試題PAGE1試題2024北京豐臺高一（下）期末數學2024.07第一部分（選擇題共40分）一．選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個選項中,選出符合題目要求的一項。1．設復數，則（A）1 （B）（C）2（D）42．已知點，，，若，則m的值為（A）-1 （B）（C）1（D）33．已知復數滿足，則在復平面內的共軛復數對應的點位于（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限4．一個盒子中裝有大小和質地相同的4個球，其中有2個紅球和2個白球，若從中任取2個球，則“恰有1個紅球”的概率是（A）（B）（C）（D）5．已知數據，，，，的平均數為，方差為，數據，，，，的平均數為，方差為，則下列結論中正確的是（A）， （B），（C）， （D），6.在正方體ABCD－A1B1C1D1中，直線A1C1與直線B1C所成角的大小為（A）30°（B）45°（C）60°（D）120°7.在△中，點是邊的中點．記，，則（A） （B） （C） （D）8.同時拋擲兩枚質地均勻的骰子，觀察向上的點數，記事件A=“點數之和為5”，事件B=“點數之積為6”，事件C=“至少有一個點數為3”，事件D=“點數都不為3”，則（A）為不可能事件 （B）與相互獨立（C）B與D互斥 （D）C與D互為對立9.已知直線a，b與平面a，b，g，下列說法正確的是（A）若a∥a，a^b，則a^b（B）若a∥a，a∥b，則a∥b（C）若a^g，b^g，則a∥b（D）若ab=a，b^a，bìb，則a^b10．八卦是中國傳統文化中的一部分，八個方位分別象征天、地、風、雷、水、火、山、澤八種自然現象.八卦模型如圖1所示，其平面圖形為正八邊形，如圖2所示，點O為該正八邊形的中心，設，點P是正八邊形邊上任一點，下列結論中正確的個數是圖1圖2=1\*GB3①與的夾角為；=2\*GB3②；=3\*GB3③在上的投影向量為（其中為與同向的單位向量）；=4\*GB3④的取值范圍是．（A）1 （B）2 （C）3 （D）4第二部分（非選擇題共110分）二．填空題共5小題，每小題5分，共25分。11.設A，B是一個隨機試驗中的兩個互斥事件，，，則.12.已知復數和都是純虛數，則．13.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知,那么=________，若，，則______.14.陀螺是中國民間的娛樂工具之一，早期陀螺的形狀由同底的一個圓柱和一個圓錐組合而成（如圖）．已知一木制陀螺模型內接于一表面積為的球，其中圓柱的兩個底面為球的兩個截面，圓錐的頂點在該球的球面上，若圓柱的高為2cm，則該圓柱的體積為_______，該陀螺的表面積為______.15.已知正方體ABCD－A1B1C1D1中，點E，F，G分別為棱AB，AA1，C1D1的中點，給出下列四個結論：①直線FG與平面ACD1相交；②直線B1D^平面EFG；③若AB=1，則點D到平面ACD1的距離為；④該正方體的棱所在直線與平面EFG所成的角都相等.其中所有正確結論的序號是____________．三．解答題共6小題，共85分。解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程。16.（本小題13分）設平面向量，，且.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）判斷與是否平行，并說明理由；（Ⅲ）若，求實數的值.17.（本小題14分）某校為普及航天知識，在高一年級開展了航天知識競賽.將成績（單位：分）分成6組，繪制成頻率分布直方圖，如圖所示：（Ⅰ）估計該校高一年級航天知識競賽成績的第80百分位數；（Ⅱ）為了進一步了解學生對航天知識的掌握情況，在成績位于和的兩組中，用比例分配的分層隨機抽樣方法抽取5名學生.（=1\*romani）求這5名學生中位于內的人數；（=2\*romanii）若從這5名學生中隨機抽取2名學生進行訪談，求這2名學生中至少有1人成績在內的概率.18.（本小題13分）如圖，在三棱錐P-ABC中，E，F分別是線段AB，BC的中點.（Ⅰ）求證：EF∥平面PAC；（Ⅱ）過直線EF作平面a，若平面a與直線PC交于點G，直線PB∥平面a.求證：G是線段PC的中點.19.（本小題15分）在中，三個內角的對邊分別為．已知.（Ⅰ）求角；（Ⅱ）將射線AB繞點A旋轉交線段BC于點E，已知.（=1\*romani）若，求c；（=2\*romanii）求面積的最小值.20.（本小題15分）如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，DABC=90o，AA1=AB=1，平面ABB1A1^平面ABC.（Ⅰ）求證：AB1^A1C；（Ⅱ）從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，當直線A1C與平面ABC所成角為30o時，（ⅰ）求證：平面ABC⊥平面ACC1A1；（ⅱ）求二面角B-A1C-A的正弦值.條件①：AC1=A1C；條件②：A1B=.注：如果選擇條件=1\*GB3①和條件=2\*GB3②分別解答，按第一個解答計分.21.（本小題共15分）設為正整數，集合．對于集合中的任意元素和，記．（Ⅰ）當時，若，，求和的值；（Ⅱ）當時，設是的子集，且滿足：對于中的任意元素，當相同時，是奇數；當不同時，是偶數．求集合中元素個數的最大值；（Ⅲ）給定不小于的，從任取兩兩互不相同的元素.證明：存在，使得．

參考答案一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分．題號12345678910答案BDADCCBDAC二、填空題共5小題，每小題5分，共25分．11．0.512．13．；314．；15．=2\*GB3②=3\*GB3③=4\*GB3④三、解答題共6小題，共85分．解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程．16.（本小題13分）解：（Ⅰ）因為，所以,因為，，所以,所以，所以,所以，所以.…………4分（Ⅱ）平行，理由如下：解法1：設與的夾角為，，因為，所以，與平行.…………9分解法2：因為，當且僅當與共線時等號成立，又因為，，所以與共線，即與平行.（Ⅲ）由（Ⅱ）及已知條件得：，因為=12，所以，所以.解法2：因為=12，所以，因為，，，所以，所以.…………13分17.（本小題14分）解：（Ⅰ）由，可得.由頻率分布直方圖可知，110分以下的所占比例為，因此，80%分位數一定位于內.由，估計該校高一年級航天知識競賽成績的80%分位數約為115分.………………5分（Ⅱ）（=1\*romani）由題意與的頻率之比為2:3，用按比例分配的分層隨機抽樣的方法抽取5名學生，則需在分數段內抽取3人.…………8分（=2\*romanii）在分數段內抽取2人，分別記為，，在分數段內抽取3人，分別記為，，.從這5名學生中任取2人的樣本空間，設“從這5名學生中任取2人，至少有1人成績在內”為事件，而事件包含7個可能結果，即，所以，故抽取的這2名學生至少有1人成績在內的概率為.……………14分18.（本小題13分）證明：（Ⅰ）因為E，F分別是AB，BC的中點，所以EF∥AC.因為EF平面PAC，AC平面PAC，所以EF∥平面PAC.…………6分（Ⅱ）依題意知，平面a∩平面PBC=FG,因為直線PB∥平面a，PB?平面PBC，所以PB∥FG，因為F是線段BC中點，所以G是線段PC中點.…………13分19.（本小題15分）解：（Ⅰ）因為，由余弦定理得：，因為A為三角形內角，所以.…………5分（Ⅱ）（=1\*romani）由和，可知，因為，在中，由余弦定理得：，所以，所以，因為，所以，所以.…10分（=2\*romanii）解法1：由和，可知，因為，所以，又因為，所以，即，又，當且僅當，即時，等號成立，所以，所以，所以的面積的最小值為.…………15分解法2：由和，可知，因為,，所以因為，所以,在中，由正弦定理得：,所以,在中，,所以因為，所以,所以當時，的面積的最小值為.20.（本小題15分）解：（Ⅰ）因為DABC=90o，所以，因為平面ABB1A1^平面ABC，平面ABB1A1∩平面ABC=AB，BC?平面ABC，所以BC^平面ABB1A1，因為AB1?平面ABB1A1，所以BC^AB1，因為三棱柱ABC-A1B1C1，所以四邊形ABB1A1是平行四邊形，因為AA1=AB，所以ABB1A1是菱形，所以AB1^A1B，因為A1B∩BC=B，A1B，BC?平面A1BC，所以AB1^平面A1BC，因為A1C?平面A1BC所以AB1^A1C.…………6分（Ⅱ）選條件①：（ⅰ）因為AC1=A1C，所以平行四邊形ACC1A1為矩形，所以AA1^AC，由（Ⅰ）知，AA1^BC，因為AC∩BC=C，BC，AC?平面ABC，所以AA1^平面ABC，因為AA1?平面ACC1A1，所以平面ACC1A1^平面ABC.………11分（ⅱ）因為AA1^平面ABC，A1C∩平面ABC=C，所以直線A1C與平面ABC所成的角為DA1CA，所以DA1CA=30o，因為AA1=AB=1，所以A1C=2，AC=，BC=，A1B=作BD^AC于D，因為平面ACC1A1^平面ABC，平面ACC1A1∩平面ABC=AC，BD?平面ABC，所以BD^平面ACC1A1，所以BD^A1C.作DE^A1C于E，連接BE，因為BD∩DE=D，BD，DE?平面BDE，所以A1C^平面BDE，因為BE?平面BDE，所以A1C^BE，所以是二面角B-A1C-A的平面角.因為，所以，因為，所以，所以，所以二面角B-A1C-A的正弦值為.…………15分條件②：A1B=，因為AA1=AB，所以AA12+AB2=A1B2，所以AA1^AB，由（Ⅰ）知，AA1^BC，因為AB∩BC=B，BC，AB?平面ABC，所以AA1^平面ABC，以下同條件①.21.（本小題15分）解：（Ⅰ）因為，所以，.…………4分（Ⅱ）設，令其中()則，，，則，當，且()時，由題意知，是奇數，(不同)是偶數，等價于是奇數，(不同)是偶數.若是奇數時，則中等于1的個數為1或3，所以,且.將上述集合中的元素分成如下四組：經檢驗，每組中兩個元素，均有，所