故選：A．【點評】本題考查的是余角和補角的概念，若兩個角的和為90°，則這兩個角互余；若兩個角的和等于180°，則這兩個角互補．3．（2024秋?洛陽期末）我們知道，2條直線相交只有1個交點，3條直線兩兩相交最多能有3個交點，4條直線兩兩相交最多能有6個交點，5條直線兩兩相交最多能有10個交點，…10條直線兩兩相交最多能有（）A．28 B．36 C．45 D．55【考點】相交線．【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力．【答案】C【分析】根據(jù)題目中的交點個數(shù)，找出n條直線相交最多有的交點個數(shù)公式：n（n﹣1）．【解答】解：2條直線相交有1個交點；3條直線相交有1+2＝3個交點；4條直線相交有1+2+3＝6個交點；5條直線相交有1+2+3+4＝10個交點；……n條直線相交有1+2+3+4+5+…+（n﹣1）＝n（n﹣1），∴10條直線相交有12×10×(10-1)=故選：C．【點評】本題考查的是多條直線相交的交點問題，解答此題的關(guān)鍵是找出規(guī)律，即n條直線相交最多有n（n﹣1）．4．（2024秋?酉陽縣期末）如圖，點O在直線AB上，∠COB＝∠EOD＝90°，下列說法錯誤的是（）A．∠1＝∠2 B．∠AOE與∠2互余 C．∠AOD與∠1互補 D．∠AOD與∠COD互補【考點】余角和補角．【專題】線段、角、相交線與平行線；幾何直觀．【答案】D【分析】根據(jù)余角和補角的定義逐一判斷即可得解．【解答】解：∵∠COB＝∠EOD＝90°，∴∠1+∠COD＝∠2+∠COD＝90°，∴∠1＝∠2，故A選項正確；∵∠AOE+∠1＝90°，∴∠AOE+∠2＝90°，即∠AOE與∠2互余，故B選項正確；∵∠AOD+∠2＝180°，又∵∠1＝∠2，∴∠AOD+∠1＝180°，即∠AOD與∠1互補，故C選項正確；無法判斷∠AOD與∠COD是否互余，D選項錯誤；故選：D．【點評】本題考查了角的計算，角平分線等知識，掌握角的計算是關(guān)鍵．5．（2024秋?蜀山區(qū)期末）下列說法錯誤的是（）A．35°37′的余角度數(shù)為64°23' B．兩點確定一條直線 C．同角的補角相等 D．兩點之間線段的長度叫作兩點之間的距離【考點】余角和補角；直線的性質(zhì)：兩點確定一條直線；兩點間的距離；度分秒的換算．【專題】線段、角、相交線與平行線；應(yīng)用意識．【答案】A【分析】利用度分秒的換算、確定直線的條件、補角的性質(zhì)及兩點間的距離的定義分別判斷后即可確定正確的選項．【解答】解：A、35°37′的余角度數(shù)為54°23'，A選項錯誤，符合題意；B、兩點確定一條直線，B選項正確，不符合題意；C、同角的補角相等，C選項正確，不符合題意；D、兩點之間線段的長度叫作兩點之間的距離，D選項正確，不符合題意．故選：A．【點評】本題考查了余角和補角、直線的性質(zhì)、兩點間的距離及度分秒的換算的知識，解題的關(guān)鍵是了解有關(guān)的定義及性質(zhì)，難度不大．二．填空題（共5小題）6．（2024秋?東臺市期末）一個角為60°，則它的補角的大小為120°．【考點】余角和補角．【專題】線段、角、相交線與平行線；運算能力．【答案】120°．【分析】根據(jù)補角的定義即可作答．【解答】解：180°﹣60°＝120°．故答案為：120°．【點評】本題主要考查余角和補角，熟記補角的定義是解題的關(guān)鍵．7．（2024秋?江都區(qū)期末）一副三角板按如圖所示的方式擺放，∠2＝25°，則∠1＝65°．【考點】余角和補角．【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力．【答案】65．【分析】根據(jù)余角的定義，即可作答．【解答】解：∠1＝90°﹣∠2＝90°﹣25°＝65°．故答案為：65．【點評】本題主要考查余角和補角，熟記余角的定義是解題的關(guān)鍵．8．（2024秋?倉山區(qū)校級期末）如圖，AO⊥OC，點B，O，D在同一條直線上，若∠1＝15°，則∠2的度數(shù)是105°．【考點】垂線．【專題】線段、角、相交線與平行線；運算能力．【答案】105°．【分析】根據(jù)互余的性質(zhì)求出∠COB的度數(shù)，根據(jù)互補的概念求出∠2的度數(shù)．【解答】解：∵∠1＝15°，∠AOC＝90°，∴∠COB＝75°，∴∠2＝180°﹣∠COB＝105°．故答案為：105°．【點評】本題考查了余角和補角的概念和性質(zhì)，掌握若兩個角的和為90°，則這兩個角互余，若兩個角的和等于180°，則這兩個角互補是關(guān)鍵．9．（2024秋?東海縣期末）一個銳角的大小是50°30'，則它的余角的大小為39°30′．【考點】余角和補角；度分秒的換算．【專題】線段、角、相交線與平行線；運算能力．【答案】39°30′【分析】根據(jù)銳角的度數(shù)，求出它的余角即可．【解答】解：∵一個銳角的大小是50°30'，∴它的余角為90°﹣50°30'＝39°30′，故答案為：39°30′．【點評】本題考查了余角的定義的應(yīng)用，熟練掌握余角的定義，角的度分秒運算是解題的關(guān)鍵．10．（2024秋?伊川縣期末）大雁遷徙時常排成人字形，這個人字形的一邊與其飛行方向夾角是54°44′8″，從空氣動力學(xué)角度看，這個角度對于大雁隊伍飛行最佳，所受阻力最小．則54°44′8″的補角是125°15′52″．【考點】余角和補角；度分秒的換算．【專題】線段、角、相交線與平行線．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】根據(jù)補角的定義列式計算即可．【解答】解：180°﹣54°44′8″＝179°59'60''﹣54°44'8''＝125°15'52''，故答案為：125°15'52''．【點評】本題考查了補角的定義和度、分、秒的互化，熟練掌握：1度＝60分，即1°＝60′，1分＝60秒，即1′＝60″．三．解答題（共5小題）11．（2024秋?儀征市期末）如圖，直線AB、CD相交于點O，OE⊥AB，OF⊥CD．（1）圖中∠AOF的余角除了∠AOC，還有∠FOE、∠BOD；（2）若∠EOF＝35°，求∠AOD的度數(shù)．【考點】余角和補角；對頂角、鄰補角；垂線．【專題】線段、角、相交線與平行線；應(yīng)用意識．【答案】（1）∠FOE、∠BOD；（2）∠AOD＝145°．【分析】（1）根據(jù)余角的定義，即可作答；（2）先求出∠AOC的度數(shù)，再根據(jù)平角的定義，即可求出答案．【解答】解：（1）∵OE⊥AB，OF⊥CD，∴∠AOC+∠AOF＝90°，∠FOE+∠AOF＝90°，∵∠AOC＝∠BOD，∴∠BOD+∠AOF＝90°．故答案為：∠FOE、∠BOD．（2）由（1）可知，∠AOC＝∠EOF，∵∠EOF＝35°，∴∠AOC＝35°，∴∠AOD＝180°﹣∠AOC＝180°﹣35°＝145°．【點評】本題主要考查余角和補角、對頂角、鄰補角及垂線，熟練掌握以上知識點是解題的關(guān)鍵．12．（2024秋?楊浦區(qū)期末）如圖，射線OE、OS、OW、ON分別表示東、南、西、北方向，已知∠AOB＝90°．（1）圖中與∠AON互余的角是∠AOE，∠NOB；（2）圖中與∠AON互補的角是∠AOS，∠BOE；（3）如果∠BOE＝118°，那么點A在點O的北偏東62°方向．【考點】余角和補角；方向角；角的計算．【專題】線段、角、相交線與平行線；運算能力．【答案】（1）∠AOE，∠NOB；（2）∠AOS，∠BOE；（3）北偏東62°．【分析】（1）根據(jù)已知易得：∠AOB＝∠NOE＝90°，從而可得∠AON+∠NOB＝90°，∠AON+∠AOE＝90°，再根據(jù)余角定義即可解答；（2）根據(jù)已知易得：∠AOB＝∠WON＝90°，再根據(jù)等式的性質(zhì)可得∠AON＝∠WOB，然后利用平角定義可得∠WOB+∠BOE＝180°，從而可得∠AON+∠BOE＝180°，再根據(jù)平角定義可得∠AON+∠AOS＝180°，最后根據(jù)補角定義即可解答；（3）利用角的和差關(guān)系可得：∠AON＝62°，然后根據(jù)方向角的定義，即可解答．【解答】解：（1）∵∠AOB＝∠NOE＝90°，∴∠AON+∠NOB＝90°，∠AON+∠AOE＝90°，∴圖中與∠AON互余的角是∠AOE，∠NOB，故答案為：∠AOE，∠NOB；（2）∵∠AOB＝∠WON＝90°，∴∠AOB﹣∠BON＝∠WON﹣∠NOB，∴∠AON＝∠WOB，∵∠WOB+∠BOE＝180°，∴∠AON+∠BOE＝180°，∵∠AON+∠AOS＝180°，∴圖中與∠AON互補的角是∠AOS，∠BOE，故答案為：∠AOS，∠BOE；（3）∵∠AOB＝∠NOE＝90°，∠BOE＝118°，∴∠AON＝∠AOB+∠NOE﹣∠BOE＝90°+90°﹣118°＝62°，∴點A在點O的北偏東62°方向，故答案為：北偏東62°．【點評】本題考查了余角和補角，方向角，角的計算，準(zhǔn)確熟練地進行計算是解題的關(guān)鍵．13．（2024秋?永川區(qū)期末）如圖，直線AB，CD交于點O，OE⊥AB，垂足為O．（1）若∠EOD＝32°，求∠COB的度數(shù)；（2）若∠AOC：∠COB＝2：7，求∠EOD的度數(shù)．【考點】對頂角、鄰補角；垂線；角的計算．【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力．【答案】（1）122°；（2）50°．【分析】（1）根據(jù)垂直定義求出∠EOB，即可求出∠DOB的度數(shù)，再根據(jù)鄰補角的定義即可求出答案；（2）設(shè)∠AOC＝2x°，∠COB＝7x°，根據(jù)鄰補角互補得出2x+7x＝180，求出x，即可求出∠AOC，根據(jù)對頂角相等求出∠BOD，根據(jù)垂直定義求出∠EOB，即可求出答案．【解答】解：（1）∵OE⊥AB，∴∠EOB＝90°，∵∠EOD＝32°，∴∠BOD＝90°﹣32°＝58°，∴∠COB＝180°﹣∠BOD＝180°﹣58°＝122°；（2）∵∠AOC：∠COB＝2：7，∴設(shè)∠AOC＝2x°，∠COB＝7x°，∵∠AOC+∠COB＝180°，∴2x+7x＝180，解得x＝20，∴∠AOC＝40°，∴∠BOD＝∠AOC＝40°，∵∠EOB＝90°，∴∠EOD＝90°﹣40°＝50°．【點評】本題考查了對頂角、鄰補角，垂線，角的計算，能熟記對頂角、鄰補角的定義是解此題的關(guān)鍵．14．（2024秋?嵊州市期末）以直線AB上一點O為端點作射線OC，使∠BOC＝60°，將一個直角三角形DOE的直角頂點放在點O處．（1）如圖1，若直角三角形DOE的一邊OD放在射線OB上，則∠COE＝30°；（2）如圖2，將直角三角形DOE繞點O逆時針方向轉(zhuǎn)動到某個位置，若OE恰好平分∠AOC，請判斷OD是否平分∠BOC，并說明理由；（3）將三角形DOE繞點O逆時針轉(zhuǎn)動到某個位置時，若恰好∠AOE＝5∠COD，求∠BOD的度數(shù)．【考點】余角和補角；角的計算．【專題】線段、角、相交線與平行線；運算能力．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）根據(jù)∠COE＝∠DOE﹣∠BOC即可作答；（2）由∠BOC＝60°，得∠AOC＝180°﹣60°＝120°，根據(jù)OE恰好平分∠AOC，有∠EOC＝120°÷2＝60°，即可得∠COD＝∠EOD﹣∠EOC＝90°﹣60°＝30°，即可得∠BOD＝∠COD，問題得解；（3）由∠AOE＝5∠COD，設(shè)∠COD＝x，則∠AOE＝5x，分兩種情況：第一種OD在∠AOC內(nèi)，第二種OD在∠BOC內(nèi)，列出方程，即可作答．【解答】解：（1）∵∠DOE＝90°，∠BOC＝60°，∴∠COE＝∠DOE﹣∠BOC＝30°，故答案為：30°；（2）OD平分∠BOC，理由如下：∵直線AB上一點O，∴∠AOB＝180°，∵∠BOC＝60°，∴∠AOC＝180°﹣60°＝120°，∵OE恰好平分∠AOC，∴∠EOC＝120°÷2＝60°，∵∠EOD＝90°，∴∠COD＝∠EOD﹣∠EOC＝90°﹣60°＝30°，∴∠BOD＝∠BOC﹣∠COD＝60°﹣30°＝30°，∴∠BOD＝∠COD，∴OD平分∠BOC；（3）∵∠AOE＝5∠COD，∴設(shè)∠COD＝x，則∠AOE＝5x．分兩種情況：①如圖，OD在∠AOC內(nèi)，∵∠AOB＝∠AOE+∠EOD+∠COD+∠BOC＝180°，∴5x+90°+x+60°＝180°，∴6x＝30°，∴x＝5，∴∠COD＝5°，∴∠BOD＝∠BOC+∠COD＝60°+5°＝65°；②如圖，OD在∠BOC內(nèi)，∵∠AOE+∠BOD＝∠AOB﹣∠EOD＝180°﹣90°＝90°，∴∠AOE+∠BOC﹣∠COD＝90°，∴5x+60°﹣x＝90°，解得x＝7.5°，∴∠BOD＝∠BOC﹣∠COD＝60°﹣7.5°＝52.5°；綜上∠BOD＝65°或52.5°．【點評】本題考查了角平分線定義和角的計算，能根據(jù)圖形和已知求出各個角的度數(shù)是解此題的關(guān)鍵．15．（2024秋?橋西區(qū)期末）如圖1所示，點O為直線AB上一點，∠AOC＝60°，三角形MON的一條邊OM在射線OB上且∠MON＝90°．（1）如圖1，∠BOC的度數(shù)為120°，∠CON的度數(shù)為150°；（2）如圖2，三角形MON繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)邊OM恰好平分∠BOC時，求∠AON的度數(shù)；（3）三角形MON由圖1位置繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)120°的過程中，請直接寫出∠COM與∠AON的數(shù)量關(guān)系．【考點】余角和補角．【專題】線段、角、相交線與平行線；幾何直觀；運算能力．【答案】（1）120，150；（2）∠AON＝150°；（3）∠AON+∠COM＝210°或∠AON﹣∠COM＝150°．【分析】（1）根據(jù)鄰補角的定義以及和差關(guān)系進行計算即可；（2）根據(jù)角平分線的定義以及角的和差關(guān)系進行計算即可；（3）根據(jù)旋轉(zhuǎn)角度分兩種情況進行解答，畫出相應(yīng)的圖形，根據(jù)圖形中角的和差關(guān)系即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）∵∠AOC＝60°，∠AOC+∠BOC＝180°，∴∠BOC＝180°﹣60°＝120°，∴∠CON＝∠AOC+∠AON＝60°+（180°﹣90°）＝150°，故答案為：120，150；（2）∵OM平分∠BOC，∴∠BOM＝∠COM=12∠BOC＝∴∠AON＝∠COM+∠MON＝60°+90°＝150°；（3）∠AON+∠COM＝210°或∠AON﹣∠COM＝150°，理由如下：當(dāng)旋轉(zhuǎn)角0°＜α≤90°時，如圖2﹣1，∵∠AOC+∠AON+∠MON+∠COM＝360°，即60°+∠AON+90°+∠COM＝360°，∴∠AON+∠COM＝210°；當(dāng)旋轉(zhuǎn)角90°＜α≤120°時，如圖2﹣2，∵∠AON＝∠AOC+∠COM+∠MON，即∠AON＝60°+∠COM+90°，∴∠AON﹣∠COM＝150°．【點評】本題考查余角與補角，掌握余角與補角，角平分線的定義以及圖形中角的和差關(guān)系是正確解答的關(guān)鍵．

考點卡片1．直線的性質(zhì)：兩點確定一條直線（1）直線公理：經(jīng)過兩點有且只有一條直線．簡稱：兩點確定一條直線．（2）經(jīng)過一點的直線有無數(shù)條，過兩點就唯一確定，過三點就不一定了．2．兩點間的距離（1）兩點間的距離連接兩點間的線段的長度叫兩點間的距離．（2）平面上任意兩點間都有一定距離，它指的是連接這兩點的線段的長度，學(xué)習(xí)此概念時，注意強調(diào)最后的兩個字“長度”，也就是說，它是一個量，有大小，區(qū)別于線段，線段是圖形．線段的長度才是兩點的距離．可以說畫線段，但不能說畫距離．3．方向角方向角是從正北或正南方向到目標(biāo)方向所形成的小于90°的角（1）方向角是表示方向的角；以正北，正南方向為基準(zhǔn)，來描述物體所處的方向．（2）用方向角描述方向時，通常以正北或正南方向為角的始邊，以對象所處的射線為終邊，故描述方向角時，一般先敘述北或南，再敘述偏東或偏西．（注意幾個方向的角平分線按日常習(xí)慣，即東北，東南，西北，西南．）（3）畫方向角以正南或正北方向作方向角的始邊，另一邊則表示對象所處的方向的射線．4．度分秒的換算（1）度、分、秒是常用的角的度量單位．1度＝60分，即1°＝60′，1分＝60秒，即1′＝60″．（2）具體換算可類比時鐘上的時、分、秒來說明角的度量單位度、分、秒之間也是60進制，將高級單位化為低級單位時，乘以60，反之，將低級單位轉(zhuǎn)化為高級單位時除以60．同時，在進行度、分、秒的運算時也應(yīng)注意借位和進位的方法．5．角的計算（1）角的和差倍分①∠AOB是∠AOC和∠BOC的和，記作：∠AOB＝∠AOC+∠BOC．∠AOC是∠AOB和∠BOC的差，記作：∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC．②若射線OC是∠AOB的三等分線，則∠AOB＝3∠BOC或∠BOC=13∠（2）度、分、秒的加減運算．在進行度分秒的加減時，要將度與度，分與分，秒與秒相加