三角形全等判定（三）（SAS）●

考點清單解讀●

重難題型突破●

易錯易混分析●

方法技巧點撥■考點

一

用“SAS”判定兩個三角形全等邊角邊（SAS）兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等，簡寫為“邊角邊”或“SAS”符號語言如圖，在△ABC和△A′B′C′中，所以△ABC≌△A′B′C′（SAS）AB=A′B′，∠B=∠B′，BC=B′C′，

歸納總結

證明三角形全等時，如果已知兩邊相等，再給出角的關系時首先考慮“SAS”，注意角是兩邊的夾角.典例1

如圖，已知OA=OC，OB=OD，∠AOC=∠BOD．

試說明：△AOB≌△COD.對點典例剖析［答案］

解：因為∠AOC=∠BOD，所以∠AOC-∠AOD=∠BOD-∠AOD，即∠COD=∠AOB，

在△AOB和△COD中，所以△AOB≌△COD（SAS）.OA=OC，∠AOB=∠COD，OB=OD，

■考點

二

已知兩邊及其夾角用尺規作三角形方法依據三角形全等的判定“SAS”作圖，先作角，再在角的兩邊截取要求的邊長已知已知線段a，c，∠α，用尺規作△ABC，使BC=a，AB=c，∠ABC=∠α步驟作法示范①作射線BN，在BN上截取BC=a續表步驟作法示范②以點B為頂點，以BC為一邊，作∠DBC=∠α③在射線BD上截取線段BA=c④連接AC，△ABC就是所要作的三角形典例2

如圖，

已知線段a，b和∠α．求作：△ABC，使得∠A=∠α，AB=a+b，AC=b．（不寫作法，不下結論，保留作圖痕跡）對點典例剖析［解題思路］先作∠A=∠α，再在角的兩邊分別截取AC=b，AE=a，EB=b，則AB=a+b.［答案］

解：如圖，△ABC即為所作的三角形.■題型

運用“倍長中線法”構造全等三角形例

在△ABC中，AB=4cm，AC=3cm，則BC邊上的中線AD的取值范圍是____________．［解析］如圖，延長AD到點E，使AD=DE，連接BE，因為AD是△ABC的邊BC上的中線，所以BD=CD，在△ADC和△EDB中，因為所以△ADC≌△EDB（SAS），所以AC=EB，因為AB=4cm，EB=AC=3cm，根據三角形的三邊關系可得（4-3）cm＜AE＜（4+3）cm，所以1cm＜AE＜7cm，所以0.5cm＜AD＜3.5cm．．［答案］0.5cm＜AD＜3.5cmCD=BD，∠ADC=∠EDB，AD=ED，

變式衍生

如圖，在△ABC中，D為BC的中點，E是AD上一點，連接BE并延長交AC于點F．若BE=AC，AF=2，CF=8，則BF的長度為____________．12思路點撥

遇到有關三角形中線的問題時，常將中線延長一倍（這種作輔助線的方法稱為“倍長中線法”），然后連接相應的頂點，構造全等三角形.根據全等三角形的性質將線段的關系進行轉化，從而解決問題.■忽略“邊角邊”中的角必須是夾角例

如圖，

已知AD平分∠BAC，

要使△ABD≌△ACD，根據“SAS”需添加一個條件為_________．［解析］因為AD平分∠BAC，所以∠BAD=∠CAD，因為AD=AD，

所以要使△ABD≌△ACD，

根據“SAS”可添加條件AB=AC.

［答案］

AB=AC［易錯］

BD=CD［錯因］

誤用“SSA”判定三角形全等.■方法：用“截長補短法”解決線段或角度問題在處理線段和差問題時，常考慮截長補短法.截長法是在較長線段上截取一段等于某一線段，再證剩下的那一段等于另一短線段即可.補短法一般有兩種方式：一般是將某線段延長，使延長的一部分等于另一短線段；另一種是將某線段直接延長至等于較長的線段.例

如圖，AB∥CD，點E為AD的中點，BE平分∠ABC，且AB+CD=BC，試說明：CE平分∠BCD．［答案］

解：截長法：如圖1，在BC上截取BF，使得BF=AB，連接EF.因為AB+CD=BC，BF=AB，所以CD=CF.因為BE平分∠ABC，所以∠ABE=∠FBE.在△ABE和△FBE中，

所以△ABE≌△FBE（SAS），所以AE=FE.AB＝FB，∠ABE＝∠FBE，BE＝BE，

因為E是AD的中點，所以AE=DE，所以DE=EF.在△FCE和△DCE中，所以△FCE≌△DCE（SSS），所以∠FCE=∠DCE，即CE平分∠BCD．補短法：如圖2，延長CＤ

至點F，使CF=BC，連接EF.因為AB+CD=BC，且DF+CD=BC，所以AB=DF.EF＝ED，CF＝CD，CE＝CE，

因為AB∥CD，所以∠A=∠FDE.因為點E是AD的中點，所以AE=DE，在△ABE和△DFE中，所以△ABE≌△DFE（SAS），所以BE=FE.在△BCE和△FCE中，所以△BCE≌△FCE（SSS），所以∠BCE=∠FCE，即CE平分∠BCD．AB＝DF，∠A=∠FDE，AE＝DE，

BE=FE，CE＝CE，BC=FC，

三角形全等判定的簡單應用●

考點清單解讀●

重難題型突破■考點

全等三角形的判定思路歸納總結

尋找三角形全等的條件時，要結合圖形，挖掘其中的隱含條件，如公共邊、對頂角、中點、角平分線、高所帶來的相等關系，以及等線段加（或減）同線段或等線段的和（或差）相等.典例如圖，

在四邊形ABCD中，AD∥BC，點E在對角線BD上，且BE=DA，如果______，那么△ADB≌△EBC．

請填上能使結論成立的一個條件，并說明理由．對點典例剖析［答案］解：DB=BC（答案不唯一）理由如下：因為AD∥BC，所以∠ADB=∠EBC，在△ADB和△EBC中，

所以△ADB≌△EBC（SAS）.DA=BE，∠ADB=∠EBC，DB=BC，

■題型

全等三角形的判定和性質的綜合應用例

如圖，

在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，D為AB延長線上一點，

點E在BC邊上，且BE=BD，連接AE，DE，DC．（注：等腰三角形兩底角相等）（1）試說明：△ABE≌△CBD；（2）若∠CAE=24°，求∠BDC的度數．

AB＝CB，∠ABE＝∠CBD，BE＝BD，

變式衍生

如圖，在△ABC中，D為AB上一點，E為AC的中點，連接DE并延長至點F，使得EF=ED，連接BE，CF．（1）試說明：CF∥AB；（2）若∠A=70°，∠F=35°，BE⊥AC，求∠BED的度數．解：（1）因為E為AC的中點，所以AE=CE，在△AED和△CEF中，所以△AED≌△CEF（SAS），所以∠A=∠ACF，所以CF∥AB；（2）因為CF∥AB，所以∠ADE=∠F=35°，所以∠AED=1