1數(shù)學(xué)物理方法二李晟上海交通大學(xué)物理系.3第1頁2課程要求網(wǎng)站：/lisheng助教：1201，繆晗李政道著物理學(xué)中數(shù)學(xué)方法

第一章,矢量與張量分析第二章,n維空間中線性代數(shù)第三章按正交函數(shù)系展開魯濱著物理學(xué)中數(shù)學(xué)

第三章外微分形式小林昭七著曲線和曲面微分幾何第2頁主要內(nèi)容矢量和張量分析平直或非平直空間中矢量張量坐標(biāo)變換（正交變換與普通變換）微分與外微分曲線與曲面性質(zhì)應(yīng)用：曲面幾何，廣義相對論函數(shù)空間應(yīng)用：量子力學(xué)，數(shù)理方程求解不講述完整數(shù)學(xué)體系，重點在怎樣使用第3頁4經(jīng)典物理學(xué)中矢量第4頁5內(nèi)容矢量分析坐標(biāo)變換笛卡爾張量微分運算第5頁6矢量分析矢量（廣義）：現(xiàn)有大小又有方向量速度，加速度，動量。。。。幾何表述：有向線段代數(shù)表示：有序數(shù)組標(biāo)量（廣義）：只有大小沒有方向量能量，質(zhì)量。。。。第6頁7矢量空間定義域K：常見為實數(shù)域或復(fù)數(shù)域矢量空間V：矢量集合矢量分量取值于定義域K加法運算數(shù)乘法運算第7頁8矢量空間滿足運算規(guī)則：交換律結(jié)合律分配律存在零元0存在恒元存在逆元第8頁9矢量空間維數(shù)和基若矢量空間中任一矢量均可用某組線性無關(guān)矢量組合表示，則這組矢量稱為該矢量空間基，其中矢量個數(shù)稱為該矢量空間維數(shù)第9頁10線性無關(guān)對任意矢量，其用基組合表示是唯一證實：若設(shè)與線性無關(guān)矛盾第10頁11存在無窮多組基線性無關(guān)保持，每組基個數(shù)不變第11頁12內(nèi)積（標(biāo)量積、點乘●）兩個矢量內(nèi)積為標(biāo)量交換律分配率Schwarz不等式第12頁13正交歸一基基若且則稱為正交歸一基第13頁14單位正交矢量Kronecker

符號第14頁15Einstein求和規(guī)則只能兩個指標(biāo)重復(fù)，不能三個或以上指標(biāo)重復(fù)求和指標(biāo)只要不和其它指標(biāo)重復(fù)，可任意替換重復(fù)指標(biāo)求和第15頁16重復(fù)指標(biāo)只能是成正確指標(biāo)可隨意調(diào)換第16頁17外積（矢量積、叉乘x）兩個矢量（三維）外積為矢量雅可比恒等式分配率反對稱性第17頁18外積幾何外積大小對應(yīng)于由倆矢量組成平行四邊形面積外積方向由右手法則決定，垂直于倆矢量組成平面第18頁19角動量、力矩。。。軸矢量，鏡面反射改變手性第19頁20三維矢量叉乘行列式表示第20頁21三維Levi-Civita符號第21頁22第22頁23第23頁24正交歸一基上投影新基和舊基關(guān)系正交變換關(guān)系（基變換）第24頁25變換矩陣正交變換：從正交歸一基變換到正交歸一基正交變換關(guān)系（基變換）第25頁26變換矩陣正交變換關(guān)系（矢量變換）逆變換第26頁27二維正交變換第27頁28二維正交變換第28頁29二維正交變換基變換關(guān)系第29頁30二維正交變換矢量變換關(guān)系第30頁31主動變換與被動變換被動變換：矢量沒有動，坐標(biāo)系變換主動變換：坐標(biāo)系不動，矢量變換被動轉(zhuǎn)動q角等價于主動轉(zhuǎn)動-q角第31頁32三維轉(zhuǎn)動變換z0y0x0z’y’x’z0y0x0zyx

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Eulerangle第32頁33三維轉(zhuǎn)動變換（進動）z0y0x0z’y’x’z0y0x0zyx

第33頁34三維轉(zhuǎn)動變換（章動）z0y0x0z’y’x’

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z’’y’’q第34頁35三維轉(zhuǎn)動變換（自轉(zhuǎn)）y0z0y’x0x’’

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Eulerangle第35頁36三維轉(zhuǎn)動變換第36頁37普通線性變換基變換基逆變換矢量變換矢量逆變換第37頁38有大小方向量（有序數(shù)組），同時滿足某種變換關(guān)系，則稱為該變換關(guān)系下矢量例：牛頓力學(xué)認(rèn)為時空矢量是伽利略變換矢量狹義相對論認(rèn)為時空是Lorentz變換矢量嚴(yán)格矢量定義第38頁39矢量內(nèi)積列矩陣，行矩陣為矢量，方陣是什么？笛卡爾張量第39頁40并積若某量有兩個方向，稱二階張量深入要求其滿足變換笛卡爾張量第40頁41兩個矢量并積為矢量但多數(shù)矢量不能表示為兩個矢量并積兩個矢量共2n個變量，一個二階張量有n2個變量若方程數(shù)不夠（n>2）笛卡爾張量第41頁42對稱張量反對稱張量任意二階方程都可分解成對稱張量和反對稱張量和笛卡爾張量第42頁43為作用在三個面上力應(yīng)力第43頁44各向同性：系統(tǒng)對外場反應(yīng)和外場方向相同且反應(yīng)強度相同各向異性：系統(tǒng)初在外場方向有反應(yīng)外還在其它方向有反應(yīng)極化第44頁45剛體角動量：轉(zhuǎn)動慣量：轉(zhuǎn)動慣量第45頁三維二階反對稱張量三個獨立變量可與一矢量對應(yīng)46第46頁47高階張量：含有n個方向（指標(biāo)）量，稱n階張量有多個方向量（有序數(shù)組），同時滿足某種變換關(guān)系，則稱為該變換關(guān)系下矢量笛卡爾張量是正交變換下張量嚴(yán)格張量定義第47頁笛卡爾張量運算(I)線性組合：兩個同階張量和仍為該階張量直積：一個m階張量直積一個n階張量為一個m+n階張量48第48頁笛卡爾張量運算(II)縮并：張量兩個指標(biāo)求和之后得到低二階張量內(nèi)積：一個m階張量直積一個n階張量后對屬于原不一樣張量兩指標(biāo)縮并后得到m+n-2階張量49第49頁笛卡爾張量運算(III)微商：張量導(dǎo)數(shù)為高一階張量整體變換第50頁笛卡爾張量運算(IV)定義（n小于空間維數(shù)）：外積：一個m階張量直積一個n階張量后反對稱化（m+n小于空間維數(shù)）比如矢量叉乘51第51頁笛卡爾張量運算(V)外導(dǎo)數(shù)運算：D稱外微分算子標(biāo)量外導(dǎo)數(shù)為梯度（矢量）矢量外導(dǎo)數(shù)為旋度（二階張量）任何張量兩次外導(dǎo)數(shù)運算為零52第52頁三維歐幾里德空間中微分運算直角坐標(biāo)系下微分算子：標(biāo)量導(dǎo)數(shù)為梯度（矢量）微分算子以內(nèi)積方式作用于矢量稱散度（標(biāo)量）微分算子以外積方式作用于矢量稱旋度（矢量）53第53頁散度旋度意義散度不為零意味著有源：閉合曲面上某矢量通量等于該曲面包含空間內(nèi)該矢量散度積分旋度不為零意味著矢量場閉合某矢量沿在閉合曲線上積分等于該矢量旋度在該曲線包圍曲面上積分54第54頁流守恒方程流出某區(qū)域量等于該區(qū)域內(nèi)量降低積分形式微分形式55單位時間內(nèi)流出S總量單位時間內(nèi)V中量增加第55頁三維歐幾里德空間中微分運算直角坐標(biāo)系下微分算子作用在其后全部變量上不能與所作用變量隨意對換位置梯度旋度為零旋度梯度為零56第56頁勢標(biāo)量勢（無旋場必有標(biāo)量勢）矢量勢（無源場必有矢量勢）規(guī)范變換（勢不是唯一）57第57頁例：電動力學(xué)Maxwell方程矢量勢靜電場標(biāo)量勢普通情況58第58頁兩點間距離三維直角坐標(biāo)系球坐標(biāo)系59注意：該變換非線性變換第59頁