學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精2.1.3推理案例賞析知識梳理數學命題推理有合情推理和演繹推理,_____________和_____________是常用的合情推理。從推理形式上看，_____________是由部分到整體，個別到一般的推理，_____________是由特殊到特殊的推理，而演繹推理是由一般到特殊的推理；從推理所得的結論來看,_____________的結論不一定正確,有待于進一步證明，_____________在前提和推理形式都正確的前提下,得到的結論一定正確.知識導學歸納與類比這兩種合情推理都能幫助我們發現新的數學命題和新的數學規律,但得到的結論不一定正確，有待于進一步證明或驗證。而演繹推理只要大、小前提都正確，結論就正確.所以我們常把兩者結合起來，用合情推理來發現數學命題，用演繹推理進行系統的論證，二者相輔相成,從而推動數學的不斷發展。學習時，要從具體例子來深刻體會合情推理與演繹推理之間的這種聯系和差異，我們不僅要學會推理證明，也要學會猜想。疑難突破“推理”引發的思考.剖析:數學要進一步得到發展，關鍵是如何在已有知識的基礎上發現新的數學問題。我們可以用歸納和類比兩種辦法,大膽猜想、歸納，小心比較,作出命題，推動數學的發展，要注意觀察、總結、比較、驗證、論證相結合。由此可以看出數學發現活動是一個探索創造的過程,這是一個不斷地提出猜想、驗證猜想的過程,合情推理是富有創造性的或然推理,在數學發現活動中,它為演繹推理確定了目標和方向，具有提出猜想、發現結論、提供思路的作用.數學問題無窮無盡，如何去探討發展是我們現代人必須要做的，我們既要運用好原有的知識，但也不能維持原狀,要有所發展，那么怎樣去發展？也不是沒有根據的亂想,我們可通過大量的事實，觀察、歸納、類比原有的知識來合情推理我們所需要的結論，學會嘗試，不怕失敗.典題精講【例1】已知{an｝為等差數列,首項a1＞1,公差d＞0,n＞1且n∈N*。求證:lgan+1lgan—1＜（lgan)2。思路分析：對數之積不能運算，必須由均值不等式轉為對數之和進行運算.證明：∵｛an}為等差數列，∴an+1+an—1=2an.∵d＞0,∴an-1·an+1=(an—d)(an+d）=an2-d2＜an2。∵a1＞1,d＞0，∴an=a1+(n-1)d＞1。∴lgan＞0.∴lgan+1·lgan—1≤=[lg(an—1an+1)]2＜[lgan2］2=（lgan)2,即lgan+1·lgan-1＜（lgan）2.綠色通道：對于證明的不等式要分析，結合對數的性質和運算及均值不等式，給出綜合法證明。變式訓練：已知a＞0且a≠1，P=loga(a3+1)，Q=loga（a2+1).求證：P＞Q.證明：當a＞1時，a3+1＞a2+1,∴loga（a3+1）＞loga(a2+1)；當0＜a＜1時,a3+1＜a2+1,∴loga（a3+1)＞loga（a2+1），綜上P＞Q。【例2】已知數列{an｝,其中a2=6，且=n.（1）求a1、a3、a4；(2)寫出｛an｝的一個通項公式；(3)設數列｛bn}是等差數列，bn=（c為非零常數)。若Sn=b1+b2+…+bn,求.思路分析：本題已知遞推關系，可寫出數列的前幾項，猜想an，進一步作答。解：(1)∵a2=6，=1,∴a1=1.又=2，=3，∴a3=15,a4=28。（2）a1=1×1，a2=2×3，a3=3×5，a4=4×7。猜想an=n（2n-1）.(3）∵{bn｝為等差數列，∴2b2=b1+b3.∴.∵c≠0,∴c=.∴bn==2n.∴Sn=b1+b2+…+bn==n(n+1）。∴=(1-）=1.綠色通道：在研究數列問題時，常通過前n項，觀察、歸納、猜想出an、Sn的表達式.變式訓練:在數列｛an｝中，a1=1,Sn、Sn+1、2S1成等差數列（不必證明).(Sn表示｛an｝的前n項和）則S2、S3、S4分別為____________，由此猜想Sn=____________.思路解析:由Sn、Sn+1、2S1成等差數列，∴2Sn+1=Sn+2S1。∵S1=a1=1，∴2Sn+1=Sn+2。∴當n=1、2、3時,S2=,S3=，S4=。猜想Sn=.答案:【例3】設k棱柱有f（k)個對角面,則k+1棱柱對角面的個數為f（k+1)=f(k）+____________。思路解析：k棱柱增加一條側棱時，則這條側棱與之不相鄰的k—2條側棱可構成k—2個對角面，而增加一條側棱時也使一個側面變成了對角面.∴f(k+1）=f(k)+k-2+1=f(k）+k-1。答案：k-1綠色通道：注意幾何圖形參數在由k變到k+1時，發生了哪些變化，增加了多少。變式訓練：凸k邊形的內角和為f（k)，則凸k+1邊形的內角和f（k+1）=f(k)+_____________.答案：π問題探究問題：平面內有n條直線，其中沒有兩條平行，也沒有三條或三條以上過同一點，設這n條直線將平面分割成的區域為f(n),探求：f(n）.導思：平面內的n條直線研究起來比較抽象、陌生、困難,我們可從n的最少取值開始，逐一探索研究，直至找出規律，發現規律來猜測。探究：當n=1時，一條直線將平面一分為二，∴f（1)=2。當n=2時，這兩條直線不平行，只相交，將平面分為4份，∴f（2)=4。當n=3時，平面內這三條直線兩兩相交，且不共點，將平面分為7份，實質上是在兩條直線的基礎上進一步分割。設l1、l2相交于P1，將平面分為S1、S2、S3、S4四個區域,如圖2—1—16所示，若l3不過P1,與l1、l2分別交于P2、P3，則l3又將S2、S3、S4都一分為二，共6個區域，再加上S1共7個區域,比n=2時多了3個區域.圖2-1—16若n=4時,設l4不過P1、P2、P3，分別與l1、l2、l3交于P4、P5、P6，又將l1、l2、l3的四個區域一分為二，