2024年北京市東城區中考數學一模試卷

一、選擇題（本題共16分，每小題2分）第1?8題均有四個選項，符合題意的選項只有一個.

1.（2分）在下列幾何體中，俯視圖是矩形的幾何體是（）

2.（2分）2024年2月29日，在國家統計局發布的《中華人民共和國2023年國民經濟和社會發展統計公

報》中，2023年全年完成造林面積400萬公頃（）

A.1.33X107B.I3.3X105C.1.33X106D.0.13X107

3.（2分）在平面直角坐標系立力，中，點A（0,2）,8（-1,0）,C（2,0）為0ABe。的頂點（）

A.（-3,2）B.（2,2）C.（3,2）D.（2,3）

4.（2分）若實數小人在數軸上的對應點的位置如圖所示，在下列結論中（）

-2a-10~C2^

A.\a\<\b\B.a+\<b+\C.42V廬Da>_h

5.（2分）在平面直角坐標系xOy中，點P（1,2）在反比例函數），=區（k是常數，kWO）,在該反比例

x

函數圖象上的是（）

A.（-2,0）B.（-I,2）C.（-1,-2）D.（1,-2）

6.（2分）如圖，A5是。O的弦，CQ是。。的直徑，不一定成立的是（）

A.AE=BEB.NCBD=90°C.ZCOB=2ZDD./COB=/C

7.（2分）一個不透明的口袋中有三個完全相同的小球，把它們分別標號為I,2,3.隨機摸出一個小球

后放回，兩次摸出的小球標號相同的概率為（）

A.AB.-i.C.AD.1

2369

8.（2分）2024年1月23日，國內在建規模最大塔式光熱項目一一甘肅省阿克塞匯東新能源“光熱+光伏”

試點項目，一萬多面定日鏡（如圖1），年發電量將達17億二瓦時.該項目采用塔式聚光熱技術，使用

國內首創的五邊形巨蜥式定日鏡（如圖2）的形狀可近似看作正五邊形，面積約為48/芹，則該正五邊

形的邊長大約是（）

（結果保留一位小數，參考數據：tan36°^0.7,tan54°F.4,倔弋6.5,收光4.6）

圖2

A.5.2mB.4.8mC.3.1mD.2.6ni

二、填空題（本題共16分，每小題2分）

9.（2分）若二次根式后I有意義，則實數x的取值范圍是.

10.（2分）因式分解：為2-181=.

11.（2分）方程國--的解為__________.

xx-3

12.（2分）若關于工的一元二次方程7-2x+〃?=0有兩個不相等的實數根，則〃?的取值范圍是.

13.（2分）為了解某校初三年級500名學生每周在校的體育鍛煉時間（單位：小時），隨機抽取了50名學

生進行調查，結果如表所示：

鍛煉時間X5?66?77?8x28

學生人數1016195

以此估計該校初三年級500名學生一周在校的體育鍛煉時間不低于7小時的約有人.

14.（2分）在RCABC中，NA=90°，點。在AC上，5.DE=DA,連接。&若NC=20°

如圖，已知直線/及直線/外一點P.

按如下.步驟作圖：

①在直線/上任取兩點八，B,作射線/1P,以點P為圓心，交射線八夕于點C；

②連接4C，分別以點4C為圓心^BC的長為半徑畫弧，兩弧分別交于點M，M交8c于點。;

③作直線PQ.

回答問題：

（1）由步驟②得到的直線MN是線段BC的；

（2）若與△CAB的面積分別為Si,S2,則Si：Si=

16.（2分）簡單多面體的頂點數（V）、面數（/）、棱數（E），稱為歐拉公式.

（1）四種簡單多面體的頂點數、面數、棱數如表：

名稱圖形頂點數（V）面數（F）棱數（￡）

三棱錐

長方體

五棱柱

正八面體

在簡單多面體中，匕F,E之間的數量關系是;

（2）數學節期間，老師布置了讓同學們自制手工藝品進行展示的任務，小張同學計劃做一個如圖所示

的簡單多面體作品.該多面體滿足以下兩個條件：①每個面的形狀是正三角形或正五邊形

小張同學需要準備正三角形和正五邊形的材料共個.

三、解答題（本題共68分，第17?22題，每題5分，第23?26題，每題6分，第27?28題，每題7.分）解

答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程.

17,（5分）計算:V48-2cos300+（K-1）°-|-2|-

x+2<6

18.（5分）解不等式組：｛5x+l、x-6?

.3-1〉2

19.（5分）己知2.廠9=0,求代數式一6』-3丫的值.

92

4x-4xy+y

20.（5分）如圖，四邊形A8C。是菱形.延長BA到點￡,使得AE=AB,使得A/=4O,連接8D,EF,

FB.

（1）求證：四邊形BDEF是矩形；

（2）若NAQC=120°,EF=2,求8小的長.

21.（5分）每當優美的“東方紅”樂曲從北京站的鐘樓響起時，會喚起很多人的回憶，也引起了同學們的

關注.某數學興趣小組測量北京站鐘樓A8的高度，不能直接到達鐘樓底部點B的位置，被遮擋部分的

水平距離為8C的長度.通過對示意圖的分析討論，其中一種方案的測量工具是皮尺和一根直桿.同學

們在某兩天的正午時刻測量了鐘樓頂端A的影子。到點C的距離，以及同一時刻直桿的高度與影長.設

43的長為x米

北京站鐘樓鐘樓、直桿及影長示意圖

測量數據（精確到0.1米）如表所示:

直桿高度直桿影長CD的長

第一次1.00.615.8

第二次1.00.720.1

（1）由第一次測量數據列出關于X,y的方程是,由第二次測量數據列出關于尤

y的方程是；

（2）該小組通過解上述方程組成的方程組，己經求得y=10,則鐘樓的高度約為米.

22.（5分）在平面直角坐標系X。），中，一次函數），=履+匕*為常數，AWO）的圖象由函數丫=11且經

3

過點A（3,2）,與％軸交于點8.

（1）求這個一次函數的解析式及點8的坐標：

（2）當-3時，對于x的每一個值，函數y=x+〃?的值大于一次函數曠=依+〃的值

23.（6分）某校初三年級兩個班要舉行韻律操比賽.兩個班各選擇8名選手，統計了他們的身高（單位：

cm）,數據整理如下:

aA班168171172174174176177179

2班168170171174176176178183

b.每班8名選手身高的平均數、中位數、眾數如下：

班級平均數中位數眾數

1班173.875174174

2班174.5mn

根據以上信息，回答下列問題：

（1）寫出表中“〃的值：

（2）如果某班選手的身高的方差越小，則認為該班選手的身高比較整齊.據此推斷：在1班和2班的

選手中，身高比較整齊的是班（填“1”或"2”）；

（3）I班的6位首發選手的身高分別為171,172,174,176,177.如果2班已經選出5位首發選手，

174,176,178,要使得2班6位首發選手的平均身高不低于1班6位首發選手的平均身高，則第六位

選手的身面是cm.

24.（6分）如圖，A8為。0的直徑，點C在。。上，直線CLLLAE于點交A8的延長線于點足

（1）求證：直線。。為。。的切線；

（2）當tanF二』，。。=4時，求8戶的長.

2

E

Di

C

25.（6分）小明是?位羽毛球愛好者，在?次單打訓練中，小明對“挑球”這種擊球方式進行路線分析,

擊球點P到球網AB的水平距離0B=\.5m.

小明在同一擊球點練習兩次，球均過網，且落在界內.

第一次練習時，小明擊出的羽毛球的飛行高度y（單位：M與水平距離x（單位：〃?）（x-2.5）2+2.35.

第二次練習時，小明擊出的羽毛球的飛行高度），（單位：〃?）與水平距離x（單位：加）

水平距離x/m01234

飛行高度y/〃？1.11.61.921.9

根據上述信息，I可答下列問題：

（1）直接寫出擊球點的高度；

（2）求小明第二次練習時，羽毛球的飛行高度y與水平距離x滿足的函數關系式：

（3）設第一次、第二次練習時，羽毛球落地點與球網的距離分別為小，d2,則小為（填“>”,

26.（6分）在平面直角坐標系xO.v中，M（xi,y\）,N（x2,yi）是拋物線（〃>0）上任意兩

點，設拋物線的對稱軸為直線x=/.

（I）若點（2,I）在該拋物線上，求/的值；

（2）當/W0時，對于4>2,都有yiV”，求加的取值范圍.

5

4

3

2

,1.1.Lj

-5-4-3-2-1O2345i

一1

-2

-3

-4

-5

27.（7分）在RtZvWC中，N84C=90°,AB=AC,七是8C邊上的點,DE』BO連接An過點D

2

作八。的垂線，兩垂線交r點尸.連接人尸交于點G.

（1）如圖1,當點。與點8重合時，直接寫出ND4”與NBAC之間的數量關系；

（2）如圖2,當點。與點B不重合（點短在點￡的左側）時，

①補全圖形；

②ND4尸與/84C在（1）中的數量關系是否仍然成立？若成立，加以證明，請說明理由.

（3）在（2）的條件下，直接用等式表示線段BQ,CG之間的數量關系.

28.（7分）在平面直角坐標系X。3,中，已知線段PQ和直線八，3線段尸。關于直線八，/2的“垂點距離”

定義如下：過點F作FM_L于點W,過點。作QN_L/2于點N,連接MV,稱MN的長為線段FQ關于

直線/1和/2的“垂點距離”，記作d.

（1）已知點P（2,1）,Q（1,2）,則線段PQ關于x軸和y軸的“垂點距離”d為：

（2）如圖I,線段PQ在直線y=-x+3上運動（點P的橫坐標大于點。的橫坐標），若PQ=VQ,則線

段PQ關于x軸和y軸的“垂點距離”d的最小值為；

（3）如圖2,已知點A（0,2V3）,04的半徑為ly=［反x+b與0A交于P，。兩點（點戶的橫坐

3

標大于點Q的橫坐標）丫=-7§相勺“垂點距離”d的取值范圍.

2024年北京市東城區中考數學一模試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題(本題共16分，每小題2分)第1?8題均有四個選項，符合題意的選項只有一個.

1.(2分)在下列幾何體中，俯視圖是矩形的幾何體是()

【解答】解:A、球的俯視圖是圓;

。、長方體俯視圖是矩形：

C、三棱錐俯視圖是三角形(三角形內部有一點與三角形的三個頂點相連接);

。、圓柱俯視圖是圓；

故選：B.

2.(2分)2024年2月29日，在國家統計局發布的《中華人民共和國2023年國民經濟和社會發展統計公

報》中，2023年全年完成造林面積400萬公頃()

A.1.33X107B.I3.3XI05C.1.33X106D.0.13X107

【解答】解：1330000=1.33X1()6.

故選：C.

3.(2分)在平面直角坐標系xOy中，點A(0,2),B(-1,0),C(2,0)為。4BCO的頂點()

A.(-3,2)B.(2,2)C.(3,2)D.(2,3)

???點A(0,2),5),0)為。川定'。的頂點,

，4。=8c=3,AD//BC,

，頂點。的坐標為（2,2）,

故選：C.

4.（2分）若實數小力在數軸上的對應點的位置如圖所示，在下列結論中（）

-2a-10~~C2^

A.同<網B.a+l<b+lC.粘<川口.a>-b

【解答】解：根據圖示，可得-2V”V-1,

<?3<?<-L0V〃V4,

???lV|a|V2,5<|Z?|<1,

???同》網，

???選項人不符合題意；

V-2<a<-7,0</?<1,

:.a〈b,

.\a+6<b+\,

，選項B符合題意：

：-2<a<-8,0</?<1,

???6Va2V4,6V戶vi,

???選項C不符合題意；

V0<Z?<7,

-1<-Z?<0,

V-4<?<-1,

.*.?<-b,

???選項。不符合題意.

故選：B.

5.（2分）在平面直角坐標系xOy中，點P（1,2）在反比例函數），=區（&是常數，太W0）,在該反比例

x

函數圖象上的是（）

A.（-2,0）B.（-I,2）C.（-1,-2）D.（1,-2）

【解答】解：根據題意得，k=xy=\X2=5,

???將A,B,C,。四個選項中點的坐標代入得到4=6的點在反比例函數的圖象上.

故選：C.

6.（2分）如圖，是。。的弦，CQ是的直徑，不一定成立的是（）

A.AE=BEB.NC8/)=90°C.NCOB=2/DD.NCOB=NC

【解答】解：???CO是。。的直徑，CDLAB,

：?AE=BE,NCBD=90°,NCBO=NC,

故A、B、C不符合題意；

故選：D.

7.（2分）一個不透明的口袋中有三個完全相同的小球，把它們分別標號為1,2,3.隨機摸出一個小球

后放回，兩次摸出的小球標號相同的概率為（）

A.AB.AC.AD.A

2369

【解答】解：列表如下：

124

1(1,8)(1,2)(7,3)

2(6?1)&〃加/(2,(2,3)

8)

4(3,1)(3,2)&nbs/y,(3,

4)

共有9種等可能的結果，其中兩次摸出的小球標號相同的結果有3種，

???兩次摸出的小球標號相同的概率為國」.

98

故選:B.

8.（2分）2024年1月23日，國內在建規模最大塔式光熱項目一一甘肅省阿克塞匯東新能源“光熱+光伏”

試點項目，一萬多面定FI鏡（如圖1）,年發電量將達17億二瓦時.該項目采用塔式聚光熱技術，使用

國內首創的五邊形巨蜥式定日鏡（如圖2）的形狀可近似看作正五邊形，面積約為48〃?2,則該正五邊

形的邊長大約是（）

（結果保留一位小數，參考數據：tan36°^0.7,tan54°^1.4,742^6.5,收光4.6）

圖1圖2

A.5.2mB.4.8/nC.3.7/〃D.2.6m

【解答】解：如圖：設正五邊形的中心為O,連接。八，過點。作。尸_LA8,

555

*：OA=OB,O凡LAB,

???4。尸=工乙408=36°，

2

設OF=x〃i,

在RtZXOA尸中，A尸=。戶tan36°^0.2x(〃?),

,?A13=2AF=l.3x(m),

??.44?。產=型,

22

—?6.4.vx=—,

25

解得:x%7.71,

：,AB=\Ax^2.2(小),

???該正五邊形的邊長大約是5.6小,

故選：A.

二、填空題(本題共16分，每小題2分)

9.(2分)若二次根式后I有意義，則實數%的取值范圍是.

【解答】解：由題可知，

x-120,

解得x22.

故答案為：

10.(2分)因式分解：2￥、2-|分=2x(y+3)(y-3).

【解答】解：2xy2-18x=4x(『-9)=7x(y+3)(y-3).

故答案為：5x(y+3)(y-3).

11.(2分)方程旦」_的解為x=9.

xx-3

【解答】解：旦=~^,

xx-6

方程兩邊都乘x(X-3),得3(x-8)=2AS

3x-3=2A4,

3x-2x=9,

x=9,

檢驗：當x=6時，x(x-3)WO,

所以分式方程的解是x=6.

故答案為：x=9.

12.(2分)若關于x的一元二次方程/-2%+加=0有兩個不相等的實數根，則〃?的取值范圍是m<\.

【解答】解：???關于x的一元二次方程7-2x+m=3有兩個不相等的實數根，

J△=(-2)2-6X1Xm=4-3機>0，

解得：mVL

故答案為：〃?<8.

13.(2分)為了解某校初三年級500名學生每周在校的體育鍛煉時間(單位：小時)，隨機抽取了50名學

生進行調查，結果如表所示：

鍛煉時間X5?66?77?8x28

學生人數1016195

以此估計該校初三年級500名學生周在校的體育鍛煉時間不他于7小時的約有240人.

【解答】解：估計該校初三年級500名學生一周在校的體育鍛煉時間不低于7小時的約有500X生生=

50

240（人），

故答案為：240.

14.（2分）在RtZ\A8C中，NA=90°，點。在AC上，且。E=D4,連接08.若NC=20035°.

AZABC=90°-ZC=70°,

???QE_14c于點￡,

；?NBED=90",

在RtAEBD和中，

：BD=BD,

<DE=DA，

/.RtAEBD^RtAABD(HL),

：.NDBE=ZDBA=^ZABC=35°,

2

故答案為：35.

解法二：VZA=90°,ZC=20°,

AZABC=90°-ZC=70°,

VZA=90°,

VDE±/?C,RDE=DA,

???點。在/ABC的平分線上，

：,BD平分NABC,

；?NDBE=NDBA=￡ABC=35。,

2

故答案為：35.

15.(2分)閱讀材料：

如圖，已知直線/及直線/外一點P.

按如N步驟作圖：

①在直線/上任取兩點48,作射線AP,以點產為圓心，交射線AP于點C

②連接BC,分別以點8,C為圓心-IBC的長為半徑畫弧，兩弧分別交于點M，N,交8c于點Q；

2

③作直線PQ.

回答問題：

（1）由步驟②得到的直線MN是線段BC的垂直平分線；

（2）若acp。與△C48的面積分別為Si,S2,則Si：S2=_-l_.

【解答】解：（1）由作圖過程可知，步驟②得到的直線MN是線段BC的垂直平分線.

故答案為：垂直平分線.

（2）由作圖過程可知，AP=CP,

?：MN是線段BC的垂直平分線，

???CQ=I3Q,

?.?'CP,HCQz:'1■，

ACBC2

■:NPCQ=NACB,

：.4PCQs4入CB,

.*.52：52=（A）2=_l.

故答案為：1.

4

16.（2分）簡單多面體的頂點數（V）、面數（F）、棱數（E）,稱為歐拉公式.

（1）四種簡單多面體的頂點數、面數、棱數如表:

名稱圖形頂點數（V）面數（F）棱數（￡）

三棱錐446

長方體8612

在簡單多面體中，V,F,E之間的數量關系是"八￡=2；

（2）數學節期間，老師布置了讓同學們自制手工藝品進行展示的任務，小張同學計劃做一個如圖所示

的簡單多面體作品.該多面體滿足以下兩個條件：①每個面的形狀是正三角形或正五邊形

小張同學需要準備正三角形和正五邊形的材料共32個.

【解答】解；（1）四面體的棱數為6；正八面體的頂點數為6；

故答案為：V+F-￡=4：

（2）設正五邊形x塊，正三邊形），塊

x+y+'x4x-5x=2

3x=3y

解得*iZ

ly=20

所以正五邊形為12塊，正三邊形為20塊.

所以需要準備正三角形和正五邊形的材料共32個.

故答案為：32.

三、解答題（本題共68分，第17?22題，每題5分，第23?26題，每題6分，第27?28題，每題7.分）解

答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程.

17.（5分）計算：V48-2cos300+（K-1）°-|-2|-

【解答】解：原式=4正-7X返

2

=373-V3+5-2

=3圾-1.

\+2<6

18.(5分)解不等式組:5x+l1x-6?

I-2

x+2<6①

【解答】解:?-2沖②'

解不等式①，得：x<2,

解不等式②，得：X2-2,

???原不等式組的解集為-2WxV4.

19.(5分)已知2x-)，-9=0,求代數式一：x-3y的值.

4x2-4xy+y2

【解答】解：??2-廠9=6,

，2x-y=9,

,?.8x-3y

4x8-4xy+y2

,4(2x-y)

(2x-y)3

「3

2x-y

當6x-y=9時,

原式=3=2.

53

20.(5分)如圖，四邊形A8c。是菱形.延長ZM到點￡,使得A￡=43,使得Ab=A。，連接3。，EF,

(I)求證：四邊形產是矩形；

(2)若N4OC=120°,EF=2,求8尸的長.

B

【解答】（1）證明：???AE=48,AF=AD,

???四邊形BOE/為平行四邊形，

???四邊形A6C。為菱形，

：.AB=AD,

：.AE=AB=AF=AD,

:?BE=DF,

工平行四邊形8OE尸是矩形；

（2）解：由（1）可知，AB=AD,

：?NDBF=90",BD=EF=2,

???四邊形48CQ是菱形，

???NAO6=1AQC=60。，

7

???△A/如是等邊三角形，

：.AB=AD=BD=2t

：.DF=2AD=S,

???^=VDF2-BD2=V82-24=2V3>

即8尸的長為8勺分.

21.（5分）每當優美的“東方紅”樂曲從北京站的鐘樓響起時，會喚起很多人的回憶，也引起了同學們的

關注.某數學興趣小組測量北京站鐘樓48的高度，不能更接到達鐘樓底部點B的位置，被遮擋部分的

水平距離為8。的長度.通過對示意圖的分析討論，其中一種方案的測量工具是皮尺和一根直桿.同學

們在某兩天的正午時刻測量了鐘樓頂端A的影子。到點C的距離，以及同一時刻直桿的高度與影長.設

的長為x米

直桿高度直桿影長C。的長

第一次1.00.615.8

第二次1.00.720.1

（1）由第一次測量數據列出關于X,y的方程是V=O&-15.8,由第二次測量數據列出關于x,y

的方程是y=0.7x-20.1；

（2）該小組通過解上述方程組成的方程組，已經求得），=10,則鐘樓的高度約為43米.

【解答】解：（I）由同一時刻測星，可得且篥辱一處，

直桿影長BD

第一次測量：二一=_乙—,化簡得，

0.215.84y

第二次測量：―2—，化簡得，

4.720.1V

故答案為：y=2.6x-15.8,y=8.7x-20.1；

（2）對于y=5.6x-15.8,代入y=10,

得,6.6x75.8-10,

解得：x=43,

工鐘樓A8=43米，

故答案為：43.

22.（5分）在平面直角坐標系X。），中，一次函數y=M+b（k為常數，&W0）的圖象由函數y」x，且經

3

過點A（3,2）,與X軸交于點B.

（1）求這個一次函數的解析式及點8的坐標；

（2）當x>-3時，對于x的每一個值，函數），=x+，〃的值大于一次函數的值

【解答】解：（I）???一次函數y=依+力的圖象由函數y」x的圖象平移得到，8）,

3

.k]

???O9

4k+b=2

解得5,

b=l

???一次函數的解析式為產工+1：

4

Sby=-lx+l中L+l,

37

解得x=-3,

的坐標為（-6,0）；

（2）當x=-3時，y=x+m=-8+〃?1+5=2，

33

V當x>-5時，對于x的每一個值1+3的值，

3

-3+〃?20,

解得，〃25,

，機的取值范圍是〃?23.

23.（6分）某校初三年級兩個班要舉行韻律操比賽.兩個班各迷擇8名選手，統計了他們的身高（單位:

cm），數據整理如下：

a.\班168171172174174176177179

2班168170171174176176178183

b.每班8名選手身高的平均數、中位數、眾數如下：

班級平均數中位數眾數

1班173.875174174

2班174.5n

根據以上信息，回答下列問題：

（I）寫出表中，〃，〃的值；

（2）如果某班選手的身高的方差越小，則認為該班選手的身高比較整齊.據此推斷：在1班和2班的

選手中，身高比較整齊的是1班（填“1”或"2”）；

（3）1班的6位首發選手的身高分別為171,172,174,176,177.如果2班已經選出5位首發選手，

174,176,178,要使得2班6位首發選手的平均身高不低于I班6位首發選手的平均身高，則第六位

選手的身高是170cm.

【解答】解：（1）2班數據從小到大排列為168、170、174、176、183

從中可以看出一共八個數，第四個數據為174,所以這組數據的中位數為：（174+176）+2=175；

其中176出現的次數最多，所以這組數的眾數為176；

故答案為：175、176.

（2）根據方差的定義可以知道，方差越大，離散程度越大，反之亦然.

2班的身高分布于168-179,2班的身高分布于168-183,

從中可以看出，I班的數據較2班的數據波動較小，所以1班的選手身高比較整齊，

故答案為：1.

(3)(171+172+174+174+176+177)4-3=1741厘米)

設2班第六位選手的身高為x厘米，

則(171+174+176+176+178+x)+62174,

G169,

據此，第六位可選的人員身高為170,

若為170時,7班的身高數據分布于170-178,2班的身高數據分布于171-183,

從中可以看出當身高為170時的數據波動更小，更加穩定，

所以第六位選手的身高應該是170厘米，

故答案為：170.

24.(6分)如圖，A8為。。的直徑，點C在。。上，直線CQ_L4E于點。，交A8的延長線于點F.

(1)求證：直線C。為。。的切線；

(2)當tanF二』，。。=4時，求3r的長.

2

【解答】（1）證明：連接OC,

,：OA=OC,

：.ZCAO=ZACO,

/EAC=/CAB,

：,ZDAC=ZACO,

'：OC//ADf

，：CDAD,

：.OCA.DF,

???OC是OO的半徑，

?,?直線CO為。。的切線；

⑵解：???tanF'1，

.0C5

CF2

設OC=x,則C尸=2r,

=72=,

JOFV0C-*€F^X

i：OC//AD,

:.XAFDSXOFC,

?CFOF

??正X，

.4x_ax

2x+4V5x+x

：?x=2g

25.（6分）小明是一位羽毛球愛好者，在一次單打訓練中，小明對“挑球”這種擊球方式進行路線分析,

擊球點P到球網AB的水平距離08=1.5%

小明在同一擊球點練習兩次，球均過網，且落在界內.

第一次練習時，小明擊出的羽毛球的飛行高度y（單位：加）與水平距離x（單位：切）（x?2.5）2+2.35.

第二次練習時，小明擊出的羽毛球的飛行高度），（單位：〃力與水平距離工（單位：加）

水平距離x/m01234

飛行高度1.11.61.921.9

根據上述信息，回答下列問題：

（1）直接寫出擊球點的高度；

（2）求小明第二次練習時，羽毛球的t行高度y與水平距離x滿足的函數關系式；

（3）設第一次、第二次練習時，羽毛球落地點與球網的距離分別為力，力，則力V力（填

【解答】解：(1)當，=0時,y=-0.6(0-2.2)*2+3452.35=4.1,

故擊球點的高度為1.5w：

(2)由表格信息可知，第二次練習時，2),

設拋物線的解析式為：y=a(x-3)6+2,

過點(4,3.9),

，1.5=4(4-3)8+2,

解得a=-0.6,

二拋物線的解析式為：y=-0,1(x-7)2+2,

(3)???第一次練習時，當y=6時2+2.35.

解得刈=也1?75+2.5,T7=-V11.75+2.5<5(舍去)，

???力=也1?75+2.8-1.5=31.75,

???第二次練習時，當y=8時2+2.

解得犬6=2^5+7,-2>6+3Vo(舍去)，

：?d?=2^5+5-1.5=4通，

VV11.75+K8V5.

.,.d\<cUf

故答案為：V

26.(6分)在平面直角坐標系xOy中，A/(xi,y\N(心，”)是拋物線>?=3?+幾+1(a>0)上任意兩

點，設拋物線的對稱軸為直線x=f.

(1)若點(2,1)在該拋物線上，求/的值；

(2)當/W0時，對于4>2,都有yiV中,求用的取值范圍.

斗

5-

4-

3-

2-

-5-4-3-2-1O12345

-1-

-2-

-3-

-4-

-5-

【解答】解：（1）丁點（2,1）在該拋物線

：?86?+2/?+1=8,

：.b=-2a,

.*.Z=--=4；

2a

(2)??丁忘0時，X2>4,

:?N（xj,yz）的對稱點的橫坐標人7y-2,

???拋物線），=aP+〃"4（。＞0）開口向上，yiV.vs,

:.-2WwW3.

￡是〃。邊上的點，DE」BC，連接AQ.過點。

2

作A。的垂線，兩垂線交于點立連接Ab交4c于點G.

（1）如圖1,當點。與點B重合時，直接寫出ND4戶與NBAC之間的數量關系;

（2）如圖2,當點。與點B不重合（點。在點E的左側）時,

①補全圖形;

②ND4/與N84C在（1）中的數量關系是否仍然成立？若成立，加以證明，請說明理由.

（3）在（2）的條件下，直接用等式表示線段8Q,CG之間的數量關系.

圖2

【解答】解：(1)當點。與點B重合時，ZDAF=1,理由如下:

2

如圖4,

???點。與點B重合，點。，互。七=工,

2

是的中點,

???/84。=90°,AB=AC,

AAE1BC,NBAE=&,

2

???NAE8=/8EE=90°,

AZAEB+ZBEF=]SO°,即A、E,

???NBA尸=-1/8AG1N8AC：

42

（2）①補全圖形如圖8所示：

②仍然成立

2

如圖6,過點A作AH_L8C于點從

VZDEF=90°,

，NAHD=/DEF,

:ZADH+ZFDE=NADH+NDAH=90°

:?NDAH=/FDE,

VZ5AC=90°,AB=AC,

2

?;DE=2BC,

2

：.AH=DE,

:,叢ADHQXDFE(A4S),

：.AD=DF,

VZADF=90°,

???△AD/是等腰直角三角形，

???NOA尸=45",

???ZDAF=AZBAC：

3

(3)BD2+CG2=DG5,理由如下：

如圖4,將△ACG繞點A順時針旋轉90°得到△/WG',

則8G'=CG,AGf=AG,/BAG'=NC4G,

VZBAC=90°，AB=AC,

AZABC=ZACG=45°,

/.ZABC+ZABG,=90°,即NQ4G'=90",

:.BN+BG，3=DGf2,

由（2）知NOA尸=45°,即/D4G=45°,

???NBAO+NCAG=45°,

：,ZBAD