2024年秋季學期高二年級期末教學質量監測數學試題注意事項：1．答題前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.4．本試卷主要考試內容：人教A版選擇性必修第一冊，選擇性必修第二冊第四章.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知點是點在坐標平面內的射影，則（）A. B. C. D.5【答案】A【解析】【分析】先求，進而可得.【詳解】由題意可得，故，，故選：A2.已知直線經過點，則的斜率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由斜率公式即可求解；【詳解】由，可得：，故選：C3.已知數列為遞增的等差數列，若，則的公差為（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】D【解析】【分析】由題意為方程的兩根，結合數列的單調性確定，再根據等差數列通項公式求公差.【詳解】因為，所以為方程的兩根，又因為為遞增的等差數列，所以，故公差.故選：D4.拋物線的焦點坐標為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出拋物線的標準方程即可得到焦點坐標.【詳解】由得，，故拋物線的焦點坐標為.故選：A.5.已知雙曲線的焦點到漸近線的距離為，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由焦點到漸近線的距離公式即可求解.【詳解】設雙曲線的焦距為，焦點為因為雙曲線的漸近線方程為，所以焦點到漸近線的距離為.因為，所以，，所以雙曲線的離心率為.故選：C.6.記等比數列的前項和為，若，則（）A.7 B.49 C. D.43【答案】C【解析】【分析】由等比數列的片段和性質有，并設，結合已知求、，即可求值.【詳解】設，則，因為，所以，解得，所以.故選：C7.在平行四邊形中，，，，是中點，沿將翻折至的位置，使得平面平面，為的中點，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據面面垂直的性質可得，建立如圖空間直角坐標系，利用空間向量法求解線線角即可.【詳解】在中，，則，即，又平面平面，平面平面，平面，則平面，又平面，于是，以點為原點，直線分別為軸建立空間直角坐標系，則，，于是，得，所以直線與所成角的余弦值為.故選：A8.設數列的前項和為，若，且的等差中項為），則（）A.4 B.8 C.10 D.12【答案】D【解析】【分析】根據的關系，構造法求數列的通項公式，并確定為等差數列，最后應用等差中項的性質求.【詳解】因為，當時，，得，當時，，所以，則，所以，又，所以，所以是等差數列.因為，所以.故選：D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知曲線的兩個焦點為，，為曲線上不與，共線的點，則下列說法正確的是（）A.若是橢圓，則 B.若是雙曲線，則C.若，則的周長為8 D.若，則的離心率為【答案】BCD【解析】【分析】對于A由于的大小范圍不確定故不能判斷焦點位置，對于B若是雙曲線，則的焦點在軸上即可求解，對于C若，則是橢圓，則的周長為，對于D若，則是雙曲線即可求解.【詳解】對于A：若是橢圓，則，其焦點可能在軸上，所以A錯誤；對于B：若是雙曲線，則的焦點在軸上，因為，所以，故B正確；對于C：若，則是橢圓.因為，，，所以的周長為，故C正確；對于D:若，則是雙曲線.因為，，，所以離心率為，故D正確.故選：BCD.10.已知圓與直線，點在圓上，點在直線上，則（）A.圓上有兩個點到直線的距離為2B.圓上只有一個點到直線的距離為2C.D.從點向圓引切線，切線長的最小值是【答案】BC【解析】【分析】求出圓的圓心及半徑，求出點到直線的距離判斷AB；利用圓的性質及切線性質求出最小值判斷CD.【詳解】圓的標準方程為，圓心為，半徑，對于AB，圓心到直線的距離，則，故A錯誤，B正確；對于C，，C正確；對于D，由切線的性質，得切線長為，D錯誤.故選：BC11.在長方體中，，，E為的中點，動點P在長方體內（含表面），且滿足，記動點P的軌跡為Ω，則（）A.Ω的面積為B.平面與Ω所在平面平行C.當時，存在點P，使得D.當時，三棱錐的體積為定值【答案】ACD【解析】【分析】取的中點，連接，四邊形為動點P的軌跡Ω，求得面積判斷A；連接，可證明平面平面，從而可判斷B；以為坐標原點，所在直線為坐標軸建立空間直角坐標系，轉化為是否有解問題處理，求解可判斷C；確定的位置，進而可判斷D.【詳解】因為，所以在確定的平面內，又，取的中點，連接，則四邊形為動點P的軌跡Ω，因為長方體中，，，所以，，進而可求得等腰梯形的高，所以梯形的面積為，故A正確；連接，因為且，所以四邊形是平行四邊形，所以，因為平面，平面，所以平面，同理可證平面，又，平面，所以平面平面，又平面平面，所以平面與Ω所在平面不平行，故B錯誤；以為坐標原點，所在直線為坐標軸建立空間直角坐標系，則，所以，當，則，所以，假設，則，即，解得，所以當時，存在點P，使得，故C正確；當時，點在上，則時點到平面的距離為定值，又三角形的面積為定值，所以三棱錐的體積為定值，故D正確.故選：ACD.【點睛】關鍵點點睛：建立空間直角坐標系，將是否存在點P，使得，轉化為方程是否有解問題，轉化思想是數學的一種常見思想方法.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.直線被圓截得的弦長為______．【答案】2【解析】【分析】根據圓的性質，結合點到直線距離公式、勾股定理求解即可.【詳解】由，可得：，即圓心，，圓心到直線l的距離為：，所以弦長為故答案為：213.若數列滿足，則__________.【答案】##0.8【解析】【分析】根據遞推式寫出前幾項，得到數列的周期，利用周期性求項.【詳解】因為，所以，所以數列是周期為4的周期數列，故.故答案為：14.在正四面體中，，則______（用，，表示）．若，則______．【答案】①.②.【解析】【分析】根據向量的線性運算，化簡得到，再根據向量的模的計算，結合向量數量積的定義與向量數量積的運算律即可求出答案.【詳解】，，，且正四面體為正四面體，所以，且之間夾角都是，則，故答案為：；.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.設數列的前項和為.（1）求數列的通項公式；（2）若，求數列的前項和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據已知有，應用等比數列的定義寫出通項公式；（2）由（1）得的通項公式，應用裂項相消法求.【小問1詳解】因為，所以，又，所以是首項為2，公比為4的等比數列，.【小問2詳解】因，所以，所以.16.已知動點到點的距離比它到直線的距離小2，記動點的軌跡為.（1）求的方程；（2）直線與相交于，兩點，若線段的中點坐標為，求直線的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據題意以及拋物線的定義，可得答案；（2）利用點差法，求得直線斜率，根據點斜式方程，可得答案.【小問1詳解】由題意知動點到點的距離等于到直線的距離，則動點的軌跡是以為焦點，為準線的拋物線，所以的方程為.【小問2詳解】設，，則，兩式相減得，整理可得.因為線段的中點坐標為，所以，所以直線的斜率，故直線的方程為，即.17.如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，，，平面平面，，，.（1）證明：平面平面.（2）若平面與平面的夾角為，求點到平面的距離.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由平面平面得平面即可得證；(2)建立空間直角坐標系，由平面與平面的夾角為得點的坐標，利用向量法求點到平面的距離即可.【小問1詳解】證明：因為平面平面，，所以平面.因為平面，所以平面平面.【小問2詳解】取的中點，連接.因為，所以.因為平面平面，所以平面.以為坐標原點，，的方向分別為，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，.設，平面法向量為，因為，，所以，令，得.平面的一個法向量為.因為平面與平面的夾角為，所以，所以.設平面的法向量為，因為，，所以令，得.因為，所以點到平面的距離.18.已知直線經過橢圓的右頂點和上頂點．（1）求橢圓的標準方程及離心率；（2）與直線平行的直線交于兩點（均不與的頂點重合），設直線，的斜率分別為，證明：為定值．【答案】（1），（2）證明見解析【解析】【分析】（1）由已知，可得，，則，，即可求得橢圓的標準方程，再求出，可求得離心率；（2）設直線的方程為，，，聯立直線方程與橢圓方程，由利用韋達定理得，得，化簡可得，可得為定值.【小問1詳解】因為直線經過橢圓的右頂點和上頂點，當時，，當時，，則，，所以，，所以橢圓的標準方程為．因為，所以橢圓的離心率為．【小問2詳解】由（1）知直線的斜率為，設直線的方程為，，，聯立方程組，消去得，則．因為，，所以，因為，且，所以，所以，即為定值．19.對于數列，稱為數列的一階差分數列，其中．對于正整數，稱為數列的k階差分數列，其中．已知數列滿足，數列滿足．（1）求數列的通項公式．（2）若數列的前n項和為，證明：．（3）若對恒成立，求λ的取值范圍．【答案】（1），；（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）根據定義及等差數列的定義得，再應用累加法求的通項公式，同理得到，由等比數列的定義求的通項公式；（2）根據已知得，應用