2013年新人教版七年級下冊數學各章節知識點匯編七年級下冊數學各章節知識點匯編第五章相交線與平行線平面內，點與直線之間的位置關系分為兩種:?點在線上?點在線外?平行同一平面內，兩條或多條不重合的直線之間的位置關系只有兩種:?相交一、相交線1、兩條直線相交，有且只有一個交點。(反之，若兩條直線只有一個交點，則這兩條直線相交。)兩條直線相交，產生鄰補角和對頂角的概念:鄰補角:兩角共一邊，另一邊互為反向延長線。鄰補角互補。要注意區分互為鄰補角與互為補角的異同。對頂角:兩角共頂點，一角兩邊分別為另一角兩邊的反向延長線。對頂角相等。注:?、同角或等角的余角相等;同角或等角的補角相等;等角的對頂角相等。反過來亦成立。?、表述鄰補角、對頂角時，要注意相對性，即“互為”，要講清誰是誰的鄰補角或對頂角。例如:判斷對錯:因為?ABC+?DBC=180?，所以?DBC是鄰補角。()相等的兩個角互為對頂角。()2、垂直是兩直線相交的特殊情況。注意:兩直線垂直，是互相垂直，即:若線a垂直線b，則線b垂直線a。垂足:兩條互相垂直的直線的交點叫垂足。垂直時，一定要用直角符號表示出來。過一點有且只有一條直線與已知直線垂直。(注:這一點可以在已知直線上，也可以在已知直線外)3、點到直線的距離。垂線段:過線外一點，作已知線的垂線，這點到垂足之間的線段叫垂線段。垂線與垂線段:垂線是一條直線，而垂線段是一條線段，是垂線的一部分。垂線段最短:連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短。(或說直角三角形中，斜邊大于直角邊。)點到直線的距離:直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫這點到直線的距離。注:距離指的是垂線段的長度，而不是這條垂線段的本身。所以，如果在判斷時，若沒有“長度”兩字，則是錯誤的。4、同位角、內錯角、同旁內角三線六面八角:平面內，兩條直線被第三條直線所截，將平面分成了六個部分，形成八個角，其中有:4對同位角，2對內錯角和2對同旁內角。注意:要熟練地認識并找出這三種角:?根據三種角的概念來區分?借助模型來區分，即:同位角——F型，內錯角——Z型，同旁內角——U型。特別注意:?三角形的三個內角均互為同旁內角;?同位角、內錯角、同旁內角的稱呼并不一定要建立在兩條平行的直線被第三條直線所截的前提上才有的，這兩條直線也可以不平行，也同樣的有同位角、內錯角、同旁內角。5、幾何計數:?平面內n條直線兩兩相交，共有n(n–1)組對頂角。(或寫成n^2–n組)-1-?平面內n條直線兩兩相交，最多有n(n–1)/2個交點。(或寫成(n^2–n)/2個)?平面內n條直線兩兩相交，最多把平面分割成[n(n+1)/2]+1個面。?當平面內n個點中任意三點均不共線時，一共可以作n(n–1)/2條直線?；仡??、一條直線上n個點之間，一共有n(n–1)/2條線段;?、若從一個點引出n條射線，則一共有n(n–1)/2個角。二、平行線同一平面內，兩條直線若沒有公共點(即交點)，那么這兩條直線平行。注:平行線永不相交。1、平行公理:過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行。(注:這一點是在直線外)推論:如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行。(或叫平行線的傳遞性)2、平行線的畫法:借助三角板和直尺。具體略。(此基本作圖方法一定要掌握，多練習。)3、平行線的判定:?同位角相等，兩直線平行;?內錯角相等，兩直線平行;?同旁內角互補，兩直線平行。注意:是先看角如何，再判斷兩直線是否平行，前提是“角相等/互補”。一個重要結論:同一平面內，垂直于同一直線的兩條直線互相平行。4、平行線的性質:?兩直線平行，同位角相等;?兩直線平行，內錯角相等;?兩直線平行，同旁內角互補。注意:是先有兩直線平行，才有以上的性質，前提是“線平行”。一個結論:平行線間的距離處處相等。例如:應用于說明矩形(包括長方形、正方形)的對邊相等，還有梯形的對角線把梯形分成分別以上底為底的兩等面積的三角形，或以下底為底的兩等面積的三角形。(因為梯形的上底與下底平行，平行線間的高相等，所以，就有等底等高的三角形。)※此章難度最大就在如何利用平行線的判定或性質來進行解析幾何的初步推理，要在熟練掌握好基本知識點的基礎上，學會邏輯推理，既要條理清晰，又要簡潔明了。5、命題判斷一件事情的語句叫命題。命題包括“題設”和“結論”兩部分，可寫成“如果??那么??”的形式。例如:“明天可能下雨。”這句語句______命題，而“今天很熱，明天可能下雨。”這句語句_____命題。(填“是”或“不是”)?命題分為真命題與假命題，真命題指題設成立，結論也成立的命題(或說正確的命題)。假命題指題設成立，但結論不一定或根本不成立的命題(或說錯誤的命題)。?逆命題:將一個命題的題設與結論互換位置之后，形成新的命題，就叫原命題的逆命題。注:原命題是真命題，其逆命題不一定仍為真命題，同理，原命題為假命題，其逆命題也不一定為假命題。-2-例如:“對頂角相等”是個真命題，但其逆命題“___________________________________”卻是個假命題。不論是真命題還是假命題，都要學會能非常熟練地把一個命題寫成“如果??那么??”的形式。例:把“等角的補角相等”寫成“如果??那么??”的形式為:_____________________________________________________。再例:把“三角形的內角和等于180度?！睂懗砂}設與結論的形式:__________________________________。三、平移1、概念:把圖形的整體沿著某一方向移動一定的距離，得到一個新的圖形，這種圖形的移動，叫平移。確定平移，關鍵是要弄清平移的方向(并不一定是水平移動或垂直移動哦)與平移的距離。如果是斜著平移的，則需把由起始位置至最終位置拆分為先水平移動，再上下移動，或拆分為先上下移動，再水平移動。當然，如果是在格點圖內平移，則可利用已知點的平移距離是某一矩形的對角線這一特點來對應完成其它頂點的平移。2、特征:?發生平移時，新圖形與原圖形的形狀、大小完全相同(即:對應線段、對應角均相等);?對應點之間的線段互相平行(或在同一直線上)且相等，均等于平移距離。3、畫法:掌握平移方向與平移距離，利用對應點(一般指圖形的頂點)之間連線段平行、連線段相等性質描出原圖形頂點的對應點，再依次連接，就形成平移后的新圖形。第六章平面直角坐標系一、坐標1、數軸規定了原點、正方向、單位長度的直線叫數軸。數軸上的點可以用一個數來表示，這個數叫這個點在數軸上的坐標。數軸上的點與實數(包括有理數與無理數)一一對應，數軸上的每一個點都有唯一的一個數與之對應。2、平面直角坐標系由互相垂直、且原點重合的兩條數軸組成。橫向(水平)方向的為橫軸(x軸)，縱向(豎直)方向的為縱軸(y軸)，平面直角坐標系上的任一點，都可用一對有序實數對來表示位置，這對有序實數對就叫這點的坐標。(即是用有順序的兩個數來表示，注:x在前，y在后，不能隨意更改)坐標平面內的點與有序實數對是一一對應的，每一個點，都有唯一的一對有序實數對與之對應。二、象限及坐標平面內點的特點1、四個象限平面直角坐標系把坐標平面分成四個象限，從右上部分開始，按逆時針方向分別叫第一象限(或第?象限)、第二象限(或第?象限)、第三象限(第?象限)和第四象限(或第?象限)。注:?、坐標軸(x軸、y軸)上的點不屬于任何一個象限。例點A(3，0)和點B(0，-5)?、平面直角坐標系的原點發生改變，則點的坐標相應發生改變;坐標軸的單位長度發生改變，點的坐標也相應發生改變。2、坐標平面內點的位置特點?、坐標原點的坐標為(0，0);?、第一象限內的點，x、y同號，均為正;?、第二象限內的點，x、y異號，x為負，y為正;?、第三象限內的點，x、y同號，均為負;?、第四象限內的點，x、y異號，x為正，y為負;-3-?、橫軸(x軸)上的點，縱坐標為0，即(x，0)，所以，橫軸也可寫作:y=0(表示一條直線)?、縱軸(y軸)上的點，橫坐標為0，即(0，y),所以，縱橫也可寫作:x=0(表示一條直線)例:若P(x,y),已知xy>0,則P點在第____________象限，已知xy<0，則P點在第____________象限。3、點到坐標軸的距離坐標平面內的點的橫坐標的絕對值表示這點到縱軸(y軸)的距離，而縱坐標的絕對值表示這點到橫軸(x軸)的距離。例:點A(-3，7)表示到橫軸的距離為_______，到縱軸的距離為_______;點B(-9，0)表示到橫軸的距離為_______,到縱軸的距離為_______。注:?、已知點的坐標求距離，只有一個結果，但已知距離求坐標，則因為點的坐標有正有負，可能有多個解的情況，應注意不要丟解。例:點P(x,y)到x軸的距離是3，到y軸的距離是7，求點P的坐標為________________。再例:已知A(3，2)，AB平行x軸，且AB=4，求B點的坐標為___________________。?、坐標平面內任意兩點A(x1,y1)、B(x2,y2)之間的距離公式為:d=根號下[(x1-x2)^2+(y1-y2)^2]4、坐標平面內對稱點坐標的特點?、一個點A(a,b)關于x軸對稱的點的坐標為A,(a,-b),特點為:x不變，y相反;例:,(-3，5)關于x軸對稱的點的坐標為A,(____,____)?、一個點A(a,b)關于y軸對稱的點的坐標為A,(-a,b),特點為:y不變，x相反;例:,(-3，5)關于y軸對稱的點的坐標為A,(____,____)?、一個點A(a,b)關于原點對稱的點的坐標為A,(-a,-b)，特點為:x、y均相反。例:,(-3，5)關于原點對稱的點的坐標為A,(____,____)5、平行于坐標軸的直線的表示?、平行于橫軸(x軸)的直線上的任意一點，其橫坐標不同，縱坐標均相等，所以，可表示為:y=a(a為縱坐標)的形式，a的絕對值表示這條直線到x軸的距離，直線上兩點之間的距離等于這兩點橫坐標之差的絕對值;?、平行于縱軸(y軸)的直線上的任意一點，其縱坐標不同，橫坐標均相等，所以，可表示為:x=b(b為橫坐標)的形式，b的絕對值表示這條直線到y軸的距離，直線上兩點之間的距離等于這兩點縱坐標之差的絕對值。例如:直線y=-5上與點A(-3，-5)距離為8的點P坐標為:________________________;直線x=6上與點B(6，7)距離為9的點K坐標為:_________________________。6、象限角平分線的特點?、第一、三象限的角平分線可表示為y=x的形式，即角平分線上的點的縱坐標與橫坐標相等(同號);例:A(3，____)和B(-5，____)均在第一、三象限的角平分線上。?、第二、四象限的角平分線可表示為y=-x的形式，即角平分線的點的縱坐標與橫坐標互為相反數(異號)。例A(-3，____)和B(5，____)均在第二、四象限的角平分線上。三、坐標方法的簡單應用1、求面積?、已知三角形的頂點坐標求三角形的面積將坐標平面上的三角形的面積轉化為幾個圖形的面積的組合(相-4-加)或分解(相減)，即將要求的三角形面積轉化為一個大的多邊形(例如矩形或梯形)與一個或幾個較小的三角形面積之差;例:?、已知平面直角坐標系中，點A(2，4)，點B(6，2)，求?AOB的面積,?、已知A(-4，3)，B(0，0)，C(-2，-1)，求?ABC的面積,?、已知多邊形各頂點坐標求多邊形的面積將坐標平面上的多邊形的面積分割成幾個規則的圖形組合的面積之和，或轉化為一個更大的多邊形(例如矩形或梯形)與一個或幾個較小的三角形面積之差。例:順次連接坐標平面上四點A(2，2)、B(-2，2)、C(-3，-2)、D(3，-2)，求這個四邊形的面積,2、平移?、點的平移一個點左、右(水平)平移，橫坐標改變，縱坐標不變。具體為:向左平移幾個單位，則橫坐標減少幾個單位;向右平移幾個單位，則橫坐標增加幾個單位。“左減右加”一個點上、下(豎直)平移，縱坐標改變，橫坐標不變。具體為:向下平移幾個單位，則縱坐標減少幾個單位;向上平移幾個單位，則縱坐標增加幾個單位?！跋聹p上加”?、圖形的平移圖形是由無數個點組成的，所以，圖形的平移實質上就是點的平移。關鍵是把圖形的各個頂點按要求橫向或縱向平移，描出平移后的對應頂點，再連接全部對應頂點即可。注:圖形平移后的新圖形與原圖形在形狀、大小方面是完全相同的，唯一改變的是原圖形的位置。3、中點坐標公式對于平面直角坐標系內任意兩點M(a1,b1)、N(a2,b2),它們的中點的坐標為:((a1+a2)/2,(b1+b2)/2)例:已知點A(5，-8)和點B(-3，2)，線段AB的中點的坐標為:(______,______)。第七章三角形一、概念由三條不在同一直線上的線段首尾順次相連而構成的平面圖形叫三角形。注意其中:?不在同一直線上(或說不共線);?是三條線段;?首尾順次相連這三個條件缺一不可。二、分類(1)按角分類:分為斜三角形(包括銳角三角形和鈍角三角形)直三角形(即直角三角形)(2)按邊分類:分為不等邊三角形等腰三角形(包括只有兩邊相等/或說是底腰不等的三角形和三邊相等/即等邊的三角形)注:?、等邊三角形是特殊的等腰三角形;?、一個三角形中最多只有一個鈍角，最少有二個銳角。三、三角形的三邊關系1、三角形的三邊關系定理:三角形的任意兩邊之和大于第三邊。(即a+b>c,或a+c>b,或b+c>a)2、推論:三角形的任意兩邊之差小于第三邊。-5-特別注意:(1)、以上兩點就是判斷任意給定的三條線段能否組成三角形的條件，但在實際做題時，并不需要去分析全部三組邊的大小關系，可簡化為:當三條線段中最長的線段小于另兩條較短線段之和時，或當三條線段中最短的線段大于另兩條較長線段之差的絕對值時，即可組成三角形。(2)、已知三角形的兩邊a，b(a>b)，則第三邊c的取值范圍為:a–b<c<a+b(3)、并不需要知道三條線段的具體長度，而只要根據它們長度的比值，即可判斷是否可組成三角形。例?:現有長度分別為2cm、3cm、4cm、5cm的木棒，從中任取三根，能組成_______個三角形。例?:下列幾組長度的線段能組成三角形的是:_____________?、3a,5a,8a(a>0)?、a?+3,a?+4,a?+7(a?0)?、3a,4a,2a+1(a>1/5)例?:已知M是?ABC內一點，試說明:AB+AC>MB+MC(圖自畫)四、有關三角形邊長的綜合問題1、等腰三角形:等腰三角形有兩相等的腰和一底邊，題目中往往并不直接說明腰和底邊，因此，解題時要分類討論，以免丟解。例?:等腰三角形的周長為24cm，其中兩條邊長的比為3:2，求該等腰三角形的三邊長。例?:已知等腰三角形的周長是16cm，(1)若其中一邊長為6cm，求另外兩邊長;(2)若其中一邊長為4cm，求另外兩邊長。例?:在等腰?ABC中，AB=AC，一腰上的中線BD將三角形周長分為21和12兩部分，求這個三角形的腰長和底邊長。注:根據三角形三邊關系，若等腰三角形的腰長為a，則底邊長x的取值范圍是:0<x<2a;若等腰三角形的底邊為a，則腰長x的取值范圍是:x>a/22、其它例:已知?ABC和三角形內的一點P，試說明:AB+AC>PB+PC(圖略)五、三角形的中線、角平分線和高(圖表區別)名稱中線角平分線高三角形一邊上的中點與三角形一個角的平分線與對邊從三角形的頂點向對邊或對邊的延定義這邊所對的頂點的連線段相交，頂點與交點的連線段長線作垂線，垂足與頂點的連線段形狀線段線段線段數量3條3條3條銳角三角形的高均在三角形內;直角三角形斜邊上的高在三角形內，另兩條高與兩條直-6-角邊重合;鈍角三角形最長邊上的高在三角形內，另兩條高在三角形外。位置三角形內部三角形內部交于同一點，叫三角形的垂心:銳角三角形交點交于同一點，位于三角交于同一點，位于三角高的交點位于三角形內部;直角三角形高的情況形內，叫三角形的重心形內，叫三角形的內心交點與直角頂點重合;鈍角三角形高的交點在三角形的外部。例:判斷對錯:(1)三角形的三條高在三角形的內部。()(2)以三角形的頂點為端點，且平分三角形內角的射線叫做三角形的角平分線。()(3)三角形的中線將三角形分為面積相等的兩個三角形。()(4)三角形的三條角平分線和三條中線在三角形內部或外部。()注:1、畫任意一個三角形的三條高，對于初學者來講，有時會不太熟練，記住，要掌握好三角形的高的定義及位置情況，根據定義正確畫出三角形的高，口訣:“一靠二過三畫線”;2、要區分角的平分線和三角形角的平分線，前者是射線，后者是線段;※3、三角形的一條中線把三角形的面積一分為二(因為“等底等高的三角形面積相等”)，三角形的任意一條邊與該邊上的高的乘積的一半都等于這個三角形的面積，所以，有時，題目中出現了中線，或出現了高時，一定要有從面積入手來解題的意識?！?、三角形的三條中線相交于一點(這點叫三角形的重心)，且把原三角形分成面積相等的六個部分(即六個小三角形)。六、三角形的穩定性三角形的三條邊固定，那么三角形的形狀和大小就完全確定了，這個性質叫三角形的穩定性。除了三角形外，其它的多邊形不具有穩定性，但可以通過連接對角線，把多邊形轉化為若干個三角形，這個多邊形也就具有穩定性了。多邊形要具有穩定性，四邊形要添一條對角線，五邊形要添二條對角線??，n邊形要添(n-3)條對角線。七、三角形的內角和定理三角形的內角和等于180度。要會利用平行線性質、鄰補角、平角等相關知識推出三角形內角和定理。注:?、已知三角形的兩個內角度數，可求出第三個角的度數;?、等邊三角形的每一個內角都等于60度;?、如果已知等腰三角形的一個內角等于60度，那么這個等腰三角形就是等邊三角形。?、三角形中，有“大角對大邊，大邊對大角”性質，即度數較大的角，所對的邊就較長，或較長的邊，所對的角的度數較大。例:(1)已知等腰三角形的一個內角等于70度，則另外兩個內角的度數分別是多少度?(2)等腰三角形的一個外角是100?，求這個三角形的三個內角度數。八、三角形的外角及其性質三角形的每一個內角都有相鄰的兩個外角，且這兩個外角相等(對頂角相等)。一共有六個外角。-7-其中，從與三角形的每一個內角相鄰的兩個外角中各取一個外角相加(一共三個外角相加)，叫三角形的外角和。根據鄰補角、三角形的內角和等相關知識，可知:三角形的外角和=360度。性質1、三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角和。性質2、三角形的一個外角大于任何一個與它不相鄰的內角。(常用于解決角的不等關系問題)例?:等腰三角形的一個外角等于100度，則這個等腰三角形的三個內角分別是多少度,例?:試用合適的方法說明五角星的五個頂角和等于180?(圖自畫)注:(1)、?ABC內有一點O，連接BO、CO，則有?BOC=?A+?ABO+?ACO圖略(2)、?ABC內有一點M，連接BM、CM，BO、CO分別是?ABM和?ACM的平分線，則有?BOC=(?A+?BMC)/2(3)、一個五角星，五個頂角的和等于180度。(可利用性質1和三角形的內角和來加以證明)(4)、BO、CO分別是?ABC的內角平分線，BO、CO相交于點O，則?BOC=90?+?A/2(5)、BO、CO分別是?ABC的外角平分線，BO、CO相交于點O，則?BOC=90?-?A/2(6)、BO是?ABC的內角平分線，CO是?ABC的外角平分線，BO、CO相交于點O，則?BOC=?A/2(7)、?銳角三角形兩條邊上的高相交所成的夾角與第三邊所對的角互補;?直角三角形兩條邊上的高相交所成的夾角與第三邊所對的角相等;?鈍角三角形一條鈍角邊上的高與鈍角所對最大邊上的高相交所成的夾角與另一鈍角邊所對的角相等，但若是兩條鈍角邊上的高相交所成的夾角，則與第三邊所對的角互補?！堊孕杏煤线m的方法說明以上各點～九、多邊形及其內角和、外角和1、概念:由不在同一直線上的一些線段首尾順次相接組成的平面圖形叫做多邊形。三角形是最簡單的多邊形。注:?、多邊形分為凸多邊形和凹多邊形，我們初中階段只研究凸多邊形。凸多邊形:整個多邊形都在任何一條邊所在直線的同一側，這樣的多邊形叫凸多邊形。?、正多邊形:各個內角都相等，各條邊都相等的多邊形叫正多邊形。(注:邊、角均相等兩條件缺一不可)?、各邊都相等的多邊形不一定是正多邊形,例如菱形;各內角都相等的多邊形不一定是正多邊形,例如矩形。2、多邊形的內角和定理:n邊形內角和等于:(n-2)×180?推導方法(1):由n邊形的一個頂點出發，作n邊形的對角線，一共可以作(n-3)條對角線，這些對角線把原來的n邊形分成了(n-2)個三角形，由三角形的內角和等于180?，可得出該n邊形的內角和為:(n-2)×180?推導方法(2):在n邊形的一邊上任取一點，由這一點出發，連接n邊形的各個頂點(與所取點相鄰的兩個頂點除外)，一共可以作(n-2)條連接線段，這些線段把原來的n邊形分成了(n-1)個三角形，但卻多出了一個平角，所以，該n邊形的內角和為:(n-1)×180?-180?=(n-2)×180?推導方法(3):在n邊形內任取一點,由這一點出發,連接n邊形的各個頂點,一共可以作n條連接線段,這些線段把原來的n邊形分成了n個三角形，但中間卻多出了一個周角，所以，該n邊形的內角和為:n×180?-360?-8-=(n-2)×180?注:?、正n邊形的每一個內角都等于[(n-2)×180?]/n?、多邊形的內角和是180?的整倍數。?、若多邊形的邊數增加n條，則它的內角和增加n×180??、若多邊形的邊數擴大2倍，則它的內角和增加n×180??、若多邊形的邊數擴大m倍，則它的內角和增加(m-1)×n×180?例:一個多邊形的所有內角和其中一個外角的度數和是1335?，這是個_______邊形，這個外角為______度。一個多邊形除了一個內角外,其余內角之和為1680?,則這個多邊形是_______邊形，這個內角為______度。3、多邊形的外角和:多邊形的外角和是一個定值，恒等于360?。指的是取多邊形每一個頂點處的一個外角相加的和，故n邊形的外角和指的是n個外角相加的和。多邊形的外角和與邊數無關。注:?、n邊形有[n×(n-3)]/2條對角線。例:十邊形有[10×(10-3)]/2=35條對角線?、在運用多邊形的內角和公式與外角的性質求值時，常與方程思想相結合，運用方程思想是解決本節運算的常用方法。?、在解決握手次數、通電話次數以及單循環賽比賽場數問題時，可以建立多邊形模型，此類問題即為多邊形的邊數+對角線的條數例:?、已知多邊形的每一個內角都等于150?，則這個多邊形的外角和是________?，內角和為_________??、一個多邊形的內角和與某一個外角的度數總和為1350?，則此多邊形為________邊形。?、一個多邊形除了一個內角外，其余內角之和為1680?，則這個多邊形是________邊形。?、已知?ABC的兩邊分別與?DEF的兩邊垂直，則?ABC和?DEF的大小關系是互補或相等。試畫圖說明。?、六個人去參加會議,要求每兩人之間要握一次手,那么這六個人共要握多少次手,(把六個人看作六個點)十、鑲嵌當圍繞一點拼在一起的幾個多邊形的內角加在一起恰好組成一個周角時，就能拼成一個平面圖形。1、用同一種多邊形鑲嵌:這種多邊形可以不是正多邊形(例如三角形、長方形、平行四邊形、菱形、梯形等)，也可以是正多邊形(例如正三角形、正方形、正六邊形)。三角形，四邊形均可單獨鑲嵌。2、用多種多邊形鑲嵌:則每種多邊形必須是正多邊形。例如:3個正三角+2個正方形，4個正三角形+1個正六邊形，2個正三角形+2個正六邊形，1個正方形+2個正八邊形，2個正五邊形+1個正十邊形，1個正六邊形+2個正十二邊形，1個正三角形+1個正八邊形+1個正二十四邊形，1個正方形+1個正六邊形+1個正十二邊形，1個正三角形+2個正方形+1個正六邊形，如此等等。例:小明家需要購買地板磚鋪房間地面，現有正三角形、正四邊形、正五邊形、正六邊形、正十二邊形這五種地板磚，則能有哪幾種選擇,第八章二元一次方程組-9-一、二元一次方程組1、概念:二元一次方程:含有兩個未知數，且未知數的指數(即次數)都是1的方程，叫二元一次方程。二元一次方程組:兩個二元一次方程(或一個是一元一次方程，另一個是二元一次方程;或兩個都是一元一次方程;但未知數個數仍為兩個)合在一起，就組成了二元一次方程組。2、二元一次方程的解和二元一次方程組的解:使二元一次方程左右兩邊的值相等(即等式成立)的兩個未知數的值，叫二元一次方程的解。使二元一次方程組的兩個方程左右兩邊的值都相等的兩個未知數的值，叫二元一次方程組的解。注:?、因為二元一次方程含有兩個未知數，所以，二元一次方程的解是一組(對)數，用大括號聯立;?、一個二元一次方程的解往往不是唯一的，而是有許多組;?、而二元一次方程組的解是其中兩個二元一次方程的公共解，一般地，只有唯一的一組，但也可能有無數組或無解(即無公共解)。二元一次方程組的解的討論:a1x+b1y=c1已知二元一次方程組?、當a1/a2?b1/b2時，有唯一解;?、當a1/a2=b1/b2?a2x+b2y=c2c1/c2時，無解;?、當a1/a2=b1/b2=c1/c2時，有無數解。x+y=4x+y=3x+y=4例如:對應方程組:?、?、?、3x-5y=92x+2y=52x+2y=8例:判斷下列方程組是否為二元一次方程組:a+b=2x=43t+2s=5x=11?、?、?、?、b+c=3y=5ts+6=02x+3y=03、用含一個未知數的代數式表示另一個未知數:用含X的代數式表示Y，就是先把X看成已知數，把Y看成未知數;用含Y的代數式表示X，則相當于把Y看成已知數，把X看成未知數。例:在方程2x+3y=18中，用含x的代數式表示y為:___________,用含y的代數式表示x為:____________。4、根據二元一次方程的定義求字母系數的值:要抓住兩個方面:?、未知數的指數為1，?、未知數前的系數不能為0例:已知方程(a-2)x^(/a/-1)–(b+5)y^(b^2-24)=3是關于x、y的二元一次方程，求a、b的值。5、求二元一次方程的整數解例:求二元一次方程3x+4y=18的正整數解。思路:利用含一個未知數的代數式表示另一個未知數的方法，可以求出方程有正整數解時x、y的取值范圍，然后再進一步確定解。解:用含x的代數式表示y:y=9/2–(3/4)x用含y的代數式表示x:x=6–(4/3)y因為是求正整數解，則:9/2–(3/4)x>0,6–(4/3)y>0-10-所以，0<x<6,0<y<9/2所以，當y=1時，x=6–4/3=14/3,舍去;當y=2時，x=6–8/3=10/3，舍去;當y=3時，x=6–12/3=2,符合;當y=4時，x=6–16/3=2/3，舍去。x=2所以，3x+4y=18的正整數解為:y=3x=3ax-2y=5再例:?、如果是方程組的解，求a-b的值。y=-12x+by=3ax+5y=15,??、甲、乙兩人共解方程組由于甲看錯了方程?中的a，得到的方程組的解4x-by=-2,?x=-3,x=5,為乙看錯了方程?中的b，得到的方程組的解為試計算a^2009+(-b/10)^2010的值。y=-1,y=4,二、二元一次方程組的解法——消元(整體思想就是:消去未知數，化“二元”為“一元”)1、代入消元法:由二元一次方程組中的一個方程，將一個未知數用含另一未知數的式子表示出來，再代入另一方程，實現消元，進而求得這個二元一次方程組的解，這種方法叫做代入消元法，簡稱代入法。注:代入法解二元一次方程組的一般步驟為:?、從方程組中選一個系數比較簡單的方程，將這個方程的一個未知數用含另一個未知數的代數式表示出來;?、將變形后的關系式代入另一個方程(不能代入原來的方程哦～)，消去一個未知數，得到一個一元一次方程;?、解這個一元一次方程，求出一個未知數的值;?、將求得的未知數的值代入變形后的關系式(或原來的方程組中任一個方程)中，求出另一個未知數的值;?、把求得的兩個未知數的值用大括號聯立起來，就是方程組的解。2、加減消元法:兩個二元一次方程中同一未知數前的系數相反或相等(或利用等式的性質可變為相反或相等)時，將兩個方程的左右兩邊分別相加或相減，就能消去這個未知數，得到一個一元一次方程，進而求得這個二元一次方程組的解，這種方法叫加減消元法，簡稱加減法。注:加減法解二元一次方程組的一般步驟為:?、方程組的兩個方程中，如果同一個未知數前的系數既不相反又不相等時，就根據等式的性質，用適當的數乘以方程的兩邊(注意，左右兩邊每一項都要乘以這個數)，使同一未知數前的系數相反或相等;?、把兩個方程的兩邊分別相加或相減，消去一個未知數，得到一個一元一次方程;?、解這個一元一次方程，求得一個未知數的值;?、將這個求得的未知數的值代入原方程組中的任意一個方程中，求出另一個未知數的值，并把求得的兩個未知數的值用大括號聯立起來，就是方程組的解。例:解方程組:4y–(2y+x+16)/2=-6xx/2+y/3=13/2?、?、2y+3x=7–2x-yx/3–y/4=3/2-11-3、用換元法解方程組:根據題目的特點，利用換元法簡化求解，同時應注意換元法求出的解要代回關系式中，求出方程組中未知數的解。5/(x+1)+4/(y-2)=2例:?、解方程組:7/(x+1)–3/(y-2)=13/202a-3b=13a=8.32(x+2)-3(y-1)=13?、已知方程組的解是，則方程組的解是:()3a+5b=30.9b=1.23(x+2)+5(y-1)=30.9x=8.3x=10.3x=6.3x=10.3y=1.2y=2.2y=2.2y=0.2A、B、C、D、4、用整體代入法解方程組:2x-y=6?例:解方程組:(x+2y)(4x–2y)=192?解:將?變形為:(x+2y)×2(2x–y)=192?，把?代入?得:(x+2y)×2×6=192,即x+2y=16?2x-y=6x=5.6再把?和?組成新的方程組:解得:x+2y=16y=5.25、另外幾種類型的例題:(1)、若,m+n–5,+(2m+3n-5)?=0,求(m-n)?的值。(2)、已知代數式x?+ax+b，當x=-1時，它的值是5，當x=1時，它的值是-1，求當x=2時，代數式的值。5x+y=3x-2y=5(3)、已知方程組與有相同的解，求m，n的值。mx+5y=45x+ny=13x-5y=2m(4)、已知方程組的解x、y互為相反數，求m、x以及y的值。2x+7y=m-182x-y=k(5)、關于x、y的方程組的解，也是方程2x+y=3的解，求k的值。3x+y=k+1(6)、某蔬菜公司收購到某種蔬菜140噸～準備加工后上市銷售。該公司的加工能力是:每天可以精加工6噸或者粗加工16噸。現計劃用15天完成加工任務～該公司應安排幾天粗加工～幾天精加工～才能按期完成任務,如果每噸蔬菜粗加工后的利潤為1000元～精加工后的利潤為2000元～那么照此安排～該公司出售這些加工后的蔬菜共獲利多少元,三、實際問題與二元一次方程組1、利用二元一次方程組解實際應用問題的一般過程為:審題并找出數量關系式—>設元(設未知數)—>根據數量關系式列出方程組—>解方程組—>檢驗并作答(注意:此步驟不要忘記)2、列方程組解應用題的常見題型:(1)、和差倍分問題:解這類問題的基本等量關系式是:較大量-較小量=相差量，總量=倍數×倍量;(2)、產品配套問題:解這類題的基本等量關系式是:加工總量成比例;-12-(3)、速度問題:解這類問題的基本關系式是:路程=速度×時間，包括相遇問題、追及問題等;(4)、航速問題:?、順流(風):航速=靜水(無風)時的速度+水(風)速;?、逆流(風):航速=靜水(無風)時的速度–水(風)速;(5)、工程問題:解這類問題的基本關系式是:工作總量=工作效率×工作時間，(有時需把工作總量看作1);(6)、增長率問題:解這類問題的基本關系式是:原量×(1+增長率)=增長后的量，原量×(1-減少率)=減少后的量;(7)、盈虧問題:解這類問題的關鍵是從盈(過剩)、虧(不足)兩個角度來把握事物的總量;(8)、數字問題:解這類問題，首先要正確掌握自然數、奇數、偶數等有關概念、特征及其表示;(9)、幾何問題:解這類問題的基本關系是有關幾何圖形的性質、周長、面積等計算公式;(10)、年齡問題:解這類問題的關鍵是抓住兩人年齡的增長數相等。例1:一批水果運往某地～第一批360噸～需用6節火車車廂加上15輛汽車～第二批440噸～需用8節火車車廂加上10輛汽車～求每節火車車廂與每輛汽車平均各裝多少噸,例2:甲、乙兩物體分別在周長為400米的環形軌道上運動～已知它們同時從一處背向出發～25秒后相遇～若甲物體先從該處出發～半分鐘后乙物體再從該處同向出發追趕甲物體～則再過3分鐘后才趕上甲～假設甲、乙兩物體的速度均不變～求甲、乙兩物體的速度。例3:甲、乙二人分別以均勻速度在周長為600米的圓形軌道上運動～甲的速度比乙大～當二人反向運動時～每150秒相遇一次～當二人同向運動時～每10分鐘相遇一次～求二人的速度。例4:有兩種酒精溶液～甲種酒精溶液的酒精與水的比是3:7～乙種酒精溶液的酒精與水的比是4:1～今要得到酒精與水的比是3:2的酒精溶液50kg～求甲、乙兩種溶液各取多少kg,例5:一張方桌由一個桌面和四條桌腿組成～如果1立方米木料可制成方桌桌面50個～或制作桌腿300條～現有5立方米木料～請問～要用多少木料做桌面～多少木料做桌腿～能使桌面恰好配套,此時～可以制成多少張方桌,例6:某人要在規定的時間內由甲地趕往乙地～如果他以每小時50千米的速度行駛～就會遲到24分鐘～如果他以每小時75千米的速度行駛～則可提前24分鐘到達乙地～求甲、乙兩地間的距離。例7:某農場有300名職工耕種51公頃土地～計劃種植水稻、棉花、蔬菜三種農作物～已知種植各種農作物每公頃所需勞動力人數及投入資金如右農作物品種每公頃需勞動力每公頃需投入資金表:水稻4人1萬元已知該農場計劃投入資金67萬元～棉花8人1萬元應該怎樣安排這三種農作物的種植蔬菜5人2萬元面積才能使所有職工都有工作而且投入資金正好夠用,例8:某酒店的客房有三人間和兩人間兩種～三人間每人每天25元～兩人間每人每天35元～一個50人的旅游團到該酒店租了若干間客房～且每間客房恰好住滿～一天共花去1510元～求兩種客房各租了多少間,-13-例9:某山區有23名中、小學生因貧困失學需要捐助～資助一名中學生的學習費用需要a元～資助一名小學生的學習費用需要b元。某校學生積極捐款～初中各年級學生捐款數額與使用這些捐款恰好資助受捐助中學生和小學生人數的部分情況如右表:捐款數額捐助貧困中學生人數捐助貧困小學生人數,1,、求a、b的值,年級,元,,名,,名,,2,初三年級的捐款解決了其余貧初一年級400024困中小學生的學習費用～請分別計算初二年級420033出初三年級的捐款所資助的中學生初三年級7400和小學生人數。四、三元一次方程組的解法1、概念:由三個方程組成方程組，且方程組中共含有三個未知數，每個方程中含有的未知數的次數都是1次，這樣的方程組叫三元一次方程組。注:三元一次方程組中的三個方程并不一定都是三元一次方程，只需滿足“方程組中共含有三個未知數”的條件即可。2、解三元一次方程組的基本思想:消元消元三元一次二元一次一元一次————————>————————>方程組方程組方程(代入法、加減法)(代入法、加減法)3x+4z=73x+4y+z=14例1:解方程組2x+3y+z=9x+5y+2z=175x–9y+7z=82x+2y-z=3例2:在y=ax?+bx+c中，當x=1時，y=0;x=2時，y=3;x=3時,y=28，求a、b、c的值。當x=-1時，y的值是多少,例3:甲、乙、丙三數之和是26，甲數比乙數大1，甲數的兩倍與丙數的和比乙數大18，求這三個數。例4:小明從家到學校的路程為3.3千米，其中有一段上坡路，一段平路，一段下坡路，如果保持上坡路每小時行3千米，平路每小時行4千米，下坡路每小時行5千米，那么小明從家到學校需要1小時，從學?；丶抑恍枰?4分鐘。求小明家到學校的上坡路、平路、下坡路各是多少千米,第九章不等式與不等式組一、不等式1、概念:利用不等符號連接的式子叫不等式。不等符號有:,、,、?、?、?注:有些不等式中不含有未知數，有些不等式中含有未知數。要與方程加以區別。方程:含有未知數的等式叫方程。一些關鍵字詞:不大于不超過不小于至少超過最多不是正數非負數不是負數非正數負數-14-對應符號為:()()()()()()()()()()()2、一元一次不等式:含有一個未知數，且未知數的次數是1的不等式，叫一元一次不等式。不等式的解集:能使不等式成立的未知數的取值范圍，叫這個不等式的解的集合，簡稱解集。而求不等式解集的過程叫做解不等式。例:下列哪個數不是不等式5x–3,6的解()A、1B、2C、-1D、-23、不等式的性質:性質?、不等式左右兩邊加(減)同一個數(式)，不等式仍然成立(不等號的方向不變);性質?、不等式左右兩邊乘以(除以)同一個正數，不等式仍然成立(不等號的方向不變);性質?、不等式左右兩邊乘以(除以)同一個負數，不等號的方向改變。注:不等式左右兩邊同乘或同除以一個數或已知符號的式子時，這個數或式子的值絕對不能是零，否則無意義;注意要與等式的性質相區別:最大區別就是不等式兩邊同時乘以或除以一個負數時，不等號要改變方向。十二個例題:?、如果a,b，可知下面哪個不等式成立()A、-a,-bB、1/a,1/bC、a+b,2bD、a?,ab?、如果b,a,0，則下列哪個不等式是正確的()A、b?,abB、ab,a?C、2b,2aD、-2b,-2a?、若a,b,0,則下列不等式成立的是()A、1/a,1/bB、ab,b?C、a?,abD、?a?,?b??、a為實數，下列結論正確的是()A、a?,0B、如果a,0,那么a?,0C、若x?,x,則x,0D、如果a,1,那么a?,a?、如果x,0，a為實數，那么一定有()A、x+a,0B、x?-a?,0C、-a?,xD、-x?,a?、a,b,0，則下列不等式錯誤的是()A、-a,-bB、1/a,1/b,0C、a-b,b-aD、a/b,b/a?、若a,0,b,0,a+b,0,則a、-a、b、-b的大小關系是()A、-a,b,-b,aB、-a,-b,b,aC、-b,a,-a,bD、-b,-a,a,b?、當-1,a,0時，則有()A、1/a,aB、?-a??,-a?C、-a,a?D、a?,-a??、如果x,2,那么下列四個式子中:?x?,2x?xy,2y?2x,x?1/x,1/2正確的個數是()A、4個B、3個C、2個D、1個?、若x+y,x-y,y-x,y，那么下列式子正確的是()A、x+y,0B、y-x,0C、xy,0D、y/x,0?、如果關于x的方程x+2m-3=3x+7的解為不大于2的非負數，那么()A、m=6B、m等于5，6，7C、5,m,7D、5?m?7?、已知-1,b,0,0,a,1,那么在代數式a-b,a+b,a+b?,a?+b中，對任意的a、b,對應的代數式的值最大的是()A、a+bB、a-bC、a+b?D、a?+b4、運用不等式的性質比較大小:例:?、制作某產品有兩種用料方案:方案1是用5張A型鋼板，7張B型鋼板;方案2是用3張A型鋼板，9張B型鋼板。已知A型鋼板比B型鋼板的面積大，從省料的角度考慮，應選哪種方案,(用求差法比較大小)?、設a,2,b,3,c,6,令M=abc,N=ab+bc+ac,則M、N的大小關系是()<提示:用作商比較法>-15-A、M,NB、M,NC、M,ND、以上三種情況都有可能?、甲從一個魚攤上買了三條魚，平均每條a元，又從另一個魚攤上買了兩條魚，平均每條b元，后來他又以每條(a+b)/2的價格把魚全部賣出去，結果發現虧了錢，原因是()A、a,bB、a,bC、a,bD、與a、b的大小無關?、已知a、b、c、d都是正實數，且a/b,c/d，比較b/(a+b)和d/(c+d)的大小。(提示:用求倒數法)5、不等式與方程、方程組的結合:2x+y=1+3m例:?、已知方程組滿足x+y,0～則,,A、m,-1B、m,1C、m,-1D、m,1x+2y=1-m?、方程x+2k=4(x+k)+1的解是正數～求k的取值范圍。?、解方程?5x-6?=6-5x?、已知關于x的不等式,2a-b,x+a-5b,0的解是x,10/7～試解不等式3ax+5b,0。?、一次數學競賽～共有16道題～評分方法是:答對一題得6分～答錯一題倒扣2分～不答得0分～小明有一道題沒有答～問他至少要答對幾道題～成績才能在80分以上,6、解一元一次不等式的方法與步驟:同于解一元一次方程，都是:去分母?去括號?移項?合并同類項?未知數系數化為1注:?、去分母時，注意每一項都要乘到，特別是本身沒有分母的項;去括號時，注意括號前面如果是負號時，去掉括號后，各項都要改變符號。?、解不等式時，常把小數系數化為分數系數以簡化計算，統一系數形式后，再按一般的解一元一次不等式步驟解題即可。例:解不等式:(2x-1)/3–0.5(3x-5)-(x+1)/6+1.25,0二、實際問題與一元一次不等式:列不等式解實際應用問題，和列方程解實際應用問題一樣，基本思路都是:審?設?列?解?答。其中，審題與找出題中的不等量關系是列一元一次不等式的關鍵，找題中不等關系時要著重理解題中的關鍵字、句，如“便宜”、“提前”、“不超過”、“不低于”、“至多”等等。此外，解出不等式的解集后，要加以檢驗，看所得的解集符不符題目的實際意義。例:?導火線的燃燒速度是每秒0.7cm～爆破員點燃后跑開的速度是每秒5m～為了點火后跑到130m以外的安全地帶～問導火線至少應有多長,精確到1cm,,?某人10點10分離家趕11點整的火車～已知他家離車站10公里～他離家后先以每小時3公里的速度走了5分鐘～然后乘公共汽車去車站～問公共汽車至少每小時行多少公里才能不誤當次火車,?在?ABC中～AB=2AC～問:,1,?ABC中哪條邊是最小邊,,2,證明?ABC中最小邊大于周長的1/6～而小于周長的1/4。?兩名教師和若干學生去旅游～聯系了兩家標價相同的旅游公司～甲公司給的優惠條件是:1名教師全額收費～其余7.5折收費,乙公司給的優惠條件是:全部師生8折收費。,1,當學生人數超過多少時～甲旅游公司的優惠價-16-比乙公司的優惠,,2,若核算結果～甲旅游公司的優惠價比乙旅游公司的優惠價便宜1/32～問學生的人數是多少,?商場出售A型冰箱每臺售價2190元～每日耗電為1度～而B型節能冰箱每臺售價雖然比A型冰箱高出10%～但每日耗電量卻為0.55度～現將A型冰箱打折出售～問商場至少要打幾折～消費者購買才合算,,按使用期為10年～每年365天～每度電0.40元計算,?某城市平均每天產生垃圾700噸～由甲、乙兩個垃圾處理廠處理～已知甲廠每小時處理垃圾55噸～需費用550元～乙廠每小時處理垃圾45噸～需費用495元。,1,甲、乙兩廠同時處理該城市的垃圾～每天需幾小時完成,,2,如果規定該城市每天處理垃圾的費用不超過7370元～甲廠每天處理垃圾至少需要多少小時,?弟弟在上午8點20分從家出發步行去郊游～上午10點20分哥哥從家騎自行車去追趕弟弟～已知弟弟每小時走4km～哥哥要在上