1990年全國研究生研究生入學統一考試數學三試題一、填空題(本題滿分15分，每題3分.把答案填在題中橫線上.)(2)設函數f(x)有持續導函數，f(O)=0,f'(O)=b,若函數(3)曲線y=x2和直線y=x+2所圍成平面圖形面積為_(5)一射手對同一目的獨立地進行四次射擊，若至少命中一次概率為,則該射手命中率二、選擇題(本題滿分15分，每題3分.每題給出四個選選項前字母填在題后括號內.)(1)設函數f(x)=x·tanx·esn×,則f(x)(A)偶函數(B)無界函數(C)周期函數((2)設函數f(x)對任意x均滿足等式f(1+x)=af(x),且有f'(0)=b,其中a,b為非零常(A)α,α?,…,a,均不為零向量(B)α?,α?,…,α,中任意兩個向量分量不成比例(C)α?,α?,…,α,中任意一種向量均不能由其他s-1個向量線性表達(D)α?,α?,…,α,中有一部分向量線性無關(4)設A,B為兩隨機事件，且BcA,則下列式子對的是()(A)P(A+B)=P(A)(C)P(B|A)=P(B)m1(5)設隨機變量X和m1m1則下列式子對的是三、計算題(本題滿分20分，每題5分.)(1)求函數t在區間[e,e2]上最大值.(2)計算二重積分,其中D是曲線y=4x2和y=9x2在第一象限所圍成區域.(3)求級數收斂域.(4)求微分方程y'+ycosx=(lnx)esinx通解.四、(本題滿分9分)某公司可通過電臺及報紙兩種形式做銷售某種商品廣告，根據記錄資料，銷售收入R(萬元)和電臺廣告費用x?(萬元)及報紙廣告費用x?(萬元)之間關系有如下經驗公式：R=15+14x?+32x?-8xx?-五、(本題滿分6分)設f(x)在閉區間[0,c]上持續，其導數f'(x)在開區間(0,c)內存在且單調減少；六、(本題滿分8分)七、(本題滿分5分)八、(本題滿分6分)九、(本題滿分4分)從0,1,2,…,9十個數字中任意選出三個不同樣數字，試求下列事件概率：A?={三個數字中不含0和5};A?={三個數字中不含0或5}.十、(本題滿分5分)一電子儀器由兩個部件構成，以X和Y分別表達兩個部件壽命(單位：千小時),已知X和Y聯合分布函數為：(2)求兩個部件壽命所有超過100小時概率α.十一、(本題滿分7分)某地抽樣調查成果表白，考生外語成績(百分制)近似服從正態分布，平均成績為72分，96分以上占考生總數2.3%,試求考生外語成績在60分至84分之間概率.[附表]x表中Φ(x)是原則正態分布函數.1990年全國研究生研究生入學統一考試數學三試題解析一、填空題(本題滿分15分，每題3分.)(1)【答案】2【有關知識點】函數y=f(x)在點x?持續：設函(1)有唯一解→r(A)=r(A)=n.(2)有無窮多解→r(A)=r(A)<n.若Y~B(n,p),則P{Y=k}=Cp^(1-p)"k,k=0,1,…,n.設g(x)=tanx.e*,于是g(x)定義域為令x=0,有Tg(T)=0,即g(T)=0.從而T(x+2kπ)g(x+2kπ)=(x+2kπ)g(x)=xg(x).若,則有【解析】通過變量代換t=x+1或按定義由關系式f(l+x)=af(x)將f(x)在x=1可可導，則復合函數y=f[g(x)]在點x可導，且其導數為(3)【答案】(C)或【解析】本題考察線性無關概念和理論，和充足必需性條件概念.推導出(A)(B)(D)選項，但是不能由(A)(B)(D)選項中任意一種推導出向量組α?,α?,…,α,線性無關.例如：(1,0),(0,1),(1,1)顯然有(1,0)+(0,1)-(1,1)=(0,0),該向量組線性有關.但(A)(B)(D)均成立.根據“α?,α?,…,α,線性有關充足必需條件是存在某α;(i=1,2,…,s)可以由α;(i=1,2,…,s)均不能由α?,…α;-,α+,…,α,線性表出.”故選(C).【解析】由于B∈A,因此A+B=A,于是有P(A+B)=P(A).故本題選A.對于B選項，由于BcA,因此事件B發生，則事件A肯定發生，因此P(AB)=P(B),對于C選項，由于BcA,由條件概率公式,當B,A是互相獨立事件對于D選項，由于BcA,因此事件B發生事件A不發生是個不也許事件，故(5)【答案】(C)【解析】由離散型隨機變量概率定義，有P{X=Y}=P{X=-1,Y=-1}+故本題選(C).而(B)、(D)選項是錯三、計算題(本題滿分20分，每題5分.)(1)【解析】在x∈[e,e2]上，,故函數I(x)在[e,e2]上單F't)=β'(t)f·[βC]-a'(t)f·[αt].,或,當時x=2,得交錯級數當時x=4,得正項級數,兩者所有收斂，于是原級數收斂域為[2,4].相【有關知識點】1.求收斂半徑措施：如果,其中a,a+1是冪級數相3.p級數：當時p>1收斂；當時p≤1發散.(4)【解析】措施1:所給方程為一階線性微分方程，可直接運用通解公式求解.措施2:用函數同乘方程兩端，結構成全微分方程.方程兩端同乘esin*,得esin*y'+yesin×cosx=(yesinx)'→(yesin×)'=Inx,再積分一次得最后，再用esinx同乘上式兩端即得通解y=esinx[xln【有關知識點】一階線性非齊次方程y'+P(x)y=Q(x)x-x+C].通解為其中C為任意常數.四、(本題滿分9分)【解析】(1)利潤為銷售收入減去成本，因此利潤函數為π=15+14x?+32x?-8x?x?-2x2-10x2-(由多元函數極值點必需條件，有因駐點惟一，且實際問題必有最大值，故投入電臺廣告費用0.75萬元，報紙廣告費用1.25萬元可獲最大利潤.(2)若廣告費用為1.5萬元，則應當求利潤函數(和(1)中解析式相似)π=15+13x?+31x?-8x?x?-2x2L(x?,x?,λ)=15+13x?+31x?-8x?x?-2x2-10x2+A(x?由→x?=0,x?=1.5.大.極值點.五、(本題滿分6分)【解析】措施1:當時a=0,f(a+b)=f(b)=f(f(a+b)-f(a)-f(b)+f(O)=f'(ξ?)a-f'(S)a=a[f'(5?)-其中0<ξ<a≤b<ξ?<a+b.又f'(x)單調減少，故f'(ξ?)≤f'(S).從而有f(a+b)-f(a)-f(b)+f(O)≤0,即f(a+b)≤f(a)+f(b).令F(x)=f(x)+f(a)-f(a+x),x∈[0,b],由于f(O)=0,因此F(O)=0,又由于f(a+b)≤f(a)+f(b),其中0≤a≤b≤a+b≤c.六、(本題滿分8分)r=(1,-2,1,0,0)',r?=(1,-2,0,1,0)',r?=(5,-6,0,0(3)令x?=x?=x?=0,得方程組特解為α=(-2,3,0,0,0)'.因此，方程組所有解是七、(本題滿分5分)八、(本題滿分6分)由2≠22,知λ-2,λ-22不全為0,于是X?,X?線性有關，這和不同樣特性值特性向量線九、(本題滿分4分)【解析】樣本空間含樣本點總數為C33;即十個數字任意選三個有多少種選擇方案.有助于事件A?樣本點數為C8;十個數字除去0和5任意選三個有多少種選擇方案.有助于事件A?樣本點數為2C3-C8;十個數字除去0任意選三個選擇方案和十個數字除去5任意選三個選擇方案再減去中間多算了一次措【有關知識點】古典型概率公式：十、(本題滿分5分)X和Y邊沿分