學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精6.4線性回歸方程案例探究在學(xué)校里,老師對學(xué)生經(jīng)常這樣說:“如果你的數(shù)學(xué)成績好,那么你的物理學(xué)習(xí)就不會有什么大問題。”按照這種說法，似乎學(xué)生的物理成績與數(shù)學(xué)成績之間存在著一種相關(guān)關(guān)系.這種說法有沒有根據(jù)呢?分析:憑我們的學(xué)習(xí)經(jīng)驗可知,物理成績確實與數(shù)學(xué)成績有一定的關(guān)系，但除此以外，還存在其他影響物理成績的因素。例如，是否喜歡物理，用在物理學(xué)習(xí)上的時間等等。在實際問題中，變量之間的常見關(guān)系有如下兩類：一類是確定性函數(shù)關(guān)系，變量之間的關(guān)系可以用函數(shù)表示。例如，圓的面積S與半徑r之間就是確定性函數(shù)關(guān)系,可以用函數(shù)S=πr2表示.一類是相關(guān)關(guān)系，變量之間有一定的聯(lián)系，但不能完全用函數(shù)來表達(dá).例如,人的體重與身高有關(guān)。一般來說，身高越高,體重越重，但不能用一個函數(shù)來嚴(yán)格地表示身高與體重之間的關(guān)系。自學(xué)導(dǎo)引1．在實際問題中，變量之間的常見關(guān)系有兩類：一類是確定性關(guān)系,另一類是相關(guān)關(guān)系。2．自變量取值一定時,因變量的取值帶有一定隨機性的兩個變量之間的關(guān)系叫做相關(guān)關(guān)系.3．請你說出確定性關(guān)系與相關(guān)關(guān)系的相同點和不同點.答案：相同點:均是指兩個變量的關(guān)系。不同點:相關(guān)關(guān)系是一種非確定的關(guān)系。確定性關(guān)系是自變量與函數(shù)值之間的關(guān)系，可以用一個函數(shù)表示.這種關(guān)系是兩個非隨機變量的關(guān)系；而相關(guān)關(guān)系是非隨機變量與隨機變量的關(guān)系。這種關(guān)系不能用一個確定的函數(shù)來表示。4．你是否還能舉出一些現(xiàn)實生活中存在的相關(guān)關(guān)系的問題？答案：例如，商品銷售收入與廣告支出經(jīng)費之間的關(guān)系；糧食產(chǎn)量與施肥量之間的關(guān)系;人體的脂肪含量與年齡之間的關(guān)系,等等.5．將n個數(shù)據(jù)點（xi，yi）（i=1，2,…，n）描在平面直角坐標(biāo)系中,以表示具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量的一組數(shù)據(jù)的圖形叫做散點圖.6．（1)當(dāng)兩個變量成正相關(guān)時，散點圖有什么特點？(2)當(dāng)兩個變量成負(fù)相關(guān)時,散點圖又有什么特點？答案：（1）散點圖中的點散布在從左下角到右上角的區(qū)域。(2）散點圖中的點散布在從左上角到右下角的區(qū)域.7．對于散點圖可以作出如下判斷：（1）當(dāng)所有的樣本點都落在某一函數(shù)曲線上,變量之間具有函數(shù)關(guān)系;(2）當(dāng)所有的樣本點都落在某一函數(shù)曲線附近，變量之間具有相關(guān)關(guān)系;（3)當(dāng)所有的樣本點都落在某一直線附近,變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系.8．回歸直線是怎樣定義的？答案：如果散點圖中點的分布從整體上看大致在一條直線附近，我們就稱這兩個變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫做回歸直線。疑難剖析【例1】下表是某地年降雨量與年平均氣溫的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，判斷兩變量有相關(guān)關(guān)系嗎？求回歸直線方程有意義嗎?年平均氣溫（℃）12.5112.8412。8413.6913。3312。7413。05年降雨量(mm）748542507813574701432思路分析:用回歸直線進(jìn)行擬合兩變量關(guān)系的一般步驟為:(1)作出散點圖，判斷散點是否在一條直線附近;（2)如果散點在一條直線附近，以公式求出a,b，并寫出線性回歸方程。解:以x軸為年平均氣溫，y軸為年降雨量可得相應(yīng)的散點圖：因為圖中各點并不在一條直線的附近，所以兩者不具有線性相關(guān)關(guān)系，沒有必要用回歸直線進(jìn)行擬合,用公式求得的回歸方程也是沒有意義的.思維啟示：要判斷兩個變量是否具有線性相關(guān)關(guān)系,可先作出散點圖，再觀察散點是否在一條直線附近，如果是，則二者具有線性相關(guān)關(guān)系；否則，二者不具有線性相關(guān)關(guān)系.思維陷阱：解此題的第（2）小問時不要盲目地去求回歸方程。觀察兩相關(guān)變量得如下數(shù)據(jù)：x-1—2—3-4-553421y—9—7—5-3—115379求兩變量間的回歸方程。錯解：求線性回歸直線方程的步驟：第一步：列表xi，yi，xiyi;第二步:計算，，，，；第三步:代入公式計算b,a的值；第四步：寫出回歸直線方程。列表：i12345678910xi—1—2—3-4—553421yi-9-7-5-3-115379xiyi9141512551512149計算得：=0，=0=110,=310,=110∴b=a=—b=0—1＊0=0故所求回歸直線方程為=x.正解：作兩個變量的散點圖（圖略），從散點圖中看出，點不在某條直線附近，分散得很開.因此，變量x和y不具有線性相關(guān)關(guān)系,也就不存在線性回歸方程。【例2】某班學(xué)生每周用于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的時間x（單位:h)與數(shù)學(xué)成績y（單位：分）之間有如下數(shù)據(jù):x24152319161120161713y92799789644783687159某同學(xué)每周用于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的時間為18小時，試預(yù)測該生數(shù)學(xué)成績.思路分析：首先應(yīng)該利用表中數(shù)據(jù)通過計算去判斷數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的時間x與數(shù)學(xué)成績y是否具有線性相關(guān)關(guān)系。若有，則可求出回歸方程；然后在方程中令x=18,可求出該生數(shù)學(xué)成績。解:因為學(xué)習(xí)時間與學(xué)習(xí)成績之間具有線性相關(guān)關(guān)系。利用科學(xué)計算器計算到如下表所示的數(shù)據(jù)：i12345678910xi24152319161120161713yi92799789644783687159xiyi22081185223116911204517166010881207767=17。4，=74.9=3182，=58375，=13578于是可得b=a=—b=74。9-3．53×17.4≈13。5故所求回歸直線方程為y=3.53x+13.5當(dāng)x=18時，=3.53×18+13.5=77。04≈77故該同學(xué)預(yù)計可得77分左右。思維啟示：兩個有線性相關(guān)關(guān)系的變量間的關(guān)系可以用線性回歸方程來表示，而對總體的預(yù)測可依據(jù)回歸直線方程進(jìn)行.【例3】一般說，一個人的身高越高，他的手就越大.為了調(diào)查這一問題，對10名高三男生的身高與右手一揸長測量得如下數(shù)據(jù)：（單位:cm）身高168170171172174176178178180181一揸長19。020。021。021。521。022.024.023。022.523。0（1）依據(jù)上述數(shù)據(jù)制作散點圖，發(fā)現(xiàn)兩者有何相關(guān)關(guān)系嗎？（2）如果近似成線性關(guān)系，求線性回歸方程.（3）如果一個學(xué)生身高185cm，估計他的右手一揸長.思路分析：首先作出散點圖；利用散點圖去判斷兩變量是否具有線性關(guān)系；若具有線性關(guān)系,再利用公式求出方程；最后利用方程去解答第三小問.解：（1)散點圖如下：可見，身高與右手一揸長之間的總體趨勢成一條直線，即他們線性相關(guān)。（2）設(shè)線性回歸方程為=bx+a由上述數(shù)據(jù)計算可得=174。8，=21.7=305730，=37986∴b==a=-b=—31。264∴方程為=0.303x—31.264.(3）當(dāng)x=185時，=24。79。思維啟示:先作出散點圖,若兩變量具有線性關(guān)系,再利用公式求出方程.拓展遷移【拓展點1】如果你想作一個反對抽煙的電視公益廣告的播放次數(shù)與看電視的中學(xué)生戒煙率的數(shù)據(jù)散點圖，作為x軸的變量為__________。答案：播放次數(shù)【拓展點2】有時候,一些東西吃起來口味越好，對我們的身體越有害,下表給出了不同類型的某種食品的數(shù)據(jù).第一列表示此種食品所含熱量的百分比，第二列數(shù)據(jù)表示由一些美食家以百分制給出的對此種食品口味的評價。品牌所含熱量的百分比口味記錄A2589B3489C2080D1978E2675F2071G1965H2462I1960J1352（1）求出回歸直線方程；(2）關(guān)于兩個變量之間的關(guān)系，得出的結(jié)論是什么？答案：（1)=1.565x+37。827(2)由回歸方程知道，食品所含熱量越大，口味記錄越好，反之亦然.【拓展點3】某醫(yī)院用光電比色計檢驗?zāi)蚬瘯r,得尿汞含量(毫克/升)與消光系數(shù)如下表：尿汞含量x246810消光系數(shù)y6413820528