1學科前言

1.1學科普遍目標與學科教學法基礎

無論對于高中階段的學習，還是中學生達到大學入學能力水平，數學學科都

起著基礎作用。通過數學學習的深入,可以提升學習能力,為科學學習入門做準

備。因此，數學學科內外的教學，應該著眼于科學和肌業教育的需求。

數學課程的教育理論基礎是普遍的教育任務，還包括數學的課程應用導向。

基于此，每一個學習數學的學生在數學課上都應該體現三種基本體驗：1

?將數學接受和理解為一種工具，一種用獨特的方式來發現和解釋自然、社會、

文化、職業和工作中的世界現象的工具，

?數學作為一個精神作品，作為一個以獨特的方式來演繹、歸納的世界，

?數學作為一種方式，來獲得能夠通過數學延伸，特別是啟迪的能力。

在獲得這些基本經驗的過程中，數學課程形成了自身特殊的教育能力，成為

完成高中階段學習任務中不可替代的一個部分。人們可以在數學的豐富多彩之

中，感受作為文化和社會現象的數學。（9頁）

1.2能力范圍

數學學科的能力范圍依照下列結構:

普遍的數學能力核心內容(Leitideen)

?數學證明[K1]?計算和數字[L1]

?解決數學問題[K2]?測量[L2]

?數學建模[K3]?空間和平面[L3]

?運用數學表達[K4]?函數映射[L4]

?運用數學符號、公式和技巧[K5]?概率統訂[L5]

?數學交流[K6]

表格1.2-1

1依據HeirichWinter,GDM-Mittelungen.Heft61,1995.

學習者必須通過主動地深入研究學科內容，才能獲得普遍的數學能力。三個

要求范圍（Anforderungsbereiche,縮寫為AB）描述了三種不同的與能力相關的

數學活動的認知需求。在不同的數學內容中，普遍的數學能力呈現出多樣的特點,

這就意味著，普遍的學術能力和內容不能相互分離（在表格1.2?1中通過網格加

以明確）。人們只有首先獲得足夠的普遍數學能力，才能成功的區別以上三種不

同的要求范圍中不同的核心內容。

達到普通高等學校入學水平的課程標準，是對達到中學畢業課程標準上直接

和有計劃的延續。在初級中等教育階段獲得的能力，是高級中等教育階段工作不

可缺少的基礎。在高中階段，能力不斷加深和擴展，并成為高中畢業考試中考察

的對象。圖表表述（圖121）在某種程度上直接表述了中學階段結束時應該達

到的課程標準。（10頁）

核心內容

L5數據和偶然事件

L4函數映射

L3空間和形狀

L2測量

L1運算法則和數字

數

數

數

數

數

運

學

學

學

學

學

用

交

證

建

地

數

符

流

明

模

解

學

號

決

表

、

問

征

公普遍的數學能力

題

式

和

技

巧

除了通過數學內容獲得能力之外，還要注意聯系其他學科獲得能力。在生活

世界中運用數學能力和在數學內部運用數學能力有著相同的重要性和價值。（11

頁）

1.3要求水平

依據"統?高級中等教育階段”（VereinbarungzurGestaltungdergymnasialen

OberstufeinderSekundarstufeII）的要求，各聯邦州將課程依據基礎和提高兩種

水平分類。2

基礎要求水平提高要求水平

核心內在核心內容中明確的基礎知在核心內容中詳細表達，特別是復雜、

容識，為數學內容的外延打好基深奧、詳盡的公式，能夠接觸數學內

礎。容更廣闊的外延。

普遍數在高級中等教育價段考試成績在高級中等教育階段考試成績的重點

學能力的重點主要放在第二個要求范主要放在第二個要求范圍。在此基礎

的要求圍。在此基礎上，第一和第三上，第一和第三要求范圍也會有所要

范圍要求范圍也會有所涉及。基礎求。提高水立的考試科目，第一二部

要求水平的考試科目，第一二分要特別注重。

部分要特別注重C

表格-1.3-1

1.4電子計算工具

數學能力的擴展也受到了電子數學工具的有力支持。工具的潛力在數學課上

得到發揮，

?發現數學關系，特別是建模和解決問題的交互發現，（12頁）

?通過對數學聯系理解的加深，而不是通過借助多種形式的描述可能,

?減少形式流程，處理更多的數據，

?通過個人的探索和完成作業的過程，包括反思性地使用測驗。

課堂上電子數學工具的使用，應該作為考試的?個補充。（13頁）

2要求水平與要求分類要嚴格分開,

通過識別和選擇一種恰當的方式，來尋找解決簡單數學問題的方法，比如說,

通過類比法尋找答案。

要求范圍二：學生們可以……

通過問題的闡述找到答案，比如說，通過多步驟的策略性方法找到答案。

要求范圍三：學生們可以……

解決復雜問題的策略，例如，通過使用多種啟發方式和評估不同的解決方法,

概括出推理的手段。

（16頁）

“數學建?！蹦芰Γ↘3）

以下是對這種能力在三種要求范圍內的描述：

要求范圍一：學生們可以……

?掌握熟悉和直接能夠加以辨認的模型

?能夠將日常真實情況轉化為數學模型

?能將數學計算的結果應用到現實情境之中

要求范圍二：學生們可以……

?可以用簡潔的約束條件建立多步驟模型

?能夠分析說明這樣的模型

?能夠在不同的環境中使用數學模型

要求范圍三：學生們可以……

?在變量和條件被限定的情況卜，能夠為復雜的現實情況建模

?在真實條件的語境下檢驗、比較和評價數學模型

（17頁）

“運用數學表述”的能力（K4）

以下是對這種能力在三種要求范圍內的描述：

要求范圍一：學生們可以……

?使用數學語言講行標準地表述

要求范圍二：學生們可以……

?理解性地評論或者更改給定的表述

?在不同的表述中做轉換

要求范圍三：學生們可以……

?恰當的、帶有理解性的處理不熟悉的表述和表述形式

?能夠對適宜問題的表述進行拓展

?目的性地對不同的表述和表述形式作出評價

（18頁）

“掌握數學符號、公式和技巧”能力（K5）

以下是對這種能力在三種要求范圍內的描述：

要求范圍一：學生們可以……

?運用處理問題的基本方法

?直接運用公式和符號

?直接運用數學輔助工具和電子數學工具

要求范圍二：學生們可以……

?運用數學公式處理問題

?在語境中處理數學對象

?根據R的和情境合理地選擇和使用數學輔助工具和電子計算工具

要求范圍三：學生們可以……

?進行復雜的運算

?評價不同的解決和計算過程

?考慮數學方法、輔助工具和電子數學工具的可能性與不足

（19頁）

“數學交流”能力（K6）

以下是對這種能力在三種要求范圍內的描述：

要求范圍一：學生們可以……

?闡述簡單的數學事實

?從含有數學內涵的短文中甄別和選擇信息，該短文中的信息順序與數學計算

的步驟順序接近

要求范圍二：學生們可以……

?易懂地表述出多步驟的解答方法、想法和結果

?評價其他人的數學表述（包括正確的和錯誤表達）

?從文本中甄別和選擇數學信息，信息的順序和解題的步驟不一定完全相符

要求范圍三：學生們可以……

?解決復雜的數學問題，完整和連續地解釋或表達一個論述

?從數學學術文章中領會思想

?能夠比較、評價和更改他人有數學內容的口頭和書面表達

（20頁）

2.2數學核心內容

核心內容：運算法則和數字

基礎要求水平和提高要求水平

學生們能夠：

?能夠使用一致的等式和等式系統進行解題

?解釋和使用線性方程組的運算步驟

?極值概念中基礎的極值，特別是導數在求極值中的應用

?描述列向量和矩陣的簡要情況

?使用矩陣進行基本計算并學會求逆，通過矩陣描述數學過程（A1）

提高要求水平

學生們能夠

?在多層過程中對矩陣進行尋運算（A1）

?評價邊界矩陣和固定向量（A1）

（22頁）

核心內容：測量（L2）

基礎要求水平和提高要求水平

學生們能夠：

?借助測量工具，確定空間中3物體的距離和角度

?用功能繪圖器確定割線和切線的角度

?計算和說明變化率

?確定通過功能繪圖器界定的平面面積

3非空間角度

?通過物體的初始狀態和變化率，計算物體的現有狀態

?確定和說明樣品的情況和分布

?確定和說明離散隨機數的期望和偏差

提高要求水平

學生們能夠

?確定點、線、面之間的距離（A2）

?確定通過繞軸旋轉產生的物體的體積

（23頁）

核心內容：空間和形狀（L3）

基礎要求水平和提高要求水平

學生們能夠：

?為空間中的物體確定平面和空間內的坐標

?進行空間向量的基本計算，嘗試共線性向量

?說明內積的幾何意義

?用向量表示直線，以及平面范圍內的幾何物體（A2）

?分析說明直線和平面，嘗試說明直線間的位置關系（A2）

提高要求水平

學生們能夠

?嘗試說明線和面之間的關系（A2）

（24）

核心內容：函數和映射（L4）

基礎要求水平和提高要求水平

學生們能夠：

?通過初級中學階段獲得的函數水平來描述這些函數，嘗試使用它們之間的數

量關系

?在簡單的情況下，利用函數的連接來描述數量間的關系

?解釋導數，特別是變億率的問題

?用函數來描述和評價變化率，對初級中學階段學習的導數進行求導，并使用

因子式和求合式。

?在函數求導的時候使用乘積法則

?運用求導的方式求函數的單調性和極值

?從函數的圖像中作出導數圖像，或逆向運算

?說明定積分，特別是（重新）構建的狀態

?通過函數作圖理解微分和積分的概念

?通過原函數求函數的積分

?用隨機數和隨機分布描述隨機現象

提高要求水平

學生們能夠

?通過線性函數的逼近解釋積分

?運用鏈式法則為函數積分

?將自然對數函數作為指數函數的反函數，使用XT1/X的原函數，作為e-函

數的反函數使用

（25）

核心內容：數據和偶然事件（L5）

基礎要求水平和提高要求水平

學生們能夠：

?計劃和判斷基本的數據統計

?嘗試用利用樹形圖或四格表進行探究，并解決在特定可能性語境下的問題

?利用簡單的案例，嘗試多維隨機事件分布過程中的隨機獨立事件

?使用二項分布和特征參數

?使用隨機試驗進行模擬

?運用模擬探索隨機分府的情況

?在簡單的情況下，依據樣本來估計總體情況

提高要求水平

學生們能夠

?對二項分布不能說明的現實、不能確定的問題，及其精確性作出解釋。（B1）

?對假設檢驗作出評價，解釋其中的不確定性和精確性

?區別離散和連續（離散或連續型分布？離散或連續隨機變量？），運用“鐘

型”作為正態分布隨機事件的基本表現

?探索隨機情況，并探究近似正態分布事件

（26頁）

4大學入學程度的數學科目考試指導圖示

考試任務

4.1藥物（提高要求水平）

專業范圍：分析

核心內容：函數關系（L4）

基本能力:K3,K5,K6

幫助工具：科學計算器

完成時間：75分鐘

問題：

在注射藥物以后，血液中的藥物濃度會逐漸降低，我們想測量血液中的藥物

濃度k（亳克每升）與時間t（小時）之間的關系。藥物通過注射直接注入到血

液循環之中，在注射后很短的時間內，測量得到血液中的藥物濃度為勺，這一時

刻作為測量的起始時刻＜t=0）o假設之后五個小時之內加液中的藥物濃度可以用

函數/表述：Q,b￡R+"￡[0,5]

被測驗者A有下列的測量值:

以小時為單位的t01.53.05.0

濃度k(mg/l)10.205.683.171.45

表格4.1-1

依據測驗者A的測驗值，依次回答以下問題

a）根據表格4.1-1,依據時刻t=0和￡=3.0時的濃度k,計算Q，b。

b）所謂半衰期,就是一個時間間隔，在此時間間隔直，血液中的藥物濃度k

達到了初始值的一半。請計算半衰期。

c）在什么時點，藥物濃度k達到最大值？請依據函數/的性質加以分析。

d）請您分析：對于任意的時刻一個小時之后（即在t+1時刻）的藥

物濃度k相比t時刻下降了多少百分比？相應地，半個小時之后下降了多少半分

比？

e）請您證明，函數/能夠滿足等式/@二網。同時請說明等式的現實意義以

及c的含義。

f）假設從時間點￡=5.0起，藥物濃度k可以通過線性函數g加以表示。函

數g在函數/點（5,/（5））的切線上。請您寫出這一切線的表達式。

請您根據藥物濃度稀釋過程的實際情況給出g（t）的定義域。并做出解釋。

問題g是基于多名測試者的基礎之上

g）在測試過程中發現，不同的測試者測得的起始濃度和半衰期會有所不同。如

果測試者B在時間點t=0時、藥物濃度比實驗者A大p個百分點，半衰期比A

小q個白分點。根據實驗者A的藥物濃度函數f（t）,請您寫出相對應實驗者B的

藥物濃度函數的表達式。（僅考慮指數消減的過程）

h）在本研究中，［0月時段內的平均藥物含量大也具現實意義。如圖4.1-1所示,

對于函數q（x）,它在xw［°，b］的區間內的均值卜可以通過一個矩形直觀表現，

矩形的面積為h*b,并且矩形的面積與x軸和q（x）之間的圖形面積相等。

請您計算注射后5小時內的平均藥物濃度入，即函數f在定義域［0,5］上的平均

值。

q(x)

答案:

分類賦分

答案R

1II川

a)/(O)■a-1■10,206a■10,20

In如=-初->/?=-l-ln^=0.39

ata

82

b)%=凝°1,78或：1小時47分鐘

372

0帶有負指數的指數函數單調遞增和正向的函數圖像，定義域從t=0

開始,在t=0處有函數圖像蛀小的坡。

85

d)

1小時：/⑺”e”32.3%

1/(0-/U+-)型

J.小時：----------2_=l-e2=17,7%

2f(t)

652

e)/(O=IO,2e-<u*

/,(/)=-10,20,39^->c?-0,39

365

0切線的等式：g(r)=-0.566r+4,281

g的根：t=7.56

定義域七;7.56]

574

-0,3%

8)

她必。2島

100

36

答案概察分類賦分

1IIIII

)

h)jl0,2e-OJ,,</r=5/>

">〃=4.49?-約為4.49詈

85

共100分284923

5.2：水晶格

專業范圍：幾何學

核心內容：測量內2],空間和形狀[L3]

能力范圍：

K1K2K3K4K5K6

要求范圍VV

1

要求范圍VV

2

要求范圍

3

輔助工具：簡單的科學計算器

完成時間：150分鐘

任務:

晶體的典型構造是：它是山相同的基本零件有規則地排列而形成的。當這些

基本零件重復排列在一起的時候，就形成了所謂的品體格。

在學校，經常用條形磁鐵和鋼珠制作這種晶體格模型，鋼珠位于晶體格的頂

點，相當于一個個原子。大型的晶體格的結構可以用計算機來模擬演示。這里有

一個晶體格，構成它的基本零件是“正四面體”，如圖是小的晶體格T1。

四個正四面體口可以組成一個較大的正四面體T2,鏈接處的鋼珠必須分別

卸掉一個，保留一個。

用四個T2型的正四面體，可以組成一個T3型的正四面體，中間有個空腔。

一S

（圖5.2-3：T3）

圖524中，標出了點0,A,B,C,D以及S,以及向量公，B和2,注意:

這些向量不是點A,B,C的位置向量

1.請說明，T3型的正四面體是可以用這種方式搭建出來的，同時說明：

（1）T3的底面由四個相同的正三角形組成；

（2）T2型最上面的一個正四面體必須與下面三個正四面體相吻合。

2.磁鐵長2.6厘米，鋼珠的直徑為1.2厘米。在笛卡爾坐標系標出向量入

/；和L這個坐標系原點為0,x軸與￡平行，z軸垂直于四面體的底面。單位是

1厘米。

請證明下面的表述正確:

1.9

‘3.8、'1.9

19G

=0,b=1.9^/3

30

0

19x/6

<15>

c）晶體格的頂點，如點D或S（如圖524）,可以用兩個方式來表示：

?在所給的笛卡爾坐標系中給出坐標；

?或用向量來表示，利用向量和2的向量和與向量工，加和2的向量積來

表示；

?請用這兩種方式表示D和S的位置向量。

d）請分別說明c）這兩種表示方法的優點。思考一個來自現實的問題，說明

用笛卡爾坐標方式來表示更為合適。

在用計算機來表示特定的三維物體時，為了表示表面和邊，需要知道平面和

直線方程。T3中間的空腔需要用平面塊來包圍。

e）

?給出，程序員需要設計多少平面塊，什么形狀的平面塊？

?給出，穿過點A和B的直線方程

?給出，穿過點A,B和C的平面方程

?確定三角形ABC的面積。

?確定在T3中的空腔的體積。

在計算機游戲中，通常用三維空間來表示房屋，石頭或者金字塔等，為保證

呈現得更為真實，除了考慮正確表示物體以外，還要考慮光線問題。

計算機計算光線效果主要是角度計算，光線以某角度照到平面上。這里光線

是垂直向下照射的。

f）確定角度，使光線剛好以這個角度穿過點0,A卻C,照到這個三角形的

表面。

5.3：機票預訂（解題時間100分鐘）

（這個問題旨在培養學生：三水平的數學建模（K3）能力，二水平的數學表征的

應用（K4）和數學符號、公式及技巧的熟練掌握（K5）能力，三水平的數學交流

（K6）能力。）

在一個特定路段，某航空公司啟用含100個座位的航班，乘客在登機前預訂

機票并付款。假設這個路段的航班“總是被訂滿”。

當然中途有10%的被預訂的位置臨時會被取消（也就是說他們預訂了但又取

消了座位）。

航空公司從每個實際搭乘的乘客中可以盈利200歐元；而從臨時取消航班的

人那里，公司只能贏得100歐元。

本題模型假設；對每個航班來說，可能取消預訂的乘客數量成正態分布。

（a）計算，從長遠看航空公司從每一個航班平均能獲得多少收入多？

為使航班有較高的載客量，航空公司從--開始就賣108張機票，而不是100

張。多賣出8張票，會使航空公司承擔一定風險，若這些位置被預訂和購買，則

會出現載客過剩；也有可能，這些位置并沒有被購買。

對每個乘客來說，如戾他預訂并購買了某航班的機票，但由于超額預訂他不

能登機，那么航空公司要支付他住宿費用以及精神損失費共計1500歐元，但是

乘客不能退票。

然而，乘客也可以換乘另外一架飛機到達目的地，為此航空公司產生200

歐元的盈利。

超額預訂的措施是否給航空公司帶來經濟利益，需要在下面的問題解決中借

助隨機模型來討論。

（注：這里要用到電子制表軟件，Excel等。）

方法：設置100x108的模擬表格，代表100個航班，分別有108個預訂，在

每個模擬過程中，用下面的公式計算10800格子的情況:

(b)結合具體場景，解釋這個矩陣的意思。結合隨機實驗“機票預訂”說明

這一個個小格子代表什么？

對于下面的問題有兩種選擇.選擇1已經有一個模擬情景，對此進行解釋和

說明；選擇2是讓學生自主地進行模擬。

選擇1：

以下面說明的方式拓展上表，并且加以計算。結果記錄在表格532中。

(表格532)

ABDEf~~

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超額預訂入W訂的支人數教

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比)

1500.0020500.000020500.897111111

700.0019700.000019700.0089210111

1600.0020600.000020600.0098311101

1300.0020300.000020300.0095411110

-3000.0016000.005100.00321100.00103511111

12SUU.UUAMUU.UUUU2UBUU.UU1UU011111

191700.0020700.000020700.0099711111

20-6200.0012800.008S00.00S21