2025屆江蘇省南通市啟東市全國高考招生統一考試高考數學試題模擬試題（3）注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數，則函數的零點所在區間為（）A． B． C． D．2．已知拋物線和點，直線與拋物線交于不同兩點，，直線與拋物線交于另一點．給出以下判斷：①以為直徑的圓與拋物線準線相離；②直線與直線的斜率乘積為；③設過點，，的圓的圓心坐標為，半徑為，則．其中，所有正確判斷的序號是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③3．等腰直角三角形BCD與等邊三角形ABD中，，，現將沿BD折起，則當直線AD與平面BCD所成角為時，直線AC與平面ABD所成角的正弦值為（）A． B． C． D．4．若實數、滿足，則的最小值是（）A． B． C． D．5．已知函數有兩個不同的極值點，，若不等式有解，則的取值范圍是（）A． B．C． D．6．復數滿足(為虛數單位),則的值是()A． B． C． D．7．若數列滿足且，則使的的值為()A． B． C． D．8．若復數滿足，則對應的點位于復平面的（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限9．的展開式中，含項的系數為（）A． B． C． D．10．我國數學家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領先的成果，哥德巴赫猜想的內容是：每個大于2的偶數都可以表示為兩個素數的和，例如：，，，那么在不超過18的素數中隨機選取兩個不同的數，其和等于16的概率為（）A． B． C． D．11．木匠師傅對一個圓錐形木件進行加工后得到一個三視圖如圖所示的新木件，則該木件的體積（）A． B． C． D．12．已知棱錐的三視圖如圖所示，其中俯視圖是等腰直角三角形，則該三棱錐的四個面中，最大面積為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若實數滿足不等式組，則的最小值是___14．已知，則展開式中的系數為__15．已知，是互相垂直的單位向量，若與λ的夾角為60°，則實數λ的值是__．16．如圖，在平行四邊形中，，,則的值為_____.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在中，角所對的邊分別是，且.（1）求；（2）若，求.18．（12分）已知數列滿足：，，且對任意的都有,（Ⅰ）證明：對任意，都有；（Ⅱ）證明：對任意，都有；（Ⅲ）證明：.19．（12分）在平面直角坐標系中，以原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，已知曲線：.過點的直線：（為參數）與曲線相交于，兩點.（1）求曲線的直角坐標方程和直線的普通方程；（2）若，求實數的值.20．（12分）已知數列滿足.（1）求數列的通項公式；（2）設數列的前項和為，證明：.21．（12分）已知函數（1）當時，證明，在恒成立；（2）若在處取得極大值，求的取值范圍.22．（10分）已知（）過點，且當時，函數取得最大值1.（1）將函數的圖象向右平移個單位得到函數，求函數的表達式；（2）在（1）的條件下，函數，求在上的值域.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．A【解析】

首先求得時，的取值范圍.然后求得時，的單調性和零點，令，根據“時，的取值范圍”得到，利用零點存在性定理，求得函數的零點所在區間.【詳解】當時，.當時，為增函數，且，則是唯一零點.由于“當時，.”，所以令，得，因為，，所以函數的零點所在區間為.故選：A本小題主要考查分段函數的性質，考查符合函數零點，考查零點存在性定理，考查函數的單調性，考查化歸與轉化的數學思想方法，屬于中檔題.2．D【解析】

對于①，利用拋物線的定義，利用可判斷；對于②，設直線的方程為，與拋物線聯立，用坐標表示直線與直線的斜率乘積，即可判斷；對于③，將代入拋物線的方程可得，，從而，，利用韋達定理可得，再由，可用m表示，線段的中垂線與軸的交點（即圓心）橫坐標為，可得a，即可判斷.【詳解】如圖，設為拋物線的焦點，以線段為直徑的圓為，則圓心為線段的中點．設，到準線的距離分別為，，的半徑為，點到準線的距離為，顯然，，三點不共線，則．所以①正確．由題意可設直線的方程為，代入拋物線的方程，有．設點，的坐標分別為，，則，．所以．則直線與直線的斜率乘積為．所以②正確．將代入拋物線的方程可得，，從而，．根據拋物線的對稱性可知，，兩點關于軸對稱，所以過點，，的圓的圓心在軸上．由上，有，，則．所以，線段的中垂線與軸的交點（即圓心）橫坐標為，所以．于是，，代入，，得，所以．所以③正確．故選：D本題考查了拋物線的性質綜合，考查了學生綜合分析，轉化劃歸，數形結合，數學運算的能力，屬于較難題.3．A【解析】

設E為BD中點，連接AE、CE，過A作于點O，連接DO，得到即為直線AD與平面BCD所成角的平面角，根據題中條件求得相應的量，分析得到即為直線AC與平面ABD所成角，進而求得其正弦值，得到結果.【詳解】設E為BD中點，連接AE、CE，由題可知，，所以平面，過A作于點O，連接DO，則平面，所以即為直線AD與平面BCD所成角的平面角，所以，可得，在中可得，又，即點O與點C重合，此時有平面，過C作與點F，又，所以，所以平面，從而角即為直線AC與平面ABD所成角，，故選：A.該題考查的是有關平面圖形翻折問題，涉及到的知識點有線面角的正弦值的求解，在解題的過程中，注意空間角的平面角的定義，屬于中檔題目.4．D【解析】

根據約束條件作出可行域，化目標函數為直線方程的斜截式，數形結合得到最優解，求出最優解的坐標，代入目標函數得答案【詳解】作出不等式組所表示的可行域如下圖所示：聯立，得，可得點，由得，平移直線，當該直線經過可行域的頂點時，該直線在軸上的截距最小，此時取最小值，即.故選：D.本題考查簡單的線性規劃，考查數形結合的解題思想方法，是基礎題．5．C【解析】

先求導得（），由于函數有兩個不同的極值點，，轉化為方程有兩個不相等的正實數根，根據，，，求出的取值范圍，而有解，通過分裂參數法和構造新函數，通過利用導數研究單調性、最值，即可得出的取值范圍.【詳解】由題可得：（），因為函數有兩個不同的極值點，，所以方程有兩個不相等的正實數根，于是有解得.若不等式有解，所以因為.設，，故在上單調遞增，故，所以，所以的取值范圍是.故選：C.本題考查利用導數研究函數單調性、最值來求參數取值范圍，以及運用分離參數法和構造函數法，還考查分析和計算能力，有一定的難度.6．C【解析】

直接利用復數的除法的運算法則化簡求解即可．【詳解】由得：本題正確選項：本題考查復數的除法的運算法則的應用，考查計算能力．7．C【解析】因為，所以是等差數列，且公差，則，所以由題設可得，則，應選答案C．8．D【解析】

利用復數模的計算、復數的除法化簡復數，再根據復數的幾何意義，即可得答案；【詳解】，對應的點，對應的點位于復平面的第四象限.故選：D.本題考查復數模的計算、復數的除法、復數的幾何意義，考查運算求解能力，屬于基礎題.9．B【解析】

在二項展開式的通項公式中，令的冪指數等于，求出的值，即可求得含項的系數．【詳解】的展開式通項為，令，得，可得含項的系數為.故選：B.本題主要考查二項式定理的應用，二項展開式的通項公式，二項式系數的性質，屬于基礎題．10．B【解析】

先求出從不超過18的素數中隨機選取兩個不同的數的所有可能結果，然后再求出其和等于16的結果，根據等可能事件的概率公式可求.【詳解】解：不超過18的素數有2，3，5，7，11，13，17共7個，從中隨機選取兩個不同的數共有，其和等于16的結果，共2種等可能的結果，故概率.故選：B.古典概型要求能夠列舉出所有事件和發生事件的個數，本題不可以列舉出所有事件但可以用分步計數得到，屬于基礎題.11．C【解析】

由三視圖知幾何體是一個從圓錐中截出來的錐體,圓錐底面半徑為,圓錐的高,截去的底面劣弧的圓心角為，底面剩余部分的面積為,利用錐體的體積公式即可求得.【詳解】由已知中的三視圖知圓錐底面半徑為，圓錐的高，圓錐母線，截去的底面弧的圓心角為120°，底面剩余部分的面積為，故幾何體的體積為：.故選C.本題考查了三視圖還原幾何體及體積求解問題,考查了學生空間想象,數學運算能力,難度一般.12．B【解析】

由三視圖可知，該三棱錐如圖,其中底面是等腰直角三角形，平面,結合三視圖求出每個面的面積即可.【詳解】由三視圖可知，該三棱錐如圖所示：其中底面是等腰直角三角形，平面,由三視圖知，因為,,所以,所以,因為為等邊三角形，所以,所以該三棱錐的四個面中，最大面積為.故選：B本題考查三視圖還原幾何體并求其面積;考查空間想象能力和運算求解能力;三視圖正確還原幾何體是求解本題的關鍵;屬于中檔題、常考題型.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．-1【解析】作出可行域，如圖：由得,由圖可知當直線經過A點時目標函數取得最小值，A（1,0）所以-1故答案為-114．1．【解析】

由題意求定積分得到的值，再根據乘方的意義，排列組合數的計算公式，求出展開式中的系數．【詳解】∵已知，則，

它表示4個因式的乘積．

故其中有2個因式取，一個因式取，剩下的一個因式取1，可得的項．

故展開式中的系數．

故答案為：1．本題主要考查求定積分，乘方的意義，排列組合數的計算公式，屬于中檔題．15．【解析】

根據平面向量的數量積運算與單位向量的定義，列出方程解方程即可求出λ的值．【詳解】解：由題意，設（1，0），（0，1），則（，﹣1），λ（1，λ）；又夾角為60°，∴（）?（λ）λ＝2cos60°，即λ，解得λ．本題考查了單位向量和平面向量數量積的運算問題，是中檔題．16．【解析】

根據ABCD是平行四邊形可得出，然后代入AB＝2，AD＝1即可求出的值．【詳解】∵AB＝2，AD＝1，∴＝1﹣4＝﹣1．故答案為：﹣1．本題考查了向量加法的平行四邊形法則，相等向量和相反向量的定義，向量數量積的運算，考查了計算能力，屬于基礎題．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）（2）【解析】

（1）根據正弦定理到，得到答案.（2）計算，再利用余弦定理計算得到答案.【詳解】（1）由，可得,因為，所以，所以.（2），又因為，所以.因為，所以，即.本題考查了正弦定理和余弦定理，意在考查學生的計算能力.18．（1）見解析（2）見解析（3）見解析【解析】分析：(1)用反證法證明，注意應用題中所給的條件，有效利用，再者就是注意應用反證法證題的步驟；(2)將式子進行相應的代換，結合不等式的性質證得結果；(3)結合題中的條件，應用反證法求得結果.詳解：證明：（Ⅰ）證明：采用反證法，若不成立，則若,則,與任意的都有矛盾；若,則有,則與任意的都有矛盾；故對任意，都有成立；（Ⅱ）由得，則，由（Ⅰ）知，，即對任意，都有；.（Ⅲ）由（Ⅱ）得：，由（Ⅰ）知，，∴，∴，即，若，則,取時，有，與矛盾.則.得證.點睛：該題考查的是有關命題的證明問題，在證題的過程中，注意對題中的條件的等價轉化，注意對式子的等價變形，以及證題的思路，要掌握證明問題的方法，尤其是反證法的證題思路以及證明步驟.19．（1），；（2）.【解析】

（1）將代入求解，由（為參數）消去即可.（2）將（為參數）與聯立得，設，兩點對應的參數為，，則，，再根據，即，利用韋達定理求解.【詳解】（1）把代入，得，由（為參數），消去得，∴曲線的直角坐標方程和直線的普通方程分別是，.（2）將（為參數）代入得，設，兩點對應的參數為，，則，，由得，所以，即，所以，而，解得.本題主要考查參數方程、極坐標方程、直角坐標方程的轉化和直線參數方程的應用，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.20．（1）；（2）見解析.【解析】

（1）令，，利用可求得數列的通項公式，由此可得出數列的通項公式；（2）求得，利用裂項相消法求得，進而可得出結論.【詳解】（1）令，，當時，；當時，，則，故；（2），.本題考查利用求通項，同時也考查了裂項相消法求和，考查計算能力與推理能力，屬于基礎題.21．（1）證明見解析（2）【解析】

（1）根據，求導，令，用導數法求其最小值.設研究在處左正右負，求導，分，，三種情況討論求解.【詳解】（1）因為，所以，令，則，所以是的增函數，故，即.因為所以，①當時，，所以函數在上單調遞增.若，則若，則所以函數的單調遞增區間是，單調遞減區間是，所以在處取得