2024-2025學年高中數學第1章導數及其應用1.3導數在研究函數中的應用1.3.1函數的單調性與導數（教師用書）教學實錄新人教A版選修2-2課題：科目：班級：課時：計劃1課時教師：單位：一、課程基本信息1.課程名稱：高中數學第1章導數及其應用1.3導數在研究函數中的應用1.3.1函數的單調性與導數

2.教學年級和班級：高一年級

3.授課時間：2024年9月15日上午第二節課

4.教學時數：1課時二、核心素養目標培養學生運用導數分析函數單調性的能力，提升數學建模與推理的能力，增強邏輯思維和抽象思維能力。通過本節課的學習，學生能夠理解導數與函數單調性之間的關系，掌握判斷函數單調區間的數學方法，并能夠應用這一方法解決實際問題。同時，培養學生的數學應用意識，提高數學學習的自信心和成就感。三、學習者分析1.學生已經掌握了哪些相關知識：

學生在進入本節課之前，已經學習了函數的基本概念、函數的圖像和性質，以及極限的基本概念。他們應該能夠識別函數的增減性，并理解函數圖像的基本特征。此外，學生可能已經接觸過導數的初步概念，包括導數的定義和幾何意義。

2.學生的學習興趣、能力和學習風格：

高一學生對數學的興趣普遍較高，但個體差異較大。部分學生可能對數學有濃厚的興趣，善于邏輯推理和抽象思維；而另一些學生可能對數學感到困惑，更傾向于具體和直觀的學習方式。學生的能力水平參差不齊，部分學生可能在數學基礎方面較為扎實，而有些學生可能對函數和導數等概念理解不夠深入。

3.學生可能遇到的困難和挑戰：

學生在學習導數時可能會遇到以下困難：一是對導數的概念理解不透徹，難以將導數的定義與實際應用聯系起來；二是無法正確判斷函數的單調性，尤其是在處理復合函數時；三是缺乏解決實際問題的能力，難以將導數的知識應用于解決具體問題。此外，學生的數學抽象思維能力不足也可能成為學習導數的障礙。四、教學方法與策略1.采用講授與討論相結合的教學方法，通過講解導數的定義和單調性原理，引導學生深入理解概念。

2.設計小組討論活動，讓學生分析具體函數案例，共同探討如何判斷函數的單調區間。

3.利用多媒體教學，展示函數圖像和導數變化的動態過程，幫助學生直觀理解導數與函數單調性的關系。

4.安排實驗環節，讓學生通過計算導數來觀察函數變化，增強實踐操作能力。五、教學過程一、導入新課

（教師）同學們，我們已經學習了函數的基本性質，今天我們將探討導數在研究函數中的應用，特別是函數的單調性問題。請大家回顧一下，什么是函數的單調性？它是如何影響函數圖像的？

（學生）函數的單調性指的是函數在某區間內是單調遞增還是單調遞減。

（教師）很好，那么我們如何通過導數來判斷函數的單調性呢？今天我們就來深入探討這個問題。

二、新課講授

1.導數的定義與性質

（教師）首先，我們回顧一下導數的定義。導數是函數在某一點處的瞬時變化率，它反映了函數在該點的變化趨勢。

（學生）我明白了，導數就是函數在某一點處的切線斜率。

（教師）正確。接下來，我們來看導數的性質。導數具有連續性、可導性、可微性等性質，這些性質對于判斷函數的單調性非常重要。

2.函數單調性與導數的關系

（教師）現在，我們來探討函數單調性與導數之間的關系。首先，我們假設函數f(x)在區間(a,b)內可導。

（學生）好的，老師。

（教師）如果f'(x)>0在區間(a,b)內恒成立，那么函數f(x)在區間(a,b)內是單調遞增的；如果f'(x)<0在區間(a,b)內恒成立，那么函數f(x)在區間(a,b)內是單調遞減的。

（學生）我明白了，導數大于零表示函數遞增，小于零表示函數遞減。

3.判斷函數單調區間的步驟

（教師）那么，如何判斷一個函數的單調區間呢？我們可以按照以下步驟進行：

（1）求出函數的導數f'(x)；

（2）找出f'(x)的零點，即解方程f'(x)=0；

（3）根據f'(x)在零點兩側的符號，判斷函數的單調性。

（學生）謝謝老師，這個步驟很清晰。

4.案例分析

（教師）下面，我們通過一個案例來實際操作一下。請看函數f(x)=x^3-3x^2+4，我們需要判斷其在區間(-∞,+∞)內的單調性。

（學生）好的，老師。

（教師）首先，我們求出f(x)的導數f'(x)=3x^2-6x。然后，我們找出f'(x)的零點，即解方程3x^2-6x=0。解得x=0或x=2。

（學生）解出來了，老師。

（教師）接下來，我們判斷f'(x)在零點兩側的符號。當x<0時，f'(x)>0；當0<x<2時，f'(x)<0；當x>2時，f'(x)>0。因此，函數f(x)在區間(-∞,0)和(2,+∞)內單調遞增，在區間(0,2)內單調遞減。

（學生）我明白了，老師。

三、課堂練習

1.請同學們獨立完成以下練習題：

（1）判斷函數f(x)=x^2-2x+1在區間(-∞,+∞)內的單調性；

（2）判斷函數f(x)=x^3-3x^2+4x-1在區間(-1,2)內的單調性。

2.學生完成練習后，教師巡視指導，解答學生的疑問。

四、課堂小結

（教師）今天我們學習了導數在研究函數中的應用，特別是函數的單調性問題。通過本節課的學習，我們掌握了判斷函數單調區間的步驟，并能夠運用導數解決實際問題。

（學生）謝謝老師，我學會了如何判斷函數的單調性。

五、布置作業

1.請同學們完成課后練習題；

2.預習下一節課的內容，即導數在研究函數極值中的應用。

六、課后反思

1.教師對課堂情況進行總結，分析教學效果，找出不足之處，為今后的教學提供改進方向；

2.學生對課堂學習情況進行反思，總結學習心得，為今后的學習做好準備。六、拓展與延伸六、拓展與延伸

1.提供與本節課內容相關的拓展閱讀材料：

-《微積分學導論》：這本書可以作為高級數學學習的參考，其中詳細介紹了導數的概念、性質和應用，對于想要深入了解導數的學生來說是一本很好的讀物。

-《函數與導數》：這本書以函數和導數為核心，通過實例和習題講解了導數在解決實際問題中的應用，適合想要提高數學應用能力的學生閱讀。

-《數學分析》：這本書是數學分析的基礎教材，其中包含了導數的定義、性質、極限和連續性等內容，對于有志于深入研究數學的學生來說是一本不可或缺的書籍。

2.鼓勵學生進行課后自主學習和探究：

-學生可以嘗試解決一些更復雜的函數單調性問題，例如含有參數的函數單調性判斷。

-探究導數在經濟學中的應用，如邊際成本、邊際收益等概念，以及如何利用導數分析市場供需關系。

-通過數學建模，將導數應用于實際問題中，如物理中的速度和加速度、生物中的種群增長等。

-研究導數在幾何學中的應用，例如如何利用導數研究曲線的凹凸性。

-嘗試證明一些關于導數的定理，如拉格朗日中值定理和柯西中值定理，以加深對導數概念的理解。

3.知識點拓展：

-學習導數的運算規則，如導數的四則運算、復合函數的導數等。

-探究隱函數求導和參數方程求導的方法。

-研究導數的幾何意義，如切線斜率、曲率等。

-學習洛必達法則和泰勒公式，了解它們在求極限中的應用。

-研究導數在微分方程中的應用，如一階微分方程的求解。

4.實用性練習：

-設計一個實驗，通過測量物體的運動軌跡，計算其速度和加速度，并利用導數進行分析。

-分析一個實際的經濟數據集，使用導數來預測市場的未來趨勢。

-利用導數分析一個物理系統，如彈簧振子的運動，并繪制速度-時間圖和加速度-時間圖。七、教學評價與反饋1.課堂表現：

學生在課堂上的表現整體良好，能夠積極參與討論，對于導數概念的理解和應用有較好的掌握。大部分學生能夠準確判斷函數的單調性，并在案例分析中提出自己的見解。然而，部分學生在面對復雜問題時，可能會出現思維混亂，需要進一步練習和指導。

2.小組討論成果展示：

在小組討論環節，學生們能夠有效地合作，共同分析函數案例，并展示他們的討論成果。學生們能夠提出不同的解題思路，并互相學習。在展示過程中，學生們能夠清晰地表達自己的觀點，但部分學生在表達時缺乏邏輯性和條理性，需要加強口頭表達能力的訓練。

3.隨堂測試：

隨堂測試結果顯示，學生對導數概念的理解和應用能力有了明顯的提高。大部分學生能夠正確判斷函數的單調性，并能夠運用導數解決實際問題。然而，部分學生在處理復合函數的單調性時，仍然存在困難，需要進一步鞏固和練習。

4.學生自評與互評：

學生們對自己的學習進行了自評，大多數學生認為自己在本節課中有所收獲，但也意識到自己在某些方面的不足。在互評環節，學生們能夠客觀地評價同伴的表現，并提出建設性的意見。

5.教師評價與反饋：

針對課堂表現，教師評價與反饋如下：

-對于積極參與討論的學生，給予表揚，鼓勵他們繼續保持；

-對于在小組討論中表現出色的學生，給予肯定，并鼓勵他們在全班面前分享自己的觀點；

-對于在隨堂測試中表現不佳的學生，教師將提供個別輔導，幫助他們理解和掌握相關知識點；

-對于在表達時缺乏邏輯性和條理性的學生，教師將提供寫作和口頭表達技巧的指導；

-對于在處理復合函數單調性時存在困難的學生，教師將設計針對性的練習題，幫助他們鞏固知識點。

在今后的教學中，教師將關注以下幾點：

-加強對導數概念的理解和應用的訓練，提高學生的數學思維能力；

-通過案例分析和實際問題解決，培養學生的數學應用能力；

-關注學生的個體差異，提供個性化的教學和輔導；

-鼓勵學生積極參與課堂討論，培養學生的團隊合作和溝通能力；

-定期進行隨堂測試，及時了解學生的學習情況，調整教學策略。八、內容邏輯關系①本文重點知識點：

-導數的定義：導數是函數在某一點處的瞬時變化率，表示函數在該點的變化趨勢。

-函數單調性的概念：函數在某一區間內單調遞增或遞減，即在該區間內，函數值隨自變量的增加而增加或減少。

-導數與函數單調性的關系：若導數在區間內恒大于零，則函數在該區間內單調遞增；若導數在區間內恒小于零，則函數在該區間內單調遞減。

②關鍵詞匯：

-瞬時變化率

-單調遞增

-單調遞減

-恒大于零

-恒小于零

③關鍵句子：

-導數是函數在某一點處的瞬時變化率。

-若導數在區間內恒大于零，則函數在該區間內單調遞增。

-若導數在區間內恒小于零，則函數在該區間內單調遞減。

①本文重點知識點：

-導數的性質：連續性、可導性、