難點(diǎn)02解三角形的最值范圍與圖形類問(wèn)題熱點(diǎn)一利用基本不等式求周長(zhǎng)面積的最值范圍例1．在中，設(shè)角，，所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為，，，且，，則面積的最大值為（

）A． B． C．2 D．4例2．在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊，且．(1)求A；(2)若，求△ABC的面積S的最小值．變式1-1．已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足，，則周長(zhǎng)的取值范圍為．變式1-2．在中，角、、的對(duì)邊分別為、、，滿足.(1)求角的大小；(2)若的面積為，求的最小值．變式1-3．在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，滿足．(1)求角的大小；(2)若，求周長(zhǎng)的最小值．利用基本不等式求最值范圍，主要結(jié)合余弦定理，可求周長(zhǎng)及面積的題目，若要求解周長(zhǎng)的范圍時(shí)，還需利用三角形“兩邊之和大于第三邊（任意三角形）”熱點(diǎn)二求角度有關(guān)的最值范圍例3．在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知.(1)求角；(2)求的取值范圍.例4．在銳角三角形中，若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．變式2-1．在銳角中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且．(1)求角A的大小；(2)求的取值范圍．變式2-2．在銳角中，內(nèi)角對(duì)邊分別為，已知.(1)求；(2)求的取值范圍.變式2-3．在銳角三角形中，角對(duì)應(yīng)的邊分別記為.(1)求角的大小；(2)求的取值范圍.利用角的關(guān)系進(jìn)行統(tǒng)一角，利用統(tǒng)一角的范圍求出所求的范圍熱點(diǎn)三轉(zhuǎn)成角的最值范圍例5．已知中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，則的最大值為（

）A．4 B． C． D．3例6．設(shè)的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且．(1)求；(2)若的最大值為，求的值．變式3-1．在中，，，則的最大值為．變式3-2．已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且.(1)求；(2)若，求的最大值.變式3-3．記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知的面積．(1)求；(2)若，求；(3)若，且存在最大值，求正數(shù)的取值范圍．先利用正弦定理將邊轉(zhuǎn)化成角，然后利用或者題干中角的關(guān)系，可將所求式子中的角統(tǒng)一成一個(gè)角，需要注意題干中對(duì)角有沒(méi)有限制要求，利用角的范圍求出范圍熱點(diǎn)四多邊形問(wèn)題例7．在中，，，，為邊上一點(diǎn)，且，則例8．在凸四邊形中，對(duì)角線交于點(diǎn)，且.(1)若，求的余弦值；(2)若，求邊的長(zhǎng).變式4-1．在平面四邊形ABCD中，如圖所示.，，則四邊形ABCD面積的最大值是（

）A． B． C． D．變式4-2．如圖，在四邊形中，，，，，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．變式4-3．在中，角所對(duì)的邊分別為，，，且.(1)求;(2)已知，為邊上的一點(diǎn)，若，，求的長(zhǎng).將多邊形分割成多個(gè)三角形，若有一個(gè)三角形可用正余弦定理求解六要素，則要根據(jù)所求邊或角所在的三角形合理求解邊角；若沒(méi)有一個(gè)三角形可求解六要素，則需要根據(jù)條件選擇邊角要素（要挑選有關(guān)系的邊角或者兩三角形的的公共邊或公共角）進(jìn)行假設(shè)，然后利用正余弦定理構(gòu)造方程進(jìn)行求解熱點(diǎn)五多邊形中的最值范圍例9．已知四邊形中，，，設(shè)與面積分別為，．則的最大值為．例10．如圖，是邊長(zhǎng)為的正三角形所在平面上一點(diǎn)（點(diǎn)、、、逆時(shí)針排列），且滿足，記.(1)若，求的長(zhǎng)；(2)用表示的長(zhǎng)度；(3)求的面積的取值范圍.變式5-1．在中，點(diǎn)D在邊上（不含端點(diǎn)），，，，的最小值為.變式5-2．如圖，在中，點(diǎn)在邊上，．(1)若，，，求；(2)若是銳角三角形，，求的取值范圍．變式5-3．已知四邊形內(nèi)接于，若，，．(1)求線段的長(zhǎng)．(2)若，求的取值范圍．熱點(diǎn)六中線問(wèn)題例11．（多選）已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為為的中點(diǎn)，，則（

）A． B．C．的面積為 D．例12．在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，已知.(1)求；(2)若，，為AC邊的中點(diǎn)，求BD的長(zhǎng).變式6-1．在中，，D為的中點(diǎn)，，的面積為，則．變式6-2．記的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別，，，已知．(1)求；(2)設(shè)是邊中點(diǎn)，若，求．變式6-3．已知中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，.(1)求角的大小；(2)若為的中點(diǎn)，，，求的面積.若是的中線，則方法一：向量法；方法二：（雙余弦定理法）在中，由余弦定理得，①在中，由余弦定理得，②因?yàn)椋裕寓?②式即可熱點(diǎn)七與中線有關(guān)的最值范圍例13．在銳角中，內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，已知，，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，則線段長(zhǎng)的取值范圍為．例14．在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且(1)求；(2)設(shè)為邊的中點(diǎn)，，求線段長(zhǎng)度的最大值.變式7-1．已知分別為銳角三角形三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，且.(1)求;(2)若，為的中點(diǎn)，求中線的取值范圍.變式7-2．記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知.(1)求角的大小；(2)若點(diǎn)是邊中點(diǎn)，且，求面積的最大值.變式7-3．在中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，(1)求角的大小；(2)若為BC中點(diǎn)，，求的面積的最大值熱點(diǎn)八角平分線問(wèn)題例15．在中，已知，是上的點(diǎn)，平分，，則（）A． B． C． D．例16．的內(nèi)角的對(duì)邊分列為，已知.(1)證明：；(2)若點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，平分，，且的面積是面積的2倍，求.變式8-1．在△ABC中，已知∠BAC＝60°，BC＝3，點(diǎn)D是BC上的點(diǎn)，AD平分∠BAC.若AD＝2，則△ABC的面積為.變式8-2．的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，且滿足(1)求角C;(2)若，，CD平分交AB于點(diǎn)D，求CD的長(zhǎng).變式8-3．在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，已知，，為邊上一點(diǎn)．(1)若為的中點(diǎn)，且，求；(2)若平分，且的面積為，求的長(zhǎng)．若是的角平分線，則有：①等面積法；②1．（2022·23高一下·廣西南寧·期末）已知，，，AD平分交BC于點(diǎn)D，則．2．（2025·河北保定·一模）記的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，若，則邊上的中線長(zhǎng)度的最小值為（

）A． B． C． D．3．（2024·25高三上·廣東湛江·期末）在中，角的對(duì)邊分別是，若，且，則的最小值是（

）A． B．2 C． D．4．（2024·25高三上·江蘇淮安·階段練習(xí)）在中，．則的最大值是．5．（2024·新疆·模擬預(yù)測(cè)）在中，角的對(duì)邊分別為，是的平分線，是邊的中線，．(1)求；(2)求的長(zhǎng)．6．（2024·25高三上·山東聊城·階段練習(xí)）記的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，已知．(1)求；(2)若是的中線，且，的面積為，求的周長(zhǎng)．7．（2024·25高三下·河北滄州·階段練習(xí)）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，的面積為，已知．(1)求；(2)若，求的最大值．8．（202324高三上·遼寧鐵嶺·期中）已知，是的三個(gè)內(nèi)角，若向量，，且.(1)求證：；(2)求的最大值.9．（2024·25高三下·湖北·開(kāi)學(xué)考試）在矩形中，點(diǎn)在線段上，且.(1)求；(2)若動(dòng)點(diǎn)分別在線段上，且與面積之比為，試求的最小值.10