專題5.1導(dǎo)數(shù)的概念及其意義TOC\o"1-3"\t"正文,1"\h【知識梳理】 1【考點1：變化率問題】 3【考點2：導(dǎo)數(shù)的定義】 5【考點3：求曲線切線的斜率（傾斜角）】 7【考點4：已知切線（斜率）求參數(shù)】 9【考點5：在曲線上一點的切線方程】 11【考點6：過一點的切線方程】 13【考點7：兩條切線平行、垂直、重合（公切線）問題】 15【考點8：利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求最值】 19【知識梳理】1．瞬時速度(1)平均速度設(shè)物體的運動規(guī)律是s=s(t)，則物體在到+t這段時間內(nèi)的平均速度為=.(2)瞬時速度①物體在某一時刻的速度稱為瞬時速度.

②一般地，當(dāng)t無限趨近于0時，無限趨近于某個常數(shù)v，我們就說當(dāng)t趨近于0時，的極限是v，這時v就是物體在t=時的瞬時速度，即瞬時速度v==.2．拋物線切線的斜率(1)拋物線割線的斜率設(shè)二次函數(shù)y=f(x)，則拋物線上過點、的割線的斜率為=.(2)拋物線切線的斜率一般地，在二次函數(shù)y=f(x)中，當(dāng)x無限趨近于0時，無限趨近于某個常數(shù)k，我們就說當(dāng)x趨近于0時，的極限是k，這時k就是拋物線在點處切線的斜率，即切線的斜率k==.3．函數(shù)的平均變化率函數(shù)平均變化率的定義

對于函數(shù)y=f(x)，設(shè)自變量x從變化到+x，相應(yīng)地，函數(shù)值y就從f()變化到f(+x).這時，x的變化量為x，y的變化量為y=f(+x)-f().我們把比值，即=叫做函數(shù)y=f(x)從到+x的平均變化率.4．函數(shù)在某點處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義(1)切線的定義在曲線y=f(x)上任取一點P(x,f(x))，如果當(dāng)點P(x,f(x))沿著曲線y=f(x)無限趨近于點(,f())時，割線P無限趨近于一個確定的位置，這個確定位置的直線T(T是直線T上的一點)稱為曲線y=f(x)在點處的切線.(2)函數(shù)在某點處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)y=f(x)在x=處的導(dǎo)數(shù)f'()就是切線的斜率，即f'().這就是導(dǎo)數(shù)的幾何意義.相應(yīng)地，切線方程為.5．導(dǎo)函數(shù)的定義從求函數(shù)y=f(x)在x=處導(dǎo)數(shù)的過程可以看到，當(dāng)x=時，f'()是一個唯一確定的數(shù).這樣，當(dāng)x變化時，y=f'(x)就是x的函數(shù)，我們稱它為y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)(簡稱導(dǎo)數(shù)).y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)有時也記作y'，即f'(x)=y'=.在曲線上一點的切線方程—解題秘籍：①求出切點的坐標(biāo)②求出函數(shù)在點處的導(dǎo)數(shù)③得切線方程.過一點的切線方程—解題秘籍：設(shè)切點為，則斜率，過切點的切線方程為：，∵過點，∴然后解出的值，有幾個值，就有幾條切線.公切線—解題秘籍：①設(shè)切點，②建立切線方程，③代入點到切線方程中，利用此時切點在切線且在曲線上，即同時滿足方程：解出切點坐標(biāo)，從而寫出切線方程．利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求最值—解題秘籍：①兩個動點分別在一個函數(shù)圖象和一條直線上.若兩個動點分別在函數(shù)和直線上，那么當(dāng)在點處的切線與直線平行時，到直線的距離.②若兩個動點分別在函數(shù)和函數(shù)上，那么當(dāng)直線與直線平行時，且與相切，則切點到的距離.【考點1：變化率問題】【知識點：變化率問題】1．（24-25高二上·江蘇鎮(zhèn)江·期末）函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為（

）A．6 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】由平均變化率計算公式求解．【詳解】解：函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為．故選：B.2．（24-25高二上·江蘇宿遷·期末）函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)平均變化率的定義即可求得.【詳解】由平均變化率定義得，故選：C3．（2025高二下·河南商丘·開學(xué)考試）函數(shù)從到的平均變化率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)平均變化率的定義直接進(jìn)行計算即可求解.【詳解】由題得所求平均變化率為.故選：C.4．（2025高二·全國·課堂例題）物體運動方程為（位移單位：m，時間單位：s），若，則下列說法中正確的是（

）A．18m/s是物體從開始到3s這段時間內(nèi)的平均速度B．18m/s是物體從3s到這段時間內(nèi)的速度C．18m/s是物體在3s這一時刻的瞬時速度D．18m/s是物體從3s到這段時間內(nèi)的平均速度【答案】C【分析】由瞬時變化率的物理意義判斷．【詳解】是物體在這一時刻的瞬時速度，是物體從到這段時間內(nèi)的平均速度的極限值，即是是物體在這一時刻的瞬時速度.故選：C5．（24-25高二上·北京朝陽·期末）建設(shè)大型水庫可實現(xiàn)水資源的合理分配和綜合利用，提高水資源的社會經(jīng)濟(jì)效益.已知一段時間內(nèi)，甲，乙兩個水庫的蓄水量與時間的關(guān)系如下圖所示.下列敘述中正確的是（

）A．在這段時間內(nèi)，甲，乙兩個水庫蓄水量的平均變化率均大于0B．在這段時間內(nèi)，甲水庫蓄水量的平均變化率大于乙水庫蓄水量的平均變化率C．甲水庫在時刻蓄水量的瞬時變化率大于乙水庫在時刻蓄水量的瞬時變化率D．乙水庫在時刻蓄水量的瞬時變化率大于乙水庫在時刻蓄水量的瞬時變化率【答案】D【分析】結(jié)合瞬時變化率與平均變化率變化率結(jié)合圖象分析即可得.【詳解】對A：由圖可知，在這段時間內(nèi)，甲水庫蓄水量的平均變化率小于，乙水庫的蓄水量的平均變化率大于，故A錯誤；對B：由圖可知，在這段時間內(nèi)，甲水庫蓄水量的平均變化率小于，乙水庫的蓄水量的平均變化率大于，故甲水庫蓄水量的平均變化率小于乙水庫蓄水量的平均變化率，故B錯誤；對C：由圖可知，甲水庫在時刻蓄水量的瞬時變化率小于，乙水庫在時刻蓄水量的瞬時變化率大于，故甲水庫在時刻蓄水量的瞬時變化率小于乙水庫在時刻蓄水量的瞬時變化率，故C錯誤；對D：由圖可知，乙水庫在時刻蓄水量上升比在時刻蓄水量上升快，故乙水庫在時刻蓄水量的瞬時變化率大于乙水庫在時刻蓄水量的瞬時變化率，故D正確.故選：D.6．（2025高二上·全國·課后作業(yè)）函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率等于時的瞬時變化率，則（

）A． B．1 C．2 D．【答案】B【分析】根據(jù)平均變化率的計算可得即可根據(jù)瞬時變化率的計算公式求解.【詳解】函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為在時的瞬時變化率為，所以，解得．故選：B．【考點2：導(dǎo)數(shù)的定義】【知識點：導(dǎo)數(shù)的定義】1．（24-25高二上·安徽六安·期末）若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)存在，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的概念將已知式配湊成定義式可得答案.【詳解】，所以，故選：C.2．（24-25高二上·江蘇淮安·期末）已知函數(shù)在處可導(dǎo)，且，則等于（

）A． B． C．1 D．【答案】B【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】由，故選：B3．（2025高二下·浙江溫州·開學(xué)考試）若函數(shù)滿足，則（

）A．1 B．2 C． D．【答案】C【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義及已知求值即可.【詳解】由題設(shè).故選：C4．（24-25高二上·陜西榆林·期末）已知函數(shù)在處可導(dǎo)，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用導(dǎo)數(shù)的定義可得結(jié)果.【詳解】因為函數(shù)在處可導(dǎo)，則.故選：D.5．（24-25高二上·江蘇鎮(zhèn)江·期末）若，則（

）A． B．6 C．3 D．-3【答案】C【分析】由導(dǎo)數(shù)的定義可得；【詳解】.故選：C.6．（2025高三·上海·隨堂練習(xí)）已知函數(shù)，其中，(1)求曲線在，，，處的切線的斜率；(2)說明這些斜率值是如何變化的．【答案】(1)答案見解析(2)答案見解析【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的定義求解；（2）利用一次函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】（1）解：因為，所以，，，；（2）因為在上單調(diào)遞增，所以隨著x的增大，斜率也增大．【考點3：求曲線切線的斜率（傾斜角）】【知識點：求曲線切線的斜率（傾斜角）】1．（2025高二下·全國·課前預(yù)習(xí)）若函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，則曲線在處的切線的傾斜角．【答案】【分析】由條件，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線的斜率，再由傾斜角與斜率的關(guān)系求傾斜角.【詳解】因為函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，所以函數(shù)在點處的切線斜率，所以，又，所以傾斜角．故答案為：.2．（24-25高二上·湖南邵陽·期末）已知拋物線上一點，則在點處的切線的傾斜角為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用導(dǎo)數(shù)的定義求出拋物線在點處的切線的斜率，即可得出該切線的傾斜角.【詳解】拋物線在點處的切線的斜率為，故切線的傾斜角為．故選：B.3．（2025高二下·全國·課后作業(yè)）已知函數(shù)，它們在平面直角坐標(biāo)系中的圖象如圖所示，則的大小關(guān)系是（

）

A．B．C．D．【答案】A【分析】依次作出在處的切線，根據(jù)切線傾斜角的大小進(jìn)行判斷即可.【詳解】依次作出在處的切線，如圖所示．根據(jù)圖形中切線的斜率可知．故選：A．

4．（2025高二上·江蘇·階段練習(xí)）點在曲線上，設(shè)曲線在點處切線的傾斜角為，則角的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率的取值范圍，進(jìn)而根據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系以及傾斜角的范圍，即可求出結(jié)果.【詳解】由題意得，即，又，所以，故選：D.【考點4：已知切線（斜率）求參數(shù)】【知識點：已知切線（斜率）求參數(shù)】1．（2025·四川·模擬預(yù)測）若曲線在點處的切線方程是，則．【答案】1【分析】根據(jù)切點在切線上即可得解.【詳解】由題知，解得．故答案為：12．（2025高三上·湖南·階段練習(xí)）曲線的一條切線為，則．【答案】【分析】求導(dǎo)數(shù)，然后根據(jù)切線斜率求出切點坐標(biāo)，代入切線方程后可得結(jié)論．【詳解】，令，則，切點代入直線得．故答案為：．3．（24-25高二上·福建三明·期末）若曲線在點處的切線方程是，則．【答案】【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可.【詳解】函數(shù)的定義域為，由在點處的切線方程是得切線斜率為2，，由曲線，得，故，解得，又因為，故，所以，故答案為：4．（2025高三下·上海寶山·階段練習(xí)）已知為正實數(shù)，直線與曲線相切，則的最小值為.【答案】9【分析】先設(shè)切點坐標(biāo)，再根據(jù)切點在直線和曲線上列式求參，最后應(yīng)用基本不等式計算求解.【詳解】設(shè)切點為，又因為曲線，則，直線斜率為1，所以，又因為，所以，所以，因為為正實數(shù)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，則取最小值為9.故答案為：9.5．（2025高三下·廣東惠州·階段練習(xí)）若直線與曲線相切，則（

）A． B．1 C． D．【答案】B【分析】設(shè)切點，則，利用導(dǎo)數(shù)求曲線的斜率，進(jìn)而可得.【詳解】設(shè)直線與曲線的切點為，故由得，故，得，故.故選：B6．（2025高三上·安徽·階段練習(xí)）已知函數(shù)的圖象與x軸相切，則a的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先設(shè)切點，再求導(dǎo)，根據(jù)題意列出，求解即可得出.【詳解】易知，定義域為，曲線與軸相切，設(shè)切點為，，易得，故，又，，故，解得.故選：B.【考點5：在曲線上一點的切線方程】【知識點：在曲線上一點的切線方程】1．（24-25高二下·甘肅臨夏·期末）曲線在點處的切線方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意，對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，得到，求出切線方程；【詳解】已知，函數(shù)定義域為，可得，此時，所以曲線在點處的切線方程為，即；故選：B.2．（2025高二上·全國·課后作業(yè)）已知曲線上一點，求：(1)曲線在點處的切線的斜率；(2)曲線在點處的切線方程.【答案】(1)4(2).【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求割線的斜率的極限，得到切線的斜率；（2）根據(jù)切線的斜率進(jìn)而求得切線的方程.【詳解】（1）曲線在點處的切線的斜率為4.（2）由（1）知曲線在點處的切線的斜率是4，切線方程是，即.3．（2025高二上·全國·課后作業(yè)）已知函數(shù)．(1)求曲線上任意一點處的切線斜率；(2)求曲線在點處的切線方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義得出導(dǎo)數(shù)的幾何意義得出切點的斜率；（2）先求導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)值得出斜率再點斜式求出切線方程.【詳解】（1）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知曲線上任意一點處的切線斜率為，則由導(dǎo)數(shù)的定義，可得．即曲線上任意一點處的切線斜率為．（2），由（1）知，曲線在點處的切線斜率為，所以切線方程為，即．【考點6：過一點的切線方程】【知識點：過一點的切線方程】1．（2024·新疆·二模）過點且與曲線相切的直線方程為（

）A． B．C．或 D．或【答案】C【分析】先設(shè)過點的切線，再根據(jù)點在曲線上及切線斜率等于導(dǎo)數(shù)值解方程即可求值進(jìn)而求出切線.【詳解】設(shè)過點的曲線的切線為：，有,解得或,代入可得或.故選：2．（2025高二下·河北·開學(xué)考試）已知函數(shù)（，）的圖象過點，且．(1)求，的值；(2)求曲線過點的切線方程．【答案】(1)，．(2)【分析】（1）根據(jù)題意可得，由，可得，聯(lián)立即可得解；（2）由可設(shè)曲線上的切點為，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線斜率為，利用點斜式可得切線方程，帶入點，即可得解.【詳解】（1）因為函數(shù)的圖象過點，所以①．又，，所以②，由①②解得，．（2）由（1）知，設(shè)所求切線在曲線上的切點為，則，所以切線方程為，又切線過點，所以，可得，，，解得，所以切點為，切線方程為．故曲線過點的切線方程為．3．（24-25高二上·重慶·期末）已知曲線，(1)求曲線在點處的切線方程；(2)求過點且與曲線相切的直線方程.【答案】(1)(2)或【分析】（1）求得，得到，結(jié)合直線的點斜式方程，即可求解；（2）設(shè)切點為，求得切線方程為，結(jié)合點在直線上，列出方程求得，進(jìn)而求得過點的切線方程.【詳解】（1）解：由函數(shù)，可得，可得，即曲線在點處的切線斜率為，所以曲線在點處的切線方程為，即.（2）解：因為點不在曲線上，設(shè)切點為，所以，所以切線方程為，又因為在直線上，所以，即，解得或.當(dāng)切點為時，切線方程為；當(dāng)切點為時，切線的斜率為，此時切線方程為，綜上所述，過點且與曲線相切的直線方程為：或.【考點7：兩條切線平行、垂直、重合（公切線）問題】【知識點：兩條切線平行、垂直、重合（公切線）問題】1．（24-25高二上·陜西西安·期末）若曲線在點處的切線與直線垂直，則實數(shù)a的值為（

）A．－4 B．－3 C．4 D．3【答案】D【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運算公式以及切線的幾何意義求解.【詳解】因為，所以，當(dāng)時，，所以曲線在點處的切線的斜率等于3，所以直線的斜率等于，即，解得，故選:D.2．（24-25高二下·安徽合肥·期中）若曲線在點處的切線與直線垂直，則實數(shù)a的值為（

）A．1 B． C．2 D．3【答案】D【分析】求導(dǎo)，與直線垂直，求出的值.【詳解】由，求導(dǎo)，則在點處的切線的斜率為，而在點處的切線與直線垂直,則，故.故選：D3．（24-25高二下·江西·期中）設(shè)曲線在點處的切線與直線平行，則實數(shù)（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)求解，由兩直線平行斜率相等即可求解.【詳解】由得，故，由于點處的切線與直線平行，且直線的斜率為，所以，故選：C4．（24-25高二下·湖北·期中）若直線是曲線與曲線的公切線，則（

）．A．26 B．23 C．15 D．11【答案】D【分析】先由，利用切線斜率為-1求得切點，再將切點代入切線方程求得a，然后設(shè)切線與的切點為，利用切線斜率為-1和切點在切線上求解.【詳解】解：因為，所以，由，解得或（舍去），所以切點為，因為切點在切線上，解得，所以切線方程為，設(shè)切點為，由題意得，解得，所以，故選：D5．（2025高三·全國·專題練習(xí)）若直線與函數(shù)和的圖象分別相切于點，則（

）A．2 B． C． D．【答案】C【分析】先設(shè)切點，再求導(dǎo)函數(shù)得出點斜式即切線方程，結(jié)合公切線列方程求解得出點，最后應(yīng)用兩點間距離求解.【詳解】設(shè)，，因為，，所以函數(shù)的圖象在點處的切線方程為，即，函數(shù)的圖象在點處的切線方程為，即，因為直線是兩函數(shù)圖象的公切線，所以，由①可得，代入②得，因為，所以，所以，，所以.故選：C．6．（2024·廣東江蘇·高考真題）若曲線在點處的切線也是曲線的切線，則.【答案】【分析】先求出曲線在的切線方程，再設(shè)曲線的切點為，求出，利用公切線斜率相等求出，表示出切線方程，結(jié)合兩切線方程相同即可求解.【詳解】由得，，故曲線在處的切線方程為；由得，設(shè)切線與曲線相切的切點為，由兩曲線有公切線得，解得，則切點為，切線方程為，根據(jù)兩切線重合,所以，解得.故答案為：.7．（24-25高三上·遼寧·期中）已知直線是曲線和的公切線，則的值為.【答案】【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可.【詳解】令，則，因為直線是曲線的切線，所以由解得，此時所以在處的切線為，所以，又是的切線，聯(lián)立得，令解得，所以，故答案為：8．（2025高三上·廣西南寧·階段練習(xí)）已知曲線與的公切線為，則實數(shù).【答案】【分析】設(shè)切點坐標(biāo)為，求得切線方程，根據(jù)題意，求得，得到切線方程為，再設(shè)切點為，結(jié)合切點在切線上和，列出方程組，即可求解.【詳解】由函數(shù)，可得，設(shè)切點坐標(biāo)為，可得，則切線方程為，即，與公切線重合，可得，可得，所以切線方程為，對于函數(shù)，可得，設(shè)切點為，則則，解得.故答案為：【考點8：利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求最值】【知識點：利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求最值】1．（2025高二下·福建寧德·階段練習(xí)）設(shè)點在曲線上，點在直線上，則的最小值為（

）A．1 B．2 C． D．【答案】C【分析】求的最小值轉(zhuǎn)化為求到直線的最小距離，然后求曲線上斜率為1的切線方程式.進(jìn)一步解析即可得出答案