大招4比值或作差代換大招總結(jié)本節(jié)我們來(lái)重新審視極值點(diǎn)偏移問(wèn)題，并給出新的解題方法，極值點(diǎn)偏移問(wèn)題的一般形式是：已知函數(shù)的極值點(diǎn)為m，兩相異實(shí)數(shù)b，c滿足，求證或或其他關(guān)于的不等式．從代數(shù)層面來(lái)看，極值點(diǎn)偏移問(wèn)題是條件不等式的證明：在等量條件的約束下求證關(guān)于的二元不等式．那么能否將雙變量的條件不等式化為單變量的函數(shù)不等式呢？現(xiàn)在我們來(lái)研究極值點(diǎn)偏移另一處理方法：比值消元（比值代換）．比值代換一般步驟：（1）根據(jù)建立等量關(guān)系；（2）等量關(guān)系中如果含有參數(shù)，可考慮消參；如果含有指數(shù)式，可考慮兩邊取對(duì)數(shù)．（3）令或者，構(gòu)造關(guān)于t的函數(shù)來(lái)證明．典型例題例1已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；（2）已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，證明當(dāng)時(shí)，；（3）如果，且，證明．解（1），，解得，當(dāng)x變化時(shí)，的變化情況如下表：x1+0-↗極大值↘所以在內(nèi)是增函數(shù)，在內(nèi)是減函數(shù)．函數(shù)在處取得極大值且．（2）證明：由題意可知，得，令，即，于是，當(dāng)時(shí)，，從而，又，所以，從而函數(shù)在上是增函數(shù)．又，所以時(shí)，有，即．（3）證明：方法1：①若，由（1）及，則．與矛盾．②若，由（1）及，得．與矛盾．根據(jù)①②得，不妨設(shè)，．由（2）可知，，則，所以，從而得．因?yàn)椋裕钟桑?）可知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)，所以，即．方法2：由，得，化簡(jiǎn)得，不妨設(shè)，由方法1知，．令，則，，代入化簡(jiǎn)式，得，反解出，則，故要證，即證，又因?yàn)椋葍r(jià)于證明：，構(gòu)造函數(shù)，，則，故在上單調(diào)遞增，，從而也在上單調(diào)遞增，．例2．已知函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，，求證：．解證明：函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，，所以，因此，即，要證明，只要證明，即證：．不妨設(shè)，記，則，，因此只要證明，即．記，則．記，則．當(dāng)時(shí)，，所以，即時(shí)，，所以，即成立，所以．例3．已知函數(shù)，a為常數(shù)．（1）若函數(shù)在處的切線與軸平行，求的值；（2）當(dāng)時(shí)，試比較與的大小；（3）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)、試證明．解（1）由，得：，∵函數(shù)在處的切線與軸平行，∴，即；（2）當(dāng)時(shí)，，∴，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增時(shí)，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減．令，則．又∵，①當(dāng)時(shí)，，即；②當(dāng)時(shí)，，即；③當(dāng)時(shí)，，即．（3）證明：方法1：∵函數(shù)有兩個(gè)零，點(diǎn)，、，∴，，∴，，∴，欲證明，即證．∵，∴即證，∴原命題等價(jià)于證明，即證：．令，則，設(shè)，，∴在上單調(diào)遞增，又∵，∴，∴，即．方法2：直接按換元構(gòu)造新函數(shù)：，設(shè)，，則，，反解出：，，故，設(shè)，，∴在上單調(diào)遞增，又∵，∴，∴，即．例4．已知函數(shù)．（1）若在點(diǎn)處的切線與直線垂直，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，，證明：．解（1），∴．得：，∴令，得：，即的單調(diào)減區(qū)間為和．（2）證明：由，∴，∵，只要證，即證．不妨設(shè)，即證，令，只需證，，則在上單調(diào)遞增，，即證．例5．已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直．（1）試比較與的大小，并說(shuō)明理由；（2）若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，，證明：．解（1）函數(shù)，，所以，又由切線與直線垂直，可得，即，解得．此時(shí)，令，即，解得；令，即，解得，所以的增區(qū)間為，減區(qū)間為．所以，即，，即有．（2）證明：不妨設(shè)，因?yàn)椋曰?jiǎn)得，．可得，，要證明，，即證明，也就是．因?yàn)椋醋C，即，令，則，即證．令，由，故函數(shù)在上是增函數(shù)，所以，即得證．所以．自我檢測(cè)1．已知函數(shù)，在定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，（1）求的取值范圍；（2）求證：．解析：（1）令，由題意可知，在上有兩個(gè)不同根，，且．∵，時(shí)，在遞增，不合題意，當(dāng)時(shí)，令，解得：，∴在上遞增，在上遞減，而時(shí)，，時(shí)，，故，解得：．（2）證明：由題意及（1）可知，即證，∵，∴，∴即證，即證．設(shè)，，則，∴在上遞增，∴，∴，，令，則原不等式成立．2．已知函數(shù)．（1）若函數(shù)圖象在點(diǎn)線方程為，求實(shí)數(shù)a，b的值；（2）若函數(shù)，求實(shí)數(shù)取值范圍；（3）若函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)分別為，，求證：．解析：（1）由，得，∴切線方程為，∴，即．又，可得切點(diǎn)為，代入切線方程得；（2）恒成立等價(jià)于恒成立，即，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．∴當(dāng)時(shí)，，即；（3）證明：若函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，，即，，即且．也就是．要證，只要證．即證．不妨設(shè)，需證成立，即證．令，即證，令，則．∴在上是增函數(shù)，∴，原式得證．3．已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，若存在單調(diào)遞減區(qū)間，求a的取值范圍．（2）若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，，求證：．（1）當(dāng)時(shí)，，則，∵函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，∴有解．即，又∵時(shí)，∴在有解．①當(dāng)時(shí)，在有解；②當(dāng)時(shí)，為開口向上的拋物線，總有的解；③當(dāng)時(shí)，為開口向下的拋物線，若總有的解；則需，且方程至少有一正根．此時(shí)，．綜上所述，的取值范圍為．（2）證明：若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，，則設(shè)函數(shù)與軸的交點(diǎn)為A，B，設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是，，則點(diǎn)的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為，∵，∴，∴，，設(shè)，則，，，令，則，因?yàn)闀r(shí)，，所以在上單調(diào)遞減．故，而，故．即．4．已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)．（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）設(shè)，是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：．（1）依題意得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上遞減，不可能有2個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，，即．故函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．則由，得，即，當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為．綜上所述：當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)．（2）證明：依題意得：，不妨設(shè)，則，則，故要證，即證，也就是證明，令，則，設(shè)，則，設(shè)，，∴在上單調(diào)遞增，∴，∴在遞增，∴，故原不等式得證．5．已知函數(shù)（其中．（1）求函數(shù)的極值；（2）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，，求a的取值范圍，并證明．（其中是的導(dǎo)函數(shù)）（1）由得，當(dāng)時(shí)，，若，；若，．故當(dāng)時(shí)，在處取得的極大值，函數(shù)無(wú)極小值．（2）當(dāng)時(shí)，由（1）知在處取得極大值，且當(dāng)趨向于0時(shí)，趨向于負(fù)無(wú)窮大，又，有兩個(gè)零點(diǎn)，則，解得．設(shè)，．由（1）知兩零點(diǎn)分別在區(qū)間