2023-2024學年上海市長寧區延安中學高二（下）期中數學試卷一、填空題（本大題共12題，滿分42分，第1-6題每題3分，第7-12題每題4分）1．已知函數，則．2．某人拋擲一枚質地均勻的硬幣10次，其中正面朝上7欠，則該硬幣正面朝上的頻率為．3．函數的駐點為．4．函數在區間，上的最大值為．5．若事件與互斥，且，（B），則．6．若直線與曲線（參數有唯一的公共點，則實數．7．某小組成員的年齡分布莖葉圖如圖所示，則該小組成員年齡的第25百分位數是．8．一名信息員維護甲、乙兩公司的網絡，一天內甲公司需要維護和乙公司需要維護相互獨立，它們需要維護的概率分別為0.2和0.3，則至少有一個公司不需要維護的概率為．9．已知函數在區間上不單調，則實數的取值范圍為．10．在平面直角坐標系中，動點和點、滿足，則動點的軌跡方程為．11．若對任意，有成立，則的最大值為．12．已知，是雙曲線的左、右焦點，過的直線交雙曲線的右支于，兩點，且，，則在下列結論中，正確結論的序號為（注意：不填或錯填得0分，漏填得2分．（1）雙曲線的離心率為2；（2）雙曲線的一條漸近線的斜率為；（3）線段的長為；（4）△的面積為．二、選擇題（本大題共4題，滿分12分，每題3分）13．現有以下兩項調查：①從40臺剛出廠的大型挖掘機中抽取4臺進行質量檢測；②在某校800名學生中，型、型、型和型血的學生依次有300，200，180，120人．為了研究血型與色弱的關系，需從中抽取一個容量為40的樣本．完成這兩項調查最適宜采用的抽樣方法分別是A．①②都采用簡單隨機抽樣 B．①②都采用分層隨機抽樣 C．①采用簡單隨機抽樣，②采用分層隨機抽樣 D．①采用分層隨機抽樣，②采用簡單隨機抽樣14．從裝有兩個紅球和兩個白球的口袋內任取兩個球，那么互斥而不對立的事件是A．恰好有一個白球與都是紅球 B．至多有一個白球與都是紅球 C．至多有一個白球與都是白球 D．至多有一個白球與至多一個紅球15．已知函數的導函數的圖像如圖所示，下列說法不正確的是A．函數在上嚴格增 B．函數在上嚴格減 C．函數在處取得極大值 D．函數共有兩個極小值點16．已知函數，若存在唯一的零點，且，則實數的取值范圍是A． B． C． D．三、解答題（本大題共5題，滿分46分）17．一個盒子里裝有標號為1，2，3，4的4張標簽，隨機地選取兩張標簽，一次選取一張．（1）若標簽的選取是無放回的，寫出該隨機試驗的一個等可能的樣本空間，并求兩張標簽上的數字為相鄰整數的概率；（2）若標簽的選取是有放回的，寫出該隨機試驗的一個等可能的樣本空間，并求兩張標簽上的數字為相鄰整數的概率．18．已知拋物線，定點．（1）過點且過拋物線的焦點的直線，交拋物線于、兩點，求；（2）求過點且與拋物線有且僅有一個公共點的直線方程．19．某高校承辦了2024年上海帆船公開賽的志愿志選拔面試工作，現隨機抽取了100名候選者的面試成績并分成五組：第一組，，第二組，，第三組，，第四組，，第五組，，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖，已知第三、四、五組的頻率之和為0.7，第一組和第五組的頻率相同．（1）求、的值，并估計這100名候選者面試成績的平均數；（2）在第四、五兩組志愿者中，按比例分層抽樣抽取5人，然后再從這5人中選出2人，求選出的兩個來自同一組概率．20．已知函數，，其中，．（1）求函數在點，（1）處的切線方程；（2）函數，，是否存在極值點，若存在，求出極值點，若不存在，請說明理由；（3）若關于的不等式在區間，上恒成立，求實數的取值范圍．21．已知橢圓，，，，，這四點中恰有三點在橢圓上．（1）求橢圓的方程；（2）點是橢圓上的一個動點，求面積的最大值；（3）過的直線交橢圓于、兩點，設直線的斜率，在軸上是否存在一點，使得以、為鄰邊的平行四邊形為菱形？若存在，求實數的取值范圍；若不存在，請說明理由．

參考答案一．選擇題（共4小題）題號13141516答案CAAD一、填空題（本大題共12題，滿分42分，第1-6題每題3分，第7-12題每題4分）1．已知函數，則1．解：，則，故．故答案為：1．2．某人拋擲一枚質地均勻的硬幣10次，其中正面朝上7欠，則該硬幣正面朝上的頻率為．解：某人拋擲一枚質地均勻的硬幣10次，其中正面朝上7欠，則該硬幣正面朝上的頻率為．故答案為：．3．函數的駐點為．解：函數，可得，令，解得．故答案為：．4．函數在區間，上的最大值為．解：，當時，，當時，，所以在上遞增，在上遞減，故當時取得極大值，也為最大值，（1）．故答案為：．5．若事件與互斥，且，（B），則．解：由于事件與互斥，且，所以（A）（B），故（A），所以．故答案為：．6．若直線與曲線（參數有唯一的公共點，則實數．解：曲線（參數即，表示圓心在，半徑等于1的圓．由題意知，圓心到直線的距離等于半徑1，即，，故答案為．7．某小組成員的年齡分布莖葉圖如圖所示，則該小組成員年齡的第25百分位數是32.5．解：因為，所以該小組成員年齡的第25百分位數是．故答案為：32.5．8．一名信息員維護甲、乙兩公司的網絡，一天內甲公司需要維護和乙公司需要維護相互獨立，它們需要維護的概率分別為0.2和0.3，則至少有一個公司不需要維護的概率為0.94．解：一名信息員維護甲乙兩公司的網絡，一天內甲公司需要維護和乙公司需要維護相互獨立，它們需要維護的概率分別為0.2和0.3，至少有一個公司不需要維護的概率為：．故答案為：0.94．9．已知函數在區間上不單調，則實數的取值范圍為，．解：由得：①當時，，函數在區間上單調遞增，不合題意；②當時，函數的極值點為，若函數在區間不單調，必有，解得．故答案為：．10．在平面直角坐標系中，動點和點、滿足，則動點的軌跡方程為．解：點、滿足，，，，化簡可得．故答案為：．11．若對任意，有成立，則的最大值為1．解：因為，所以，所以函數在區間上單調遞增，在區間上恒成立，即在區間上恒成立，所以．故實數的最大值為1．故答案為：1．12．已知，是雙曲線的左、右焦點，過的直線交雙曲線的右支于，兩點，且，，則在下列結論中，正確結論的序號為（1）（4）（注意：不填或錯填得0分，漏填得2分．（1）雙曲線的離心率為2；（2）雙曲線的一條漸近線的斜率為；（3）線段的長為；（4）△的面積為．解：如圖，已知，由雙曲線定義知，解得，，又，，可得，則△，故，解得，則，，，可得，即，得離心率，，在△中，，，，，故（1）（4）正確．故答案為：（1）（4）．二、選擇題（本大題共4題，滿分12分，每題3分）13．現有以下兩項調查：①從40臺剛出廠的大型挖掘機中抽取4臺進行質量檢測；②在某校800名學生中，型、型、型和型血的學生依次有300，200，180，120人．為了研究血型與色弱的關系，需從中抽取一個容量為40的樣本．完成這兩項調查最適宜采用的抽樣方法分別是A．①②都采用簡單隨機抽樣 B．①②都采用分層隨機抽樣 C．①采用簡單隨機抽樣，②采用分層隨機抽樣 D．①采用分層隨機抽樣，②采用簡單隨機抽樣解：由題意對于①，40臺剛出廠的大型挖掘機被抽取的可能性一樣，故為簡單隨機抽樣，對于②，為了研究血型與色弱的關系，說明某校800名學生被抽取的可能性要按照血型比例分層抽取，故為分層隨機抽樣．故選：．14．從裝有兩個紅球和兩個白球的口袋內任取兩個球，那么互斥而不對立的事件是A．恰好有一個白球與都是紅球 B．至多有一個白球與都是紅球 C．至多有一個白球與都是白球 D．至多有一個白球與至多一個紅球解：從裝有兩個紅球和兩個白球的口袋內任取兩個球，表示的事件分別為（紅，白），（紅，紅），（白，白）三種情況，故選項互斥不對立，正確，選項：至多有一個白球表示的是（紅，白），（紅，紅），與都是紅球不互斥，故錯誤，選項：由選項的分析可知互斥且對立，故錯誤，選項：至多有一個紅球表示的是（紅，白），（白，白），所以兩個事件不互斥，故錯誤，故選：．15．已知函數的導函數的圖像如圖所示，下列說法不正確的是A．函數在上嚴格增 B．函數在上嚴格減 C．函數在處取得極大值 D．函數共有兩個極小值點解：對于，由圖象可知，當時，，當時，，所以函數在上先減后增，故錯誤；對于，當時，，所以函數在上單調遞減，故正確；對于，因為在左側附近導數為正，右側附近導數為負，所以函數在處取得極大值，故正確；對于，因為在左側附近導數為負，右側附近導數為正，所以函數在處取得極小值，因為在左側附近導數為負，右側附近導數為正，所以函數在處取得極小值，則函數共有兩個極小值點，故正確．故選：．16．已知函數，若存在唯一的零點，且，則實數的取值范圍是A． B． C． D．解：，，；①當時，有兩個零點，不成立；②當時，在上有零點，故不成立；③當時，在上有且只有一個零點；故在上沒有零點；而當時，在上取得最小值；故；故；綜上所述，實數的取值范圍是；另解：將方程，變形為，可令，則，此問題即的圖象與直線有且只有一個交點，則交點的橫坐標大于0，如圖作出的圖象，由圖象可得的范圍是．故選：．三、解答題（本大題共5題，滿分46分）17．一個盒子里裝有標號為1，2，3，4的4張標簽，隨機地選取兩張標簽，一次選取一張．（1）若標簽的選取是無放回的，寫出該隨機試驗的一個等可能的樣本空間，并求兩張標簽上的數字為相鄰整數的概率；（2）若標簽的選取是有放回的，寫出該隨機試驗的一個等可能的樣本空間，并求兩張標簽上的數字為相鄰整數的概率．解：（1）標簽的選取是無放回的，則樣本空間，，，，，，，，，，，，其中兩張標簽上的數字為相鄰整數的有，，，，，共6個基本事件，所以兩張標簽上的數字為相鄰整數的概率．（2）標簽的選取是有放回的，則樣本空間，，，，，，，，，，，，，，，，其中兩張標簽上的數字為相鄰整數的有，，，，，共6個基本事件，所以兩張標簽上的數字為相鄰整數的概率．18．已知拋物線，定點．（1）過點且過拋物線的焦點的直線，交拋物線于、兩點，求；（2）求過點且與拋物線有且僅有一個公共點的直線方程．解：（1）由題意可得，直線的方程為，即，聯立解方程組，可得，設，，，，則，；（2）當直線斜率不存在時，直線方程為，與拋物線只有一個交點，當直線斜率存在時，設直線方程為，聯立，得，當時，方程的解為，此時直線與拋物線只有一個交點，當時，則△，解得，直線方程為．19．某高校承辦了2024年上海帆船公開賽的志愿志選拔面試工作，現隨機抽取了100名候選者的面試成績并分成五組：第一組，，第二組，，第三組，，第四組，，第五組，，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖，已知第三、四、五組的頻率之和為0.7，第一組和第五組的頻率相同．（1）求、的值，并估計這100名候選者面試成績的平均數；（2）在第四、五兩組志愿者中，按比例分層抽樣抽取5人，然后再從這5人中選出2人，求選出的兩個來自同一組概率．解：（1）因為第三、四、五組的頻率之和為0.7，所以，解得，所以前兩組的頻率之和為，即，所以；平均數為，（2）第四、第五兩組志愿者分別有20人，5人，故按照分層抽樣抽得的第四組志愿者人數為4，分別設為，，，，第五組志愿者人數為1，設為，這5人中選出2人，所有情況有10種情況，分別為：，，，，，．，，，，其中選出的兩人來自同一組的有：，，，，，，共6種情況，故選出的兩人來自同一組的概率為．20．已知函數，，其中，．（1）求函數在點，（1）處的切線方程；（2）函數，，是否存在極值點，若存在，求出極值點，若不存在，請說明理由；（3）若關于的不等式在區間，上恒成立，求實數的取值范圍．解：（1），（1），因為，所以（1），所以在點，（1）的切線方程為，即；（2）設，，當時，恒成立，所以在嚴格增，不存在極值點；當時，當時，，當時，，所以在嚴格減，在嚴格增，所以函數存在一個極小值點，無極大值點；（3）原不等式，當時，恒成立；當時，，即，由（2）知時，，此時，所以此時，所以此時，且由以上分析可知，當時，，綜上，實數的取值范圍為．21．已知橢圓，，，，，這四點中恰有三點在橢圓上．（1）求橢圓的方程；（2）點是橢圓上的一個動點，求面積的最大值；（3）過的直線交橢圓于、兩點，設直線的斜率，在軸上是否存在一點，使得以、為鄰邊的平行四邊形為菱形？若存在，求實數的取值范圍；若不存在，請說明理由．解：（1）由，