2024年高考數學真題完全解讀（新高考I卷）

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辿試卷總評~~jp

2024年高考數學全國卷，考主干、考能力、考素養，重思維、重創新、重應用，突出考查思維過程、思

維方法和創新能力.創設全新的試卷培構，減少題量，給學生充足的思考時間，加強思維考直，強化素養導向,

給不同水平的學生提供充分展現才華的空間，服務拔尖創新人才選拔，助推素質教行發展，助力教育強國

建設.

一、依托高考評價體系，創新試卷結構設計

2024年數學新課標卷調減了題量，同時增加了解答題的總分值，優化了多選題的賦分方式，強化了考

查思維過程和思維能力的功能.試卷題量減少能夠增加用于思考的時間，學生不必過多地關注做題的進度

和速度，可以更專注、更深入地思考，更從容地試錯，使思維能力強的學生能夠展示素養、發揮潛力、脫穎

而出，發揮了高考的選拔功能，引導數學教學關注對學生核心素養的培葬.

新課標卷打破以往的模式，靈活科學地確定試題的內容、順序.機動調整題目順序,有助于打破學生機

械應試的套路，打破教學中僵化、固定的訓練模式,防止猜題押題，同時測試學生的應變能力和解決各種難

度問題的能力.引導教學培養學生全面掌握主干知識、提升基本能力，靈活地整合知識解決問題.如新課標

I卷將解析幾何試題安排在解答題的第2題，數列內容則結合新情境,安排在最后壓軸題的位置.

試卷聚焦主干知識內容和重要原理、方法，著重考查數學學科核心素養用導中學教學遵循教育規律,

突出數學教學本質，回歸課標，重視教材,重視概念教學，夯實學生學習基礎，給學生留出思考和深度學習的

空間.避免超綱學、超量學，助力減輕學生學業負擔.如新課標I卷第1。題以基本求導公式及求導法則、

利用導數判斷函數單調性的方法為素材，考查靈活運用導數工具分析、解決問題的能力，以及學生的邏輯

推理能力、運算求解能力.

二、突出思維能力考查,助力拔尖創新人才選拔

數學作為一門重要的基礎學科,也是唯一一門理科性質的統考科目，在服務人才選拔、服務國家發展

戰略、助力強國建設方面承擔重要責任、發揮關鍵作用.2024年高考數學重點考查學生邏輯推理、批判

性思維、創新思維等關鍵能力，助力拔尖創新人才選拔,引導培育支撐終身發展和適應時代要求的能力.

試卷貫徹改革要求,注重整體設計，很好地處理考試時間、試卷題量、試題難度之間的關系，統籌協調

試題的思維量、計算量和閱讀量.優化題量設置、合理控制試題的計算量，盡量避免繁難運算，保證學生在

分析問題的過程中有充裕的時間進行思考，強調對思維能力的考查,適應拔尖創新人才選拔需要.如新課

標I卷第12題，通過應用雙曲線的定義和性質，可以避免較為復雜的會標計算以及聯立方程求解,從而有

效地減少計算量，節省考試時間.

試題突出創新導向,新課標卷根據試卷結構調整后整卷題量減少的客觀情況，創新能力考查策略，諛

計全新的試題情境、呈現方式和設問方式，加強解答題部分對基本能力的考查,提升壓軸題的思維量，突已

理性思維和數學探究，考查學生運用數學思維和數學方法發現問題、分析問題和解決問題的能力.如新課

標I卷第19題以等差數列為知識背景,創新設問方式，設置數學新定義，搭建思維平臺,引導學生積極思考,

在思維過程中領悟數學方法，自主選擇路徑和策略分析問題、解決問題.試題強化綜合性考查,強調對原理、

方法的深入理解和綜合應用，考查知識之間的內在聯系，引導學生重視對學科理論本質屬性和相互關聯的

深刻理解與掌握，引導中學通過深化基礎知識、基本原理方法的教學，培養學生形成完整的知識體系和網

絡結構.如新課標I卷第5題將圓柱與圓錐結合，綜合考查側面積、體積的計算，第18題在函數導數試題

中考查了曲線的對稱性的這一幾何性質.

三、加強考教銜接，引導中學教學

2024年高考數學試卷立足課程標準,考查的內容依據學業質量標準和課程內容，注重考查學生對基

礎知識和基本技能的熟練掌握和靈活應用，強調知識的整體性和連貫性，引導教學以課程目標和核心素養

為指引，避免超綱教學,注重內容的基礎性和方法的普適性，避免百目鉆研套路和機械訓練.

高考數學通過創新試卷結構設計和題目風格，深化基礎性考查，強調對學科基礎知識、基本方法的深刻理

解，不考死記硬背、不出偏題怪題，引導中學把教學重點從總結解題技巧轉向培養學生學科核心素養.增加

基礎題比例、降低初始題起點,增強試題的靈活性和開放性.如新課標I卷第14題,不是考查學生記住了

哪些知識點,而是突出考查學生的理性思維和探究能力，使得一些套路無用、模板失效，讓死記硬背的教學

方式不能適應現在高考的新要求.

題型新變化

I.總題量由21題減少為19題，多選題由4題減少為I題，填空題由4題減少為I題，解答題由6道減少為

5題.

2.多選題分值由每題5分調整為每題6分，解答題分值增加，由原來的70分增加到77分.

3.增加新定義問題,全國卷I為數列新定義問題壓軸，解答題中少了單調考查概率統計的試題，導數題目增

加為3道,立體幾何題由3道減少為2道,導數解答題中出現對“純”函數內容的考查.

4.大部分題目都比較簡單，考查基膽知識與基本技能題占100分左右，難題數量少，但更難,難在數學上忍

維上.減少題量，體現“多想少算”,加強思維考查，強化素養導向,容易題占多數，難題更難,給不同水平的學生提

供充分展現才華的空間，服務拔尖創新人才選拔，助推素質教育發展，不考死記硬背、不出偏題怪題，引導中學

把教學重點從總結解題技巧轉向培養學生學科核心素養.

考情分析

題號分值題型考查內容模塊（題目數）

I5分單選題集合與不等式1.集合（共1題）

2.不等式（共2題）

25分單選題復數的運算復數（共1題）

35分單選題平面向量的數量積平面向量（共1題）

45分單選題三角變換三角函數與解三角形

（共3題）

55分單選題圓錐的體積立體幾何（共2題）

65分單選題分段函數單調性函數（共2題）

75分單選題三角函數的圖象三角函數與解三角形

（共3題）

85分單選題抽象函數函數（共2題）

96分多選題正態分布概率統計（共3題）

106分多選題導數應用1導數（共3題）

2.不等式（共2道）

II6分多選題曲線與方程解析幾何（共3題）

125分填空題雙曲線解析幾何（共3題）

135分填空題導數的兒何意義導數（共3題）

145分填空題概率概率統計（共3題）

1513分解答題解二角形二角函數與解二角形

（共3題）

1615分解答題橢圓、面積解析幾何（共3題）

1715分解答題線面平行、二面角立體幾何（共2題）

1817分解答題導數應用、對稱問題導數（共3題）

1917分解答題新定義、數列數列（共1題）

備考指津

1.重視“雙基”復習，首輪復習時在概念定義、通性通法上回歸教材,把教材上典型的例題、習題（復習題）

過一下，做到：正確地理解基本概念的內涵和外延；熟練地掌握和應用相關的公式與定理；熟悉并運用常見

的基本技能和方法.

2.一輪更月要做到：各章內容綜合化；基礎知識體系化；基本方法類型化；解題步驟規范化.

3.對復習資料要處理，刪去偏難、偏怪、超綱、解法太唯一的題目，對基本運算能力、空間想象能力、推

理論證能力、數據處理能力等在復習時要逐步提高,達到高考要求

4.第一輪復習結束后，要做好以卜幾個方面的工作：抓住每一專題(板塊)的宏觀主線，提綱挈領，將板

塊知識及題型和解題方法等高度系統化、條理化.把高考試題進行專題整合，采對重要知識、方法和技能通過高

考試題的鏈式分析，體會”突出重點、突破難點、關注熱點、把握通性、注重通法、淡化技巧”的內涵，真正明

白高考到底考什么、怎么考，對高考試題的認識和把握形成清晰的思維膿絡.

5.對于大部分考生高考數學考不好的原因不是難題沒有作對,二是基礎題失分過多，可以說會做做不對

是失分的主要原因.所以平時的復習要注意糾錯,對每次考試中“會做做不對的題”,要找出錯誤原因進行標注,

同時再找幾道類似的題進行鞏固，做到以例及類、題不二錯.

真題解讀

2024年高考數學真題完全解讀(新高考I卷)

一、選擇題：本題共8小題,每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

1.已知集合4=卜卜5</<5},8={-3,-1,0,2,3},則ACI8=()

A.{-1,0}B.{2,3}C.{-3,-1,0}D.{-1,0.2}

【命題意圖】本題考查集合的交集運算及簡單不等式的解法，考查數學運算的核心素養.難度：易.

【解析】由-5<V<5得75<工<巧,囚為1<5<8，1<</5<2，所以人。3-{-10，故選人.

【快解】因為一3-'=-27<一52'=8>5，排除BCD,故選A.

【點評】集合是高考每年必考知識點，一般以容易題而目呈現,考查熱點一是集合的并集、交集、補集運算,

二是集合之間的關系，所給集合多為簡單不等式的解集、離散的數集或點集，這種考行方式多年來保持穩定.

【知識鏈接】

1.求解集合的運算問題的三個步驟：

(1)看元素構成,集合是由元素組成的，從研究集合中元素的構成入手是解決集合運算問題的關鍵，即辨清是數

集、點集還是圖形集等，女口{=/(x)},{山={工)},{(x,y)|y=/(x)}Z2者足不同的；

(2)對集合化簡，有些集合是可以化簡的，光化簡再研究其關系并進行運算，可使問題簡單明了、易于解決；

(3)應用數形結合進行交、并、補等運算，常用的數形結合形式有數軸、坐標系和韋恩圖(Venn).

2.若三=l+i,則z=()

z-1

A.-1-iB.-1+iC.1-iDl+i.

【命題意圖】本題考查復數的運算，考查數學運算與數學抽象的核心素養.難度：易.

【答案】C

【解析】由二=l+i得,z=?=l-i,故選C.

Z-I1

【點評】復數是高考每年必考知識點，一般以容易題面目呈現，新高考復數題單選題、多選題、填空題都可能

出現，考查熱點一是復數的概念與復數的幾何意義,如復數的模、共挽宓數、純虛數、復數相等、復數的幾何

意義等，二是復數的加減乘除運算.

【知識鏈接】

解復數運算問題的常見類型及解題策略

(1)復數的乘法.復數的乘法類似于多項式的四則運算，可將含有虛數單位i的看作一類同類項，不含i的看作

另一類同類項，分別合并即可.

(2)復數的除法.除法的關鍵是分子分母同乘以分母的共枕基數，解題中要注意把i的事寫成最簡形式.

(3)復數的運算與復數概念的綜合題.先利用復數的運算法則化簡，?般化為〃+歷(《〃￡R)的形式，再結合相關

定義解答.

(4)復數的運算與究數幾何意義的綜合例.先利用復數的運算法則化倒一般化為〃十加3，》￡R)的形式，再結合

復數的幾何意義解答.

3.已知向量。=(04W=(2,x),若一甸,則％=()

A.-2B.-1C.1D.2

【命題意圖】本題考查平面向量的數量積及坐標運算，考查數學運算與邏輯推理的核心素養.難度：易.

【答案】D

【解析】因為力，傳一4?),所以力.傳一4a)=/-4a〃=4+/-4x=0,所以1=2,故選D.

【點評】半囪向量是高考數學必考知識點，?般以客觀題形式考看,熱點是半囪向量的線性運算及平間向量的

數量積，可以是容易題，也可以是難題,難題常用平面幾何、不等式、三角函數等知識交匯考查.

【知識鏈接】

1.求平面向量數量枳，當已知向量的模和夾角時，可利用。?力=|即冰:os<a.h)求解：當己知向量的坐標時，可利

用坐標法求解，即若。=(即ji)力=J2),則ab=x\xi+y\yi.

2.求解與平面幾何有關的平面向量數量積的最值與范圍問題,常見的方法有2種，一是建立坐標系，把問題轉化

為代數問題利用函數思想或基本不等式求解，二是引進角作變量，把問題轉化為三角函數求最值或范圍.

4.已知cos(?+/?)=m,tanatan/?=2,則co*(a-/?)=

A.—3mB.---C.—D.

33

【命題意圖】本題考查兩角和與差的余弦公式、同角三角函數基本關系式，考查數學運算與邏輯推理的核心

素養.難度:易.

【答案】A

…cos(a-￡)-cos(a+4)2sinasin/.costa-p)-m/、

【解析】因為一?---T7--------;-----次=-------=tanalan/=2.所以---------——=2,所以cos(a一6)

cos(tr-p)+cos(a+p)2cosacos夕cos(a-p)+m

=-3加,故選A.

(快解】因為lanalan〃=2，取a=^,sin=^^-,cos(3=-y-，則cos(a-0)=-^-(cosp-sina)=--,

cos(a-/3)=^^(cos/y+sina)=^^=-3cos(a+0)=-3m，故選A.

【點評】三角函數與解三角形在高考中通常有2-3道試題，若有3道題，通常是三角變換、三角函數圖像與性

質、解三角形各有I道題.

【知識鏈接】

I.使用兩角和與差的三角函數公式，首先要記住公式的結構特征.

2.解決三角函數的求值問題的關鍵是把“所求角”用“已知角”表示.①當“已知角”有兩個時，“所求角”一般表示

為兩個“已知角”的和或差的形式；②之“已知角”有一個時，此時應著眼于“所求角”與“已知角”的和或差的關系.

3.三明函數式的化簡要遵循“三看”原則：一看角，二看名，三看式子結構與特征；三角函數式的化簡要注意觀

察條件中角之間的聯系(和、差、倍、互余、互補等),尋找式子和二角函數公式之間的聯系點.

4.給免求值與給值求值問題的關鍵在“變角”，通過角之間的聯系尋找轉化方法.

5.已知圓柱與圓錐的底面半徑相等側面積相等,且它們的高均為有期圓錐的體積為

()

A.2小B.3百兀C.班兀D.9氐

【命題意圖】本題考查圓柱與圓錐的惻面積與體積，考查邏輯推理、直觀想象等核心素養.難度：易

【答案】B

【解折】設圓柱與圓錐的底面半徑相等為J由側面積相等，且它們的高均為6,得2口=.解得

「=石，所以圓錐的體積為+x32xS=3g冗，故選B.

【點評】新課標高考數學立體幾何客觀題一般有兩道(今年特殊，只有I到客觀題)，一般分別涉及多面體與

旋轉體，表面枳、體枳計算及線面位置判斷是考查熱點.

【知識鏈接】對于柱體、椎體、臺體的體積可直接使用公式求解，對于不規則多面體的體積計算'常采用割補

法：將這個幾何體分割成幾個柱體、錐體,分別求出柱體和錐體的體枳，從而得出要求的幾何體的體枳：對于

三棱錐曲于其任意一個面均可作為棱錐的底面，從而可選擇更容易計算的方式來求體積：利用“等積性''近可

求“點到面的距離”.

6.已知函數〃工)=廣：了"二丁：,在R上單調遞增,則°的取值范圍是

Ie+ln(x+l),x>0

A.(ro,0]B.[-1,0]C.[-U]D.[0,-H?)

【命題怠圖】本題考盒分段的數的單?調性，考盒邏輯推埋、數學運算等核心素養.難度：中

【答案】B

【解析】當x>0時/(x)單調遞增，要使f⑺在R上單調遞增,應滿足\笠，所以-1<a40,故選B.

【點評】高考函數客觀題一般有2道,考查熱點是函數的奇偶性、單調性與周期性，利用函數單調性求參數取

值范圍更是熱點中的熱點.

【知識鏈接】

I.確定函數單調性的四種方法

⑴定義法：利用定義判斷.

(2)導數法：適用于初等函數、復合函數等可以求導的函數.

(3)圖象法：由圖象確定函數的單調區間需注意兩點：一是單調區間必須是函數定義域的子集；二是圖象不

連續的單調區間要分開寫，用“和”或“，”連接,不能用連接.

(4)性質法：利用函數單調性的性質,尤其是利用復合函數“同增異減”的原則時，需先確定簡單函數的單調性.

2.函數單調性應用問題的常見類型及解題策略

⑴比較大小.

(2)求最值.

(3)解不等式.利用函數的單調性將尸符號脫掉，轉化為具體的不等式求解，應注意函數的定義域.

(4)利用單調性求參數.

①依據函數的圖象或單調性定義,確定函數的單調區間，與已知單調區間比較.

②需注意若函數在區間m⑼上是單調的，則該函數在此區間的任意子集上也是單調的.

③分段函數的單調性，除注意各段的單調性外，還要注意銜接點的取值.

7.工?0,2句時.曲線)，=sinx與y=2sin,-［)的交點個數為()

A.3B.4C.6D.8

【命題意圖】本題考存三角函數的圖象與性質，考查數形結合思想，考查直觀想象的核心素養.難度：中

【答案】C

3%-外在［0,2對上的圖象如圖所示，由圖象可得交點有6個，故選C.

［解析】作出曲線y=sinx與y=2sin

【點評】三角函數的圖象與性質基本是高考每年必考題,本題求解沒行過多的技巧，關鍵是能熟練作出三角函

數圖像，高考中有不少題目都需要借助圖形求解，在此提醒考生，做題時千萬不要得“意”忘“形”.

【知識鏈接】

l.)，=Asin(s:+G的圖象可肘，五點法”作簡圖得到，可通過變量代換z=&x+0計鴕五點坐標.

2.對于函數產Asin(①x+w)(A/),①#)),其對稱軸?定經過圖象的最高點或最低點，對稱中心的橫坐標?定是函

數的零點.

3.根據y=4sin(sx+8“￡R的圖象求解析式的步驟：

(1)首先確定振幅和周期，從而得到人怎8.

(IM為離開平衡位置的最大距離，即最大值與最小值的差的一半.

(II泗由周期得至U：①函數圖象在其對稱軸處取得最大值或最小值,且相鄰的兩條對稱軸之間的距離為函數的

半個周期；②函數圖象與％軸的交點是其對稱中心，相鄰兩個對稱中心間的距離也是函數的半個周期；③一

條對?稱軸與其相鄰的?個對稱中心間的距離為函數的3個周期(借助圖象很好理解記憶).

(2)求(p的值時最好選用最值點求.

峰點：cox+e巖+2E；谷點：cox+3=-3+2E.

也可用零點求，但要區分該零點是升零點，還是降零點.

升零點(圖象上升時與x軸的交點)：①x+e=2依；

降零點(圖象下降時與x軸的交點)：①x+g=7t+2E(以上A￡Z).

8.已知函數f(x)的定義域為RJ(x)>/(x-l)+/(x-2),且當x<3時J(x)=x，則下列結論一定正確的是

()

A./(10)>1()0B./(20)>100C./(10)<100()D./(20)<l0(XX)

【命題意圖】本題考查抽象函數求值，考查邏輯推理與數學抽象的核心素養.難度：難

【答案】c

【解析】由4<3時/(%)=3,/(》)>/。-1)+/(》一2)得,/(3)>〃2)+〃1)=3/(4)>〃3)+〃2)>5,

〃5)>/(4)+/(3)>8J⑹>〃5)+〃4)>13,不等式右側恰好是裝波那契數列從第3項起的各項：

3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597，所以/(20)>”16)>1597>1000.故選B.

【點評】抽象函數是近兩年高考考杳熱點，考看頻率比較高的是抽象函數求值、奇偶性、周期性及與不等式

的交匯問題.

【知識鏈接】

1.本題是由裴波那契數列改編而成，卜.面列出斐波那契數列｛4｝的一些基本性質，供有興趣的同學參考：

(1)4+生++…+"〃=an+2~1:

⑵4+%+%+…+a2n-i=。2“；

⑶%+4+4+…+的“=--1：

(4)+...+a；=；

wd

(5)-?,+a2-a3+...+(-l)aH=(-l)(aM+1-?rt)+1；

⑹聯=%_/+。必向:

⑺%%一-=(-D”；

(8)凡+2+。”-2=3凡.

2.對稱性與周期性是抽象函數考查的熱點，下面列出一些基本結論，洪參考：

⑴若f(a+x)="力一力,則“力的圖象關于直線工二審對稱：

⑵)，=/(〃+工)的圖象與y=/(〃7)的圖象關于直線x=一對稱；

(3)若"2a-x)+f(x)=2>則/(A)的圖象關于點(a㈤對稱.

(4)若函數/(x)的圖象既關于直線x=a對稱，又關于直線x=b對稱(a.〃),則f(x)是周期函數，門

2(匕一。)是它的一個周期.

(5)若函數/(力的圖象既關于點(。,0)對稱，又關于點(加0)對稱(awb),則〃力是周期函數，且2(8-〃)

是它的一個周期.

⑹若函數“X)的圖象既關丁?直線x=a對稱，又關丁點(。,0)對稱卜/工〃)、則”X)是周期函數，目

4(/)一〃)是它的一個周期.

二、選擇題：本題共3小題,每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的

得6分,部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.為了解推動出口后的畝收入(單位：萬元)情況,從該種植區抽取樣本，得到推動出口后畝收入的樣本均

值元=2.1,樣本方差d二o.oi,已知該種植區以往的畝收入x服從正態分布N(1.8,0.『卜假設推動出口后

的畝收入y服從正態分布N（元產）,貝j（）（若隨機變量z服從正態分布N（〃,b2）,P（Z<〃+crh0.8413）

A.P（X>2）>0.2

B.P（X>2）<0.5

C.P（K>2）>0.5

nP（y>2）<0.8

【命題意圖】本題考查正態分布，考查邏輯推理與數學運算的核心素養.難度：易

【答案】BC

【解析】依題可知口=2.1,$2=0.01,所以yN（2.1,0.1）,

故夕（丫>2）=。（丫>2.1—0.1）=0（丫<2.1+0.1）=0.8413>0.5《王確0錯誤：

因為XN（1.8,0.1），所以P（X>2）=P（X>1.8+2x0.1）,因為P（X<1.8+0.1卜0.8413,所以

P（X>1.8+0.1）?1-0.8413=0.1587<0.2,

而P（X>2）=P（X>1.8+2x01”尸（X>1.8+O1）<0.2,B正確,A錯誤，故選BC.

【點評】概率統計在新商考試卷中通百有2-3道題,山于概率統計知識點比較多，出題沒有固定方向，但人多有

實際背景.

【知識鏈接】

正態曲線的特點：①曲線位于x軸上方，與x軸不相交：②曲線是單峰的，它關于直線x=〃對稱：③曲線在x

=〃處達到峰值志：④曲線與工軸之間的面積為1:

2.解決正態分布問題有三個關鍵點：（：）對稱軸x="（2）標準差g（3）分布區間.利用對稱性可求指定范圍

內的概率值：由分布區間的特征進行轉化，使分布區間轉化為3。特殊區間,從而求出所求概率.注意只有

在標準正態分布下對稱軸才為A=0.

10.設函數/。）=（1一1）2（工一4）廁（）

A.x=3是/（X）的極小值點

B.當Ovxvl時,/（工）〈/（丁）

C.當1vxv2時.一4</（24-1）<0

D.當一1<x<0時,/（2-力>〃<）

【命題意圖】本題考直利用導數研究函數單調性，考直數學運算與邏輯推理的核心素養，難度：中

【答案】ACD

【解析】解法一:對于A,因為/"）=2"-1）（工一4）+"—球=3（*-1）（戈一3）.當天￡（1,3）時,f'（k<0,

當工?9」）或x?3,y）時,r（x）>OJ（x）在（—4）上單調遞胤在。,3）上單調遞減，在（3,4向上

單調遞增,X=3是函數/(x)的極小值點,A正確:對于B,當0VXV1時，1>x>x2>O,t±l/(x)在(0,1)上

單調遞增，可得/(大)>/，),B錯誤；對于C,當1<工<2時,lv2x-1<3,由/(力在(1,3)上單調遞減,

可存/(l)>/(2x-l)>/(3),即-4</(2.v-i)<0,C正確；對于D,當一lvx<()E寸,

/(2_X)_/(X)=(1_X)2(_2_X)_(X_1)2(X_4)=(X_1)2(2_2X)>0,所以/(2-X)〉/(X),D正確;

故選ACD.

解法二：對于A,由/'(x)=3(x-l)(x-3)Hxc(l,3Hir(x)<0^X￡(3,+8b4J'(x)>0^

x=3是函數小)的極小值點,A正確；對于B,取'=；，則/出=一力(￡)=一膏，嗎)>G)，B錯

誤：對于C,因為/(2x-l)=4(x-iy(2x-5)<0,〃2.r-l)+4=4(x-2)2(2x-l)>0,C正確：對于D,當

-i<x<0時，/(2-X)-/(X)=(1-X)2(-2-X)-(X-1)2(X-4)=(X-1)2(2-2X)>0,所以

/(2-X)>/(X),D正確；故選ACD.

【點評】利用導數研究函數單調性是高考熱點，客觀題中此類問題常與數式大小比較、不等式等知識交匯.

【知識鏈接】

1.確定函數單調區間的步驟(1)確定函數/(幻的定義域.(2)求/。).(3)解不等式/(x)>0.解集在定義域內的部

分為單調遞增區間.(4)解不等式/(x)<0,解集在定義域內的部分為單調遞減區間.特別提醒：劃分函數的單

調區間時，要在函數定義域內討論,還要確定導數為零的點和函數的間斷點.

2.根據函數單調性求參數的一般思路：(1)利用集合間的包含關系處理：)，=/。)在36)上單調，則區間⑶是

相應單調區間的子集.(2?(幻為增(減)函數的充要條件是對任意的x￡(a力)都有且在(為加內的

任一非空子區間上〃幻不恒為零,應注意此時式子中的等號不能省略，否則會漏解.(3)函數在某個區間上存在

單調區間可轉化為不等式有解問題.

II.造型上可以做成美麗的絲帶，將其看作圖中曲線C的一部分.已知C過坐標原點。且C上的點滿足橫坐標

大于-2,到點/(2,0)的距離與到定直線x=a[a<0)的距離之積為4,則()

A.a=-2

B.點(2忘,0)在。上

C.C在第一象限的點的縱坐標的最大值為1

D.當點（小,％）在。上時

%+2

【命題意圖】本題考瓷曲線與方程，考杳數學運算與邏輯推理的核心素養，難度:難

【答案】ABD

【解析】對于A：設曲線上的動點p（x,y）,則x>-2且而了下xk-a|=4、因為曲線過坐標原點，故

J（O—2）+（）2x|o-4=4，解得a=-2,故A正確.對于B：又曲線方程為—2『+y><卜+2|=4,而

x>-2,故^（x-2）>,y2x（x+2）=4.當x=2應,y=0時，J（2a-2『x（2應+2）=8-4=4,故

（2立。）在曲線的正確.對于。：由曲線的方程可得"滯廣（一）［取“|廁/吟小

64I645256-245

而--------1=---------=-------------->0,故此時產>1,故c在第一象限內點的縱坐標的最大值大于［，故C

49449449x4

16

錯誤.對于：當點（小，）'o）在曲線上時，由C的分析可得-2），故

D看山。二(%+2『

44

二,2不,故D正確.故選ABD.

【點評】往年解析幾何試題都是以圓、橢圓、雙曲線、拋物線為載體命題，該題以與生活有關的曲線命題，背

景新穎，時解題能力要求較高，是?道好題.

【知識鏈接】直接法求曲線方程時最關鍵的就是把幾何條件或等量關系翻譯為代數方程，要注意翻譯的等價

性.通常將步驟簡記為建系設點、列式、代換、化簡、證明這五個步驟，但最后的證明可以省略,如果給出了直

角坐標系則可省去建系這一步，求出曲線的方程后還需注意檢驗方程的純粹性和完備性.

三、填空題：本題共3小題,每小題5分，共15分.

12.設雙曲線。:￡-1=13>06>。）的左右焦點分別為斗、鳥，過F?作平行于）'軸的直線交C于48兩點,

a"n

若|KA|=13,|AB\=10,則C的離心率為.

【命題意圖】本題考查雙曲線，考查數學運算的核心素養，難度：易

3

【答案】一

2

22

【解析】解法?，由題可知瑪三點橫坐標相等，設人在第?象限陷、?="代入二一與二1

crb2

得y=±J,即Ac,--,B仁一2）,故［A.="-==已=5.又4|一|4用=%，得

[4匐二|4用+2〃=2a+5=13.解得々=4,代入2=5得〃=20,故d=々2+〃=36,,即c=6,所以

c_6_3

a~4~2

解法二：在直角居中舊4=13,|4用=5,由勾股定理得歸用=12,所以C的離心率為

【點評】本題通過應用雙曲線的定義和性質求離心率,沒有較為復雜的計算，屬于基礎題，高考中雙曲線客觀題

以容易題居多.

【知識鏈接】

毛一與=1(〃>0,〃>0)2從

1.過雙曲線才b-焦點且與實軸垂直的弦長為手:

2.在“焦點三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，結合|仍吊|一|/平2||=2?運用平方的方法,建立與IPQIMBI的

聯系.

3.根據雙曲線的漸近線求離心率常用結論：e=J】D

13.若曲線)，=eA+x在點(0,1)處的切線也是曲線y=ln(x+l)+。的切線，則。=.

【命題意圖】本題考查導數的幾何意義，考查邏輯推現、直觀想象,難度：中

【答案】In2

【解析】由y=eA+x得V=e，+1,yU=e0+1=2,故曲線y=e'+x在(0,1)處的切線方程為>'=2x4-1；

由y=ln(x+l)+a得)；■，設切線與曲線y=hi(x+l)+a相切的切點為(玉),In(%+1)+。),由兩曲

XI1

11(\1>

線有公切線得/=--=2,解得x0=--,則切點為一彳,。+】!1彳，切線方程為

%+12I22)

(|>1

y=2x+-+。+歷5=2工+1+。一的2,根據兩切線重合，所以〃-ln2=0.解得a=ln2.

【點評】用導數研究曲線的切線一直是高考的熱點，常考問題有：求曲線在某點處的切線，求過某點的切線

條數,公切線問題.

【知識鏈接】求解公切線問題,通常是設出兩個切點，分別寫出兩切線在這兩個切點處的切線，把兩切線方程轉

化為斜截式，再利用斜率與截距分別相等建立關系式求解.

14.甲、乙兩人各有四張卡片，每張卡片上標有一個數字，甲的卡片上分別標有數字1,357.乙的卡片上分別標

有數字246,8,兩人進行四輪比賽，在每輪比賽中,兩人各自從自己持有的卡片中隨機選一張，并比較所選卡片

上數字的大小，數字大的人得1分,數字小的人得0分,然后各自棄置此輪所選的卡片(棄置的卡片在此后的輪

次中不能使用).則四輪比賽后,甲的總得分不小于2的概率為.

【命題意圖】木題考查概率的計算，考查邏輯推理與數據分析的核心素苑難度：難

【答案】y

【解析】解法一：總的出牌結果有A：=24種，甲出1時比輸，所以甲最多得3分,且甲得3分的結果只有1種：

1一8.3-2,5-4,7-6,甲得2分的結果有：

(1)僅出3和5贏：1?6,3?2,54,7?8：(2)僅出3和7贏：1-4,3-2,54,7-6：1?8,3-2,5-67-4：1-63-2,5-8,7-4：

僅出5和7贏:1-2,3-8,5-4,7-6；1-43-8,5-2,7-6,；1-8,3-4,5-2,7-6,；1-6,3-8,5-2,7-4；1-83-6,5-2,7-4；1-6,3-8,5-4,7-2,；

1-8,365-4,7-2,得分不小于2分的總結果共12種,所以所求概率12=；1.

242

解法二：設甲在四輪游戲中的得分分別為X「X2，X3，X「四輪的總得分為X.

對于任意一輪，甲乙兩人在該輪出示每張牌的概率都均等，其中使得甲獲勝的出牌組合有六種,從而甲住該輪

獲勝的概率尸(X8=1)=搭=(所以E(XJ=/=123,4).

4433

從而E(X)=E(X+X2+X3+X4)=ZE(XJ=ZI=7.記PLP(X=《(Z=0,1,2,3).

A=I*=i占z

11

如果甲得0分，則組合方式是唯一的：必定是甲出1,3,5,7分別對應乙出246,8,所以〃0=*=五：如果甲

11

得3分，則組合方式也是唯一的，必定是甲山135,7分別對應乙山8,2,46所以為=丁下=k.而X的所行

31

可能取值是0.123,故〃()+〃|+〃2+〃3=LPl+2%+3〃3=E(x)=].所以Pl+〃2+丘=1.

Pl+2〃2+1=|,兩式相減即得p2+*=g，故P2+〃3=；?所以甲總得分不小于2的概率為

1

=/.

【點評】求隨機事件的概率一直是高考中的熱點,求解此類問題的關鍵確定概率模型，當問題比較復雜時要先

把相關事件用簡單事件的和與積表示，再利用相關公式求解.

【知識鏈接】

1.對于隨機事件A￡P(A+3)=P(A)+P(B)-4(AB),P(AB)=P(3")P(A)

2.若AB互斥，則尸(A+B)=P(4)+P(3),若AB相互獨立測尸(AB)=P(A)尸(5).

3.求概率的關鍵是分清所求事件是由哪些事件組成的，求解時通常有兩種方法

①將所求事件轉化成幾個彼此互斥的事件的和事件，利用概率加法公式求解概率.

②若將一個較復雜的事件轉化為幾個互斥事件的和事件時,需要分類太多，而其對立面的分類較少，可考慮利

用對立事件的概率公式，即“正難則反它常用來求“至少”或“至多”型事件的概率.

4.求古典概型的概率的關鍵是求試驗的基本事件的總數和事件A包含的基本事件的個數，這就需要正確列出

基本事件，在列舉基木事件空間時，可以利用列舉、畫樹狀圖等方法，以隊遺漏.同時要注意細節,如用列舉法,

注意是無序還是有序.在解答時,缺少必要的文字說明，沒有按要求列出基本事件是常見錯誤.

四、解答題；本題共5小題，共77分,解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.（13分）記4ABe內角A、B、C的對邊分別為a力已知sinC=拒858，〃2+/一才=0而

（1）求8；

（2）若_/3。的面積為3+6，求c.

【命題意圖】木題考查解三角形，考查數學運算與邏輯推理的核心素養,難度：難

解：（1）由余弦定理有/—c1=2aZ?cosC,因為a?4-h~-c2=.

所以cose/+/Y=&=也.

2ablab2

因為Cw（O,兀），所以sinC>0,

從而sinC=Vl-cos2C=Jl-4=.

因為sinC=血（：058'所以以）$8=二,

因為60（0,幾）,所以8=泉

J

由（1）知8=*cosC=Y^、C￡（0,兀），所以C=：,

（2）解法一:

717157r

A=n------=——,

3412

由.A?5兀.（兀兀）0601>/6+x/2

而sinA=sin—=sin—+—=——x——+——x—=-------,

12U6j22224

a_b_c

由正弦定理有.5兀一.兀一.兀，

sin—sin—sin—

1234

從而。=正巫.缶=?lc斤叵岳="c,

4222

c1人?廠16+1a后3+62_Q^A

月［以S.=-?/7sinC=--------c----c----=-------c-3+，3,

八R伙r222228

解得c=2&-

解法二：：由（1）知B=1.COSC=Y^.C￡（0,兀），所以C=3

324

a_b_c「?

由正弦