【平面向量的數量積專項練習】【期中期末精選】總覽總覽題型梳理題型分類題型分類知識講解與常考題型【題型一：數量積的計算】一、單選題1．（22-23高一下·福建福州·期中）已知向量在由小正方形（邊長1）組成的網格中的位置如圖所示，則（

）

A．12 B．4 C．6 D．3【答案】C【分析】選擇適當的向量作為平面向量基底，用基底來表示向量，即可解.【詳解】以網格的小正方形相鄰兩邊所在方向單位向量為基底,如圖.則,所以，則.

故選：C2．（23-24高一下·福建泉州·期中）如圖，點，，均在邊長為1的小正方形組成的網格上，則（

）A． B． C． D．10【答案】A【分析】根據給定的條件，求出，進而判斷三角形形狀，再利用數量積的運算律計算即得.【詳解】依題意，，顯然，即，所以.故選：A3．（20-21高一下·浙江麗水·期末）已知的外接圓圓心為，且，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由題意可知是圓的直徑，為等邊三角形，然后由平面向量的數量積求解即可【詳解】因為，所以點是的中點，即是圓的直徑，又因為，是圓的半徑，所以為等邊三角形，所以，所以，故選：A4．（2023·北京朝陽·一模）如圖，圓為的外接圓，，，為邊的中點，則（

）

A．26 B．13 C．10 D．5【答案】B【分析】由中點關系可得，利用為的外接圓的圓心，可得，同理可得，即可得出結論．【詳解】由于是邊的中點，可得，是的外接圓的圓心，，同理可得，．故選：B5．（22-23高一下·河南·階段練習）在中，，點D為邊BC上靠近B的三等分點，則的值為（

）A． B． C． D．4【答案】B【分析】利用、表示向量、，利用平面向量數量積的運算性質可求得的值.【詳解】如下圖所示：，由平面向量數量積的定義可得，因此，.故選：B.6．（23-24高一下·山東德州·階段練習）如圖，在中，，為上一點，且，若，則的值為（）A． B．5 C． D．【答案】C【分析】先利用向量共線求得m的值，再依據向量數量積即可求得的值.【詳解】記，則，,則，又，則，則,又三點共線，則，解之得，則故選：C7．（21-22高三上·福建三明·期末）已知△ABC中，，，點O是△ABC的外心，則（

）A．－ B．－ C． D．【答案】C【分析】由△ABC為等腰直角三角形，得出，結合數量積公式計算即可.【詳解】，即△ABC為等腰直角三角形，即點O是△ABC的外心，點O是的中點故選：C二、填空題8．（23-24高一下·福建福州·期末）已知，，，則.【答案】【分析】由向量數量積公式算得結果，注意這兩個向量夾角不是，而是它的補角【詳解】故答案為：9．（22-23高一下·天津濱海新·期中）已知在中，，則.【答案】【分析】取的中點，連接，將用表示，再利用向量數量積的定義結合等腰三角形性質求解作答.【詳解】在中，，，，取的中點，連接，如圖，則有，且，，所以.故答案為：.10．（22-23高三上·福建福州·期中）已知菱形的邊長為6，，點分別在邊上，，，則＝．【答案】【分析】根據條件，，得到，，再根據數量積的運算及條件即可求出結果.【詳解】因為，，所以，，則，又菱形的邊長為6，，所以，故答案為：.

【題型二：向量的夾角問題（含平行與垂直）】1．（2024·云南楚雄·一模）已知向量，滿足，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用向量的相關知識，計算出，借助數量積公式計算即可.【詳解】結合題意：，，，，．故選：A.2．（23-24高一下·福建福州·期中）若向量，滿足，，，則與的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】結合，則由數量積為0結合數量積的定義以及運算律即可求解夾角.【詳解】設與的夾角為，，，，，，，，故選：C.3．（2024·江蘇南京·模擬預測）已知、均為單位向量，且，則與的夾角大小為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由模長公式求出，，進而由夾角公式求解即可.【詳解】因為，所以，即.，則，因為，所以與的夾角大小為.故選：C4．（22-23高三上·福建福州·期中）已知向量滿足，，，則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用平面向量數量積公式及求夾角公式可求解.【詳解】因為，，，所以，，所以故選：D5．（23-24高三上·江蘇連云港·階段練習）向量，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用平面向量的數量積及模長計算夾角即可.【詳解】由已知可得，又，所以.故選：A6．（23-24高一下·福建泉州·期中）已知向量，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先計算，再代入向量的夾角公式計算即可.【詳解】，所以，故選：B二、填空題7．（22-23高一下·福建廈門·期中）如圖，正方形ABCD的邊長為6，E是AB的中點，F是BC邊上靠近點B的三等分點，AF與DE交于M，則．【答案】/【分析】令，作為基底，將表示出來，再根據向量的數量積公式求夾角即可.【詳解】解：設，，則，，又，，所以．故答案為：.8．（22-23高一下·福建龍巖·期中）如圖，在中，已知，，，BC，AC邊上的兩條中線AM，BN相交于點P，則的余弦值為．

【答案】/【分析】根據題意建立直角坐標系，從而得到各點坐標，進而利用向量夾角余弦的坐標表示即可得解.【詳解】依題意，以為原點，所在直線為軸，過作的垂線為軸，如圖所示，

因為，，，所以，則，，即為向量與的夾角，，，，.故答案為：.9．（23-24高一下·福建泉州·期中）已知向量，滿足，，，則與的夾角為.【答案】【分析】由題意先求出的值，再由，結合夾角的取值范圍解出即可.【詳解】解：因為，，，所以，解得，因為，所以，又因為，所以.故答案為：三、解答題10．（23-24高三上·陜西安康·階段練習）如圖，在平行四邊形中，，令，.(1)用表示，，；(2)若，且，求.【答案】(1)，，(2)【分析】（1）利用平面向量的四則運算法則求解即可；（2）利用平面向量數量積的公式和運算律求解即可.【詳解】（1）因為，，且是平行四邊形，所以，所以，所以，所以.（2）方法一：由（1）知，又，所以，即，解得，所以.方法二：因為，所以，因為，且，所以，解得，所以，又，所以.【題型三：向量的模長計算】1．（24-25高三上·河北保定·階段練習）已知向量，滿足，，且，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】D【分析】將兩邊平方，由可得，根據數量積的運算計算可得.【詳解】因為，，且，所以，即，，解得（負值已舍去）.故選：D2．（22-23高一下·福建泉州·期中）平面向量與的夾角為，則等于（

）.A． B． C． D．4【答案】B【分析】根據數量積求模長結合數量積的運算律即可.【詳解】因為,所以.故選：B.3．（22-23高一下·福建莆田·期末）在中，為上一點，且滿足．若，則的值為（

）A．1 B． C． D．2【答案】C【分析】根據三點共線的結論結合平面向量基本定理可得，再利用數量積的定義與運算律求解.【詳解】由題意可得：，因為三點共線，則，且，又因為，則，可得，解得，可得，所以，即.故選：C.4．（23-24高一下·福建福州·期末）如圖，平行四邊形中，為的中點，與交于，則（

）A．在方向上的投影向量為 B．C． D．【答案】D【分析】根據投影向量、向量線性運算、向量數量積、向量的模等知識對選項進行分析，由此確定正確選項.【詳解】對于A，平行四邊形中，，所以，則，所以，所以在方向上的投影向量為，所以A錯誤；對于B，因為，為的中點，所以，則，故，所以B不正確；對于C，，所以C不正確；對于D，，即，所以D正確.故選：D.5．（23-24高一下·福建寧德·期末）若平面向量兩兩的夾角相等，，則（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】依題意可得，兩兩的夾角為或，按照此兩種情況討論，結合數量積的運算律即可得出結果.【詳解】因為平面向量兩兩的夾角相等，所以平面向量兩兩的夾角為或，又因為當夾角為時，即向量同向，則；當夾角為時，即，，，則.綜上所述，等于或.故選：C.二、填空題6．（23-24高一下·福建福州·期末）已知向量，的夾角為，，，則.【答案】【分析】根據模長公式即可求解.【詳解】,故答案為：7．（23-24高一下·福建福州·期末）已知向量滿足，且，則.【答案】/【分析】根據得，由，兩邊同時平方得，結合兩式計算即可.【詳解】因為，所以，又因為，所以，所以，解得.故答案為：.三、解答題8．（23-24高一下·福建莆田·期中）如圖，在中，是的中點，．

(1)若，，求；(2)若，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據向量線性運算和向量數量積的運算律直接求解即可；（2）利用向量線性運算可得，根據三點共線可構造方程求得結果.【詳解】（1）為中點，，，.（2），，，三點共線，，解得：.9．（22-23高一下·江蘇南京·期末）已知中，，，，點D在邊BC上且滿足.

(1)用、表示，并求；(2)若點E為邊AB中點，求與夾角的余弦值.【答案】(1)，(2)【分析】（1）根據向量的線性運算即可求解，（2）由向量的線性運算表示向量，由數量積，利用夾角公式即可求解.【詳解】（1），

所以,（2）易知,所以,

又,所以,10．（20-21高一下·廣東深圳·期末）如圖，在中，，點E為中點，點F為上的三等分點，且靠近點C，設.

(1)用表示；(2)如果，且，求.【答案】(1)，(2)【分析】（1）結合圖形，利用向量加，減，和數乘，即可用基底表示向量；（2）由，可得，從而可得，結合已知可得，最后利用數量模的運算公式結合數量積的運算律求解即可.【詳解】（1）因為，所以，；（2）因為，所以，所以，由，可得，又，所以，所以.【題型四：投影向量】一、單選題1．（23-24高一下·福建福州·期末）已知向量與的夾角是，且，，則向量在向量上的投影向量是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用投影向量公式計算可得答案.【詳解】向量在向量上的投影向量是,故選：D2．（2024·浙江紹興·三模）若非零向量，滿足，則在方向上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用向量的模長關系可得，再由投影向量的定義即可求出結果.【詳解】根據題意可得，所以，則所以，則在方向上的投影向量為.故選：B3．（2024·黑龍江佳木斯·三模）已知非零向量，滿足，且向量在向量上的投影向量是，則與的夾角是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據，可得，結合數量積的運算律可得的關系，再根據投影向量的公式即可得解.【詳解】因為，所以，所以，因為向量在向量上的投影向量是，所以，即，所以，又因為，所以與的夾角是.故選：A.4．（23-24高一下·重慶渝中·期中）已知等腰中，，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由投影向量的概況結合正弦定理可求.【詳解】

由題意可得，由正弦定理可得，可得，在上的投影為，所以在上的投影向量為，即在上的投影向量為.故選：A．5．（23-24高一上·福建莆田·期末）已知外接圓圓心為，半徑為1，，且，則向量在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據已知條件可知△ABC為直角三角形，向量在向量上的投影向量為．【詳解】如圖，由知為中點，又為外接圓圓心，，，，，，，∴在向量上的投影為：，向量在向量上的投影向量為：．故選：D．6．（22-23高一下·福建福州·期末）在中，已知，向量在向量方向上的投影向量為，，則（

）A．12 B．8 C．6 D．4【答案】B【分析】若，由題設及向量數量積的幾何意義可得，再由，利用數量積的運算律求即可.【詳解】如下圖，若，則在方向上的投影向量為，又向量在向量方向上的投影向量為，則，即，

所以，又，所以.故選：B7．（22-23高一下·福建龍巖·期末）已知向量，，滿足，，與的夾角的余弦值為，則向量在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用投影向量的定義結合已知條件直接計算即可【詳解】因為向量，，滿足，，與的夾角的余弦值為，所以向量在向量上的投影向量為，故選：D8．（2023·湖南長沙·二模）已知單位向量，的夾角為，則向量在方向上的投影向量為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據向量的數量積公式及投影向量的定義即可求解.【詳解】依題意，因為兩個單位向量和的夾角為，所以，所以，，，故向量在向量上的投影向量為．故選：C.二、填空題9．（23-24高一下·福建泉州·期末）已知中，，向量在向量上的投影向量為，則．【答案】【分析】解法一：利用投影向量的定義結合題意列方程求解即可；解法二：如圖作延長線于點，則由題意可得，從而可求出角.【詳解】解法一：因為向量在向量上的投影向量為，則，因為所以．解法二：如圖作，交延長線于點，由題可知向量在向量上的投影向量為，即，因為，所以，故答案為：．三、未知10．（2024·全國·模擬預測）已知向量，滿足，，向量在向量方向上的投影向量為，則（

）A．3 B． C．2 D．【答案】B【分析】根據投影向量的定義求出，再由數量積的定義計算可得.【詳解】因為向量在向量方向上的投影向量為，，所以，所以．因為，所以，所以（負值舍去）．故選：B．【題型五：向量的最值與取值范圍】一、單選題1．（23-24高一下·福建福州·期末）《易經》是闡述天地世間關于萬象變化的古老經典，如圖所示的是《易經》中記載的幾何圖形——八卦圖.圖中正八邊形代表八卦，中間的圓代表陰陽太極圖，其余八塊面積相等的圖形代表八卦田，已知正八邊形的邊長為，點是正八邊形的內部（包含邊界）任一點，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】延長交于點，延長交于點，轉化為求的最值，根據數量積的幾何意義可得的范圍．【詳解】延長交于點，延長交于點，如圖所示：根據正八邊形的特征，可知，又，所以，，則的取值范圍是.故選：B.2．（22-23高一下·福建福州·期末）已知向量均為單位向量，且，向量滿足，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意不妨設，則，所以設，然后利用數量積的坐標運算求解即可.【詳解】因為向量均為單位向量，且，所以不妨設，設，因為，所以，則設，所以，，所以，所以當時，取得最大值，所以的最大值為，故選：A3．（22-23高一下·湖北·期末）已知平面向量滿足且對，有恒成立，則與的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】將兩邊平方，根據，有恒成立，可求得兩向量夾角，再結合夾角余弦公式即可求得.【詳解】由展開得，對，有恒成立，即,即，所以可得，所以解得，又，所以，則，所以，則與的夾角余弦值,所以與的夾角為.故選：A．4．（22-23高二下·河南周口·階段練習）已知平面向量，滿足，，則在方向上的投影向量的模的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知化簡可得向量夾角余弦值的表達式，借助基本不等式求出其最小值，再由投影向量的定義可求解.【詳解】由，可得，化簡得，，又因為，所以，所以，當且僅當，即時，等號成立，在方向上的投影向量的模為,其最小值為.故選：C二、多選題5．（22-23高一下·福建龍巖·期末）已知是邊長為1的正六邊形所在平面內一點，，則下列結論正確的是（

）A．當為正六邊形的中心時， B．的最大值為4C．的最小值為 D．可以為0【答案】ACD【分析】以為原點，以為軸，建立坐標系，，設，求出，進而可得答案．【詳解】以為原點，以為軸，建立平面直角坐標系，如圖，正六邊形邊長為1，，設則，，可得，，，，時，的最小值為，C對，為正六邊形的中心時，即時，，A對，可以為0，沒有最大值，D對，B錯，故選：ACD.

三、填空題6．（23-24高一下·福建·期末）在長方形ABCD中，，，點E，F分別為邊BC和CD上兩個動點（含端點），且，設，，則的最小值為.【答案】50【分析】根據向量的線性運算以及數量積的運算律可得，進而根據模長公式得，利用三角換元，即可結合三角恒等變換即可求解.【詳解】＝＝，由，得，即，即，即，設，則，（其中），當時，即時，取到最小值50，即的最小值50，故答案為：507．（23-24高一下·廣東佛山·期中）如圖，在中，已知，，為線段上一動點，則的最小值為．【答案】【分析】設，得，，利用向量的數量積公式結合二次函數的性質即可求解.【詳解】設，則，由圖可得，所以，則，所以當時，的最小值為，故答案為：8．（23-24高三上·福建福州·期末）已知的半徑是1，點P滿足，直線PA與相切于點A，直線PB與交于B，C兩點，D為BC的中點，設，則當時，取得最大值．【答案】【分析】由題意可知：，，根據數量積的定義結合三角恒等變換整理得，再根據正弦函數的有界性分析求解.【詳解】由題意可知：點P在以為圓心，半徑為的圓上，因為直線PA與相切于點A，則，，可知，，又因為D為BC的中點，則，可得，則，且，可得，可知：當，即時，取到最大值.故答案為：.9．（21-22高一下·福建福州·期末）已知為等腰直角三角形，，圓M為的外接圓，，則；若為圓上的動點，則的最大值為.【答案】【分析】（1）分析出是對應線段上的中點，找出垂直關系；（2）建立坐標系，利用坐標運算解決向量數量積的運算.【詳解】（1）依題意，是斜邊的中點，又，故是中點，于是是中位線，//，又，故，于是（2）以圓心為坐標原點，建立平面直角坐標系如下，設與軸正半軸的夾角為，則.∴，∴，∴，當，取到最大值.

故答案為：，四、解答題10．（21-22高一下·福建福州·期末）在如圖所示的平面圖形中，，，求：(1)設，求的值；(2)若且，求的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）由向量減法得，再根據向量共線可得，進而得答案；（2）由題知，設設，進而得，再結合二次函數與三角函數求范圍即可得答案.【詳解】（1）解：因為，所以，所以，即（2）解：因為，所以記因為，所以，設，則所以，，所以所以，當時，取得最小值，最小值為，又因為，所以，所以，即的最小值為【題型六：極化恒等式的應用】1．（24-25高三上·廣東深圳·期末）點為曲線上一動點，為單位圓的一條直徑的兩個端點，則的最小值為（

）A．4 B． C． D．【答案】C【分析】設，由題意可得，且，根據及向量的線性運算，可得，再利用換元法及基本不等式求解即可.【詳解】解：設，則,由題意可得，且，所以，令，則，當且僅當，即時，等號成立.故選：C.2．（2024高三·全國·專題練習）如圖，是圓O的一條直徑且，是圓O的一條弦，且，點P在線段上，則的最小值是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意可得，則當最小時，取得最小值，然后結合圓的性質可求出的最小值，從而可求得結果.【詳解】由題意可得，為使最小，只需最小，所以只需，根據圓的性質可得，此時為中點，又，因此，所以的最小值為.故選：B3．（2024高三·全國·專題練習）已知是圓上不同的兩點，且．若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由條件可得，，再由平面向量數量積的運算律可得，即可得到結果.【詳解】如圖，取的中點，連接，則，，所以，，所以，即．因為，，所以．又，所以，即的取值范圍為．故選：D．4．（21-22高三上·山東濰坊·期末）已知正方形ABCD的邊長為2，MN是它的內切圓的一條弦，點P為正方形四條邊上的動點，當弦MN的長度最大時，的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】作出圖象，結合平面向量的線性運算和數量積化簡，求的范圍可得的范圍.【詳解】設正方形的內切圓圓心為O，如圖所示：考慮是線段上的任意一點，，，圓的半徑長為1，由于是線段上的任意一點，則，所以.故選：A二、填空題5．（2025高一·全國·專題練習）已知正方形的邊長為4，，分別為，的中點，如果對于常數，在正方形的四條邊上，有且只有8個不同的點，使得成立，那么的取值范圍是【答案】【分析】由題畫出圖形,設的中點為,則,可解得,由圖形的性質可得點在邊的中點和頂點之間,則,進而求解即可.【詳解】如圖，設的中點為，則兩式平方相減得，所以（可由極化恒等式直接得出），即，所以，由對稱性可知每條邊上存在兩個點，所以點在邊的中點和頂點之間，故，解得．故答案為：.6．（24-25高三上·湖北·期末）如圖所示，已知中，點P，Q，R依次是邊BC上的三個四等分點，若，，則.

【答案】