一、連續函數的概念二、初等函數的連續性三、閉區間上連續函數的性質第三節函數的連續性連續變化的曲線對應的函數為連續函數

如同體溫的升降、血液的流動、機體的成長等，在生命科學范疇里，很多變量的變化都是連續不斷的．函數的連續性正是客觀世界中事物連續變化現象的反映．0xy

設變量從它的一個初值變到終值，終值與初值的差就叫做變量的增量（或稱改變量），記作，即1.函數的增量一、連續函數的概念設函數在點附近有定義,把附近的點記為,則稱為自變量由變到的增量.為函數在點的增量.2．函數連續性的定義

定義1-9

設函數在點的某個鄰域內有定義,如果時,也有,即注意故定義中1-9的極限式等價于則稱函數在點處連續,稱為的連續點.【定義12】設函數y=f(x)在點x0的某一鄰域內有定義,若當時,函數f(x)的極限存在且等于f(x0),即則稱函數y=f(x)在點x0連續.即函數在點(1)在點即(2)極限(3)連續必須具備下列條件:存在;有定義,存在;。由函數在一點x0處的連續定義及,有例1-29

討論函數在的連續性解所以在連續．單側連續顯然即：例1-30

設在點處連續,問、應滿足什么關系?解連續函數與連續區間在區間上每一點都連續的函數,叫做在該區間上的連續函數,或者說函數在該區間上連續.連續函數的圖形是一條連續而不間斷的曲線.例1-31證明3．函數的間斷點函數的不連續點稱為函數的間斷點,即滿足下列三個條件之一的點為函數的間斷點.例解:例1-32解例1-33在的連續性解二、初等函數的連續性(1)一切基本初等函數在其有定義的點都是連續的.

(2)若函數與在點連續,則函數

在連續.三、復合函數的連續性

【定理7】設函數當時極限存在且等于,即;函數y=f(u)在相應點連續,即,則復合函數當時的極限也存在且等于,即。理解：【推論5】設函數,當時連續,即,函數y=f(u)在相應點連續,則復合函數當時連續,即:例20求極限。解：函數可看作由復合而成,因為,而在相應點連續,根據定理7有例1-37解,而函數在點連續,所以例21討論函數的連續性。解：函數可看作由復合而成,因為在上連續,在上連續。

上連續,根據推論5得在練習1:求解:原式練習2:求解:令則原式說明:當時,有是由連續函數在上連續.練習4：討論的連續性解：因此復合而成,初等函數在其定義區間內是連續的,所謂定義區間是指包含在定義域內的區間。四、初等函數的連續性解：續區間就是它的定義區間,f(x)在(-∞,-1)及在(-1,1)∪(1,+∞)上有定義,故f(x)的連續區間為(-∞-1)∪(-1,1)∪(1,+∞).又因為x=0為f(x)例22求函數的連續區間,并求當時,f(x)的極限。因為是初等函數,所以f(x)的連例如,在上連續單調遞增,其反函數在[－1,1]上也連續單調遞增.在上連續單調遞增,其反函數在上也連續單調遞增.又如,連續區間內一點,所以,即函數y=f(x)在區間上單值,單調增加(或單調減少)且連續,則其反函數在對應的區間上也單值、單調增加(或單調減少)且連續。內容小結基本初等函數在定義區間內連續連續函數的四則運算的結果連續連續函數的反函數連續連續函數的復合函數連續初等函數在定義區間內連續說明:分段函數在分界點處是否連續需討論其左、右連續性。

三、閉區間上連續函數性質ab

定理1-3（最值定理）若函數閉區間上連續，則在閉區間上必有最大值和最小值．推論（有界性定理）若函數閉區間上連續，則在閉區間上必有界．abf(a)f(b)

定理1-4（介值定理）若函數閉區間上連續，則對介于和之間的任何數，至少存在一個，使得

其幾何意義為連續曲線弧與水平直線至少相交于一點．即為方程的根．注：根不一定唯一ba

推論2（零點定理）若函數在閉區間上連續，且與異號（即)，則至少存在一個，使得

推論1：在閉區