向量在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用目錄17885摘要 摘要:本文簡單討論利用向量的方法解決中學(xué)數(shù)學(xué)中的一些問題.在向量基本理論的基礎(chǔ)上,首先研究了利用向量證明等式、不等式以及在三角函數(shù)等代數(shù)問題中的應(yīng)用;其次,通過向量解決定比分點、二次曲線、軌跡方程等平面解析幾何中的相關(guān)問題;最后,探討了向量在求夾角、距離、證明線段的垂直等立體幾何問題中的具體應(yīng)用.通過例題展示了向量作為數(shù)學(xué)工具解決高中數(shù)學(xué)問題的便利性.關(guān)鍵詞:向量;定比分點;軌跡方程;二次曲線引言向量最初應(yīng)用于物理學(xué)．如力、速度、位移以及電場強度、磁感應(yīng)強度等都是向量.18世紀末期,挪威科學(xué)家威塞爾首先利用坐標平面上的點表示復(fù)數(shù),并用有幾何意義的復(fù)數(shù)運算定義向量的運算．把坐標平面上的點用向量表示出來,并把向量的幾何表示用于研究幾何問題與三角問題．通過引進了數(shù)量積和向量積,并把向量代數(shù)推廣到變向量的向量微積分中．從此,向量的方法被引進到分析和解析幾何中來,并逐步完善,成為了一套優(yōu)良的數(shù)學(xué)工具.中學(xué)數(shù)學(xué)中引入向量后,很多幾何問題都可以使用代數(shù)的方法去解決,拓展了中學(xué)數(shù)學(xué)的思維空間.同時,向量相關(guān)的定義,性質(zhì)和判定方法也是繼續(xù)學(xué)習(xí)其它專業(yè)課程的基礎(chǔ).因此對向量相關(guān)性的判定及其應(yīng)用的研究是必不可少的.已有很多文獻對向量的一些性質(zhì)和應(yīng)用進行了研究,其中文獻[1]和文獻[2]總結(jié)了一些常用方法,文獻[5]主要介紹了夾角可以由向量的線性運算及數(shù)量積表示出來的方法,但此方法只適用于向量組都存在高階導(dǎo)數(shù)的情況下,具有一定的局限性;文獻[8]研究了復(fù)向量組的線性相關(guān)性在復(fù)參數(shù)辨識中的應(yīng)用,證明了復(fù)參數(shù)收斂到最值的充分條件,向量在復(fù)數(shù)問題中的應(yīng)用.本文簡單討論利用向量的方法解決中學(xué)數(shù)學(xué)中的一些問題.在向量基本理論的基礎(chǔ)上,討論了向量相關(guān)的證明等式、不等式以及在三角函數(shù)等代數(shù)問題中的應(yīng)用;其次,通過向量求定比分點的坐標、求二次曲線、軌跡方程等平面解析幾何中的相關(guān)問題;最后,利用向量求夾角、距離、證明線段的垂直等立體幾何問題中的具體應(yīng)用.通過例題展示了向量作為數(shù)學(xué)工具解決高中數(shù)學(xué)問題的便利性.1.基本理論定義1[8]在三維向量空間中,兩個向量a和b的模和它們夾角的余弦的乘積叫做向量a和b的數(shù)量積（也稱內(nèi)積）,記作a·b或aba·b=abcos∠(a定義2[11]對于有向線段P1P2P1≠P2,若滿足P1P定理1[5]兩向量a和b相互垂直的充要條件是a·b=0.定理2[5]設(shè)a=a·b推論1[10]在三維向空間,量aX1,X推論2[9]設(shè)Pi(xi,yi,zi)(i=1,2),那么線段P1P2的中點坐標是2.向量在代數(shù)中的應(yīng)用2.1利用向量證明等式和不等式向量與不等式結(jié)合,緣于向量的性質(zhì),等．在這類問題中,向量一般是作為解決問題的工具出現(xiàn)的．針對不同的問題,根據(jù)條件可以通過構(gòu)造向量的方法,根據(jù)向量的性質(zhì)進而去解決問題,顯示了向量在證明不等式中的簡便性．例1設(shè)．求證：．證明若,結(jié)論顯然成立．若,,不全為0,構(gòu)造向量,．則．由已知條件得1,所以或,即．例2已知、、∈,且,求證．證明構(gòu)造向量,．由向量不等式,得≤．所以．例3已知、、∈,且,求證:．證明構(gòu)造向量,．由向量不等式,得,又因為,所以6,即．例4已知二次函數(shù)對任意,都有成立．設(shè)向量,,,,當時,求不等式>的解集．解設(shè)的二次項系數(shù)為,則其圖像上有點,．因為,,得．由的任意性得的關(guān)于對稱．若,則時,是增函數(shù)；若,則時,是減函數(shù)．又因為,當時,>,解得化簡得,,又因為,所以．當時,同理可得或,綜上所述,不等式>的解集是：當時,為；當時,為．2.2利用向量求解三角函數(shù)的最值問題近年來,平面向量與三角函數(shù)的創(chuàng)新交匯是當今中學(xué)數(shù)學(xué)命題的焦點．對于此類問題,類型分析如下：例5設(shè)函數(shù),其中,,且的圖像經(jīng)過點．（1）求實數(shù)的值；（2）求函數(shù)的最小值及此時取值的集合．解（1）根據(jù)題意,得,由已知2,解得1．（2）由（1）得,所以當時,取得最小值,取值為,由,得此取值的集合為．例6已知的面積為3,且滿足06,設(shè)和的夾角為．（1）求的取值范圍；（2）求函數(shù)的最大值和最小值．解（1）設(shè)中的角、、的對邊分別為、、,由3,06,可得01,即．（2）化簡得,又因為,可得23,即當時,3；時,2．例7已知向量,,且．（1）求及； （2）求函數(shù)的最小值．簡析（1）=,．（2）由題意得2,因為,得．即當時,．例8設(shè)函數(shù),其中向量,,,．（1）求函數(shù)的最大值和最小正周期；（2）將函數(shù)的圖像按向量平移,使平移后得到的圖像關(guān)于坐標原點成中心對稱,求長度最小的．簡析（1）由題意得,故的最大值為,最小正周期是．（2）由=0,得于是,．因為為整數(shù),要使最小,則只有1,此時即為所求．3.向量在平面解析幾何問題中的應(yīng)用解析幾何是研究方程與曲線的一門學(xué)科,是用代數(shù)的方法研究曲線的性質(zhì),而向量與解析幾何都是代數(shù)形式和幾何形式的統(tǒng)一體,在解決解析幾何問題時,平面向量的出現(xiàn)不僅可以很明確地反映幾何特征,而且又方便計算,把解析幾何與平面向量綜合在一起命制考題,可以有效地考查考生的數(shù)形結(jié)合思想,解析幾何的基本思想以及數(shù)學(xué)聯(lián)結(jié)能力等數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)能力．ACBe1e2P3.1ACBeeP圖3-1例題9是平面上的一定點,,,,為不共線三點．動點滿足,．則點的軌跡一定通過的（）圖3-1（A）外心（B）內(nèi)心（C）重心（D）垂心解解決這個問題時,首先我們也要知道是什么？一個非零向量除以它的模就是單位向量．設(shè)與方向上的單位向量分別為和,又,則原式可化為．那么在中,很容易知道平分,則知選B．例10已知,,且AC=13AB,AD解設(shè),,因為AC=13AB所以根據(jù)定比分點的向量公式有,同理由得,所以根據(jù)定比分點的向量公式有,即所以點C的坐標為,D點的坐標為.3.2利用向量解決二次曲線的相關(guān)問題在二次曲線中,對于一些證明弦的平行、共線等相關(guān)的問題,使用向量來證明,要比使用斜率或者是定比分點公式進行階梯要思路清晰,過程簡單．例11設(shè)為常數(shù),過的直線與拋物線交于不同點、,圓（為圓心）的直徑．試證明拋物線頂點為圓周上的點,并求圓的面積最小時直線的方程．解由已知條件可知,直線的斜率不可能為,故可設(shè)直線方程為．又設(shè),,則其坐標滿足消去得圖3-2圖3-2由此得所以,．因此,即,故必在圓的圓周上．又由題意,圓心是的中點,故.由前已證,應(yīng)是圓的半徑,且．從而當時,圓的半徑最小,使圓的面積最?。藭r,的方程為．分析要使結(jié)論成立,須證,因此可使用向量的數(shù)量積證明．例12已知原點為橢圓的中心,點在軸上,斜率為且過橢圓右焦點的直線交橢圓于、兩點,與共線．（1）求橢圓的離心率；（2）設(shè)橢圓上為任一點,且,證明為定值．解（1）設(shè)橢圓方程為,．則的方程為．代入,化簡得．令（）,）,則,．由,,與共線,可得．又因為,,所以,化簡得．即,所以,,故離心率為．由（1）知,則橢圓可化為．設(shè),由已知得,所以．因為在橢圓上,所以,即．（1）由（1）知,,,得又,．代入①得．故為定值,定值為．3.3利用向量求動點的軌跡方程OABPF針對軌跡方程的問題,使用向量的相關(guān)知識OABPF例13如圖,設(shè)為曲線線的焦點,在直線上運動,過作曲線線的切線、,且與分別相切于兩點、．（1）求重心的軌跡方程．圖3-3（2圖3-3解（1）設(shè)切點、的坐標分別為和,則切線的方程為,切線的方程為．解得點的坐標為,．所以的重心的坐標為,．所以．由與在上運動,從而可得滿足的方程為,即．（2）因為．由于點在拋物線外,則．所以,同理有,即得證．分析本題是運用向量的數(shù)量積公式將兩向量的張角余弦值分別求出來再作論證．通過數(shù)量積的預(yù)算性質(zhì),可以將有關(guān)角度的幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程,進而求解相關(guān)問題．例14在中,為原點,已知,,若,其中,且,則點的軌跡方程為（）．（A）（B）（C）（D）解法一設(shè),則．所以,又,所以消去參數(shù),得點的軌跡方程為．法二根據(jù)向量的運算,使用坐標系下定比分點的坐標公式,有條件可知三點,,共線,故點的軌跡方程即為直線的方程,故本題應(yīng)選D．例15設(shè)點和為拋物線上不同于原點的兩動點,且,求點的軌跡方程,并說明它表示什么曲線．圖3-4解設(shè),,,其中,且．所以圖3-4,,,．因為,所以,由,可知（2）因為,所以,由,可知（3）又因為、、三點共線,所以平行于,而,,由向量共線的充要條件,可知,化簡,得（4）聯(lián)立（2）、（3）、（4）可得,,即為所求的軌跡方程．4.向量在立體幾何問題中的應(yīng)用在立體幾何中,往往出現(xiàn)一些求解空間中的角度,求線段的距離,判定一些圖形之間的關(guān)系等問題,是不少立體幾何題的主要特征．使用向量這一工具,可以使得立體幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程的求解問題,思路清晰且較少添加輔助線,更易于接受．4.1利用向量求線段的夾角在立體幾何中,要求兩異面直線的夾角,可以通過兩向量的夾角yzNByzNBCC11B11AA11Mx例16如圖,直三棱柱的底面三角形中,,,棱,、分別是、的中點．圖4-1求圖4-1（2）求的值．解建立如圖坐標系,根據(jù)條件可知,,則．（2）由,,,解得,,且,所以．4.2利用向量證明垂直問題設(shè)非零向量,．則當時,．運用該性質(zhì),可以將證明直線與直線之間、直線與平面之間的垂直問題轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積進行解決．例17如圖,棱長為正方體,是的中點,是的中點．（1）求證：；圖4-2（2）求證：是異面直線與的公垂線．圖4-2證明以為原點,、、所在的直線分別為、、軸,建立坐標系如圖．則,,,,,．（1）由,,解得,即．（2）由,,,解得,,所以,,即是異面直線與的公垂線4.3利用向量證明兩平面平行向量a與b≠共線的充要條件是存在實數(shù),使a=λb．如果平面外直線的方向向量與平面內(nèi)一直線的方向向量平行,則線面平行；如果兩平面α與β的法向量平行,則α平行于βFEMzyADCBA11B11C11D11xN例18如圖FEMzyADCBA11B11C11D11xN（1）求證：、、、四點共面；（2）求證：平面∥平面．圖4-3證明取為原點,、、所在的直線分別為、、軸,建立坐標系如圖．設(shè)正方體棱長為,則圖4-3,,,,．（1）由,,解得,即、、、四點共面．（2）因為,,,設(shè)是平面的一個法向量,則將,代入可得可取是平面的一個法向量．易驗證,,所以,．即也是平面的一個法向量,所以平面∥平面．4.4利用向量求點到平面的距離zyADCBA1B1C11zyADCBA1B1C11D1FEx例19已知正四棱柱,,,點為的中點,點為的中點,求點到面的距離．解建立如圖所示直角坐標系．設(shè)平面的方程是,把圖4-4,,圖4-4代入,得,,所以平面的方程為．故點到面的距離為．結(jié)束語本文主要通過向量的方法對中學(xué)數(shù)學(xué)中的問題進行研究,在向量相關(guān)基本理論的基礎(chǔ)上,歸納總結(jié)了一些解決問題的方法.首先研究了利用向量證明等式、不等式以及在三角函數(shù)等代數(shù)問題中的應(yīng)用;其次,通過向量的坐標表示解決定比分點、二次曲線、軌跡方程等平面解析幾何中的相關(guān)問題;最后,探討了向量在立體幾何問題中的具體應(yīng)用,其中包括通過向量求線段的距離,判定一些圖形之間的關(guān)系等問題．使用向量這一工具,可以使得立體幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程的求解問題,思路清晰且較少添加輔助線,更易于接受．通過例題展示了向量作為數(shù)學(xué)工具解決高中數(shù)學(xué)問題的便利性.參考文獻[1]焦學(xué)勇.法向量在高中立體幾何教學(xué)中的應(yīng)用研究[J].課程教育研究.2018,9-14．[2]馬輝.向量在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用[J]．科技風(fēng),2016,9-15．[3]黃歡.向量概念理解評價的研究[J].3版.揚州大學(xué),2020,6-30.[4]張秦勤.第三屆世紀之星創(chuàng)新教育論壇論文集[J].北京中外軟信息技術(shù)研究院.北京,2016-01.[5]王后雄.高考標準教材[M].武漢：湖北教育出版社,2013,4-5．[6]孔靜.小議向量在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用[J].基礎(chǔ)教育論壇,2015,8-10.[7]曾莉鈞.平面向量迷思概念的調(diào)查研究[J].桂林:廣西師范大學(xué)