初高中數(shù)學(xué)銜接教材

編者的話

高中數(shù)學(xué)難學(xué)，難就難在初中教材與高中教材之間剃度過大，因此我們要認(rèn)真搞好初高

中數(shù)學(xué)教學(xué)的銜接，使初高中的數(shù)學(xué)教學(xué)具有連續(xù)性和統(tǒng)一性。

現(xiàn)有初高中數(shù)學(xué)教材存在以下“脫節(jié)”：

1、絕對值型方程和不等式，初中沒有講，高中沒有專門的內(nèi)容卻在使用；

2、立方和與差的公式在初中已經(jīng)刪去不訓(xùn)、而高中還在使用；

3、因式分解中，初中主要是限于二次項(xiàng)系數(shù)為1的二次三項(xiàng)式的分解，對系數(shù)不為1的

涉及不多，而且對三次或高次多項(xiàng)式的分解幾乎不作要求；高中教材中許多化簡求值都要用

到它，如解方程、不等式等；

4、二次根式中對分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中數(shù)學(xué)中函

數(shù)、不等式常用的解題技巧；

5初中教材對二次函數(shù)的要求較低，學(xué)生處于了解水平。而高中則是貫穿整個(gè)數(shù)學(xué)教材

的始終的重要內(nèi)容；配方、作簡圖、求值域（取值范圍）、解二次不等式、判斷單調(diào)區(qū)間、求

最大最小值、研究閉區(qū)間上的函數(shù)最值等等是高中數(shù)學(xué)所必須掌握的基本題型和常用方法；

6、二次函數(shù)、二次不等式與二次方程之間的聯(lián)系，根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）初中不

作要求，此類題目僅限于簡單的常規(guī)運(yùn)算，和難度不大的應(yīng)用題，而在高中數(shù)學(xué)中，它們的

相互轉(zhuǎn)化屢屢頻繁，且教材沒有專門講授，因此也脫節(jié)；

7、圖像的對稱、平移變換初中只作簡單介紹，而在高中講授函數(shù)時(shí)，則作為必備的基本

知識要領(lǐng)；

8、含有參數(shù)的函數(shù)、方程、不等式初中只是定量介紹了解，高中則作為重點(diǎn)，并無專題

內(nèi)容在教材中出現(xiàn)，是高考必須考的綜合題型之一；

9、幾何中很多概念（如三角形的四心：重心、內(nèi)心、外心、垂心）和定理（平行線等分

線段定理、平行線分線段成比例定理、射影定理、相交弦定理）初中早就已經(jīng)刪除，大都沒

有去學(xué)習(xí)；

1（）、圓中四點(diǎn)共圓的性質(zhì)和判定初中沒有學(xué)習(xí)。高中則在使用。

另外，象配方法、換元法、待定系數(shù)法、雙十字相乘法分解因式等等等等初中大大淡化,

甚至老師根本沒有去延伸發(fā)掘，不利于高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)。

高一數(shù)學(xué)相對于初中數(shù)學(xué)而言，邏輯推理強(qiáng)，抽象程度高，知識難度大。初中畢業(yè)生以

較高的數(shù)學(xué)成績升入高中后，不適應(yīng)高中數(shù)學(xué)教學(xué)，學(xué)習(xí)成績大幅度下降，出現(xiàn)了嚴(yán)重的兩

極分化，心理失落感很大，過去的尖子生可能變?yōu)閷W(xué)習(xí)后進(jìn)生，甚至，少數(shù)學(xué)生對學(xué)習(xí)失去

了信心。初中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容作了較大程度的壓縮、上調(diào)，中考難度的下調(diào)、新課程的實(shí)驗(yàn)和

新教材的教學(xué)，使高中數(shù)學(xué)在教材內(nèi)容以及高考中都對學(xué)生的能力提出了更高的要求，使得

原來的矛盾更加突出。高中教材從知識內(nèi)容上整體數(shù)量較初中劇增；在知識的呈現(xiàn)、過程和

聯(lián)系上注重邏輯性，旦數(shù)學(xué)語言抽象程度發(fā)生了突變，教材敘述比較嚴(yán)謹(jǐn)、規(guī)范而抽象。知

識難度加大，且習(xí)題類型多，解題技巧靈活多變，計(jì)算繁冗復(fù)雜，體現(xiàn)了“起點(diǎn)高、難度大、

容量多”的特點(diǎn)。其次，初中難度降低，有中考試卷的難度降低作保障；而高中由于受高考

的限制，教師都不敢降低難度，造成了高中數(shù)學(xué)實(shí)際難度并沒有降低。

因此，從一定意義上講，調(diào)整后的教材不僅沒有縮小初高中教材內(nèi)容的難度差距，反而

加大了。如現(xiàn)行初中數(shù)學(xué)教材在內(nèi)容上進(jìn)行了較大幅度的調(diào)整，難度、深度和廣度大大降低

了，那些在高中學(xué)習(xí)中經(jīng)常應(yīng)用到的知識，如十字相乘法、分組分解法等內(nèi)容，都轉(zhuǎn)移到高

一階段補(bǔ)充學(xué)習(xí)。這樣初中教材就體現(xiàn)了“淺、少、易”的特點(diǎn)，但卻加重了高一數(shù)學(xué)的份

量。在初中，教師講得細(xì)，類型歸納得全，練得熟，考試時(shí)，學(xué)生只要記準(zhǔn)概念、公式及教

師所講例題類型，一般均可對號入座取得中考好成績。而高考要求則不同，有的高中教師往

往用高三復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)達(dá)到的類型和難度來對待高一教學(xué)，造成了輕過程、輕概念理解、重題量

的情形，造成初、高中教師教學(xué)方法上的巨大差異，中間乂缺乏過渡過程，至使新生普遍適

應(yīng)不了高中教師的教學(xué)方法。

高中許多知識僅憑課堂上聽懂是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，還需要認(rèn)真消化。這就要求學(xué)生具有較強(qiáng)

的閱讀分析能力和自學(xué)理解能力。因此，在初、高中數(shù)學(xué)教學(xué)銜接中，教師要有意識地指導(dǎo)

學(xué)生閱讀數(shù)學(xué)課本，通過編擬閱讀提綱，幫助學(xué)生理解和掌握數(shù)學(xué)概念，對某些簡單章節(jié)內(nèi)

容的教學(xué)，可組織閱讀討論，以培養(yǎng)學(xué)生的自學(xué)理解能力以及獨(dú)立鉆研問題的曳好習(xí)慣，引

導(dǎo)學(xué)生主動參與觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測、驗(yàn)證、推理與交流等數(shù)學(xué)活動，使學(xué)生形成有效的學(xué)習(xí)

策略。

新的課程改革，難免會導(dǎo)致很多知識的脫節(jié)和漏洞。本書當(dāng)然也沒有詳盡列舉出來。我

們會不斷的研究新課程及其體系，將不遺余力地找到新的初高中數(shù)學(xué)教材體系中存在的不足,

加以補(bǔ)充和完善。

我們的目標(biāo)是使所有的學(xué)生在努力之后，都能搞到相應(yīng)的果實(shí)，所以我們要不惜時(shí)間與

精力，進(jìn)行初高中數(shù)學(xué)教學(xué)的銜接，讓“銜接教學(xué)”更好地為高一新生鋪設(shè)一條成功的路。

目錄

第一章數(shù)與式

1.1數(shù)與式的運(yùn)算

1.1.1乘法公式............................................................3

1.1.2分式................................................................4

1.2分解因式..........................................................5

第二章二次方程、二次函數(shù)與二次不等式

2.1一元二次方程

2.1.1根的判別式........................................................11

2.1.2根與系數(shù)的關(guān)系.....................................................13

2.2二次函數(shù)

2.2.1二次函數(shù)y=ax?+bx+c的圖像和性質(zhì)...................................19

2.2.2二次函數(shù)的三種表達(dá)方式.............................................25

2.3一元二次不等式的解法................................................28

第三章相似形、三角形

3.1相似形

3.1.1平行線分線段成比例定理...........................................33

3.1.2相似三角形形的性質(zhì)與判定.........................................36

3.2三角形

3.2.1三角形的四心、......................................................40

3.2.2幾種特殊的三角形...............................................43

課后練習(xí)與習(xí)題答案........................................................46

1.1數(shù)與式的運(yùn)算

1.1.1乘法公式

我們在初中已經(jīng)學(xué)習(xí)過了下列一些乘法公式：

(1)平方差公式(a+b)(a-b)=a?-b2；

(2)完全平方公式(。±人)2=。2±2。人+〃。

我們還可以通過證明得到下列一些乘法公式:

(1)立方和公式(a+b)(cr-ab+b2)=+Z?3；

(2)立方差公式(ci-b)(a~+ab+b2)=-by；

(3)三數(shù)和平方公式(〃+/?+c)2=a2+Z72+c2+2(ab+be+ac)；

(4)兩數(shù)和立方公式(a+=a3+301b+3ab?+b3；

(5)兩數(shù)差立方公式(a-b)3=a3—3a2b+3ab2—b3<.

對上面列出的五.個(gè)公式，有興趣的同學(xué)可以自己去證明。

例1計(jì)算：(x+l)(x-l)(x2-X+1)(X2+X+1)o

解法一：原式二(x2-l)[(x2+1)2-X2=(x2-l)(x4+x2+l)=x6-1o

解法二：原式二(X+l)(f-工+1)*-1)*2+工+1)=％3+])(/-])二不6—1。

例2已知a+/?+c=4,a/?+Z;c+ac=4,求4+從十。？的值。

解：a2+b2+c2=(a+b+c)2-2(ab+be+ac)=8。

練習(xí)：

1.填空：(1)-a2--b2=(-b+-a)()：

9423

(2)(4〃？+)2=16/??2+4m+()；

(3)(f/+2/?-c)2=672+4Z?2+c24-()o

2.選擇題：(1)若d+Lnr+Z是一個(gè)完全平方式，則上等于()

2

A、nr—fn2C、—m2D、—tri1

4316

(2)不論。，〃為何實(shí)數(shù)，。2+/一2〃一4h+8的值()

A、總是正數(shù)B、總是負(fù)數(shù)C、可以是零D、可以是正數(shù)也可以是負(fù)數(shù)

1.1.2分式

AA

1.分式的意義：形如A的式子，若4中含有字母,且則稱史為分式。

BB

當(dāng).好。時(shí)，分聯(lián)具有下列基本性質(zhì):AAxMAA-rM

BBxMBB-rM

a

2.繁分式：像上“這樣，分了或分母中又含有分式的分式叫做繁分式。

c+d

八十p

若5x+4_A

例1—,求常數(shù)A3的值。

x(x+2)xx+2

?.A,BA(x+2)+Bx(A+8)x+2A5x+4.A+B=5,A=2

解:?---1--------)?V解得

xx+2x(x+2)x(x+2)+2)2A=4,8=3

111計(jì)算：111

例2（1）試證:（其中〃是正整數(shù)）；（2）-----J--------+H

〃(〃+1)n〃+11x22x3--------9x10

（1）證明：??,」I(〃--+-1-)-一--〃二----1--，??----1---二——1匚（其中〃是正整數(shù)）成立。

nn+1〃（〃+1）+〃（〃+1）nn+\

（2）解：由（1）可知_L+_L++1=*）+（昌++（"W

1x22x39x10

練習(xí):

]1—L)：

1.對任意的正整數(shù)

〃(〃+2)n〃+2

11I1

2.計(jì)算:-----+-------+------

1x32x43x59x11

1.2分解因式

因式分解的主要方法有：提取公因式法、公式法、分組分解法、十字相乘法，另外還應(yīng)

了解求根法及待定系數(shù)法C

1、提取公因式法

例1分解因式：(1)a2(b-5)+a[^-b)(2)d+9+3f+3]

解：(1)〃20_5)+〃(5—〃)二〃2(〃_5)_〃(卜_5)=〃(〃_5)(〃_|)

(2)/+9+3f+3工二(丁+3f)+(3x+9)=x“x+3)+3(x+3)二(工+3)，+3)。

或『+9+3x~+3x—(/+3x~+3x+1)+8—(x+1)'+8—(x+1)3+2，

=[(x4-l)+2][(x4-l)2-(x4-l)x2+22]=(X4-3)*2+3)

練習(xí)：

一、填空題：1、多項(xiàng)式61)，一2Q，2+4工)2中各項(xiàng)的公因式是0

2、m(x-y)十〃(y—x)-(x-y)^。

3、m(x-yJ+心-x)2=(x-y)2?。

4、in(x-y_z)+心+z_x)=(%_y_z)?<>

5、m(x-y-z)-x+y+z=(x-y-z)?°

6、-13出72/一3943〃工5分解因式得o

7.計(jì)算99,+99=

二、判斷題：(正確的打上“錯(cuò)誤的打上"X”)

1、2a2b-4ab2=2ab(a-b)()2、am+bin+tn=m(a+Z?)()

3、-3/+6/_]5入.=—3G+2x—5)()4、x”+/i=/i(x+l)()

2、公式法

例2分解因式：（1）一/+i6(2)國+2)，)2_(1_?

解：(1)-+16=42-(a2)2=(4+a2)(4-r/2)=(4+a2)(2+a)(2-a)

(2)(3x+2y)2-(x-y)2=(3x+2y+為一)’)(3/+2y-x+y)=(4x+y)(2x+3y)

練習(xí)

22223

一、a-2ab+b,a-b,/一/7的公因式是。

二、判斷題：(正確的打上“J”，錯(cuò)誤的打上“X”)

1、-x2-().()[=(-x]-(O.l)2=f-x+0.1Y-x-0.1>|()

9(3J'，(3八3)

2、9a2-Sb2=(3力-(4/7)2=(3a+4b)(3a-4b)()

3、25a2-16/7=(5?+4/?)(5t/-4/?)()

4、-x2-y2=-(x2-y2)=-(x+y)(x-y)()

5、a2-(/?+c)2=(a+b+c)(a-b+c)()

五、把下列各式分解

1、-9(/w一〃I十(〃？+2、3x2--

3

3、4-(丁-4克+214、X4-2X2+1

3、分組分解法

222

例3分解因式：(1)x-xy+3y-3x(2)2x+xy^-y-4x+5>-60

角不：(1)J-xy+3y-3x=(——盯)+(3?-3x)=x(x-y)-3(x-y)=(x-y)e(x-3)

x2-xy+3y-3x=(x2-3x)4-(-?^+3y)=x(x-3)-y(x-3)=(x-3)?(x-y)

(2)2x2+xy—y2-4x+5y—6=2廠+(y—4)x—+5y—6

=2x2+(y-4)x-(y-2)(y-3)=(2x-y+2)(x+y-3)o

或2x2+xy7-y2-4x+5y-6=(2x2+肛一)尸)一(4x-5y)-6=(2x-y)(x+y)-(4x-5y)-6

二(2x—y+2)(x+y—3)0

練習(xí)：

用分組分解法分解多項(xiàng)式

(1)x1-y2+a~-b~+2ax+2by(2)a2-4ab+4b2-6a+\2b+9

4、十字相乘法

例4分解因式：

(1)x2—3x+2；(2)x2+4x—12；(3)x2-(a+b)xy+aby2；(4)碎一l+x-y。

解：(1)如圖1.1-1,將二次項(xiàng)/分解成圖中1勺兩個(gè)x的積，再將常數(shù)項(xiàng)2分解成一1

與一2的乘積，而圖中的對角線上的兩個(gè)數(shù)乘積的和為一3x,就是3x+2中的一次項(xiàng)，所

以，有工2—3x+2=(x—1)(x—2)o

說明：今后在分解與本例類似的二次三項(xiàng)式時(shí)，可以直接將圖1.1-1中的兩個(gè)X用1

來表示(如圖1.1—2所示)。X_]

(2)由圖1.1-3,得1+4工-12=(工一2)(x+6)c1

圖I.1-5

(3)由圖L1—4,得?-(a+b)xy+aby2=(x-ay){x-by)

(4).一1+x-y=:vy+(x—y)—1=(x—1)(片1)(如圖1.1—5所示)。

練習(xí)

一、填空題：1、把下列各式分解因式：

(1)X2+5X-6=o(2)X2-5X+6=,

(3)x2+5x+6=o(4)x2-5^-6=,

(5)x2~(ci+l)x+a=o(6)x2-1lx+18=。

(7)6x2+7x+2=o(8)4，/-12陽+9=<

(9)5+7x-6x2=o(10)12x2+.v)j-6y2=>

2、x2-4x+=(x+3)(x+)

3、若Y+〃工+/?=(/+2)(工一4)則a=,b=?

二、選擇題：(每小題四個(gè)答案中只有一個(gè)是正確的)

1、在多項(xiàng)式(1)X2+7X+6(2)X2+4x+3(3)x2+6x+8(4)x2+7x+10,(5)x2+15x+44

中，有相同因式的是()

A、只有(1)(2)B、只有(3)(4)

C、只有(3)(5)D、(1)和(2)；(3)和(4)；(3)和(5)

2、分解因式/+8"-33〃得()

A、((7+1l)(a-3)B、(〃+13)(々一3〃)C、(a-\\b)(a-3b)D、(〃一1?)(。+3〃)

3、(a+〃y+8(a+/?)-20分解因式得()

A、(々+/?+10)(o+b-2)(a+〃+5)(a+Z?-4)

C、(a+Z?+2)(a+〃—10)D^(a+/?+4)(a+Z?—5)

4、若多項(xiàng)式J-3x+〃可分解為(上一5、%一〃)，貝|J〃、人的值是()

A、a=10,b=2B、a=10,b=—2C、a=-\0,b=—2D、a=—\0,b=2

5、若V+g-10=(x+〃乂x+其中a、〃為整數(shù)，則機(jī)的值為()

A、3或9B、±3C、±9D、±3或±9

三、把下列各式分解因式

16(2p-^)2-11(^-2/7)+32、ay-5a2b+6ab2

3、2y2-4y-64、b4-2b2-S

5、關(guān)于X的二次三項(xiàng)式"2+。工+。(3/0)的因式分解。

若關(guān)于X的方程依2+Z?x+c=0("0)的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是芭、X,,

則二次三項(xiàng)式。/+從+?。工0)就可分解為4(工-%)(X-.12)。

例5把下列關(guān)于x的二次多項(xiàng)式分解因式：⑴X2+2X-1；(2)X2+4x3-4/o

解：(1)令f+2x—1=0,貝ij解得玉=-1+行，4=-1-桓,

?X~+2,X—1二［■￥-(-1+(-1-=(X+I-^2)(%+1+V2)o

(2)令/十4冷，-4y2=0,貝IJ解得X=(-2+20)y,不=(一2—2五)y,

???x2+4沖-4y2=[%+2(1-揚(yáng)川[x+2(1+揚(yáng)川0

練習(xí)1.選擇題：多項(xiàng)式2/-Q，-15y2的一個(gè)因式為()

(A)2x-5y(B)x-3y(C)x+3y(D)x-5y

2.分解因式：

(1)/+6x+8(2)8成一〃

(3)^-2x-l(4)4(x-y+\)+y(y-2x)

習(xí)題1.2

1.分解因式：

(1)/+1=

(2)4X4-13X2+9；

(3)h2+c2+lab+2ac+2bc；

(4)3/+5盯一2y2+工+9P一4。

2.在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)因式分解:

(1)x~—5x+3；(2)x2—2A/2X—3；

(3)3x2+4盯一y2；(4)(X2-2X)2-7(X2-2X)+12O

3.分解因式：x2-\-x—o

2.1一元二次方程

2.1.1根的判別式

情境設(shè)置：可先讓學(xué)生通過具體實(shí)例探索二次方程的根的求法，如求方程的根：

(1)A2+2A—3=0；(2)A2+2A+1=0；(3)/十2八十3=0o}

用配方法可把一元二次方程。/+以+。=0(a￥0)變?yōu)?x+2)2=〃一41(?①

2a4cr

丁@#0,/.4a>0o于是

(1)當(dāng)毋一4ac>0時(shí)，方程①的右端是一個(gè)正數(shù)，因此，原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)

根出乩王；(2)當(dāng)力2—4四=0時(shí)，方程①的右端為零，因此，原方程有兩個(gè)等

，2a

的實(shí)數(shù)根/=抬=-2;(3)當(dāng)斤一4四<0時(shí)，方程①的右端是一個(gè)負(fù)數(shù)，而方程①的左

2a

邊1+2)2一定大于或等于零，因此，原方程沒有實(shí)數(shù)根。

2a

由此可知，一元二次方程。/+力x+c=o(aw。)的根的情況可以由N—4初來判定，

我們把療一4ac叫做一元二次方程。/+/+。=0我W0)的根的判別式,通常用符號“△”

來表示。

綜上所述，對于一元二次方程+〃工+c=o?#0),有

(1)當(dāng)△>()時(shí)，方程有兩個(gè)不相。/+1+。=0等的實(shí)數(shù)根x=上業(yè)—±!￡；

,2a

(2)當(dāng)△=()時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，占=心=-2；

2a

(3)當(dāng)AV0時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根。

例1判定下列關(guān)于火的方程的根的情況(其中a為常數(shù))，如果方程有實(shí)數(shù)根，寫出方

程的實(shí)數(shù)根。

(1)X2-3X4-3=0；(2)x2-ax-l=0；

(3)x2—QX+(。-1)=0；(4)x2—2x+w=0。

解：⑴???A=32-4X1X3=-3VO,???方程沒有實(shí)數(shù)根。

(2)該方程的根的判別式△=/—4X1X(—1)=才+4>0,所以方程一定有兩個(gè)不等

ci+\lcr+4a-y/a2+4

的實(shí)數(shù)根斗=,x?=

22

(3)由于該方程的根的判別式為△=/-4乂1><仁一1)=才-43+4=仁一2)2,

所以，①當(dāng)a=2時(shí)，△=(),所以方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根小=尼=1;

②當(dāng)aW2時(shí)，A>0,所以方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根％=1,尼=》一1。

(4)由于該方程的根的判別式為A=22—4XlXa=4—4a=4(l—a),所以

①當(dāng)△>(),即4(1-a)>0,即JVI時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根毛+

②當(dāng)A=0.即a=1時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根跖=%=1：

③當(dāng)△<(),即a>l時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根。

說明：

在第3,4小題中，方程的根的判別式的符號隨著a的取值的變化而變化，于是，在解題

過程中，需要對。的取值情況進(jìn)行討論，這一方法叫做分類討論。

分類討論這一思想方法是高中數(shù)學(xué)中一個(gè)非常重要的方法，在今后的解題中會經(jīng)常地運(yùn)

用這一方法來解決問題。

2.1.2根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）

若一元二次方程〃/一力支+。=0（d#0）有兩個(gè)實(shí)數(shù)根X"=

則有內(nèi)十勺二

-b+\lb2-4ac-b-y/b2-4acb2-(Z?2-4ac)4acc

所以，一元二次方程的根與系數(shù)之間存在下列關(guān)系：

如果+人工+。=0（日#0）的兩根分別是2，4，那么為+羽=一2,%1.x2=—O這

a~a

一關(guān)系也被稱為韋達(dá)定理c

特別地，對于二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程產(chǎn)+0上+q=0,若與，￡是其兩根，由韋

達(dá)定理可知，X1+x2=—pt'X2=Qf即夕=一（匹+w），

所以，方程/+夕X+q=0可化為1―（3+X2）X+演.工2=0,由于修，工2是一元二次方

程1+FY+Q=0的兩根，所以，乂，/2也是一元二次方程—一（陽+七）X+2?了?=0。因此有

以兩個(gè)數(shù)X1,為根的一元二次方程（二次項(xiàng)系數(shù)為1）是V—（內(nèi)+工2）工+用工2=°。

所以，方程的另一個(gè)根為一女的值為一7。

例2已知方程5/+h-6=0的一個(gè)根是2,求它的另一個(gè)根及衣的值。

分析：由于己知了方程的一個(gè)根，可以直接將這一根代入，求出左的值，再由方程解出

另一個(gè)根。但由于我們學(xué)習(xí)了韋達(dá)定理，又可以利用韋達(dá)定理來解題，即由于已知了方程的

一個(gè)根及方程的二次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)，于是可以利用兩根之積求出方程的另一個(gè)根，再由兩

根之和求出4的值。

解法一：???2是方程的一個(gè)根，???5X22+4X2-6=0,???4=-7。

所以，方程就為5/—7x—6=0,解得七=2,x2=--a

解法二：設(shè)方程的另一個(gè)根為吃，則2與=一9，???馬=一之。

55

由（一之）+2=—￡得k=-7°所以，方程的另一個(gè)根為一？，衣的值為一7。

555

例3已知關(guān)于x的方程丁+2（加一2）、+/+4=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，并且這兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平

方和比兩個(gè)根的積大21,求朋的值。

分析：本題可以利用韋達(dá)定理，由實(shí)數(shù)根的平方和比兩個(gè)根的積大21得到關(guān)于/〃的方

程，從而解得/〃的值。但在解題中需要特別注意的是，由于所給的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，因此,

其根的判別式應(yīng)大于零。

解：設(shè)%,當(dāng)是方程的兩根，由韋達(dá)定理，得%+%=—2(〃?-2),為?九2="+4。

222

VX1+x2—x1-x2=21,(xt+x2)-3再,與=21,

即［―2(-2)了一3(/+4)=21,化簡，得病一16/〃-17=0,解得/〃=—1,或〃/=17。

當(dāng)/〃=—1時(shí)，方程為/+6工+5=0,A>0,滿足題意；

當(dāng)/〃=17時(shí)，方程為1+30工+293=0,A=302-4X1X293<0,不合題意，舍去。

綜上，勿=17。

說明：(1)在本題的解題過程中，也可以先研究滿足方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根所對■應(yīng)的/〃的范

圍，然后再由“兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和比兩個(gè)根的積大21”求出力的值，取滿足條件的勿的值

即可。

(2)在今后的解題過程中，如果僅僅由韋達(dá)定理解題時(shí)，還要考慮到根的判別式A是

否大于或大于零。因?yàn)椋f達(dá)定理成立的前提是一元二次方程有實(shí)數(shù)根。

例4已知兩個(gè)數(shù)的和為4,積為一12,求這兩個(gè)數(shù)。

分析：我們可以設(shè)出這兩個(gè)數(shù)分別為x,H利用二元方程求解出這兩個(gè)數(shù)。也可以利

用韋達(dá)定理轉(zhuǎn)化出一元二次方程來求解。

解法一：設(shè)這兩個(gè)數(shù)分別是x,y,則F十k4⑴解得：???47，，

xy=-12(2)［y=6,

r=6

?2一’因此，這兩個(gè)數(shù)是一2和6。

%=-2.

解法二：由韋達(dá)定理可知，這兩個(gè)數(shù)是方程f—4x—12=0的兩個(gè)根。

解這個(gè)方程，得匹=-2,々=6。所以，這兩個(gè)數(shù)是一2和6。

說明：從上面兩種解法我們不難發(fā)現(xiàn)，解法二(直接利用韋達(dá)定理來解題)要比解法一簡捷。

例5若X］和工2分別是一元二次方程2/+5.V—3=0的兩根。

⑴求七一廠|的值；⑵求」r的值；⑶龍J+xJ。

不看

57

解：;西和0分別是一元二次方程2/+5x—3=0的兩根，???%+工2=-彳，-二。

22

(1),?,|2=x『+x~—2X]x2=(X]+X2)—4x)x2=(--)-4x(--)=—4-6=—,

竺+3

_4_37

29T

4

322J

(3)Xj+=(x,+x22)(-T,-x2+X2)=(^1+x2)[(Xj+Xj)-3Xj-x2]

=(一』)X[(_』)2_3X(_2)]=一變。

2228

說明：一元二次方程的兩根之差的絕對值是一個(gè)重要的量，今后我們經(jīng)常會遇到求這一

個(gè)量的問題，為了解題簡便，我們可以探討出其一般規(guī)律：

設(shè)乂和房分別是一元二次方程。/+〃+。=0(aWO),

則—+而F,x、=-b-\Jb2-4ac

2a

-b+y/h1-4ac-h-\Jb2-4ac2db2-4ac_yjb2-4ac_&

2a2a\a\\a\

于是有下面的結(jié)論：

若占和占分別是一元二次方程*+6%+c=O(aWO),則|x~x1=(其中A=/r-4ac)o

t2\a\

今后，在求一元二次方程的兩根之差的絕對值時(shí)，可以直接利用上面的結(jié)論。

例6若關(guān)于x的一元二次方程--x+a—4=0的一根大于零、另一根小于零，求實(shí)數(shù)

a的取值范圍。

解：設(shè)后，Z是方程的兩根，則%?%=8—4V0,且△=(―1)'—4(<a—4)>0。

17

由①得dV4,由②得彳。的取值范圍是aV4。

練習(xí)

L選擇題：

(1)方程h+3^=0的根的情況是()

(A)有一個(gè)實(shí)數(shù)根(B)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根(C)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根(D)沒有實(shí)數(shù)根

(2)若關(guān)于x的方程(2〃7+l)x+〃?=O有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)〃z的取值

范圍是()

(A)m<—(B)m>——(C)m<—,且mWO(D)ni>——,且mW()

4444

2.填空：

(1)若方程/-3]—1=0的兩根分別是乂和的，則'+'=?

石x?

(2)方程加+x—2〃=0(腎0)的根的情況是。

(3)以一3和1為根的一元二次方程是o

3.若+8a+i6+|〃-11=0,當(dāng)左取何值時(shí)，方程+6=0有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根?

4.已知方程X?—3x—1=0的兩根為K和￡，求(X1-3)(%―3)的值。

習(xí)題2.1

A組

1.選擇題：(1)已知關(guān)于工的方程/+攵1-2=0的一個(gè)根是1,則它的另一個(gè)根是()

(A)-3(B)3(C)-2(D)2

(2)下列四個(gè)說法：其中正確說法的個(gè)數(shù)是()個(gè)(A)1(B)2(C)3(D)4

①方程/+2丫-7=0的兩根之和為一2,兩根之積為一7；

②方程/-2刀+7=0的兩根之和為一2,兩根之積為7；

③方程3—-7=0的兩根之和為0,兩根之積為一工；

3

④方程3/+2才=0的兩根之和為一2,兩根之積為0。

(3)關(guān)于x的一元二次方程a——5x+，+a=0的一個(gè)根是0,則a的值是()

(A)0(B)1(C)-1(D)0,或一1

2.填空：(1)方程〃/+4)—i=o的兩根之和為一2,貝I」A=o

(2)方程—x—4=0的兩根為a,B,則ayB三o

(3)己知關(guān)于x的方程一一電一3a=0的一個(gè)根是一2,則它的另一個(gè)根是o

(4)方程2/+2x—1=0的兩根為由和如貝/用一尼|=o

3.試判定當(dāng)m取何值時(shí)，關(guān)于x的一元二次方程〃/—一(2加+1)x+1=0有兩個(gè)不相

等的實(shí)數(shù)根？有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根？沒有實(shí)數(shù)根？

4.求一個(gè)一元二次方程，使它的兩根分別是方程/-7]—1=0各根的相反數(shù)。

B組

1.選擇題:若關(guān)于x的方程/+(〃-1)x+〃+l=0的兩根互為相反數(shù)，則4的值為()

(A)1,或一1(B)1(C)-1(D)0

2.填空：(1)若勿，〃是方程/+2005x—1=0的兩實(shí)數(shù)根，則/2〃+加〃2—質(zhì)的值等于_o

(2)若a,b是方程V+x—1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式3+的值

是。

3.已知關(guān)于x的方程/一而一2=0。(1)求證：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)設(shè)方

程的兩根為由和物如果2(小+尼)>乂處求實(shí)數(shù)A的取值范圍。

4.一元二次方程d/+bx+c=o(awo)的兩根為由和而。求：(1)I崗_及1和芯+工；

2

(2)/+及)

5.關(guān)于x的方程/+4x+〃/=0的兩根為用，及滿足|*—及|=2,求實(shí)數(shù)勿的值。

C組

1.選擇題：

(1)已知一個(gè)直角三角形的兩條直角邊長恰好是方程2——8x+7=0的兩根，則這個(gè)直

角三角形的斜邊長等于()(A)&(B)3(C)6(D)9

(2)若乂，也是方程2——4葉1=0的兩個(gè)根，則土+上的值為()

/王

3

(A)6(B)4(C)3(D)-

2

(3)如果關(guān)于x的方程2(1+m)>+k=0有兩實(shí)數(shù)根a,B,則a+B的取值范圍

為()(A)a+B”(B)a+BW，(C)a+3^1(D)a+B

22

（4）已知％力,右是△/力。的三邊長，那么方程（a+b）—0的根的情況是（）

（A）沒有實(shí)數(shù)根（B）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

（C）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根（D）有兩個(gè)異號實(shí)數(shù)根

2.填空：若方程/—8x+/〃=0的兩根為小，/2,且3小+2而=18,則勿=。

3.已知乂，及是關(guān)于，的一元二次方程4々/一4攵才+4+1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根。（1）是否存

在實(shí)數(shù)力，使（2乂一及）（為一2尼）=一上成立？若存在，求出左的值；若不存在，說明理由；

（2）求使土*工-2的值為整數(shù)的實(shí)數(shù)a的整數(shù)值；（3）若〃=-2,丸=土，試求丸的

4.已知關(guān)于x的方程（〃L2）X-工=0。（1）求證：無論勿取什么實(shí)數(shù)時(shí)，這個(gè)方

程總有兩個(gè)相異實(shí)數(shù)根；（2）若這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根"X滿足|蒞|=|*|+2,求/〃的值

及相應(yīng)的%i,尼。

5.若關(guān)于x的方程/+x+a=0的根一個(gè)大于1、另一根小于1,求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

2.2二次函數(shù)

2.2.1二次函數(shù)尸wf+bx+c的圖象和性質(zhì)

情境設(shè)置:可先讓學(xué)生通過具體實(shí)例探索二次函數(shù)的圖象，如作圖(l)y=f(2)),二一工2

(3))，=/+21_3教師可采用計(jì)算機(jī)繪圖軟件輔助教學(xué)｝

問題1函數(shù)y=a/與y=/的圖象之間存在怎樣的關(guān)系？

為了研究這一問題，我們可以先畫出尸2/,y=-x2,y=-2/的圖象，通過這些函

2

數(shù)圖象與函數(shù)尸/的圖象之間的關(guān)系，推導(dǎo)出函數(shù)/=己/與y=/的圖象之間所存在的關(guān)

系。

先畫出函數(shù)夕=2/的圖象。

先列表：

X???-3-2-10123

X2???9410149

2x2???188202818

從表中不難看出，要得到2y的值，只要把相應(yīng)的/的值擴(kuò)大到兩倍就可以了。

再描點(diǎn)、連線，就分別得到了函數(shù)y=F,y=2/的圖象(如圖2—1所示)，從圖2—1

我們可以得到這兩個(gè)函數(shù)圖象之間的關(guān)系：函數(shù)y=21的圖象可以由函數(shù)尸產(chǎn)的圖象各點(diǎn)

的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼膬杀兜玫健?/p>

同學(xué)們也可以用類似于上面的方法畫出函數(shù)尸y=-2/的圖象，并研究這兩個(gè)

2

函數(shù)圖象與函數(shù)y=/的圖象之間的關(guān)系。

通過上面的研究，我們可以得到以下結(jié)論：

二次函數(shù)/=a戈2(a00)的圖象可以由的圖象各點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腶倍得到。

在二次函數(shù)尸a/(aWO)中，二次項(xiàng)系數(shù)d決定了圖象的開口方向和在同一個(gè)坐標(biāo)系中的

開口的大小。

問題2函數(shù)與y=a/的圖象之間存在怎樣的關(guān)系？

同樣地，我們可以利月兒個(gè)特殊的函數(shù)圖象之間的關(guān)系來研究它們之間的關(guān)系。同學(xué)們

可以作出函數(shù)尸2(*+1)2+1與y=2/的圖象(如圖2-2所示)，從函數(shù)的圖象我們不難

發(fā)現(xiàn)，只要把函數(shù)y=2/的圖象向左平移一個(gè)單位，再向上平移一個(gè)單位，就可以得到函數(shù)

y=2(x+l)2+l的圖象。這兩個(gè)函數(shù)圖象之間具有“形狀相同，位置不同”的特點(diǎn)。

類似地，還可以通過畫函數(shù)y=-3/,夕=—3金一1y+1的圖象，研究它們圖象之間的

相互關(guān)系。

通過上面的研究，我們可以得到以下結(jié)論：

一次函數(shù)尸方(*+/7)2+"(用*0)中，與決定了一次函數(shù)圖象的開口大小及方向：〃決定了

二次函數(shù)圖象的左右平移，而且“方正左移，方負(fù)右移”；力決定了二次函數(shù)圖象的上下平移,

而且'”正上移，女負(fù)下移”。

由上面的結(jié)論，我們可以得到研究二次函數(shù)y=a/+bx+c(d#o)的圖象的方法：

由于y=a/+〃十+。=/+2工)+。=)+(?——

aa4〃4。

,b、>護(hù)-4ac

=a(x+—)+-----，

2a4。

所以，y=a.E2+-+c(aW0)的圖象可以看作是將函數(shù)的圖象作左右平移、上下

平移得到的，于是，二次函數(shù)尸a/+"+cgwo)具有下列性質(zhì)：

(1)當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)尸ad+6x+c圖象開口向上；頂點(diǎn)坐標(biāo)為(_2,絲￡二匕)，對

2a4a

稱軸為直線x=—2；當(dāng)xV-2時(shí)，y隨著x的增大而減小；當(dāng)時(shí)，y隨著x的增

2a2a2a

大而增大；當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最小值曠=牝"”。

2a4。

（2）當(dāng)HVO時(shí)，函數(shù)『=8/+公+。圖象開口向下；頂點(diǎn)坐標(biāo)為（——,

2a4a

對稱軸為直線才=一2；當(dāng)xV-2時(shí)，y隨著x的增大而增大；當(dāng)x>-2時(shí)，y隨著x

2a2a2a

h一/）一

的增大而減小；當(dāng)*=-'時(shí)，函數(shù)取最大值尸^-----O

2a44

上述二次函數(shù)的性質(zhì)可以分別通過圖2.2—3和圖2.2—4直觀地表示出來。因此，在

今后解決二次函數(shù)問題時(shí)，可以借助于函數(shù)圖像、利用數(shù)形結(jié)合的思想方法來解決問題。

例1求二次函數(shù)y=-3x2-6^+1圖象的開口方向、對稱軸、

頂點(diǎn)坐標(biāo)、最大值（或最小值），并指出當(dāng)*取何值時(shí)，y隨x的增大而增大（或減小）？并

畫出該函數(shù)的圖象。

解：*?y——3x2—6x+l=—3（入+1尸+4,

???函數(shù)圖象的開口向下；對稱軸是直線>=一1；頂點(diǎn)坐標(biāo)為（一1,4）；

當(dāng)x=-1時(shí)，函數(shù)y取最大值y=4；

當(dāng)xV—l時(shí)，y隨著x的增大而增大；當(dāng)x>一1時(shí)，y隨著x的增大而減小；

采用描點(diǎn)法畫圖，選頂點(diǎn)月（一1,4））,與才軸交丁點(diǎn)伙當(dāng)二2,o）和6V當(dāng)上2,（））,

與y軸的交點(diǎn)為〃（0，1）,過這五點(diǎn)畫出圖象（如圖2—5所示）。

說明：從這個(gè)例題可以看出，根據(jù)配方后得到的性質(zhì)畫函數(shù)的圖象，可以直接選出關(guān)鍵

點(diǎn)，減少了選點(diǎn)的盲目性，使畫圖更簡便、圖象更精確。

函數(shù)y=a/+"+。圖象作圖要領(lǐng)：

①確定開口方向：由二次項(xiàng)系數(shù)a決定。

b

②確定對稱軸：對稱軸方程為x=