PAGEPAGE1模塊綜合評價(二)(時間：120分鐘滿分：150分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1．下列命題中正確的是()A．若a，b，c是等差數列，則log2a，log2b，log2c是等比數列B．若a，b，c是等比數列，則log2a，log2b，log2c是等差數列C．若a，b，c是等差數列，則2a，2b，2c是等比數列D．若a，b，c是等比數列，則2a，2b，2c是等差數列解析：eq\f(2b,2a)＝2b－a，eq\f(2c,2b)＝2c－b，因為a，b，c成等差數列，所以c－b＝b－a，所以2b－a＝2c－b，即eq\f(2b,2a)＝eq\f(2c,2b).答案：C2．在△ABC中，A＝135°，C＝30°，c＝20，則邊a的長為()A．10eq\r(2) B．20eq\r(2)C．20eq\r(6) D.eq\f(20\r(6),3)解析：由正弦定理：eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)，所以a＝eq\f(c·sinA,sinC)＝eq\f(20×\f(\r(2),2),\f(1,2))＝20eq\r(2).答案：B3．已知不等式ax2＋bx＋2>0的解集是(－1，2)，則a＋b的值為()A．1 B．－1C．0 D．－2解析：由已知得－eq\f(b,a)＝－1＋2，eq\f(2,a)＝－1×2，a<0，解得a＝－1，b＝1，故a＋b＝0.答案：C4．在等差數列{an}中，首項a1＝0，公差d≠0，若am＝a1＋a2＋…＋a9，則m的值為()A．37 B．36C．20 D．19解析：由am＝a1＋a2＋…＋a9得(m－1)d＝9a5＝36d?m＝37.答案：A5．不等式(x－2y＋1)(x＋y－3)<0表示的區域為()ABCD解析：利用點(0，0)推斷不等式(x－2y＋1)×(x＋y－3)＜0，故解除A、B項．利用點(0，4)推斷不等式(x－2y＋1)(x＋y－3)＜0，故解除D.答案：C6．△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知sinB＋sinA(sinC－cosC)＝0，a＝2，c＝eq\r(2)，則C＝()A.eq\f(π,12) B.eq\f(π,6)C.eq\f(π,4) D.eq\f(π,3)解析：因為a＝2，c＝eq\r(2)，所以由正弦定理可知，eq\f(2,sinA)＝eq\f(\r(2),sinC)，故sinA＝eq\r(2)sinC.又B＝π－(A＋C)，故sinB＋sinA(sinC－cosC)＝sin(A＋C)＋sinAsinC－sinAcosC＝sinAcosC＋cosAsinC＋sinAsinC－sinAcosC＝(sinA＋cosA)sinC＝0.又C為△ABC的內角，故sinC≠0，則sinA＋cosA＝0，即tanA＝－1.又A∈(0，π)，所以A＝eq\f(3π,4).從而sinC＝eq\f(1,\r(2))sinA＝eq\f(\r(2),2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(1,2).由A＝eq\f(3π,4)知C為銳角，故C＝eq\f(π,6).答案：B7．已知一個等差數列{an}的第8，9，10項分別為b－1，b＋1，2b＋3，則通項an等于()A．2n－5 B．2n－9C．2n－13 D．2n－17解析：依題意得2(b＋1)＝b－1＋2b＋3，解得b＝0，所以d＝2，a8＝－1，an＝a8＋(n－8)d＝－1＋(n－8)×2＝2n－17.答案：D8．設變量x，y滿意eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y≤1,x－y≤1，,x≥0，))則x＋2y的最大值和最小值分別為()A．1，－1 B．2，－2C．1，－2 D．2，－1解析：由線性約束條件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y≤1,x－y≤1，,x≥0))畫出可行域如圖陰影部分所示．設z＝x＋2y，則y＝－eq\f(1,2)x＋eq\f(z,2).設l0：y＝－eq\f(1,2)x，平移l0，可知過A點時zmax＝0＋2×1＝2.過B點時zmin＝0＋2×(－1)＝－2.答案：B9．已知a>0，b>0，a＋b＝2，則y＝eq\f(1,a)＋eq\f(4,b)的最小值是()A.eq\f(7,2) B．4C.eq\f(9,2) D．5解析：因為2y＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(4,b)))＝(a＋b)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(4,b)))＝5＋eq\f(4a,b)＋eq\f(b,a)，又因為a>0，b>0，所以2y≥5＋2eq\r(\f(4a,b)·\f(b,a))＝9，所以ymin＝eq\f(9,2)，當且僅當b＝2a時“＝”成立．答案：C10．國家為了加強對煙酒生產的宏觀管理，實行征收附加稅政策．現知某種酒每瓶70元，不加附加稅時，每年大約產銷100萬瓶，若政府征收附加稅，每銷售100元要征稅k元(叫做稅率k%)，則每年的產銷量將削減10k萬瓶．要使每年在此項經營中所收取附加稅金不少于112萬元，則k的取值范圍為()A．[2，8] B．(2，8)C．(4，8) D．(1，7)解析：設年產銷售為每年x萬瓶，則銷售收入每年70x萬元，從中征收的稅金為70x·k%萬元，其中x＝100－10k.由題意，得70(100－10k)k%≥112，整理得k2－10k＋16≤0，解得2≤k≤8.答案：A11．已知不等式(x＋y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(a,y)))≥9對隨意正實數x，y恒成立，則正實數a的最小值為()A．8 B．6C．4 D．2解析：只需求(x＋y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(a,y)))的最小值大于等于9即可，又(x＋y)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(a,y)))＝1＋a·eq\f(x,y)＋eq\f(y,x)＋a≥a＋1＋2eq\r(a·\f(x,y)·\f(y,x))＝a＋2eq\r(a)＋1，當且僅當a·eq\f(x,y)＝eq\f(y,x)時等號成立，所以(eq\r(a))2＋2eq\r(a)＋1≥9，即(eq\r(a))2＋2eq\r(a)－8≥0，求得eq\r(a)≥2或eq\r(a)≤－4(舍去)，所以a≥4，即a的最小值為4.答案：C12．△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a，b，c滿意b2＝ac，且c＝2a，則cosB＝()A.eq\f(1,4) B.eq\f(3,4)C.eq\f(\r(2),4) D.eq\f(\r(2),3)解析：因為b2＝ac且c＝2a，由余弦定理：cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(a2＋c2－ac,2ac)＝eq\f(a2＋4a2－2a2,4a2)＝eq\f(3,4).答案：B二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中橫線上)13．已知0＜x＜6，則(6－x)·x的最大值是________．解析：因為0＜x＜6，所以6－x＞0，所以(6－x)·x≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6－x＋x,2)))eq\s\up12(2)＝9.答案：914．已知x>1，y>1，且lnx，1，lny成等差數列，則x＋y的最小值為________．解析：由已知lnx＋lny＝2，所以xy＝e2，x＋y≥2eq\r(xy)＝2e.當且僅當x＝y＝e時取“＝”，所以x＋y的最小值為2e.答案：2e15．已知{an}是等差數列，Sn為其前n項和，n∈N＋，若a3＝16，S20＝20，則S10的值為________．解析：設等差數列{an}的首項為a1，公差為d，則a3＝a1＋2d＝16，S20＝20a1＋eq\f(20×19,2)d＝20，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋2d＝16，,2a1＋19d＝2，))解得d＝－2，a1＝20.所以S10＝10a1＋eq\f(10×9,2)d＝200－90＝110.答案：11016．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若a＝eq\r(2)，b＝2，sinB＋cosB＝eq\r(2)，則角A的大小為________．解析：由題意知，sinB＋cosB＝eq\r(2)，所以eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B＋\f(π,4)))＝eq\r(2)，所以B＝eq\f(π,4)，依據正弦定理可知eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，可得eq\f(\r(2),sinA)＝eq\f(2,sin\f(π,4))，所以sinA＝eq\f(1,2)，又a<b，故A＝eq\f(π,6).答案：eq\f(π,6)三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17．(本小題滿分10分)在等差數列{an}中，a1＝8，a3＝4.(1)設數列{an}的前n項和為Sn，求Sn的最大值及使得Sn最大的序號n的值；(2)設bn＝eq\f(1,n（12－an）)(n∈N*)，求Tn＝b1＋b2＋…＋bn(n∈N*)．解：(1)由題意知{an}是以8為首項，公差d＝eq\f(a3－a1,3－1)＝－2的等差數列，所以an＝10－2n.設Sn＝a1＋a2＋…＋an，則Sn＝a1＋a2＋…＋an＝eq\f(n（a1＋an）,2)＝－n2＋9n＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(9,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(81,4)，于是，當n取4或5時，Sn最大，(Sn)max＝20.(2)bn＝eq\f(1,n（12－an）)＝eq\f(1,n·（2n＋2）)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋1)))，所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝eq\f(1,2)[(1－eq\f(1,2))＋(eq\f(1,2)－eq\f(1,3))＋…＋(eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1))]＝eq\f(n,2（n＋1）)(n∈N*)．18．(本小題滿分12分)一緝私艇發覺在北偏東45°方向，距離12nmile的海面上有一走私船正以10nmike/h的速度沿南偏東75°方向逃跑．緝私艇的速度為14nmile/h，若要在最短時間內追上該走私船，緝私艇應沿北偏東45°＋α的方向去追，求追上走私船所需的時間和α角的正弦值．解：設A，C分別表示緝私艇，走私船的位置，設經過x小時后在B處追上(如圖所示)．則有AB＝14x，BC＝10x，∠ACB＝120°，(14x)2＝122＋(10x)2－240xcos120°，所以x＝2，AB＝28，BC＝20，sinα＝eq\f(20sin120°,28)＝eq\f(5\r(3),14).所以所需時間為2小時，α角的正弦值為eq\f(5\r(3),14).19．(本小題滿分12分)在△ABC中，cosA＝－eq\f(5,13)，cosB＝eq\f(3,5).(1)求sinC的值；(2)設BC＝5，求△ABC的面積．解：(1)由cosA＝－eq\f(5,13)，得sinA＝eq\f(12,13)，由cosB＝eq\f(3,5)，得sinB＝eq\f(4,5).所以sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝eq\f(12,13)×eq\f(3,5)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,13)))×eq\f(4,5)＝eq\f(16,65).(2)由正弦定理得AC＝eq\f(BC·sinB,sinA)＝eq\f(5×\f(4,5),\f(12,13))＝eq\f(13,3).所以△ABC的面積S＝eq\f(1,2)·BC·AC·sinC＝eq\f(1,2)×5×eq\f(13,3)×eq\f(16,65)＝eq\f(8,3).20．(本小題滿分12分)已知數列{an}滿意a1＝5，a2＝5，an＋1＝an＋6an－1(n≥2)．(1)求證：{an＋1＋2an}是等比數列；(2)求數列{an}的通項公式．(1)證明：因為an＋1＝an＋6an－1(n≥2)，所以an＋1＋2an＝3an＋6an－1＝3(an＋2an－1)(n≥2)．又a1＝5，a2＝5，所以a2＋2a1＝15，所以an＋2an－1≠0(n≥2)，所以eq\f(an＋1＋2an,an＋2an－1)＝3(n≥2)，所以數列{an＋1＋2an}是以15為首項，3為公比的等比數列．(2)解：由(1)得an＋1＋2an＝15×3n－1＝5×3n，則an＋1＝－2an＋5×3n，所以an＋1－3n＋1＝－2(an－3n)．又因為a1－3＝2，所以an－3n≠0，所以{an－3n}是以2為首項，－2為公比的等比數列，所以an－3n＝2×(－2)n－1，即an＝2×(－2)n－1＋3n(n∈N*)．21．(本小題滿分12分)設函數f(x)＝ax2＋(b－2)x＋3(a≠0)，(1)若不等式f(x)＞0的解集為(－1，3)，求a，b的值；(2)若f(1)＝2，a＞0，b＞0，求eq\f(1,a)＋eq\f(4,b)的最小值．解：(1)因為不等式f(x)＞0的解集為(－1，3)，所以－1和3是方程f(x)＝0的兩實根，從而有：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（－1）＝a－b＋5＝0，,f（3）＝9a＋3（b－2）＋3＝0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－b＋5＝0，,3a＋b－1＝0，))解得：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝4.))(2)由f(1)＝2，a＞0，b＞0得到a＋b＝1，所以eq\f(1,a)＋eq\f(4,b)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(4,b)))·(a＋b)＝5＋eq\f(b,a)＋eq\f(4a,b)≥5＋2eq\r(\f(b,a)·\f(4a,b))＝9，當且僅當eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)＝\f(4a,b)，,a＋b＝1，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f