學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精皰工巧解牛知識?巧學一、向量的數乘1。向量的數乘一般地，我們規定實數λ與向量a的積是一個向量，這種運算叫做向量的數乘，記作λa。它的長度與方向規定如下：(1)|λa|=｜λ｜｜a｜;（2）當λ＞0時，λa的方向與a的方向相同;當λ＜0時，λa的方向與a的方向相反;當λ=0時，λa=0。實數與向量的積的定義可以看作是數與數的積的概念的推廣，λa是一個向量，其長度｜λa｜=|λ||a|，其方向與λ的符號有關,應注意0a=02.向量的數乘的幾何意義由實數與向量積的定義可以看出，它的幾何意義就是將表示向量a的有向線段伸長或壓縮.當｜λ|＞1時，表示向量a的有向線段在原方向（λ＞0)或反方向（λ＜0）上伸長了｜λ|倍;當｜λ｜＜1時，表示向量a的有向線段在原方向（λ＞0)或反方向(λ＜0）上縮短了|λ｜倍。圖2-2-343。向量數乘的運算律設λ、μ為實數，那么(1)λ（μa)=（λμ)a；（2)(λ+μ）a=λa+μa;（3）λ(a+b)=λa+λb.學法一得實數與向量的積的運算律與中學代數運算中實數乘法的運算律很相似.證明這些運算律成立的關鍵是證明等式兩邊的向量的模相等，且方向相同。證明：（1)如果λ=0，μ=0，a=0中至少有一個成立，則（1）式顯然成立。如果λ≠0,μ≠0，且a≠0,有｜λ(μa)｜=｜λ｜|μa|=｜λ|｜μ｜|a|，|（λμ)a|=|λμ||a|=｜λ｜|μ||a｜.∴|λ(μa)|=｜(λμ)a｜.(2)如果λ=0，μ=0，a=0中至少有一個成立,則（2)式顯然成立。如果λ≠0,μ≠0且a≠0，可分如下兩種情況:當λ、μ同號時,則λa和μa同向,所以|（λ+μ）a|=｜λ+μ｜｜a|=(|λ|+|μ|）|a｜,｜λa+μa｜=｜λa｜+｜μa|=｜λ|｜a|+｜μ｜|a｜=（|λ|+｜μ｜）|a｜，即有｜（λ+μ）a|=|λa+μa｜.(3)當a=0，b=0中至少有一個成立，或λ=0，λ=1時,(3）式顯然成立.當a≠0，b≠0且λ≠0，λ≠1時，分如下兩種情況：當λ＞0且λ≠1時，在平面內任取一點O，作=a，=b,=λa，=λb，如圖2—2—35所示，則=a+b，=λa+λb.圖2—2—35由作法知∥，有∠OAB=∠OA1B1,|｜=λ||,∴=λ.∴△OAB∽△OA1B1.∴=λ,∠AOB=∠A1OB1.因此，O、B、B1在同一條直線上，|｜=|λ|，與λ的方向也相同.∴λ(a+b)=λa+λb。當λ＜0時，由圖2-2—36可類似證明λ（a+b)=λa+λb。圖2—2—36∴(3）式成立.誤區警示分類討論的思想在數學中既是一個重要的策略思想，也是一個重要的思想方法。很多數學問題不僅在涉及的知識范圍上帶有綜合性，而且就問題本身來說,也受到多種條件的交叉制約,形成錯綜復雜的局面,很難從整體上著手解決，這時，就從“分割”入手，把“整體”劃分為若干個“局部”，轉而去解決局部問題，最后達到整體上的解決.這是具有哲學意義的思想方法.分類討論思想，就是科學合理地劃分類別，通過各個擊破，再求整體解決（即先化整為零，再聚零為整)的策略思想。類別的劃分必須滿足互斥、無漏、最簡的要求,探索劃分的數量界限是分類討論的關鍵。二、兩向量共線如果向量b與非零向量a共線，那么有且只有一個實數λ，使得b=λa.(1)向量的平行(共線）與直線平行是有區別的，直線平行不包括重合的情況.(2)定理的實質是向量相等,即存在唯一實數λ使b=λa(a≠0),應從向量的大小和方向兩個方面理解,借助于數量λ溝通了兩個向量b與a的聯系。學法一得定理為解決三點共線和兩直線平行問題提供了一種方法,要證三點共線或兩直線平行，任取兩點確定兩個向量，看能否找到唯一的實數λ使兩向量相等。把向量平行的問題轉化為尋求實數λ使向量相等的問題.典題?熱題知識點一向量的加法、減法及數乘例1設a、b為向量，計算下列各式.(1）—×3a;（2）2(a-b）—（a+b）；(3)(2m-n）a—mb-(m-n)（a—b)(m、n為實數）。思路分析：利用向量的加法、向量的減法及數乘向量運算的法則及運算律計算.解：(1)原式=（—×3）a=-a；（2)原式=2a-2b-a—b=(2a-a）—(2b+b)=a—b.（3)原式=2ma—na—mb—m(a-b）+n（a-b)=2ma—na—mb-ma+mb+na-nb=ma—nb。知識點二用向量共線判斷三點共線例2求實數λ,使得λa+b與2a+λb思路分析：求未知數的值，可考慮通過挖掘題目的條件，布列含有未知數的方程求解。解：∵λa+b與2a+λb∴存在一個實數,不妨設為m,使得(λa+b）=m（2a+λb即（λ—2m）a+(1—mλ）b=0.∴解得λ=±.例3如圖2-2-37所示，在平行四邊形ABCD中，=a，=b，M是AB的中點，點N是BD上一點，|BN｜=|BD｜。求證:M、N、C三點共線。圖2-2—37解：∵=a,=b，∴=—=a—b。∴=b+=b+(a—b)=a+b=(2a+b）.又∵=b+a=(2a+b），∴.又與有共同起點,∴M、N、C三點共線。方法歸納幾何中證明三點共線，可先在三點中選擇起點和終點確定兩個向量,看能否找到唯一的實數λ使兩向量相等，把向量共線問題轉化為尋求實數λ使向量相等的問題.向量共線即向量平行，它與直線（線段）共線不同.知識點三用向量法解決幾何問題例4求證:三角形兩邊中點的連線平行于第三邊并且等于第三邊的一半。圖2—2-38如圖2-2-38，已知△ABC中，D、E分別是邊AB、AC的中點。求證：DE∥BC,且DE=BC。證明：因為D、E分別是邊AB、AC的中點，故=，=.=-=(-)=，而D、E不重合，所以DE∥BC，且DE=BC.例5如圖2—2—39,在OACB中，BD=BC,OD與BA相交于點E，求證:BE=BA。圖2—2—39證明：用向量法證明.設E′是線段BA上的一點,且BE′=BA，只要證點E、E′重合即可.設=a，=b，則=a，=b+a。∵—b，=a—,3=,∴=(a+3b)=（b+a）。∴=.∴O、E′、D三點共線。∴BE=BA.問題?探究思想方法探究問題向量的運算(運算律)與幾何圖形的性質有緊密的聯系，向量的運算（運算律)可以用圖形簡明地表示，而圖形的一些性質又可以反映到向量的運算（運算律)上來。在課本中哪些地方能反映二者的緊密聯系？向量作為研究幾何問題的工具,有什么特殊的優越性？用向量解決問題有什么明確的步驟嗎？探究過程：在課本中有若干例子說明了向量與圖形的密切聯系,如平行四邊形是表示向量加法、減法的幾何模型，加法及其交換律a+b=b+a可以表示平行四邊形中的對邊平行以及三角形全等，這說明，以向量為工具，可以把幾何圖形、幾何變換、向量運算及運算律統一起來。再如平面幾何中的共線和平行關系，用向量與實數的乘法來描述。而向量數乘的分配律：k（a+b)=ka+kb可以表示三角形相似。向量數量積可以證明垂直問題.向量作為研究幾何問題的工具，開創了研究幾何問題的新方法.由于歐氏幾何只依據基本的邏輯原理，而不便用其他工具，只從基本公理出發,通過演繹推理建立幾何關系,因此，它給出的幾何論證嚴謹且幽雅，能夠給人們極大的美感和享受，但沒有一般規律可循，且存在較大的思考難度,往往對人的智力提出極大的挑戰。尋求幾何研究的工具,以更好地把握圖形的性質和規律，推進幾何研究的發展成為數學家們的一個理想.自從建立向量運算(運算律)與幾何圖形之間的關系后，將圖形的研究推進到了有效運算的水平，從而實現了綜合幾何到向量幾何的轉折。向量運算(運算律）把向量與幾何、代數有機地聯系在一起。探究結論:用向量方法解決幾何問題的基本過程是：首先把一個幾何量代數化，即把位移這個基本的幾何量加以抽象而得到向量的概念；然后運用歐氏空間特有的平移、全等、相似與勾股定理等基本性質引進向量的加（減）法、向量數乘與數量積這三種運算，并把歐氏幾何的直觀性與向量的運算（運算律）有機地結合起來，使得直觀的幾何問題代數化,抽象的運算及運算律直觀化，這樣就使數與形有機地結合起來.運算和運算律是向量的靈魂，是聯結數與形的紐帶，它建立了運算(運算律)與幾何圖形之間的對應關系，使我們能夠通過運算來研究幾何。誤區陷阱探究問題“已知非零向量a、b、c滿足a+b+c=0，表示a、b、c的有向線段一定構成三角形"這個命題是否正確？探究思路:乍一看題目，好像能構成一個三角形,但應注意三角形三邊不共線。而題目中所給的三個向量并不一定是不共線的向量，若不注意這一點，則極易得出“命題正確”的錯誤結論。因此要處理這個問題應從兩方面來考慮:三個向量共線與不共線.圖2-2-40,當a、b不共線時，如右圖，在平面內取一點O，作=a，=b，由向量