復習課第二十一章

一元二次方程2考點專練D

C

3考點專練D

C

一元二次方程一元二次方程的定義概念：①整式方程；②一元；③一次.一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)一元二次方程的解法直接開平方法配方法公式法因式分解法根的判別式及根與系數的關系根的判別式：Δ=b2-4ac根與系數的關系一元二次方程的應用傳播問題平均變化率問題幾何圖形面積問題等幾何問題知識網絡

若關于x的方程(m-1)x2+mx-1=0是一元二次方程，則m的取值范圍是（）A.m≠1B.m=1C.m≥1D.m≠0A練習1：方程5x2-x-3=x2-3+x的二次項系數是

，一次項系數是

，常數項是

.4-20專題復習一元二次方程的定義1例1解析

本題考查了一元二次方程的定義，即方程中必須保證有二次項（二次項系數不為0），因此它的系數m-1≠0,即m≠1,故選A.

若關于x的一元二次方程（m-1)x2+x+m2-1=0有一個根為0,則m=

.易錯提示

求出m值有兩個1和-1,由于原方程是一元二次方程，所以1不符合，應引起注意.-1練習2

一元二次方程x2+px-2=0的一個根為2，則p的值為

.-1

一元二次方程的根的應用2專題復習例2

根據一元二次方程根的定義可知將x=0代入原方程一定會使解析方程左右兩邊相等，故只要把x=0代入就可以得到以m為未知數的方程m2-1=0，解得m=±1的值.這里應填-1.這種題的解題方法我們稱之為“有根必代”.【易錯提示】(1)配方法的前提是二次項系數是1；（a-b)2與（a+b)2要準確區分；（2）求三角形的周長，不能盲目地將三邊長相加起來，而應養成檢驗三邊長能否成三角形的好習慣解析

(1)配方法的關鍵是配上一次項系數一半的平方；（2）先求出方程x2﹣13x+36=0的兩根，再根據三角形的三邊關系定理，得到符合題意的邊，進而求得三角形周長．一元二次方程的解法

(1)用配方法解方程x2-2x-5=0時，原方程應變為（）A.(x-1)2=6B.(x+2)2=9C.(x+1)2=6D.(x-2)2=9(2)

(易錯題）三角形兩邊長分別為3和6，第三邊的長是方程x2﹣13x+36=0的根，則該三角形的周長為（）

A．13B．15C．18D．13或18AA3專題復習例3練習3:菱形ABCD的一條對角線長為6，邊AB的長是方程x2-7x+12=0的一個根，則菱形ABCD的周長為（）A.16B.12C.16或12D.24A專題復習練習4：

用公式法和配方法分別解方程：x2-4x-1=0（要求寫出必要解題步驟）.專題復習一元二次方程的根的判別式的應用

已知關于x的一元二次方程x2-3m=4x有兩個不相等的實數根，則m的取值范圍是（）A.B.m<2C.m≥0D.m<0A易錯提示

應用根的判別式之前務必將方程化為一般形式，這樣能幫助我們正確確定a,b,c的值.知識點復習

>0

方程有兩個不相等的實數根；=0

方程有兩個相等的實數根；

<0

方程沒有實數根.

ΔΔΔ解析根據方程根的情況可知，此方程的根的判別式>0,即42-4×1×（-3m)=16+12m>0,解得,故選A.Δ4專題復習例4練習5：

下列所給方程中，沒有實數根的是（）A.x2+x=0B.5x2-4x-1=0C.3x2-4x+1=0D.4x2-5x+2=0練習6：（開放題）若關于x的一元二次方程x2-x+m=0有兩個不相等的實數根，則m的值可能是

（寫出一個即可）．D0專題復習

一元二次方程的根與系數的關系

已知一元二次方程x2－4x－3＝0的兩根為m，n，則m2－mn＋n2＝

．25解析

根據根與系數的關系可知，m+n=4,mn=-3.m2－mn＋n2＝m2+n2-mn=(m+n)2-3mn=42-3×(-3)=25.故填25.【重要變形】

練習7:

已知方程2x2+4x-3=0的兩根分別為x1和x2,則x12+x22的值等于（）A.7B.-2C.D.A5專題復習例5

一元二次方程的應用

某機械公司經銷一種零件，已知這種零件的成本為每件20元，調查發現當銷售價為24元，平均每天能售出32件，而當銷售價每上漲2元，平均每天就少售出4件.

(1)若公司每天的銷售價為x元，則每天的銷售量為多少？（2）如果物價部門規定這種零件的銷售價不得高于每件28元，該公司想要每天獲得150元的銷售利潤，銷售價應當為多少元？市場銷售問題6專題復習例6解析

本題為銷售中的利潤問題，其基本本數量關系用表析分如下：設公司每天的銷售價為x元.單件利潤銷售量（件）每星期利潤（元）正常銷售漲價銷售432x-2032-2(x-24)150其等量關系是：總利潤=單件利潤×銷售量.解：（1）32-(x-24)×2=80-2x;（2）由題意可得(x-20)(80-2x)=150.解得

x1=25,x2=35.由題意x≤28,∴x=25,即售價應當為25元.【易錯提示】銷售量在正常銷售的基礎上進行減少.要注意驗根.128專題復習

菜農小王種植的某種蔬菜，計劃以每千克5元的價格對外批發銷售.由于部分菜農盲目擴大種植，造成該種蔬菜滯銷.小王為了加快銷售，減少損失，對價格經過兩次下調后，以每千克3.2元的價格對外批發銷售.求平均每次下調的百分率是多少？解：設平均每次下調的百分率是x，根據題意得

5（1-x)2=3.2

解得x1=1.8(舍去）,x2=0.2=20%.答：平均每次下調的百分率是20%.平均變化率問題專題復習例7幾何問題

如圖1，在寬為20米，長為32米的矩形地面上修筑同樣寬的道路（圖中陰影部分），余下的部分種上草坪．要使草坪的面積為540平方米，求道路的寬.

圖1解析本題利用圖形的變換——平移，把零散的圖形面積集中化，再建立方程并求解.專題復習例8解：設道路寬為x米，由平移得到圖2，則寬為(20-x)米，長為（32-x)米，列方程得（20-x)(32-x)=540，整理得x2-52x+100=0.解得x1=50(舍去），x2=2.答：道路寬為2米.圖2圖1專題復習方法歸納

解決有關面積問題時，除了對所學圖形面積公式熟悉外，還要會將不規則圖形分割或組合成規則圖形，并找出各部分圖形面積之間的關系，再列方程求解.（注意：這里的橫堅斜小路的的寬度都相等）平移轉化專題復習練習6：

(易錯題）要在一塊長52米，寬48米的矩形綠地上，修建同樣寬的兩條互相垂直的甬路，下面分別是小亮和小穎的設計方案.5248xx圖①小亮設計的方案如圖①所示，甬面寬度均為xm,剩下四塊綠地面種共2300m2.小穎設計的方案如圖②所示，BC=HE=xm,AB∥CD,HG∥EF,AB⊥EF,∠1=60°.xxGFHEAD(1BC圖②5248解:(1)根據小亮的設計方案列方程，得（52-x)(48-x)=2300.解得x1=2,x2=98(不合題意，舍去）.答：小亮設計方案中甬路的寬度為2m；(2)在圖2中作AI⊥CD,HJ⊥EF,垂足分別是為I,J.∵AB∥CD,∴四邊形ADCB是平行四邊形.由（1）得x=2,∴AD=BC=HE=2m.在Rt△ADI中，∠ADC=∠1=60°，AD=2m,∴AI=m,同理HJ=m.∴小穎設計方案中四塊綠地的總面積=52×48-2×52-2×48+=2299（m2).xxGFHEAD(1BC圖②5248JI專題復習一元二次方程一元二次方程的定義二次項系數是含字母系數切記不要忽略a≠0.一元二次方程的解法用自己最熟練的方法就是最好的方法.一元二次方程的應用傳播問題，平均變化率問題，幾何面積問題，數字問題，握手問題與球賽問題必須熟練掌握.課堂總結1.要組織一次排球邀請賽，參賽的每個隊之間都要比賽一場，根據場地和時間等條件，賽程計劃安排7天，每天安排4場比賽．設比賽組織者應邀請x個隊參賽，則x滿足的關系式為（）A．x（x+1）=28 B．x（x﹣1）=28 C．x（x+1）=28 D．x（x﹣1）=282.一元二次方程x2﹣x﹣2=0的解是（）A．x1=1，x2=2 B．x1=1，x2=﹣2 C．x1=﹣1，x2=﹣2 D．x1=﹣1，x2=2BD隨堂即練4.為了宣傳環保，小明寫了一篇倡議書，決定用微博轉發的方式傳播，他設計了如下的傳播規則：將倡議書發表在自己的微博上，再邀請n個好友轉發倡議書，每個好友轉發倡議書之后，又邀請n個互不相同的好友轉發倡議書，依此類推，已知經過兩輪傳播后，共有111人參與了傳播活動，則n=

.3.若一元二次方程ax2=b（ab＞0）的兩個根分別是m+1與2m﹣4，則=

．410隨堂即練5.

2014年，某市某樓盤以每平方米4000元的均價對外銷售．因為樓盤滯銷，房地產開發商為了加快資金周轉，決定進行降價促銷，經過連續兩年下調后，2016年的均價為每平方米3240元．（1）求平均每年下調的百分率；（2）假設2017年的均價仍然下調相同的百分率，李老師準備購買一套100平方米的住房，他持有現金10萬元，可以在銀行貸款20萬元，李老師的愿望能否實現（房價每平方米按照均價計算）？解：（1）設平均每年下調的百分率為x,根據題意得

4000（1-x)2=3240解得x1=0.1=10%;x2=1.9(舍去）；

（2）購房所需資金=100×3240×（1-10%）=291600元=29.16萬元<30萬元.所以李老師的愿望能實現.隨堂即練25考點專練D

C

26C

9或－1

27解：x1＝12，x2＝－2.(2)49(x－3)2＝16(x＋6)2；(3)(x－2)(x＋3)＝66.解：x1＝－9，x2＝8.28★考點2根的判別式的應用7．若關于x的方程x2＋mx＋1＝0有兩個不相等的實數根，則m的值可以是 (

)A．0 B．－1C．2 D．－3D

29C

D

3010．若一元二次方程x2＋2x＋m＝0無實數解，則m的取值范圍是________.11．關于x的方程mx2＋x－m＋1＝0，有以下三個結論：①當m＝0時，方程只有一個實數解；②當m≠0時，方程有兩個不等的實數根；③無論m取何值，方程都有一個負數解，其中正確的是________.(填序號)m＞1

①③31★考點3根與系數關系的應用12．如果m、n是一元二次方程x2＋x＝4的兩個實數根，那么多項式2n2－mn－2m的值是 (

)A．16

B．14C．10

D．6B

3213．已知關于x的一元二次方程x2＋ax－5＝0的一個根是1，求a的值及該方程的另一個根．解：∵關于x的一元二次方程x2＋ax－5＝0的一個根是1，∴12＋a－5＝0，解得a＝4.設方程的另一個根為x2，則x2＋1＝－4，解得x2＝－5.故方程的另一個根為－5.3314．已知x1、x2是一元二次方程(a－6)x2＋2ax＋a＝0不相等的兩個實數根，是否存在實數a，使－x1＋x1x2＝4＋x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由．34★考點4一元二次方程的應用15．六一兒童節當天，某班同學每人向本班其他每個同學送一份小禮品，全班共互送1035份小禮品，如果全班有x名同學，根據題意列出方程為 (

)A．x(x＋1)＝1035 B．x(x－1)＝1035×2C．x(x－1)＝1035 D．2x(x＋1)＝1035C

3516．九(1)班同學畢業的時候，每人都必須與其他任何一位同學合照一張雙人照，全班共照相片780張，則九(1)班的人數是 (

)A．39

B．40C．50

D．6017．一個容器盛滿純藥液40L，第一次倒出若干升后，用水加滿；第二次又倒出同樣體積的溶液，這時容器里只剩下純藥液10L，則每次倒出的液體是______L.B

20

3618．某商店經銷的某種商品，每件成本為30元．經市場調查，當售價為每件70元時，可銷售20件．假設在一定范圍內，售價每降低2元，銷售量平均增加4件．如果降價后商店銷售這批商品獲利1200元，問這種商品每件售價是多少元？解：設每件商品應降價x元時，該商店銷售利潤為1200元．根據題意，得(70－30－x)(20＋2x)＝1200.整理，得x2－30x＋200＝0.解得x1＝10，x2＝20.所以70－x＝60或50.即每件商品售價60元或50元時，該商店銷售利潤達到1200元．3719．如圖，某小區有一塊長為18米，寬為6米的矩形空地，計劃在其中修建兩塊相同的矩形綠地，它們的面積之和為60米2，兩塊綠地之間及周邊留有寬度相等的人行通道，則人行道的寬為多少米？解