第六章機械能單擊此處添加副標題第1講功和功率考點1功的正負判斷與計算考點2變力做功問題的求解考點3功率問題的分析與求解考點4機車啟動模型練習幫練透好題精準分層目錄Contents單擊此處添加標題01單擊此處添加標題02課標要求核心考點五年考情核心素養對接1.理解功和功率.2.了解生產生活中常見機械的功率大小及其意義.功的正負判斷與計算2023：新課標T15、20，北京T11，廣東T8；2021：全國乙T19，浙江6月T11；2019：浙江4月T191.物理觀念：

功和功率是建立功能關系的重要概念，準確理解“功”才能更好地促進能量觀念的形成.變力做功問題的求解2023：湖北T9課標要求核心考點五年考情核心素養對接1.理解功和功率.2.了解生產生活中常見機械的功率大小及其意義.功率問題的分析與求解2023：山東T4，遼寧T3；2022：江蘇T14；2021：浙江6月T8，浙江1月T192.科學思維：

建構機車啟動模型；掌握變力做功的計算方法；會用極限思想求解瞬時功率.3.科學態度與責任：

能用功和功率分析解釋生活中的實際現象.機車啟動模型2023：山東T8，湖北T4；2021：北京T8，湖南T3，重慶T10課標要求核心考點五年考情核心素養對接命題分析

預測功和功率可能會與交通實際、曲線運動、電磁場、電磁感應等知識綜

合考查，選擇題形式居多.預計2025年高考可能會出現與體育運動、生

產生活等實際情境相結合命制的選擇題.

考點1功的正負判斷與計算

1.做功的兩個必要因素(1)作用在物體上的力.(2)物體在[1]

上發生的位移.力的方向2.表達式：W＝[2]

，α是力F與位移l的夾角.Flcosα

3.功的正負的判斷角度功的正負W＞0，力對物體做[3]

?W＝0，力對物體[4]

?W＜0，力對物體做[5]

，或者說物體[6]

?這個力做功正功不做功負功克服

如圖，一個質量為150kg的雪橇，受到與水平方向成37°角斜向上方的拉力，大小

為500N，在水平地面上移動的距離為5m.地面對雪橇的阻力為100N，cos37°＝0.8.拉力對雪橇做的功是

J，阻力對雪橇做的功是

J，重力對雪橇做的

功是

J，支持力對雪橇做的功是

J，各力對雪橇做的總功是

J.

2000

-500

0

0

1500

[解析]

拉力在水平方向的分力為

Fx

＝

Fcos37°，它所做的功為W1

＝Fxl

＝Fl

cos37°＝500×5×0.8J＝2000J，阻力與運動方向相反，兩者夾角為180°，它所做的功為W2＝F阻lcos180°＝-100×5J＝-500J，重力和支持力與運動方向垂直，即重力和支持力對雪橇做的功均為0，各力對雪橇所做的總功為W＝W1＋W2＝2000J-500J＝1500J.命題點1

功的正負判斷1.圖甲為一女士站在臺階式自動扶梯上勻速上樓(忽略扶梯對手的作用)，圖乙為一

男士站在履帶式自動扶梯上勻速上樓，兩人相對扶梯均靜止.下列關于力做功的判斷

正確的是(

A

)A.甲圖中支持力對人做正功B.甲圖中摩擦力對人做負功C.乙圖中支持力對人做正功D.乙圖中摩擦力對人做負功A[解析]

對題圖甲中女士受力分析如圖1所示，受重力和支持力兩個力，支持力與速

度v的夾角為銳角，做正功，故A正確，B錯誤.對題圖乙中男士受力分析如圖2所

示，受重力、支持力與靜摩擦力作用，支持力與速度v'的夾角為90°，不做功，靜摩

擦力與速度方向相同，做正功，故C、D均錯誤.命題點2

恒力做功的計算2.[多選]如圖，在電梯中有一固定放置的傾角為θ的斜面，斜面上放置一個質量為m

的物體，二者以相同的加速度a勻加速上升了高度h，重力加速度為g，且物體和斜

面始終保持相對靜止，在這一過程中，下列說法正確的是(

AD

)A.斜面對物體的支持力做的功為m(a＋g)hcos2θB.斜面對物體的摩擦力做的功為m(a＋g)hcos2θC.斜面對物體做的功為mahD.合力對物體做的功為mahAD[解析]

對物體受力分析如圖，水平和豎直方向分別有Fsinθ-fcosθ＝0，Fcosθ＋f

sinθ-mg＝ma，解得F＝m(a＋g)cosθ，f＝m(a＋g)sinθ，根據定義分別計算出二者

的做功，WF＝Fhcosθ＝m(a＋g)hcos2θ，Wf＝fhcos(90°-θ)＝m(a＋g)hsin2θ，故A

正確，B錯誤；斜面對物體有2個力，所以做的功為二者之和，即W＝WF＋Wf＝m(a

＋g)h，C錯誤；合力對物體做的功W合＝F合h，再根據牛頓第二定律F合＝ma，可得

W合＝mah，D正確.方法點撥常見力做功的特點做功的力做功的特點重力與路徑無關，與物體所受的重力和初、末位置的高度差有

關，WG＝mgΔh彈簧的彈力做功的力做功的特點靜摩擦力可以做正功、做負功、不做功滑動摩擦力可以做正功、做負功、不做功一對靜摩擦力總功為零一對滑動摩擦力總功為負功，W總＝-Ffd相對汽車牽引力P不變時，W＝Pt；F不變時，W＝Fs考點2變力做功問題的求解變力做功的六種求解方法方法以例說法用動能定理計算用力F把小球從A處緩慢拉到B處，F做的功為WF，則有WF-

mgl(1-cosθ)＝0，得WF＝mgl(1-cosθ)方法以例說法微元法質量為m的木塊在水平面內做圓周運動，若摩擦力f大小恒定，運動一

周克服摩擦力做的功Wf＝f·Δx1＋f·Δx2＋f·Δx3＋…＝f(Δx1＋Δx2＋Δx3

＋…)＝f·2πR等效轉換

法方法以例說法平均力法圖像法一水平拉力F拉著一物體在水平面上運動的位移為x1，F－x圖像如圖

所示，圖線與坐標軸所圍面積表示拉力所做的功方法以例說法用W＝Pt計

算這是一種等效代換的思想，用W＝Pt計算功時，必須滿足變力的功率

是不變的這一條件命題點1微元法求變力做功3.如圖所示，一質量為m＝2.0kg的物體從半徑為R＝5.0m的圓弧軌道的A端，在拉

力作用下沿圓弧緩慢運動到B端(圓弧AB在豎直平面內).拉力F的大小始終為15N，方

向始終與物體所在圓弧處的切線成37°角.圓弧軌道所對應的圓心角為45°，BO邊沿豎

直方向.求這一過程中：(g取10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8)(1)拉力F做的功；[答案]

47.1J

(2)重力G做的功；[答案]

29.3J

[解析]

重力G做的功WG＝-mgR(1-cos45°)≈-29.3J.(3)圓弧軌道對物體的支持力N做的功.[答案]

0

[解析]

物體受到的支持力N始終與物體的運動方向垂直，所以WN＝0.命題點2等效轉換法求變力做功4.如圖所示，一輛拖車通過光滑定滑輪將一重為G的物體勻速提升，當拖車從A點水

平移動到B點時，位移為s，繩子由豎直變為與豎直方向成θ角，求此過程中拖車對

繩子所做的功.

命題點3平均力法求變力做功5.某工地建房時用小車將細沙從一樓提到七樓(高度為20m)，小車和細沙總質量為

10kg.由于小車漏沙，在被勻加速提升至七樓的過程中，小車和細沙的總質量隨著

上升距離的變化關系如圖所示.小車可以看成質點，已知小車加速度為2m/s2，不計

空氣阻力，重力加速度g取10m/s2.由圖像可知，在提升的整個過程中，拉力對小車

做的功為(

A

)A.2160JB.1800JC.2400JD.180JA

考點3功率問題的分析與求解

1.定義：功與完成這些功所用[7]

之比.2.物理意義：描述力對物體做功的[8]

?.時間快慢平均功率平均功率瞬時功率3.公式4.額定功率與實際功率(1)額定功率：動力機械正常工作時輸出的最大功率.(2)實際功率：動力機械實際工作時輸出的功率，要求小于或等于額定功率.

????6.[平均功率的求解]如圖所示，質量為60kg的運動員在做俯臥撐運動，運動過程中

可將她的身體視為一根直棒.已知重心在c點，其垂線與兩腳、兩手連線中點間的距

離Oa、Ob分別為0.9m和0.6m.若她在一分鐘內做了30個俯臥撐，每次肩部上升的距

離均為0.4m，則運動員在一分鐘內克服重力做的功和相應的功率約為(取g＝10

m/s2)(

B

)A.430J，7WB.4300J，70WC.720J，12WD.7200J，120WB

7.[瞬時功率的求解/2023遼寧]如圖(a)，

從高處M點到地面N點有Ⅰ、Ⅱ兩條光滑軌道.

兩相同小物塊甲、乙同時從M點由靜止釋放，沿不同軌道滑到N點，其速率v與時間t

的關系如圖(b)所示.由圖可知，兩物塊在離開M

點后、到達N

點前的下滑過程中

(

B

)A.甲沿Ⅰ下滑且同一時刻甲的動能比乙的大B.甲沿Ⅱ下滑且同一時刻甲的動能比乙的小C.乙沿Ⅰ下滑且乙的重力功率一直不變D.乙沿Ⅱ下滑且乙的重力功率一直增大B[解析]

由圖(b)可知小物塊甲做勻加速直線運動，小物塊乙做加速度減小的加速運

動，結合圖(a)可知，小物塊甲沿軌道Ⅱ下滑，小物塊乙沿軌道Ⅰ下滑，AD錯誤；由

圖(b)可知，兩物塊在離開M點后、到達N點前的下滑過程中，同一時刻物塊乙的速

度大于物塊甲的速度，則同一時刻甲的動能比乙的小，B正確；小物塊乙由靜止釋

放的瞬間，小物塊乙的速度為零，則小物塊乙的重力功率為0，小物塊乙滑到軌道Ⅰ

底端的瞬間，小物塊乙的速度方向與重力方向垂直，則小物塊乙的重力功率為0，

但在下滑過程，小物塊乙的重力做的功不為0，則小物塊乙的重力的瞬時功率先增

大后減小，C錯誤.考點4機車啟動模型

兩種方式以恒定功率啟動以恒定加速度啟動P-t圖像和v-t圖像

兩種方式以恒定功率啟動以恒定加速度啟動OA段過程分析運動性質加速度減小的加速直線運動兩種方式以恒定功率啟動以恒定加速度啟動AB段過程分析運動性質速度為vmax的勻速直線運動加速度減小的加速直線運動BC段

如圖所示，汽車上坡時有經驗的司機都會提前換擋，試對下列關于汽車上坡時的

說法作出判斷.(1)汽車上坡時，司機需要通過換擋的方法減小汽車的速度，從而得到較大的牽引力.

(

√

)(2)根據公式P＝Fv知，牽引力一定時，隨著汽車速度的增加，汽車的功率可以一直

增加.

(?)(3)汽車在坡上勻速行駛時牽引力等于摩擦力.

(?)√??命題點1以恒定功率啟動8.[2024江蘇名校聯考]我國新能源汽車發展迅速，2022年僅比亞迪新能源汽車全年

銷量為186.35萬輛，位列全球第一.在平直路面上某運動的新能源卡車的額定功率為

60kW，若其總質量為5000kg，在水平路面上所受的阻力為5000N.(1)求新能源卡車所能達到的最大速度；[答案]

12m/s

[解析]

當達到最大速度時有P＝Fvm，F＝f解得vm＝12m/s.

解得a＝5m/s2.(2)若新能源卡車以額定功率啟動，則該卡車車速v＝2m/s時其加速度為多大？[答案]

5m/s2命題點2以恒定加速度啟動9.[多選]一輛轎車質量為m，在平直公路上行駛，啟動階段轎車牽引力保持不變，而

后以額定功率繼續行駛，經過一段時間，其速度由零增大到最大值vm.若所受阻力恒

為f，則關于轎車的速度v、加速度a、牽引力F、功率P的圖像可能正確的是

(

ACD

)ABCDACD

10.某興趣小組讓一輛自制遙控小車在水平的直軌道上由靜止開始運動，小車先做

勻加速運動而后以恒定的功率運動，其運動的v-t圖像如圖所示(除4～8s時間段內的

圖像為曲線外，其余時間段內圖像均為直線).小車的質量為m＝2kg，小車在整個過

程中所受的阻力大小不變恒為f＝6N.求：(1)小車勻速行駛階段的功率；[答案]

54W

[解析]

由題圖可知小車的最大速度vmax＝9m/s由公式P＝Fvmax，F＝f，得P＝54W.(2)小車的速度為v1＝8m/s時加速度a1的大??；[答案]

0.375m/s2

解得a1＝0.375m/s2.

解得x＝40.5m.(3)小車在加速運動過程中總位移x的大小.[答案]

40.5m方法點撥機車啟動問題的解題技巧1.機車以恒定功率啟動時，牽引力做的功W＝Pt.由動能定理得Pt-F阻s＝ΔEk，此式常

用于求解機車以恒定功率啟動過程中的位移大小.

1.[功/2023北京]如圖所示，一物體在力F作用下沿水平桌面做勻加速直線運動.已知

物體質量為m，加速度大小為a，物體和桌面之間的動摩擦因數為μ，重力加速度為

g.在物體移動距離為x的過程中(

D

)A.摩擦力做功大小與F方向無關B.合力做功大小與F方向有關C.F為水平方向時，F做功為μmgxD.F做功的最小值為maxD12345[解析]

豎直方向有FN＋Fsinθ＝mg，水平方向有F合＝Fcosθ-f，其中f＝μFN，θ變

化時，FN變化，則f變化，其做功大小W＝fx變化，A錯；合力做功為W合＝F合x＝

max，與F方向無關，B錯；F為水平方向時，有F-μmg＝ma，則F＞μmg，即F做功大

于μmgx，C錯；物體運動過程中，有Fxcosθ-fx＝W合，即當f＝0時，F做功最小，此

時有Wmin＝W合＝max，D對.123452.[功和功率/2023山東]《天工開物》中記載了古人借助水力使用高轉筒車往稻田里

引水的場景.引水過程簡化如下：兩個半徑均為R的水輪，以角速度ω勻速轉動.水筒

在筒車上均勻排布，單位長度上有n個，與水輪間無相對滑動.每個水筒離開水面時

裝有質量為m的水，其中的60％被輸送到高出水面H處灌入稻田.當地的重力加速度

為g，則筒車對灌入稻田的水做功的功率為(

B

)D.nmgωRHB12345

123453.[機車啟動/2023湖北]兩節動車的額定功率分別為P1和P2，在某平直鐵軌上能達到

的最大速度分別為v1和v2.現將它們編成動車組，設每節動車運行時受到的阻力在編

組前后不變，則該動車組在此鐵軌上能達到的最大速度為(

D

)D

編組后：P1＋P2＝(f1＋f2)v

123454.[機車啟動/2021重慶/多選]額定功率相同的甲、乙兩車在同一水平路面上從靜止啟

動，其發動機的牽引力隨時間的變化曲線如圖所示.兩車分別從t1和t3時刻開始以額

定功率行駛，從t2和t4時刻開始牽引力均視為不變.若兩車行駛時所受的阻力大小與

其重力成正比，且比例系數相同，則(

ABC

)A.甲車的質量比乙車大B.甲車比乙車先開始運動C.甲車在t1時刻和乙車在t3時刻的速率相同D.甲車在t2時刻和乙車在t4時刻的速率相同ABC12345[解析]

根據題述，兩車額定功率P相同，兩車從t2和t4時刻開始牽引力不變，可知

此后兩車牽引力等于各自所受阻力，結合題圖可知，甲車所受阻力大于乙車所受阻

力，又兩車行駛時所受的阻力大小與其重力成正比，且比例系數相同，可知甲車的

質量比乙車大，選項A正確.對甲、乙兩車啟動的第一階段，甲車的牽引力達到最大

時，乙車的牽引力還小于其行駛時所受的阻力，可知甲車一定比乙車先開始運動，

選項B正確.甲車在t1時刻的牽引力等于乙車在t3時刻的牽引力，又兩車均剛達到額定

功率，根據P＝Fv可知，甲車在t1時刻的速率與乙車在t3時刻的速率相同，選項C正

確.t2時刻甲車達到最大速度，t4時刻乙車達到最大速度，額定功率P＝fvm，又甲車

所受的阻力比乙車所受阻力大，所以甲車在t2時刻的速率小于乙車在t4時刻的速率，

選項D錯誤.123455.[功率/2022江蘇]在軌空間站中物體處于完全失重狀態，對空間站的影響可忽略.空

間站上操控貨物的機械臂可簡化為兩根相連的等長輕質臂桿，每根臂桿長為L.

如圖

1所示，機械臂一端固定在空間站上的O點，另一端抓住質量為m的貨物；在機械臂

的操控下，貨物先繞O點做半徑為2L、角速度為ω的勻速圓周運動，運動到A點停

下；然后在機械臂操控下，貨物從A點由靜止開始做勻加速直線運動，經時間t到達

B點，A、B間的距離為L.

12345(1)求貨物做勻速圓周運動時受到的向心力大小Fn；[答案]

2mω2L

[解析]

質量為m的貨物繞O點做勻速圓周運動，半徑為2L，根據牛頓第二定律可

知Fn＝mω2·2L＝2mω2L.

12345(2)求貨物運動到B點時機械臂對其做功的瞬時功率P；

12345

12345(3)在機械臂作用下，貨物、空間站和地球的位置如圖2所示，它們在同一直線上，

貨物與空間站同步做勻速圓周運動.已知空間站軌道半徑為r，貨物與空間站中心的

距離為d，忽略空間站對貨物的引力，求貨物所受的機械臂作用力與所受的地球引

力之比F1：F2.

12345

123451.[多選]下列說法正確的是(

ABC

)A.-10J的功大于＋5J的功B.功是標量，正、負表示力對物體做功還是物體克服該力做功C.一個力對物體做了負功，則說明這個力一定阻礙物體的運動D.功是矢量，正、負表示方向[解析]

功是標量，功的正負既不表示方向也不表示功的大小，而是表示力對物體

起動力作用(即力對物體做正功)，還是力對物體起阻力作用(即物體克服該力做功)，

故A、B、C正確，D錯誤.ABC1234567891011122.[2024天津濱海新區模擬]小明同學體育課上做深蹲起跳動作，先下沉重心，然后

迅速蹬地起跳，雙腳離開地面后上升到最高點.在小明下沉重心到上升到最高點的過

程中，地面對他支持力的做功情況說法正確的是(

D

)A.地面支持力對小明一直做正功B.地面支持力對小明一直做負功C.地面支持力先對小明做正功，腳離地后不做功D.地面支持力一直不做功[解析]

腳離地前，人在地面支持力方向上的位移為零，支持力不做功；腳離地

后，不再受到支持力；故在小明下沉重心到上升到最高點的過程中，地面支持力一

直不做功，D正確.D1234567891011123.[2024河南周口模擬]某塊石頭陷入淤泥過程中，其所受的阻力F與深度h的關系為F

＝kh＋F0(k、F0已知)，石頭沿豎直方向做直線運動，當h＝h0時，石頭陷入淤泥過程

中克服阻力做的功為(

C

)A.F0h0B.kF0h0

C1234567891011124.[圖像創新/2024山西懷仁一中期中]如圖甲所示，質量為4kg的物體在水平推力作

用下開始運動，推力大小F隨位移大小x變化的圖像如圖乙所示，物體與地面間的動

摩擦因數μ＝0.5，g取10m/s2，則該物體在0～4m的運動過程中(

D

)A.摩擦力的功率一直增大B.推力的功率一直增大C.摩擦力做功為80JD.推力做功為200JD123456789101112

1234567891011125.如圖所示，在某滑雪場滑雪者從O點由靜止沿斜面自由滑下，接著在水平面上滑

至N點停下，斜面、水平面與滑雪板之間的動摩擦因數都為

μ＝0.1，滑雪者(包括滑

雪板)的質量為m＝50kg，g取10m/s2，O、N兩點間的水平距離為s＝100m.滑雪者

在整個運動的過程中，克服摩擦力做的功為(

C

)A.1250JB.2500JC.5000JD.7500J[解析]

設斜面的傾角為θ，則滑雪者從O點到N點的運動過程中克服摩擦力做的功

Wf＝μmgcosθ·xOM＋μmg·xMN，由題圖可知，xOMcosθ＋xMN＝s，兩式聯立可得Wf＝

μmgs＝5000J，故A、B、D錯誤，C正確.C1234567891011126.[2024山東日照模擬/多選]圖甲是全球最大回轉自升塔式起重機，它的開發標志著

中國工程用超大噸位塔機打破長期依賴進口的局面，也意味著中國橋梁及鐵路施工

裝備進一步邁向世界前列.該起重機某次從t＝0時刻由靜止開始提升質量為m＝200

kg的物體，物體的a-t圖像如圖乙所示，5～10s內起重機的功率為額定功率，不計其

他阻力，重力加速度g＝10m/s2，則以下說法正確的是(

BC

)A.物體在0～10s內運動的最大速度為10m/sB.起重機的額定功率為24000WC.0～5s內起重機對物體做的功小于5～10s內起重機對物體做的功D.0～5s內起重機對物體做的功大于5～10s內起重機對物體做的功BC123456789101112[解析]

物體在0～5s內做勻加速直線運動，5s末速度v＝a1t5＝10m/s，之后物體做

加速度不斷減小的加速運動，故0～10s內最大速度大于10m/s，A錯誤；在0～5s

內，由牛頓第二定律可知，F-mg＝ma1，可得F＝m(g＋a1)＝2400N，5s末起重機功

率達到額定值，故其額定功率P＝Fv＝24000W，B正確；由于起重機在0～5s內，

功率由零均勻增大到額定值，故0～5s內的平均功率小于5～10s內的平均功率，所

以0～5s內起重機對物體做的功小于5～10s內起重機對物體做的功，C正確，D錯誤.123456789101112

(1)山地越野車從A點飛出時速度的大小vm；[答案]

30m/s

123456789101112(2)A、B兩點間的豎直高度h；[答案]

1.8m

(3)山地越野車到達B點時山坡的切線與水平方向夾角的正切值tanθ.[答案]

0.2

123456789101112

8.[多選]如圖所示，三個質量相等的小球a、b、c從圖示位置分別以相同的速度v0水

平向右拋出，最終都能到達D(3L，0)點.不計空氣阻力，x軸所在處為地面，則可判

斷a、b、c三個小球(

ABC

)A.初始時刻縱坐標之比為9：4：1B.在空中運動過程中，重力做功的平均功率之比為3：2：1C.在空中運動過程中，速度變化率之比為1：1：1D.到達D點時，重力做功的瞬時功率之比為1：1：1ABC123456789101112

1234567891011129.[多選]如圖甲所