PAGEPAGE1第1課時對數函數及其性質A級基礎鞏固一、選擇題1．已知函數f(x)＝eq\f(1,\r(1－x))的定義域為M，g(x)＝ln(1＋x)的定義域為N，則M∩N等于(C)A．{x|x＞－1} B．{x|x＜1}C．{x|－1＜x＜1} D．?[解析]由題意知M＝{x|x＜1}，N＝{x|x＞－1}，則M∩N＝{x|－1＜x＜1}，故選C．2．函數y＝log2x在[1,2]上的值域是(D)A．R B．[0，＋∞)C．(－∞，1] D．[0,1][解析]∵1≤x≤2，∴log21≤log2x≤log22，即0≤y≤1，故選D．3．(2024·山東金鄉縣高一期中測試)如圖是三個對數函數的圖象，則a、b、c的大小關系是(D)A．a＞b＞c B．c＞b＞aC．c＞a＞b D．a＞c＞b[解析]由圖可知a＞1，而0＜b＜1,0＜c＜1，取y＝1，則可知c＞b.∴a＞c＞b，故選D．4．函數f(x)＝log2(3x＋3－x)是(B)A．奇函數 B．偶函數C．既是奇函數又是偶函數 D．非奇非偶函數[解析]∵3x＋3－x＞0恒成立，∴f(x)的定義域為R.又∵f(－x)＝log2(3－x＋3x)＝f(x)，∴f(x)為偶函數，故選B．5．(2024·山東濰坊市高一期末測試)已知函數f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－xeq\s\up5(\f(1,2))x≤0,log2xx>0))，則f[f(eq\f(1,16))]的值為(C)A．1 B．eq\r(2)C．2 D．4[解析]∵x>0時，f(x)＝log2x，∴f(eq\f(1,16))＝log2eq\f(1,16)＝log22－4＝－4，又x≤0時，f(x)＝(－x)eq\s\up5(\f(1,2))，∴f(－4)＝4eq\s\up5(\f(1,2))＝2.∴f[f(eq\f(1,16))]＝f(－4)＝2.6．(2024·浙江，6)在同始終角坐標系中，函數y＝eq\f(1,ax)，y＝loga(x＋eq\f(1,2))，(a>0且a≠0)的圖象可能是(D)[解析]令x＋eq\f(1,2)＝1，得x＝eq\f(1,2)，∴函數y＝loga(x＋eq\f(1,2))的圖象過點(eq\f(1,2)，0)，解除A、C；又函數y＝eq\f(1,ax)與y＝loga(x＋eq\f(1,2))的單調性相反，解除B，故選D．二、填空題7．已知f(x)＝log9x，則f(3)＝__eq\f(1,2)__.[解析]f(3)＝log93＝log99eq\f(1,2)＝eq\f(1,2).8．函數y＝eq\r(log\f(1,2)x－1)的定義域為__(0，eq\f(1,2)]__.[解析]要使函數有意義，須logeq\f(1,2)x－1≥0，∴logeq\f(1,2)x≥1，∴0<x≤eq\f(1,2).∴定義域為(0，eq\f(1,2)]．三、解答題9．已知f(x)＝lgeq\f(1＋x,1－x).x∈(－1,1)若f(a)＝eq\f(1,2)，求f(－a)．[解析]解法一：∵f(－x)＝lgeq\f(1－x,1＋x)＝lg(eq\f(1＋x,1－x))－1＝－f(x)，∴f(－a)＝－f(a)＝－eq\f(1,2).解法二：f(a)＝lgeq\f(1＋a,1－a)，f(－a)＝lgeq\f(1－a,1＋a)＝lg(eq\f(1＋a,1－a))－1＝－lgeq\f(1＋a,1－a)＝－eq\f(1,2).B級素養提升一、選擇題1．若函數y＝f(x)是函數y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函數，其圖象經過點(eq\r(a)，a)，則f(x)等于(A)A．logeq\s\do8(\f(1,2))x B．log2xC．eq\f(1,2x) D．x2[解析]由題意知f(x)＝logax，又f(eq\r(a))＝a，∴logaeq\r(a)＝a，∴a＝eq\f(1,2)，∴f(x)＝logeq\s\do8(\f(1,2))x，故選A．2．(2024·山東莒縣一中高一期末測試)已知函數y＝loga(x＋1)＋3＋x(a>0且a≠1)的圖象恒過定點A，若點A也在函數f(x)＝2x＋b的圖象上，則b＝(C)A．0 B．1C．2 D．3[解析]令x＋1＝1，則x＝0，y＝3，∴A(0,3)．∴3＝20＋b，∴b＝2.3．(2024·全國卷Ⅱ文，8)函數f(x)＝ln(x2－2x－8)的單調遞增區間是(D)A．(－∞，－2) B．(－∞，1)C．(1，＋∞) D．(4，＋∞)[解析]由x2－2x－8>0，得x<－2或x>4.令g(x)＝x2－2x－8，函數g(x)在(4，＋∞)上單調遞增，在(－∞，－2)上單調遞減，∴函數f(x)的單調遞增區間為(4，＋∞)．4．已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a－1x＋4ax≤1,logaxx＞1))是(－∞，＋∞)上的減函數，那么a的取值范圍是(C)A．(0,1) B．(0，eq\f(1,3))C．[eq\f(1,7)，eq\f(1,3)) D．[eq\f(1,7)，1)[解析]由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a－1＜0,0＜a＜1,3a－1＋4a≥0))，∴eq\f(1,7)≤a＜eq\f(1,3).二、填空題5．(2024·天津市南開區高一期末測試)函數y＝eq\r(x－1)＋eq\f(1,lg3－x)的定義域為__[1,2)∪(2,3)__.[解析]由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1≥0,3－x>0,3－x≠1))，∴1≤x<3且x≠2.∴所求函數的定義域為[1,2)∪(2,3)．6．(2024·江蘇蘇州市高一期中測試)已知函數f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)xx≥3,fx＋1x<3))，則f(log23)的值為__eq\f(1,12)__.[解析]∵log23<3，∴f(log23)＝f(log23＋1)，又log23＋1<3，∴f(log23＋1)＝f(log23＋2)，又log23＋2>3，∴f(log23＋2)＝(eq\f(1,2))log23＋2＝(eq\f(1,2))log23·(eq\f(1,2))2＝2－log23×eq\f(1,4)＝eq\f(1,4×2log23)＝eq\f(1,4×3)＝eq\f(1,12).即f(log23)＝eq\f(1,12).三、解答題7．已知函數f(x)＝lg|x|.(1)推斷函數f(x)的奇偶性；(2)畫出函數f(x)的圖象．[解析](1)要使函數有意義，x的取值需滿意|x|>0，即函數的定義域是(－∞，0)∪(0，＋∞)關于原點對稱．f(－x)＝lg|－x|＝lg|x|＝f(x)，∴f(－x)＝f(x)．∴函數f(x)是偶函數．(2)由于函數f(x)是偶函數，則其圖象關于y軸對稱，將函數y＝lgx(x>0)的圖象對稱到y軸的左側與函數y＝lgx(x>0)的圖象合起來得函數f(x)的圖象，如圖所示．8．求下列函數的反函數．(1)y＝10x；(2)y＝(eq\f(4,5))x；(3)y＝logeq\s\do8(\f(1,3))x；(4)y＝log7x.[解析](1)指數函數y＝10x，它的底數是10，它的反函數是對數函數y＝lgx(x>0)．(2)指數函數y＝(eq\f(4,5))x，它的底數是eq\f(4,5)，它的反函數是對數函數y＝logeq\f(4,5)x(x>0)．(3)對函數y＝logeq\s\do8(\f(1,3))x，它底數是eq\f(1,3)，它的反函數是指數函數y＝(eq\f(1,3))x.(4)對函數y＝log7x，它的底數是7，它的反函數是指數函數y＝7x.9．已知函數f(x)＝lg(x－1)．(1)求函數f(x)的定義域和值域；(2)證明：f(x)在定義域上是增函數．[解析](1)要使函數有意義，則x－1>0，解得x>1，即函數f(x)的定義域是(1，＋∞)．函數f(x)的定義域是(1，＋∞)，則u＝x－1的值域是(0，＋∞)，函數f(x)的值域是R.(2)證明：設x1，x