PAGEPAGE1第07講函數的圖象講1.會運用函數圖象理解和探討函數的性質.2.高考預料：（1）函數圖象的辨識（2）函數圖象的變換（3）主要有由函數的性質及解析式選圖；由函數的圖象來探討函數的性質、圖象的變換、數形結合解決不等式、方程等問題．經常與導數結合考查.3.備考重點（1）基本初等函數的圖象（2）兩圖象交點、函數性質、方程解的個數、不等式的解集等方面的應用學問點1．利用描點法作函數的圖象步驟：(1)確定函數的定義域；(2)化簡函數解析式；(3)探討函數的性質(奇偶性、單調性、周期性、對稱性等)；(4)列表(尤其留意特別點、零點、最大值點、最小值點、與坐標軸的交點等)，描點，連線.【典例1】【2024年全國卷Ⅲ理】設函數．（1）畫出的圖象；（2）當，，求的最小值．【答案】（1）見解析；（2）【解析】（1）的圖象如圖所示．（2）由（1）知，的圖像與軸交點的縱坐標為，且各部分所在直線斜率的最大值為，故當且僅當且時，在成立，因此的最小值為．【規(guī)律方法】函數圖象的畫法(1)干脆法：當函數表達式(或變形后的表達式)是熟識的基本函數時，就可依據這些函數的特征描出圖象的關鍵點干脆作出．(2)轉化法：含有肯定值符號的函數，可去掉肯定值符號，轉化為分段函數來畫圖象．【變式1】【北京海淀十一學校2024-2025學年高一上期中】對、，記，函數．（1）求，．（2）寫出函數的解析式，并作出圖像．（3）若關于的方程有且僅有個不等的解，求實數的取值范圍．（只需寫出結論）【答案】見解析．【解析】解：（1）∵，函數，∴，．（2）（3）或．學問點2．利用圖象變換法作函數的圖象(1)平移變換(2)對稱變換y＝f(x)的圖象eq\o(→,\s\up7(關于x軸對稱))y＝－f(x)的圖象；y＝f(x)的圖象eq\o(→,\s\up7(關于y軸對稱))y＝f(－x)的圖象；y＝f(x)的圖象eq\o(→,\s\up7(關于原點對稱))y＝－f(－x)的圖象；y＝ax(a>0，且a≠1)的圖象eq\o(→,\s\up7(關于直線y＝x對稱))y＝logax(a>0，且a≠1)的圖象.(3)伸縮變換y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(縱坐標不變),\s\do5(各點橫坐標變?yōu)樵瓉淼腬f(1,a)（a>0）倍))y＝f(ax).y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(橫坐標不變),\s\do5(各點縱坐標變?yōu)樵瓉淼腁（A>0）倍))y＝Af(x).(4)翻轉變換y＝f(x)的圖象eq\o(→,\s\up7(x軸下方部分翻折到上方),\s\do5(x軸及上方部分不變))y＝|f(x)|的圖象；y＝f(x)的圖象eq\o(→,\s\up7(y軸右側部分翻折到左側),\s\do5(原y軸左側部分去掉，右側不變))y＝f(|x|)的圖象.【典例2】分別畫出下列函數的圖象：【答案】見解析【解析】(1)首先作出y＝lgx的圖象C1，然后將C1向右平移1個單位，得到y(tǒng)＝lg(x－1)的圖象C2，再把C2在x軸下方的圖象作關于x軸對稱的圖象，即為所求圖象C3：y＝|lg(x－1)|.如圖1所示(實線部分).(2)y＝2x＋1－1的圖象可由y＝2x的圖象向左平移1個單位，得y＝2x＋1的圖象，再向下平移一個單位得到，如圖2所示.(3)第一步作y＝lgx的圖像．其次步將y＝lgx的圖像沿y軸對折后與原圖像，同為y＝lg|x|的圖像．第三步將y＝lg|x|的圖像向右平移一個單位，得y＝lg|x－1|的圖像第四步將y＝lg|x－1|的圖像在x軸下方部分沿x軸向上翻折，得的圖像，如圖3．【重點總結】圖象變換法若函數圖象可由某個基本函數的圖象經過平移、翻折、對稱得到，可利用圖象變換作出，并應留意平移變換與伸縮變換的依次對變換單位及解析式的影響．【變式2】作出下列函數的圖象：(1)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))|x|；(2)y＝|log2(x＋1)|；(3)y＝eq\f(2x－1,x－1)；(4)y＝x2－2|x|－1.【答案】見解析【解析】(1)先作出y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x的圖象，保留y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x圖象中x≥0的部分，再作出y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x的圖象中x＞0部分關于y軸的對稱部分，即得y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))|x|的圖象，如圖①實線部分．(2)將函數y＝log2x的圖象向左平移一個單位，再將x軸下方的部分沿x軸翻折上去，即可得到函數y＝|log2(x＋1)|的圖象，如圖②.(3)∵y＝2＋eq\f(1,x－1)，故函數圖象可由y＝eq\f(1,x)的圖象向右平移1個單位，再向上平移2個單位即得，如圖③.(4)∵y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2x－1，x≥0，,x2＋2x－1，x＜0，))且函數為偶函數，先用描點法作出[0，＋∞)上的圖象，再依據對稱性作出(－∞，0)上的圖象，如圖④.考點1作圖【典例3】分別畫出下列函數的圖象：(1)y＝|x2－4x＋3|；(2)y＝eq\f(2x＋1,x＋1)；(3)y＝10|lgx|.【答案】見解析【解析】(1)先畫函數y＝x2－4x＋3的圖象，再將其x軸下方的圖象翻折到x軸上方，如圖1.(2)y＝eq\f(2x＋1,x＋1)＝eq\f(2（x＋1）－1,x＋1)＝2－eq\f(1,x＋1).可由函數y＝－eq\f(1,x)向左平移1個單位，再向上平移2個單位得到，如圖2.(3)y＝10|lgx|＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x，x≥1，,\f(1,x)，0＜x＜1，))如圖3.【易錯提示】對于左、右平移變換，往往簡單出錯，在實際推斷中可熟記口訣：左加右減；但要留意加、減指的是自變量，否則不成立．【變式3】作出函數y＝|x－2|·(x＋1)的圖象．【答案】4，2.【解析】當x≥2，即x－2≥0時，y＝(x－2)(x＋1)＝x2－x－2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2－eq\f(9,4)；當x＜2，即x－2＜0時，y＝－(x－2)(x＋1)＝－x2＋x＋2＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋eq\f(9,4).所以y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2－\f(9,4)，x≥2，,－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋\f(9,4)，x＜2.))這是分段函數，每段函數的圖象可依據二次函數圖象作出(如圖)．考點2識圖【典例4】【2024年浙江卷】函數y=sin2x的圖象可能是（）A.B.C.D.【答案】D【總結提升】識圖的三種常用方法1．抓住函數的性質，定性分析：（1）由函數的定義域，推斷圖象的左、右位置，由函數的值域，推斷圖象的上、下位置；（2）由函數的單調性，推斷圖象的改變趨勢；（3）由函數的奇偶性，推斷圖象的對稱性；（4）由函數的周期性，推斷圖象的循環(huán)往復．2．抓住函數的特征，定量計算：從函數的特征點，利用特征點、特別值的計算分析解決問題．3．依據實際背景、圖形推斷函數圖象的方法：(1)依據題目所給條件確定函數解析式，從而推斷函數圖象(定量分析)；(2)依據自變量取不同值時函數值的改變、增減速度等推斷函數圖象(定性分析)．【變式4】（2024·莆田第九中學高三高考模擬（文））函數(且)與函數的圖像關于直線對稱，則函數與二次函數在同一坐標系內的圖像可能是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因為函數(且)與函數的圖像關于直線對稱，所以，在選項A中，對數函數的圖像單調遞增，所以a>1,所以a-1>0,所以二次函數的拋物線開口向上，拋物線的對稱軸為所以選項A是正確的，故答案為：A.【典例5】【2024年理數全國卷II】函數的圖像大致為（）A.AB.BC.CD.D【答案】B【解析】為奇函數，舍去A,舍去D;，所以舍去C；因此選B.【思路點撥】往往通過探討函數的導數，首先確定函數的單調性，再推斷圖象的改變趨勢．【變式5】【2024浙江，7】函數y=f(x)的導函數的圖像如圖所示，則函數y=f(x)的圖像可能是（）【答案】D 【解析】原函數先減再增，再減再增，且由增變減時，極值點大于0，因此選D．考點3用圖【典例6】【山東省2024年一般高校招生（春季）】奇函數的局部圖像如圖所示，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】因為奇函數，所以,因為>0>，所以,即，選A.【總結提升】函數圖象應用的常見題型與求解策略【變式6】（2024·安徽高三高考模擬（文））已知函數的圖象如圖所示，則的大小關系為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由圖像可知，，得，故答案為：A.【典例7】（2024·北京高三高考模擬（文））當x∈[0，1]時，下列關于函數y=的圖象與的圖象交點個數說法正確的是（）A．當時，有兩個交點 B．當時，沒有交點C．當時，有且只有一個交點 D．當時，有兩個交點【答案】B【解析】設f（x）=，g（x）=，其中x∈[0，1]A．若m=0，則與在[0，1]上只有一個交點，故A錯誤．B．當m∈（1，2）時，即當m∈（1，2]時，函數y=的圖象與的圖象在x∈[0，1]無交點，故B正確，C．當m∈（2，3]時，，當時，此時無交點，即C不肯定正確．D．當m∈（3，+∞）時，g（0）=＞1，此時f（1）＞g（1），此時兩個函數圖象只有一個交點，故D錯誤，故選：B．【變式7】【2025屆廣西欽州市第三次檢測】設函數與函數的的圖象在區(qū)間上交點的橫坐標依次分別為，，…，，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】將函數與y=的圖象有公共的對稱中心（，0），從圖象知它們在區(qū)間上有八個交點，分別為四對對稱點，每一對的橫坐標之和為1，故全部的橫坐標之和為4．故選：A．【典例8】（2024·北京高考模擬（理））已知函數f（x）=2x（x＜0）與g（x）=ln（x+a）的圖象上存在關于y軸對稱的點，則a的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】在同始終角坐標系中作出函數f（x）=2x（x＜0）與g（x）=ln（x+a）的圖象，當y=lnx向左平移a（a＞0）個單位長度，恰好過（0，1）時，函數f（x）與g（x）就不存在關于y軸對稱的點，所以0＜a＜e，當y=lnx向右平移（a＜0）個單位長度，函數f（x）與g（x）總存在關于y軸對稱的點，當a=0時，明顯滿意題意，綜上：a＜e，故選：B．【變式8】（2024·陜西高考模擬（理））已知函數，若且，則實數的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】函數f（x）＝|lg（x﹣1）|，∵1＜a＜b且f（a）＝f（b），則b＞2，1＜a＜2，∴，即，可得：ab﹣a﹣b＝0．那么：a．則2a+b，當且僅當b時取等號．滿意b＞2，故選：A．【典例9】（2024·四川高三高考模擬（理））已知函數是定義在上的奇函數，且當時，，則方程的全部解