一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．雙曲線的一個焦點為（0，2），則A．B．C．3D．【答案】A【解析】由題意得，所以．故選擇：A2．扇形的半徑等于2，面積等于6，則它的圓心角等于A．1B．C．3D．6【答案】C【解析】，所以．故選擇：C3．已知隨機變量，則“”是“”的A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】由知，可知，故，故成立；反之，若，則．故為充要條件．故選擇：C4．若向量滿足，則在上的投影向量是A．B．C．D．【答案】D【解析】設投影向量是，則，所以，即在上的投影向量是．1故選擇：D5．已知數列滿足，若，則的取值范圍是A．B．C．D．【答案】B【解析】設，則，所以．故選擇：B6．某班級有30名男生和20名女生，現調查學生周末在家學習時長（單位：小時），得到男生樣本數據的平均值為8，方差為2，女生樣本數據的平均值為10.5，方差為0.75，則該班級全體學生周末在家學習時長的平均值和方差的值分別是A．B．C．D．【答案】D【解析】故選擇：D7．已知函數，則兩個函數的圖象僅通過平移就可以重合的是A．與B．與C．與D．與【答案】C【解析】A項：，故錯誤；B項：，故錯誤；C項：，而，故正2確；D項：，無法重合，故錯誤．故選擇：C8．一個圓臺形的木塊，上、下底面的半徑分別為4和8，高為3，用它加工成一個與圓臺等高的四棱臺，棱臺下底面為一邊長等于9的矩形，且使其體積最大．現再從余下的四塊木料中選擇一塊車削加工成一個球，則所得球的半徑最大值是（加工過程中不計損耗）A．B．C．1D．【答案】C【解析一】①關于底面，設，則，最大內切球在內；②補成圓錐，內接四棱臺延長后必交于圓錐頂點，考慮，，故，解得．故選擇：C【解析二】為上底面圓心，為下底面圓心，記棱臺為，棱臺最大時，上下邊之比為，不妨設，則，所以球在與圓臺圍成部分可更大，記中點為中點為交上底面圓于交下底面圓周于，設球半徑最大為，球心為，則如圖，球與相切，設，則，則，所以，得．故選擇：C3二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．已知二項展開式，則A．B．C．D．【答案】ACD【解析】A項：令知，正確；B項：令知①，所以，錯誤；C項：，所以，所以，所以，正確；D項：令知②，①+②可得：，正確．故選擇：ACD10．在四棱錐中，分別是上的點，，則下列條件可以確定平面的是A．B．C．平面D．平面【答案】BD【解析】如圖，過點作交于點，連接，即有平面，由于，所以，若，則，所以4平面，故平面平面，所以平面，故B正確；若平面，又因為平面平面，所以，由B可知D正確；假設平面，設平面，則，若平面，平面平面，所以，反之若，當且僅當平面，即A、C同時正確或錯誤，若，可能，也可能與相交．若與相交，由知延長必與、交于同一點，由幾何關系知與不平行，故A、C錯誤．故選擇：BD11．甲乙兩人用《哪吒2》動漫卡牌玩游戲．游戲開局時桌上有盒動漫卡牌，每個盒子上都標有盒內卡牌的數量，每盒卡牌的數量構成數組，游戲規則如下：兩人輪流抽牌，每人每次只能選擇其中一盒并抽走至少一張卡牌，若輪到某人時無卡可抽，則該人輸掉游戲．現由甲先抽，則下列開局中，能確保甲有必勝策略的是A．B．C．D．【答案】ACD【解析】將每盒卡牌中的卡片數量轉為二進制數，再進行“亦或”求和，若初始條件是全零，則乙有必勝策略，反之則甲有必勝策略，保持操作之后是全零狀態。A項：，非全零，甲勝：從第2盒中拿2個；B項：，全零，乙勝；C項：，非全零，甲勝：拿走第三盒；5D項：，非全零，甲勝：從第1盒中拿2個；故選擇：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共分．12．若復數是純虛數，則實數．【答案】2【解析】由題意得．故答案為：213．已知是拋物線在第一象限上的點，是拋物線的焦點，（為坐標原點），則拋物線在處切線的斜率是．【答案】【解析】設，則，所以，解得，因為，所以，所以．故答案為：14．函數滿足：①；②．則的最大值等于．【答案】【解析】設且，令，則有，即，設，則，即，所以有解，，取可成立，所以的最大值等于．故答案為：6四、解答題：本題共5小題，共分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（本小題滿分13分）如圖，在三棱錐中，是邊長等于2的正三角形，，為的中點．（1）求證：；（2）若，求點到平面的距離．【解析】（1）證明：作中點，連接，則有，所以，又因為是正三角形，且為中點，因此，從而平面，所以．（2）由題，，設平面與平面夾角為，由三射線定理，解得，即，設點到平面的距離為，則．16．（本小題滿分15分）PageRank算法是Google搜索引擎用來衡量網頁重要性的一種經典算法．其核心思想是通過分析網頁之間的鏈接關系，評估每個網頁的相對重要性．假設一個小型的互聯網由四個網頁組成，它們之間按圖中的箭頭方向等可能地單向鏈接，假設某用戶從網頁開始瀏覽（記為第1次停留）．（1）求該用戶第3次停留在網頁上的概率；（2）某廣告公司準備在網頁中選擇一個投放廣告，以用戶前4次在該網頁上停留的平均次數作為決策依據．試問該公司應該選擇哪個網頁？請說明理由．【解析】．（1）．（2），所以，7所以，故該公司應該選擇網頁．17．（本小題滿分15分）已知函數．（1）討論的單調性；（2）若在區間上恰有一個零點，求的取值范圍；（3）當時，解方程．【解析】（1）由題，，由于分母（對），故的正負由分子決定，記，當時，對任意有，故，即在定義域內單調遞增；當時，注意到是唯一使的點，又觀察到，若在區間內，由于，故，即時，，故．綜上，當時，在定義域內單調遞增；當時，在上單調遞減，在上單調遞增（2）由（1）知，當時，在定義域內單調遞增，且注意到，因此時不合題意；當時，考慮到，為使內有零點，則極小值點小于零，即，結合，則的取值范圍為．（3）由題，，記上式為，則在定義域內單調遞減，因此，僅有一個解，注意到待求方程，對中含的部分單獨考察，即，其中關于的多項式的解為，8因此時可消去．當時，有，滿足題意；當時，有，不符合題意；綜上，原方程的解為．18．（本小題滿分17分）在平面直角坐標系中，已知點是直線右側區域內的動點，到直線與軸的距離之和等于它到點距離的4倍，記點的軌跡為．（1）求的方程，并在圖中畫出該曲線；（2）直線過點，與交于，兩點，（i）若，求直線的方程；（ii）若是點關于軸的對稱點，延長線段交于點，延長線段交于點，直線交軸于點，求的最小值．【解析】（1）設，則有，當時，；當時，，曲線如圖所示．（2）（i）如圖，，則．設，解得，所以，所以，所以直線方程為．（ii）由題意知，，且．設9，因為，，所以其中，所以，即，所以，所以，解得．19．（本小題滿分17分）給定正數與無窮數列，若存在，當時，都有，則稱數列具有性質．（1）求證：數列具有性質；（2）若無窮數列具有性質，求證：存在正數，使得；（3）若對任意正數，數列都具有性質，則稱為“—數列”．若正項數列是“—數列”，試判斷數列是否也是“—數列”，并證明你的結論．（注：