已知角度關系求動點坐標一階方法突破練1.如圖，拋物線y=x2?4x+3與x軸交于點A，B，與y軸交于點C，連接BC，已知點D是拋物線上對稱軸右側一動點，連接CD，若∠BCD=∠ABC,求點D的坐標.2.如圖，已知拋物線y=?x2+5x?4與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，P是x軸上方拋物線上一動點，連接BC，BP，當∠PBA=13.如圖,在平面直角坐標系中,點A(-1,0),B(4,0),C(0,2),點P在直線l:x=32上，若二階設問進階練例如圖，已知拋物線y=?3(1)已知點G是拋物線上一點，連接CG，若∠GCB=∠ABC,求點G的坐標；(2)已知R是y軸上一點，連接AR，若AR平分∠OAC,,求點R的坐標；(3)在拋物線的對稱軸上，是否存在點Q，使得∠AQC+∠CAB=90°?若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由.綜合強化練1.如圖，拋物線y=ax2+bx+2a≠0與x軸交于點.A(1)求拋物線的解析式及tan∠CBO的值；(2)當點F到直線BC的距離為22(3)(角度和為定值)過點F作FE⊥x軸于點E，交直線BC于點D，若∠FCD+∠ACO=45°,求點F的坐標.作圖區答題區2.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=17x(1)求拋物線的解析式；(2)連接OA，點C為線段OA上任意一點(與點O，A不重合)，過點C作.MN‖x軸，與y軸交于點M，與拋物線的交點靠近y軸的記為點N，若MC=MN,，求點C的橫坐標；(3)(角度倍數關系)過點A作.AD‖x軸，與拋物線的另一個交點為點D，與y軸交于點E，取OA中點P，點Q為直線AD上一動點，且點Q與點A不重合，當∠OPQ=3∠AQP時，請直接寫出線段AQ的長.作圖區答題區3.在平面直角坐標系中，拋物線y=12x(1)求拋物線的解析式；(2)如圖①，點M為線段BC上的一點，設點M的橫坐標為t，過點M作y軸的平行線，過點C作x軸的平行線，兩條平行線相交于點N，將△MCN沿MC翻折得到△MCN(3)(同一三角形中角度倍數關系)如圖②，點D是直線BC下方的拋物線上一點，過點D作DE⊥BC于點E,當△CDE中的某個角恰好為2∠ABC時，請求出點D的橫坐標.作圖區答題區考向2已知角度關系求動點坐標一階方法突破練1.解：∵拋物線與y軸交于點C，∴當x=0時,y=3,∴C點坐標為(0,3),∵y=x2?4x+3,∴拋物線的對稱軸為直線x=2,如解圖,∵∠BCD=∠ABC,∴CD∥AB,∴點D與點C關于拋物線的對稱軸直線x=2對稱，∵C(0,3),∴D(4,3).2.解:如解圖,過點P作PH⊥x軸于點H,令x=0,得y=-4,令y=0,解得x=1或x=4,∴B(4,0),C(0,-4),∴OB=OC,∴∠ABC=45°(根據已知條件找特殊角).∵點P位于x軸上方，且∠PBA=∴∠PBA=∠ABC=45°(由角度倍數關系計算角的度數求解)，又∵∠PHB=90°,∴PH=BH,設PH=BH=t,則(OH=4-t,∴P(4-t,t),把P(4-t,t)代入y=?x2+5x?4,得t=?解得t=0(此時與點B重合,舍去)或t=2,∴P(2,2).∵B(4,0),∴BP所在直線的解析式為y=-x+4.3.解:∵A(-1,0),B(4,0),C(0,2),∴AC=∵AC2+BC2=AB2,∴∠ACB=90°∵直線l:x=32∴線段AB的中點坐標為((32∴l與x軸的交點即為AB的中點，如解圖，以AB為直徑畫圓，l與AB交點即為圓心，記為點D(構造輔助圓);∵∠ACB=90°,∴點C在⊙D上,∴∠CAB+∠CBA=90°,∵∠APC+∠OAC=90°,∴∠CBA=∠CPA,∴點P是直線l與⊙D的交點.∴DP=AD=∴點P的坐標為3252二階設問進階練例解：(1)∵拋物線的解析式為y=?39x2∴拋物線的對稱軸為直線x=3,C(0,33),①當點G在線段BC上方時，如解圖①，∵∠GCB=∠ABC,∴CG∥AB,∴點G與點C關于拋物線的對稱軸直線x=3對稱.∴G(6,33);②當點G在直線BC的下方時，如解圖②，設CG交x軸于點T,令y=0,即?解得x?=?3,x?=9,∴A(-3,0),B(9,0).∵在Rt△BOC中,tan∴∠CBA=30°.∵∠GCB=∠ABC,∴∠TCB=∠CBA=30°.∵∠OCB=60°,∴∠OCT=30°,在Rt△COT中,(OT=CO?∴點T的坐標為(3,0),即點T與點E重合,設直線CT的解析式為y=k?x+t?將點C(0,33),T(3,0)代入,得t1=33∴直線CT的解析式為y=?聯立y=?解得x1=0y此時點G的坐標為(15,-123),綜上所述，點G的坐標為(6，33)或(15,-123);(2)如解圖③,過點R作RD⊥AC于點D,設點R的坐標為(0,r),∵AR平分∠OAC,RO⊥AO,RD⊥AC,∴DR=RO,∠CDR=∠AOC=90°.∵∠RCD=∠ACO,∴△CDR∽△COA,∴又∵點A(-3,0),C(0,33),∴OA=3,OC=33,在Rt△AOC中,由勾股定理得AC=OA∴33?r∴點R的坐標為(0,3);(3)存在.∵OC=33,OA=3,∴∠ACO=30°,由(1)得∠BCO=60°,∴∠ACB=90°,∴∠CAB+∠ABC=90°.要使得∠AQC+∠CAB=90°,只需∠AQC=∠ABC,∴如解圖④,點Q為以AB為直徑的圓與拋物線對稱軸的交點，∵AB=12,∴EQ=∴點Q的坐標為(3,6)或(3,-6).三階綜合強化練1.解:(1)∵拋物線y=ax2+bx+2與x軸交于點A(-1,0),B(2,0),∴將A，B兩點坐標代入，得a?b+2=0解得a=?1∴拋物線的解析式為y=?x2+x+2,∴C(0,2),∴OB=2,OC=2,∴在Rt△COB中,tan(2)【思路點撥】看到2，可想到等腰直角三角形，恰巧圖中△OBC是等腰直角三角形，且.BC=22,可作OD⊥BC于點D,得到(如解圖①,當點F在直線BC下方時,過點O作OD⊥BC于點D.∵OB=2,OC=2,∴△OBC是等腰直角三角形，∴OD=取OD的中點G，過點G作BC的平行線l?，交y軸于點H，與拋物線的交點即為點F，∵B(2,0),C(0,2),∴直線BC的解析式為y=-x+2,∵直線l則直線l?的解析式為y=-x+1,聯立y=?解得x∴點F的坐標為(1+2,?2)或聯立y=?解得x=1∴點F的坐標為(1,2),綜上所述，點F的坐標為1+2?2或(1?(3)【思路點撥】分點F在x軸上方和下方兩種情況，可通過構造相似三角形得到線段的比例關系，得到直線CF與x軸交點的坐標，進而得到CF的解析式，與拋物線聯立求得點F的坐標.當點F在x軸的上方時，如解圖②，延長CF交x軸于點N,∵OB=OC=2,∴∠BCO=∠OBC=45°,∵∠FCD+∠ACO=45°,∠OBC=∠BCF+∠CNO=45°,∴∠ACO=∠CNB,又∵∠AOC=∠CON=90°,∴△AOC∽△CON,∴∴ON=4,∴點N的坐標為(4,0),∵C(0,2),∴直線CN的解析式為y=?12x+2,令?∴點F的坐標為(3當點F在x軸下方時，如解圖③，設CF與x軸交于點H,∵∠FCD+∠ACO=45°,∠OCB=45°,∴∠ACO=∠FCO,又∵CO⊥AH,∴△AHC是等腰三角形,∴OH=OA=1,∴H(1,0),∴直線CH的解析式為y=-2x+2,令?2x+2=?x2+x+2,解得x=0(舍去)或x=3,∴點F的坐標為(3,-4),綜上所述，點F的坐標為322.解:(1)將點A(-7,24),點B(0,10)代入拋物線y=1得17×?7∴拋物線解析式為y=(2)【思路點撥】設出C點坐標,由MC=MN,則C、N兩點關于y軸對稱，表示出點N的坐標，代入拋物線解析式，即可求得點N的橫坐標.如解圖①，設線段OA所在直線的解析式為y=kx(k≠0),將點A(-7,24)代入,得-7k=24,解得k=?∴線段OA所在直線的解析式為y=?∵點C在線段OA上，且與點O，A不重合，∴設C∵MC=MN且MN∥x軸,∴N?m∵點N在拋物線y=1∴解得m=?31±∵點C在線段OA上,∴-7<m<0,∴m=∴點C的橫坐標為?31+(3)【思路點撥】利用勾股定理求出OA長，再利用直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半，得到等腰△APE，利用等腰三角形等邊對等角的性質和三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角之和，從而得到角度之間的3倍關系.AQ的長為392或11【解法提示】在Rt△AEO中,OA=AE2+EO2=25,∴AP=PE=OP=252,如解圖②，構造等腰△EPQ，使EQ=EP,設∠EPQ=∠EQP=x,則∠EAP=∠AEP=2∠PQA=2x,又∵∠OPQ是△APQ的外角,∴∠OPQ=∠QAP+∠AQP=2x+x=3x,即∠OPQ=3∠AQP,此時AQ=AE+EQ=7+3.解:(1)∵直線BC的解析式為y=1又∵B，C兩點在拋物線上，∴將B，C兩點坐標代入y=得12×16+4b+c=0c=?2∴拋物線的解析式為y=(2)【思路點撥】點N'落在AB上,根據∠CN'M=90°，可構造“一線三垂直”模型，由折疊的性質可以得出ON'的長，再根據等角代換得到角相等，得到△ON'C∽△QMN',由線段比例關系求得t的值.當點N'落在AB上時,如解圖①,設直線NM與x軸交于點Q，∵點M在線段BC上,且點M的橫坐標為t，∴點M的縱坐標為12t?2,∵C(0,-2),∴OC=2,∴由折疊的性質得CN'∴O∵∠CN'M=∠CNM=90°,∴∠CN'O+∠MN'Q=90°,∵∠CN'O+∠N'CO=90°,∴∠MN'Q=∠N'CO,又∵∠CON'=∠N'QM,∴O解得t=52(3)【思路點撥】已知∠DEC=90°,故分∠ECD=2∠ABC和∠CDE=2∠ABC兩種情況討論,利用三角函數表示三角形三邊的比例關系，通過設點坐標，表示出線段長，列方程求解點D的橫坐標.如解圖,過點C作x軸的平行線,過點D作DR⊥y軸，垂足為R，DR的延長線交直線BC于點G，設點Dx12分兩種情況討論：如解圖②,當∠ECD=2∠ABC時,∵AB∥DG,∴∠ABC=∠BGD,則∠ECD=2∠BGD,∵∠ECD是△DCG的外角,∴∠ECD=∠CDR+∠G.∴∠CDR=∠G=∠ABC,∴tan∠CDR=tan∴點D的橫坐標為2；如解圖③,當∠CDE=2∠A