微分方程

—積分問題—微分方程問題

推廣

微分方程的基本概念第一節二、微分方程的基本概念一、引例

引例1.一曲線通過點(1,2),在該曲線上任意解:設所求曲線方程為y=y(x),則有如下關系式:①(C為任意常數)由②得C=1,因此所求曲線方程為②由①得點處的切線斜率為2x,求該曲線的方程.

引例2.列車在平直路上以的速度行駛,制動時獲得加速度求制動解:設列車在制動后

t

秒行駛了s

米,已知由前一式兩次積分,可得利用后兩式可得因此所求運動規律為即求

s

=s(t).后列車的運動規律.

含未知函數及其導數的等式方程中所含未知函數導數的最高階微分方程的基本概念數稱為微分方程的階.◆微分方程：稱為微分方程.◆微分方程的階：使方程成為恒等式的函數.◆微分方程的通解：解中所含獨立的任意常數的個數等于方程的階數.◆微分方程的特解：◆微分方程的解：將通解中的任意常數取定為一組值

引例2確定通解中任意常數的條件.引例1

通解:特解:◆初始條件：方程形式通解形式初始條件

例1.驗證函數是微分方程的解,的特解.解:

這說明是方程的解.是兩個獨立的任意常數,利用初始條件易得:故所求特解為故它是方程的通解.并求滿足初始條件第二節

內容小結微分方程的概念微分方程;定解條件;說明:通解不一定是方程的全部解.有解后者是通解,但不包含前一個解.例如,方程解;階;通解;特解y=–x

及

y=C

第二節

作業P1601,3,4.一階微分方程第二節一、可分離變量的微分方程二、齊次方程三、一階線性微分方程

兩邊積分可分離變量方程的形式及解法：如果可以寫成則目的：dx與dy拆開，且保證dx前面是一個dy前面是一個僅與y僅與x有關的函數，有關的函數實現兩個變量的分離

一、可分離變量的微分方程例1.求微分方程的通解.解:分離變量得兩邊積分得即(C為任意常數)說明:在求解過程中每一步不一定是同解變形,因此可能增、減解.(此式含分離變量時丟失的解y=0)

例2.

解初值問題解:分離變量得兩邊積分得即由初始條件得C=1,(C為任意常數)故所求特解為

例3.

求下述微分方程的通解:解:令則故有即解得(C為任意常數)所求通解:

例4:解：分離變量即(C<0

)(C為任意常數)

二、齊次方程形如的方程叫做齊次方程.令代入原方程得兩邊積分,得積分后再用代替u,便得原方程的通解.解法:分離變量:

例1.解微分方程解:代入原方程得分離變量兩邊積分得故原方程的通解為(當C=0時,

y=0也是方程的解)(C為任意常數)

例2.解微分方程解:則有分離變量積分得代回原變量得通解即說明:顯然

x=0,y=0,y=x也是原方程的解,但在(C為任意常數)求解過程中丟失了.

例3.

積分得故有得

(拋物線)

三、一階線性微分方程一階線性微分方程標準形式:若Q(x)

0,若Q(x)

0,稱為線性非齊次方程.方程的特點：稱為線性齊次方程;

關于未知函數的部分、都是一次方、冪的形式如：是不是1.解齊次方程分離變量兩邊積分得故通解為

當C任取常數時，函數只能是齊次方程的解，要想得到非齊次方程的解，設想將常數C換成x的函數C(x)而成為非齊次方程的解目的是確定函數C(x)的具體形式對應齊次方程通解2.解非齊次方程常數變易法則故原方程的通解即設兩端積分得

是非齊次方程的解，這種將齊次方程通解中的常數C換成x的函數而求得非齊次方程通解的方法稱為由非齊次方程通解的公式：齊次方程通解非齊次方程特解即

記作：例1.解方程

解:故原方程通解為

例2.求方程

解:

的特解由得，特解：例3.求方程的通解.解:所求通解為這是以x為未知函數，y為自變量的一階線性非齊次方程

即例4.

判別下列方程類型:可分離變量方程齊次方程線性方程線性方程

內容小結1.可分離變量方程的求解方法:分離變量后積分;根據定解條件定常數.

2.一階線性方程方法1先解齊次方程,再用常數變易法.方法2用通解公式思考與練習求下列方程的通解:提示:(1)分離變量(2)方程變形為

作業P1681(3),(4),(5)；4；

5(1),(3),(5),(6)；

6(1),(2),(4)；7.

第三節

二、型的微分方程可降階高階微分方程第三節一、型的微分方程三、型的微分方程

一、令因此即同理可得依次通過

n

次積分,可得含

n

個任意常數的通解.型的微分方程

例1.解:

型的微分方程

設原方程化為一階方程設其通解為則得再一次積分,得原方程的通解二、

例2.求解解:代入方程得分離變量積分得利用于是有兩端再積分得利用因此所求特解為

三、型的微分方程

令故方程化為設其通解為即得分離變量后積分,得原方程的通解

例3.求解代入方程得兩端積分得(一階線性齊次方程)故所求通解為解:

例4.解初值問題解:令代入方程得積分得利用初始條件,根據積分得故所求特解為得

內容小結可降階微分方程的解法——降階法逐次積分令令

P1731(1，3,4,6,);2，4，6.作業

第六節

二階常系數非齊次線性方程第四節二、三、

一、線性非齊次方程解的結構二階常系數線性非齊次方程的一般形式:稱①

一、二階常系數線性非齊次方程解的結構②為相應于非齊次方程的齊次方程。定理：設是非齊次方程①的一個解，而是所相應的齊次方程②的解，則仍然是非齊次方程①的解。第一步：根據f(x)的形式,第二步：代入原方程以確定函數表達式中的待定系數.—待定系數法

如果是所相應的齊次方程②的通解則由上述定理得非齊次方程①通解的結構。定理：是非齊次方程①的一個特解，而是所相應的齊次方程②的通解，則成為非齊次方程①的通解。設求特解的方法的函數形式；確定二、

為實數,設特解為其中為待定多項式,代入原方程,得(1)若不是特征方程的根,則取從而得到特解形式為為已知的m

次多項式.Q(x)為m次待定系數多項式

(2)若是特征方程的單根,為m次多項式,故特解形式為(3)若

是特征方程的重根,是m次多項式,故特解形式為即即

小結對方程不是特征根可設特解

其中為已知的m次多項式。是特征單根是特征重根其中為待定的m次多項式。例1.的一個特解.解:本題特征方程為不是特征方程的根.設所求特解為代入方程:比較系數,得所求特解為

寫全一個二次多項式例2.的通解.

解:本題特征方程為特征根對應齊次方程的通解為設非齊次方程特解為比較系數,得因此特解為代入方程得所求通解為

三、

對非齊次方程可設特解其中不是特征根是特征單根例3.的一個特解

.解:本題特征方程故設特解為不是特征方程的根,代入方程得比較系數,得于是求得一個特解

例4.的通解.

解:特征方程為其根為對應齊次方程的通解為比較系數,得因此特解為代入方程:所求通解為為特征方程的單根,因此設非齊次方程特解為

（其中為實數).例5.求微分方程的通解解:特征方程特征根:對應齊次方程通解:時,代入原方程得故原方程通解為時,代入原方程得故原方程通解為

內容小結

為特征方程的k(＝0,1,2)重根,則設特解為為特征方程的k(＝0,1)重根,則設特解為

作業P3651(3,4,7);2(4)

微分方程的應用第五節

氧氣充足時，酵母增長規律為下，酵母的發酵過程中會產生酒精，酒精將抑制酵母的繼續發酵，在酵母增長的同時，酒精量也相應增加，酒精的抑制作用也相應增加，致使酵母的增長率逐漸下降，直到酵母量穩定地接近于一個極限值為止。上述過程的數學模型如下其中，

求解此微分方程，并假定當為酵母量最后極限值，是一個常數。它表示在前期酵母的增長率逐漸上升，到后期酵母增長率逐漸下降。時，酵母的現有量為而在缺氧條件例1.如何求解

解:方程可變形為兩邊積分即得

因此所求微分方程的通解為又由初始條件時，可得于是微分方程的特解為即這就是在缺氧條件下，求得的酵母的現有量與時間的函數關系。其圖形所對應的曲線叫做生物生長曲線，又名Logistic曲線，其圖形為

在實際應用中常常遇到這樣一類變量：變量的增長率與現有量種變量是按Logistic曲線方程變化的。、飽和值與現有量的差都成正比。這在生物學、經濟學等學科中常可見到這種類型的模型。例2.力與速度成正比,(t=0)速度為0,求解:根據牛頓第二定律列方程初始條件為對方程分離變量,然后積分:得利用初始條件,得代入上式后化簡,得特解并設降落傘離開跳傘塔時設降落傘從跳傘塔下落后所受空氣阻降落傘下落速度與時間的函數關系.t

足夠大時

在閉合回路中,所有支路上的電壓降為0例3.有一電路如圖所示,電阻

R和電～解:列方程.已知經過電阻R的電壓降為Ri

經過L的電壓降為因此有即初始條件:由回路電壓定律:其中電源求電流感L都是常量,

～解方程:由初始條件:得利用一階線性方程解的公式可得

暫態電流穩態電流～因此所求電流函數為解的意義:

例4.一鏈條掛在一釘子上,啟動時一端離釘子8m,另一端離釘子12m,如不計釘子對鏈條所產生的摩擦力,求鏈條滑下來所需的時間.解:建立坐標系如圖.設在時刻t,鏈條較長一段下垂xm,又設鏈條線密度為常數此時鏈條受力由牛頓第二定律,得

由初始條件得故定解問題的解為解得當x=20m時,(s)微分方程通解:思考:若摩擦力為鏈條1m長的重量,定解問題的數學模型是什么?

摩擦力為鏈條1m長的重量時的數學模型為不考慮摩擦力時的數學模型為此時鏈條滑下來所需時間為

P1871,2,3，4.作業

第四節

微分方程的解法習題課一、一階微分方程求解三、解微分方程應用問題及應用

二、二階微分方程的解法一、一階微分方程求解1.一階標準類型方程求解關鍵:辨別方程類型,掌握求解步驟2.一階非標準類型方程求解變量代換法——代換某組合式可分離變量方程線性方程

例1.求下列方程的通解提示:(1)故為分離變量方程:通解

調換自變量與因變量的地位,用線性方程通解公式求解.化為

例2.求下列方程提示:令u=xy,得(分離變量方程)原方程化為

的通解例