高等數(shù)學(xué)下冊(cè)（第2版）課件：全微分_第1頁(yè)
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二、全微分的計(jì)算

一、全微分的定義全微分

一、全微分的定義回憶一元函數(shù)y=f(x)的微分可微可導(dǎo)，且

1.定義:如果函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)處可以寫成其中A,B不依賴于

x,

y,僅與x,y有關(guān)，稱為函數(shù)在點(diǎn)(x,y)的全微分,記作則稱函f(x,y)在點(diǎn)(x,y)處可微，的全增量數(shù)

函數(shù)在D內(nèi)可微.則稱若函數(shù)在域D內(nèi)每一點(diǎn)處都可微，可微設(shè)函數(shù)可微，得連續(xù)即2.可微與連續(xù)的關(guān)系由微分定義:

定理1(必要條件)若函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)可微必存在,且有3.可微與可偏導(dǎo)的關(guān)系:，即習(xí)慣上把自變量的增量寫成微分,得全微分計(jì)算公式,則函數(shù)在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)可微偏導(dǎo)數(shù)存在定理表明：

例1:設(shè)易知但因此,函數(shù)在點(diǎn)(0,0)不可微.證明：函數(shù)在點(diǎn)(0,0)處可偏導(dǎo)，但不可微。證：（可偏導(dǎo)），

定理2(充分條件)若函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)則函數(shù)在該點(diǎn)可微。4.函數(shù)可微的充分條件:說(shuō)明:函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的,故初等函數(shù)在定義域內(nèi)可微。因?yàn)槌醯群瘮?shù)的偏導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù),而初等可微偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)定理表明：在已知可微的前提下，按計(jì)算公式計(jì)算全微分。

推廣:類似可討論三元及三元以上函數(shù)的可例如,三元函數(shù)且有疊加原理的全微分為微性問(wèn)題.稱為函數(shù)關(guān)于x的偏微分；的偏微分；為函數(shù)關(guān)于y為函數(shù)關(guān)于z的偏微分。函數(shù)的全微分等于函數(shù)關(guān)于各個(gè)自變量的偏微分之和

例2.計(jì)算函數(shù)在點(diǎn)(2,1)處的全微分.解:

例3.求函數(shù)的全微分.解:例4.計(jì)算函數(shù)的全微分.解:

例5.計(jì)算函數(shù)的全微分.解:

內(nèi)容小結(jié)1.微分定義:

2.重要關(guān)系:極限存在函數(shù)可微偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)存在

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