第1頁（共1頁）2025年安徽省高考數學調研試卷（3月份）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．（5分）若集合A＝{x∈N|x＜4}，B＝{x∈R|x2﹣x﹣6＜0}，則A∩B＝（）A．? B．{﹣1，0，1，2} C．{1，2} D．{0，1，2}2．（5分）已知復數z滿足（z+1）i＝1+i3，則z＝（）A．﹣2﹣i B．﹣2+i C．2﹣i D．2+i3．（5分）已知等差數列{an}的前8項和為48，a2+a3＝4，則{an}的公差為（）A．1 B．2 C．4 D．84．（5分）下列函數中，是奇函數的是（）A． B． C．f（x）＝xln|x| D．5．（5分）已知平面向量，滿足||＝1+|＝2，且（+）⊥，則|（）A．2 B． C． D．16．（5分）把函數f（x）＝2cosx（sinx+cosx）﹣1的圖象向左平移，得到函數g（x）的圖象（x）的圖象的一條對稱軸方程為（）A． B． C． D．7．（5分）甲每個周末都跑步或游泳，每天進行且僅進行其中的一項運動．已知他周六跑步的概率為0.6，且如果周六跑步，如果周六游泳，則周日跑步的概率為0.9．若甲某個周日游泳了（）A． B． C． D．8．（5分）已知f（x）是定義域為R的非常值函數，且f（x+y）（x﹣y）＝2f（x）f（y），f（2）＝0（x）是f（x）的導函數（x）的定義域為R．若設f（7）＝a（1）＝b，則曲線y＝f（x），f（﹣5））處的切線方程為（）A．y＝﹣bx﹣5b﹣a B．y＝bx+5b+a C．y＝﹣bx﹣5b+a D．y＝bx+5b﹣a二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。（多選）9．（6分）記數列{an}的前n項和為Sn，則下列條件使{an}一定為等比數列的是（）A． B． C． D．（多選）10．（6分）已知F是拋物線E：x2＝2py（p＞0）的焦點，點在圓C：x2+（y+2）2＝R2（R＞0）上，圓C在點N處的切線與E只有一個公共點，動直線（）A． B．與E和圓C各恰有一個公共點的直線有6條 C．若圓C上僅有一個點到l的距離為2，則滿足條件的t的值有4個 D．若t＝0，E上一點Q到l的距離為d，則|QF|+d的最小值為（多選）11．（6分）如圖，正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為1，點E，F，G分別在棱A1A，A1B1，A1D1上（與端點不重合），過點A1作A1H⊥平面EFG，垂足為H，則下列說法正確的是（）A．△EFG可能為直角三角形 B．若H為△EFG的外接圓的圓心，則三棱錐A1﹣EFG為正三棱錐 C．若A1E＝A1F＝A1G，則四面體A1EFG的棱與面所成角的正弦值的集合是 D．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．（5分）甲同學自進入高三以來，前四次數學考試的分數逐次遞增，第一次的分數為116，且中位數為120，則甲同學這四次數學考試的平均分為．13．（5分）過雙曲線E的右焦點F作直線的垂線l，l與E的右支交于點B，若，則E的離心率e＝．14．（5分）記，若，則實數a＝．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．（13分）在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c2A+sinBsinC＝sin2B+sin2C．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若D為AC的中點，且BD的長為2，求bc的最大值16．（15分）如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面ABCD是邊長為2的菱形，且，△BPC是正三角形，（Ⅰ）求證：PE⊥平面ABCD；（Ⅱ）求二面角D﹣PA﹣B的正弦值．17．（15分）口袋中有編號分別為1，2，3，…，10的10個小球，所有小球除了編號外無其他差別．（Ⅰ）從口袋中任取3個小球，求取到的小球編號既有奇數又有偶數的概率；（Ⅱ）從口袋中任取5個小球，設其中編號的最小值為X，求X的分布列及期望．18．（17分）已知橢圓的離心率為，點在E上與E交于A，B兩點，O為坐標原點．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）證明：△BOC的面積為定值；（Ⅲ）若點B在直線AC的右側，求直線BC在y軸上的截距的最小值．19．（17分）若函數f（x）的圖象上存在三點A（a，f（a）），B（b，f（b）），f（m）），且a＜m＜b，使得直線AB與f（x），則稱m為f（x）在區間[a（Ⅰ）若函數f（x）＝x2+3x+2在區間[a，b]上的中值點為m，證明：a，m（Ⅱ）已知函數g（x）＝2xlnx﹣x2+tx，存在b＞a＞0，使得g（a）（b）．（i）求實數t的取值范圍；（ii）當t＝k（k∈N*）時，記g（x）在區間[ak，證明：S1+S2+…+Sn＞n．

2025年安徽省高考數學調研試卷（3月份）參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）題號12345678答案DABCACDD二．多選題（共3小題）題號91011答案ADABCBCD一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．（5分）若集合A＝{x∈N|x＜4}，B＝{x∈R|x2﹣x﹣6＜0}，則A∩B＝（）A．? B．{﹣1，0，1，2} C．{1，2} D．{0，1，2}【答案】D【解答】解：由題意可得，A＝{0，1，6，B＝{x|﹣2＜x＜3}，所以A∩B＝{4，1，2}．故選：D．2．（5分）已知復數z滿足（z+1）i＝1+i3，則z＝（）A．﹣2﹣i B．﹣2+i C．2﹣i D．2+i【答案】A【解答】解：因為i3＝﹣i，由題可得：，所以z＝﹣2﹣i．故選：A．3．（5分）已知等差數列{an}的前8項和為48，a2+a3＝4，則{an}的公差為（）A．1 B．2 C．4 D．8【答案】B【解答】解：依題意，即a2+a8＝12，則，解得d＝2．故選：B．4．（5分）下列函數中，是奇函數的是（）A． B． C．f（x）＝xln|x| D．【答案】C【解答】解：A選項，且定義域為R，A選項錯誤；B選項，，且定義域為R，B選項錯誤；A選項，函數定義域為（﹣∞，+∞），函數f（x）是奇函數；D選項，函數定義域為（﹣∞，+∞），函數f（x）不是奇函數．故選：C．5．（5分）已知平面向量，滿足||＝1+|＝2，且（+）⊥，則|（）A．2 B． C． D．1【答案】A【解答】解：因為平面向量，滿足|，|2+，且（+，所以（+）?＝+?，可得?＝﹣6．所以（2+）2＝6+4?+，可得，故||＝2．故選：A．6．（5分）把函數f（x）＝2cosx（sinx+cosx）﹣1的圖象向左平移，得到函數g（x）的圖象（x）的圖象的一條對稱軸方程為（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：依題意，，因為的圖象向左平移個單位長度后，所以，由，解得，因此函數g（x）的圖象的對稱軸方程為，取k＝﹣1，得，C正確．故選：C．7．（5分）甲每個周末都跑步或游泳，每天進行且僅進行其中的一項運動．已知他周六跑步的概率為0.6，且如果周六跑步，如果周六游泳，則周日跑步的概率為0.9．若甲某個周日游泳了（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：用事件A，B分別表示“周六跑步”，則分別表示“周六游泳”，周六跑步的概率為0.6，且如果周六跑步，如果周六游泳．則，，，所以．故選：D．8．（5分）已知f（x）是定義域為R的非常值函數，且f（x+y）（x﹣y）＝2f（x）f（y），f（2）＝0（x）是f（x）的導函數（x）的定義域為R．若設f（7）＝a（1）＝b，則曲線y＝f（x），f（﹣5））處的切線方程為（）A．y＝﹣bx﹣5b﹣a B．y＝bx+5b+a C．y＝﹣bx﹣5b+a D．y＝bx+5b﹣a【答案】D【解答】解：已知f（x+y）+f（x﹣y）＝2f（x）f（y），f（2）＝0，f′（x）是f（x）的導函數，且f′（x）的定義域為R，f′（1）＝b，令x＝2，則f（2+y）+f（2﹣y）＝4，0）中心對稱，令x＝y＝0，則f（0）+f（0）＝3f（0）f（0），當f（0）＝0時，令y＝0，即f（x）＝6，舍去．故f（0）＝1，則令x＝0，即函數f（x）關于y軸對稱，f（5+y）+f（2﹣y）＝0?f（7﹣y）＝﹣f（2+y），令y＝x+2，則f（﹣x）＝﹣f（x+6），∴f（x+4）＝﹣f（x），則f（x+8）＝f（x+7+4）＝﹣f（x+4）＝﹣（﹣f（x））＝f（x），即函數f（x）是周期為5的周期函數，∴f（﹣5）＝f（3）＝﹣f（1）＝﹣f（﹣1）＝﹣f（7）＝﹣a，∵函數f（x）關于點（2，0）中心對稱和y軸對稱，∴導數f′（x）關于x＝2對稱和點（4，0）中心對稱，同理可得f′（x+8）＝f′（x），∴f′（﹣7）＝f′（3）＝f′（1）＝b，∴切線方程為：y+a＝b（x+5），即y＝bx+5b﹣a．故選：D．二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。（多選）9．（6分）記數列{an}的前n項和為Sn，則下列條件使{an}一定為等比數列的是（）A． B． C． D．【答案】AD【解答】解：對于選項A，由等比數列定義知n}一定為等比數列，故A正確；對于選項B，當an＝0時，成立n}不成等比數列，故B錯誤；對于選項C，由，得a1＝S1＝6，a2＝S2﹣S6＝6，a3＝S6﹣S2＝18，所以a1，a7，a3不成等比數列，故C錯誤；對于選項D，由，得a6≠0，an＝a1，所以{an}是公比為5的等比數列，故D正確．故選：AD．（多選）10．（6分）已知F是拋物線E：x2＝2py（p＞0）的焦點，點在圓C：x2+（y+2）2＝R2（R＞0）上，圓C在點N處的切線與E只有一個公共點，動直線（）A． B．與E和圓C各恰有一個公共點的直線有6條 C．若圓C上僅有一個點到l的距離為2，則滿足條件的t的值有4個 D．若t＝0，E上一點Q到l的距離為d，則|QF|+d的最小值為【答案】ABC【解答】解：由于在圓C上，解得R＝1，因此圓C：x2+（y+4）2＝1，因此圓心C（5，因此，因此圓C在點N處的切線的斜率，因此切線方程為，即，代入拋物線E：x2＝2py（p＞8）中，可得，根據根的判別式Δ＝12p8﹣32p＝0，解得，所以A項正確；如圖所示，在y軸右側，有一條直線與E和圓C各恰有一個公共點，當斜率存在時，有兩條這樣的直線．根據對稱，總共有6條直線與E和圓C各恰有一個公共點；若圓C上僅有一個點到l的距離為2，則圓心C到直線l的距離為2或1，當圓心C到直線l的距離為1時，，解得t＝0或t＝﹣4；當圓心C到直線l的距離為4時，，解得t＝4或t＝﹣7；由于d≥0，因此|QF|+d≥|QF|，此時|QF|取得最小值，所以選項D錯誤．故選：ABC．（多選）11．（6分）如圖，正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為1，點E，F，G分別在棱A1A，A1B1，A1D1上（與端點不重合），過點A1作A1H⊥平面EFG，垂足為H，則下列說法正確的是（）A．△EFG可能為直角三角形 B．若H為△EFG的外接圓的圓心，則三棱錐A1﹣EFG為正三棱錐 C．若A1E＝A1F＝A1G，則四面體A1EFG的棱與面所成角的正弦值的集合是 D．【答案】BCD【解答】解：設A1F＝b，A1G＝c，A7E＝a，a，b，c∈（0，因此EG2＝a3+c2，GF2＝c3+b2，EF2＝a3+b2，根據余弦定理得，因此∠EFG為銳角，同理其它兩角也是銳角，所以選項A錯誤；對于選項B，由于H為三角形EFG的外心，因此HE＝HF＝HG1H⊥平面EFG，結合勾股定理易知A1E＝A5F＝A1G，又因為三個側面都是直角三角形，因此EF＝EG＝GF，因此三棱錐A1﹣EFG為正三棱錐，所以選項B正確；對于選項C，如果棱在面內，正弦值為2；如果棱不在面內，考察側棱與底面所成的角，以A1E為例，設A1E＝a，那么，那么三角形EFG的面積為，根據等體積，三棱錐A1﹣EFG的體積，因此，因此，所以以A1為頂點，三角形EFG為底面的三棱錐的側棱與底面所成角的正弦值為，以E或F或G為頂點的三棱錐的側棱與底面所成角，以E點為例，由于A1E⊥平面A1FG，因此A4E與平面A1FG所成角為90°，正弦值為1，根據線面角的定義可知：∠EFA4為EF與平面A1FG所成角，易知∠EFA1＝45°，正弦值為，因此四面體A1EFG的棱與面所成角的正弦值的集合是．故C正確；若a＝A7E，b＝A1F，c＝A1G，h＝A2H，又，即A6E?A1F?A1G＝A6H?GE?GFsin∠EGF，所以，則，即a7b2c2＝h2（a2b2+a2c2+b2c3），所以，即，D正確．故選：BCD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．（5分）甲同學自進入高三以來，前四次數學考試的分數逐次遞增，第一次的分數為116，且中位數為120，則甲同學這四次數學考試的平均分為122．【答案】122．【解答】解：設甲同學自進入高三以來，第二，y，∵前四次數學考試的分數逐次遞增，且中位數為120，∴，∴甲同學這四次數學考試的平均分為．故答案為：122．13．（5分）過雙曲線E的右焦點F作直線的垂線l，l與E的右支交于點B，若，則E的離心率e＝．【答案】．【解答】解：雙曲線E的右焦點F作直線，設雙曲線的半焦距為c，，，設B（m，由，得B是線段AF的中點，過B作BC⊥OF于C，則△BCF∽△OAF，，因此，解得，得，即，所以．故答案為：．14．（5分）記，若，則實數a＝8．【答案】8．【解答】解：由，得，所以，若，＝＝，即，所以a＝8．故答案為：8．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．（13分）在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c2A+sinBsinC＝sin2B+sin2C．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若D為AC的中點，且BD的長為2，求bc的最大值【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）bc的最大值為8，．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，內角A，B，b，c，已知sin2A+sinBsinC＝sin2B+sin7C，由正弦定理得a2＝b8+c2﹣bc，由余弦定理得，而0＜A＜π，所以；（Ⅱ）若D為AC的中點，且BD的長為2，在△ABD中，由余弦定理得，則，即bc≤8，當且僅當b＝2c＝7時取等號，此時，所以bc的最大值為4，．16．（15分）如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面ABCD是邊長為2的菱形，且，△BPC是正三角形，（Ⅰ）求證：PE⊥平面ABCD；（Ⅱ）求二面角D﹣PA﹣B的正弦值．【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）．【解答】解：（Ⅰ）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，連接AC，因為△BPC是正三角形，E為BC的中點．所以，因為四邊形ABCD是邊長為2的菱形，，所以△ABC是正三角形，，則PE2+AE2＝6＝PA2，PE⊥AE，又BC∩AE＝E，AE?平面ABCD，所以PE⊥平面ABCD；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，直線EC，EP兩兩垂直，以E為原點，直線EC，EP分別為x，y，則，，設平面PAD的法向量，則，取z＝1，得，設平面PAB的法向量，則，取c＝1，得，，所以二面角D﹣PA﹣B的正弦值為．17．（15分）口袋中有編號分別為1，2，3，…，10的10個小球，所有小球除了編號外無其他差別．（Ⅰ）從口袋中任取3個小球，求取到的小球編號既有奇數又有偶數的概率；（Ⅱ）從口袋中任取5個小球，設其中編號的最小值為X，求X的分布列及期望．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）X的分布列為：X123456PE（X）＝．【解答】解：（Ⅰ）從口袋中任取3個小球有種方法種，全為偶數的取法有種，因此編號既有奇數又有偶數的取法種數為＝100，所以取到的小球編號既有奇數又有偶數的概率為；（Ⅱ）依題意，X的所有可能值為1，7，3，4，6，6，從口袋中任取5個小球有種取法，，，，，，，所以X的分布列為：X173456P所以．18．（17分）已知橢圓的離心率為，點在E上與E交于A，B兩點，O為坐標原點．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）證明：△BOC的面積為定值；（Ⅲ）若點B在直線AC的右側，求直線BC在y軸上的截距的最小值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）證明過程見解析；（Ⅲ）．【解答】解：（Ⅰ）因為橢圓E的離心率為，所以，解得，①因為點在橢圓E上，所以，②聯立①②，解得a2＝5，b2＝3，則橢圓E的方程為；（Ⅱ）證明：設A（x1，y2），B（x2，y2），可得C（x8，﹣y1），聯立，消去y并整理得x7+mx+m2﹣3＝5，此時Δ＝m2﹣4（m3﹣3）＞0，解得m7＜3，由韋達定理得，則＝＝＝，故△BOC的面積為定值；（Ⅲ）因為點B在直線AC的右側，所以x2＞x7，設直線BC與y軸的交點為T（0，t），當x1x2＝0時，點B，此時T即為E的上頂點，，當x5x2≠0時，因為B，C，T共線，所以，整理得，因為＝，當且僅當m＝2時，等號成立，此時．則直線BC在y軸上的截距的最小值為．19．（17分）若函數f（x）的圖象上存在三點A（a，f（a）），B（b，f（b）），f（m）），且a＜m＜b，使得直線AB與f（x），則稱m為f（x）在區間[a（Ⅰ）若函數f（x）＝x2+3x+2在區間[a，