2024-2025學年八年級下學期北師大版第一次月考數學質量檢測試卷一、選擇題1．若x＞y，則下列式子錯誤的是（）A．x﹣3＞y﹣3 B．3﹣x＞3﹣y C．﹣2x＜﹣2y D．x2．已知等腰三角形的兩邊長分別為5cm、2cm，則該等腰三角形的周長是（）A．7cm B．9cm C．12cm或者9cm D．12cm3．已知△ABC的三邊長分別是6cm、8cm、10cm，則△ABC的面積是（）A．24cm2 B．30cm2 C．40cm2 D．48cm24．不等式組3x?1＞?42x≤x+2A． B． C． D．5．一次函數y1＝kx+b與y2＝x+a的圖象如圖，則下列結論：①當x＜3時，y1＞0；②當x＜3時，y2＞0；③當x＞3時，y1＜y2中，正確的個數是（）A．0 B．1 C．2 D．36．用反證法證明命題“鈍角三角形中必有一個內角小于45°”時，首先應該假設這個三角形中（）A．有一個內角小于45° B．每一個內角都小于45° C．有一個內角大于等于45° D．每一個內角都大于等于45°7．若不等式組a?x＞0x+1＞0無解，則aA．a≤﹣1 B．a≥﹣1 C．a＜﹣1 D．a＞﹣18．如圖，已知∠AOB＝60°，點P在邊OA上，OP＝8，點M，N在邊OB上，PM＝PN，若MN＝2，則△PMN的周長是（）A．14 B．15 C．16 D．179．某種商品的進價為800元，出售時標價為1200元，后來由于該商品積壓，商店準備打折銷售，但要保證利潤率不低于5%，則至多可打（）A．6折 B．7折 C．8折 D．9折10．如圖，等邊△ABC的邊長為12，AD是BC邊上的中線，M是AD上的動點，E是AC邊上一點，若AE＝4，EM+CM的最小值為（）A．65 B．63 C．47 D．6二、填空題11．不等式4x﹣1≤2x+1的非負整數解是．12．如圖，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝15°，斜邊BC的垂直平分線交邊AB于點E，垂足為點D，如果AC＝4，則BE＝．13．已知（m﹣2）x|m|﹣1+3＞0是關于x的一元一次不等式，則m的值為．14．若點P是△ABC角平分線的交點，且S△ABC＝30，C△ABC＝30，則點P到邊AB的距離是．15．已知關于x的不等式組x＞2a?32x≥3(x?2)+5有且僅有三個整數解，則a的取值范圍是16．已知Rt△ACB，∠ACB＝90°，CD平分∠ACB交AB于點D，DE⊥BC，DF⊥AC，AD＝3，BD＝6，則陰影部分的面積（即△ADF與△BDE的面積和）等于．17．解下列不等式：（1）2（﹣x+2）＞﹣3x+5；（2）7?x318．解不等式組：x?3(x?2)＜8119．如圖，在Rt△ABC和Rt△DCB中，AB＝DC，∠A＝∠D＝90°，AC與DB相交于點O．求證：OB＝OC．20．某公司購入甲、乙兩種商品，2件甲商品和1件乙商品總進價為220元，3件甲商品和2件乙商品的總進價為360元．（1）求甲、乙兩種商品的進價分別為多少元；（2）該公司計劃購進甲、乙兩種商品共70件，且總進價不超過4650元，則甲商品最多購入多少件？21．已知關于x的方程3x﹣a＝4．（1）若該方程的解滿足x＞﹣2，求a的取值范圍；（2）若該方程的解是不等式x﹣2（3x﹣1）≥x+4的最大整數解，求a的值．22．連接AB，直線AB與x軸交于點C，與y軸交于點D，平面內有一點E（3，1），直線BE與x軸交于點F．直線AB的解析式記作y1＝kx+b，直線BE解析式記作y2＝mx+t．求：（1）直線AB的解析式△BCF的面積；（2）當x時，kx+b＞mx+t；當x時，kx+b＜mx+t；當x時，kx+b＝mx+t；（3）在x軸上有一動點H，使得△OBH為等腰三角形，求H的坐標．23．已知方程組x+y=?7?mx?y=1+3m的解滿足x為非正數，y（1）求m的取值范圍；（2）化簡：|m﹣3|﹣|m+2|；（3）在m的取值范圍內，當m為何整數時，不等式2mx+x＜2m+1的解集為x＞1．24．如圖，△ABC是邊長為6的等邊三角形，P是AC邊上一動點，由A向C運動（與A、C不重合），Q是CB延長線上一動點，與點P同時以相同的速度由B向CB延長線方向運動（Q不與B重合），過P作PE⊥AB于E，連接PQ交AB于D．（1）若AE＝1時，求AP的長；（2）當∠BQD＝30°時，求AP的長；（3）在運動過程中線段ED的長是否發生變化？如果不變，求出線段ED的長；如果發生變化，請說明理由．25．如圖1，在平面直角坐標系中，邊長為4的正方形OABC的兩頂點A、C分別在y軸、x軸的正半軸上，O為坐標原點，現將正方形OABC繞點O順時針方向旋轉，旋轉角為θ，對角線AC分別與x軸、直線y＝x交于點D、E，（1）當0＜θ＜45°時，如圖2，試求證CD2+AE2＝DE2；（2）當0＜θ＜45°時，如圖3，AB邊與直線y＝x交于點M，BC邊與x軸交于N，則△BMN周長為；（3）當正方形OABC旋轉到圖3位置時，若CN＝2，則AM＝；（4）當θ＝0時，直線y＝x有一動點P，當點P的坐標為時，AP+CP+OP有最小值為．答案一、選擇題題號12345678910答案BDADCDACBD二、填空題11．不等式4x﹣1≤2x+1的非負整數解是0，1．解：移項得：4x﹣2x≤1+1，合并得：2x≤2，解得：x≤1，則不等式的非負整數解為0，1．12．如圖，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝15°，斜邊BC的垂直平分線交邊AB于點E，垂足為點D，如果AC＝4，則BE＝8．解：連接CE，∵DE是BC的垂直平分線，∴CE＝BE，∠EDB＝90°，∴∠ECB＝∠EBC＝15°，∴∠AEC＝30°，∴CE＝2AC＝8，∴BE＝8．故8．13．已知（m﹣2）x|m|﹣1+3＞0是關于x的一元一次不等式，則m的值為﹣2．解：∵（m﹣2）x|m|﹣1+3＞0是關于x的一元一次不等式，∴m?2≠0|m|?1=1解得m＝﹣2．故﹣2．14．若點P是△ABC角平分線的交點，且S△ABC＝30，C△ABC＝30，則點P到邊AB的距離是2．解：過點P作PD⊥AC于D，PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，∵P是三角形三條角平分線的交點，∴PD＝PE＝PF，∵S△ABC＝30，C△ABC＝30，∴點P到邊AB的距離=2×30故2．15．已知關于x的不等式組x＞2a?32x≥3(x?2)+5有且僅有三個整數解，則a的取值范圍是12≤解：解不等式2x≥3（x﹣2）+5，得：x≤1，∵不等式組有且僅有三個整數解，∴此不等式組的整數解為1、0、﹣1，又x＞2a﹣3，∴﹣2≤2a﹣3＜﹣1，解得：12≤故12≤16．已知Rt△ACB，∠ACB＝90°，CD平分∠ACB交AB于點D，DE⊥BC，DF⊥AC，AD＝3，BD＝6，則陰影部分的面積（即△ADF與△BDE的面積和）等于9．解：∵DF⊥AC，DE⊥BC，∴∠DEC＝∠DFC＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠EDF＝90°，∴DF⊥DE，BC⊥DE，∴DF∥BC，∴∠FDA＝∠B，∵∠AFD＝∠DEB＝90°，∴△ADF∽△DBE，∵AD＝3，BD＝6，∴AFDE∵CD平分∠ACB，DF⊥AC，DE⊥BC，∴DF＝DE設AF＝x，則DF＝DE＝2x，BE＝2DF＝4x，由勾股定理可得AF2+DF2＝AD2，即x2+4x2＝9，解得x=3∴AF=355，DF=655，∴S陰影＝S△ADF+S△BDE=1故答案為9．三、解答題17．解下列不等式：（1）2（﹣x+2）＞﹣3x+5；（2）7?x3解：（1）2（﹣x+2）＞﹣3x+5，去括號得：﹣2x+4＞﹣3x+5，移項合并同類項得x＞1；（2）7?x3去分母得：2（7﹣x）≤3（x+2）+6，去括號得：14﹣2x≤3x+6+6，移項合并同類項得：﹣5x≤﹣2，解得：x≥218．解不等式組：x?3(x?2)＜81解：x?3(x?2)＜8①1解不等式①得：x＞﹣1，解不等式②得：x＜2．∴不等式組的解集為﹣1＜x＜2．19．如圖，在Rt△ABC和Rt△DCB中，AB＝DC，∠A＝∠D＝90°，AC與DB相交于點O．求證：OB＝OC．證明：在△ABO和△DCO中，∠AOB=∠DOC∠A=∠D=90°∴△ABO≌△DCO（AAS），∴OB＝OC．20．某公司購入甲、乙兩種商品，2件甲商品和1件乙商品總進價為220元，3件甲商品和2件乙商品的總進價為360元．（1）求甲、乙兩種商品的進價分別為多少元；（2）該公司計劃購進甲、乙兩種商品共70件，且總進價不超過4650元，則甲商品最多購入多少件？解：（1）設甲商品的進價為x元，乙商品的進價為y元，根據題意得：2x+y=2203x+2y=360解得：x=80y=60答：甲商品的進價為80元，乙商品的進價為60元．（2）設甲商品購入a件，則購進乙種商品（70﹣a）件，根據題意得：80a+60（70﹣a）≤4650，解得：a≤22.5，∵a為正整數，∴甲商品最多購入22件．21．已知關于x的方程3x﹣a＝4．（1）若該方程的解滿足x＞﹣2，求a的取值范圍；（2）若該方程的解是不等式x﹣2（3x﹣1）≥x+4的最大整數解，求a的值．解：（1）解方程3x﹣a＝4，得x=a+4∵該方程的解滿足x＞﹣2，∴a+43解得a＞﹣10；（2）解不等式x﹣2（3x﹣1）≥x+4，得x≤?1∴該不等式的最大的整數解是x＝﹣1．∵該方程的解是不等式x﹣2（3x﹣1）≥x+4的最大整數解，∴3×（﹣1）﹣a＝4，解得a＝﹣7．22．連接AB，直線AB與x軸交于點C，與y軸交于點D，平面內有一點E（3，1），直線BE與x軸交于點F．直線AB的解析式記作y1＝kx+b，直線BE解析式記作y2＝mx+t．求：（1）直線AB的解析式△BCF的面積；（2）當x＞2時，kx+b＞mx+t；當x＜2時，kx+b＜mx+t；當x＝2時，kx+b＝mx+t；（3）在x軸上有一動點H，使得△OBH為等腰三角形，求H的坐標．解：（1）觀察函數圖象可知：點C（﹣4，0），點D（0，2），點B（2，3），將C、D點坐標代入直線AB的解析式中，得0=?4k+b2=b解得：k=1∴直線AB的解析式為y1=12將點B（2，3），E（3，1）代入到直線BE的解析式中，得3=2m+t1=3m+t解得：m=?2t=7∴直線BE的解析式為y2＝﹣2x+7．令y2＝0，則有﹣2x+7＝0，解得x=7即點F的坐標為（72∴CF=72?∴△BCF的面積S=12×3CF=（2）結合函數圖象可知：當x＞2時，kx+b＞mx+t；當x＜2時，kx+b＜mx+t；當x＝2時，kx+b＝mx+t．故＞2；＜2；＝2．（3）設點H的坐標為（n，0）．∵點O（0，0），點B（2，3），∴OB=(2?0)2+(3?0)2=13△OBH為等腰三角形分三種情況：①當OB＝OH時，即13=|n|，解得：n＝±13此時點H的坐標為（?13，0）或（13②當OB＝BH時，即13=(n?2)2+(0?3此時點H的坐標為（4，0）；③當OH＝BH時，即|n|=(n?2)2+(0?3此時點H的坐標為（134綜上可知：點H的坐標為（?13，0）、（13，0）、（4，0）或（1323．已知方程組x+y=?7?mx?y=1+3m的解滿足x為非正數，y（1）求m的取值范圍；（2）化簡：|m﹣3|﹣|m+2|；（3）在m的取值范圍內，當m為何整數時，不等式2mx+x＜2m+1的解集為x＞1．解：（1）解原方程組得：x=m?3y=?2m?4∵x≤0，y＜0，∴m?3≤0?2m?4＜0解得﹣2＜m≤3；（2）|m﹣3|﹣|m+2|＝3﹣m﹣m﹣2＝1﹣2m；（3）解不等式2mx+x＜2m+1得（2m+1）x＜2m+1，∵x＞1，∴2m+1＜0，∴m＜?1∴﹣2＜m＜?1∴m＝﹣1．24．如圖，△ABC是邊長為6的等邊三角形，P是AC邊上一動點，由A向C運動（與A、C不重合），Q是CB延長線上一動點，與點P同時以相同的速度由B向CB延長線方向運動（Q不與B重合），過P作PE⊥AB于E，連接PQ交AB于D．（1）若AE＝1時，求AP的長；（2）當∠BQD＝30°時，求AP的長；（3）在運動過程中線段ED的長是否發生變化？如果不變，求出線段ED的長；如果發生變化，請說明理由．解：（1）∵△ABC是等邊三角形，∴∠A＝60°，∵PE⊥AB，∴∠APE＝30°，∵AE＝1，∠APE＝30°，PE⊥AB，∴AP＝2AE＝2；（2）解：過P作PF∥QC，則△AFP是等邊三角形，∵P、Q同時出發，速度相同，即BQ＝AP，∴BQ＝PF，在△DBQ和△DFP中，∠DQB=∠DPF∠QDB=∠PDF∴△DBQ≌△DFP，∴BD＝DF，∵∠BQD＝∠BDQ＝∠FDP＝∠FPD＝30°，∴BD＝DF＝FA=13∴AP＝2；（3）解：由（2）知BD＝DF，∵△AFP是等邊三角形，PE⊥AB，∴AE＝EF，∴DE＝DF+EF=12BF+12FA=25．如圖1，在平面直角坐標系中，邊長為4的正方形OABC的兩頂點A、C分別在y軸、x軸的正半軸上，O為坐標原點，現將正方形OABC繞點O順時針方向旋轉，旋轉角為θ，對角線AC分別與x軸、直線y＝x交于點D、E，（1）當0＜θ＜45°時，如圖2，試求證CD2+AE2＝DE2；（2）當0＜θ＜45°時，如圖3，AB邊與直線y＝x交于點M，BC邊與x軸交于N，則△BMN周長為8；（3）當正方形OABC旋轉到圖3位置時，若CN＝2，則AM＝43（4）當θ＝0時，直線y＝x有一動點P，當點P的坐標為（2?233，2?233）時，AP+CP+OP有最小值為（1）證明：如圖2中，將△OAE繞點O順時針旋轉90°，得到△OCT，連接DT．則AE＝CT，∠OAE＝∠OCT，∠EOT＝90°，∵四邊形OABC是正方形，∴∠OAC＝∠OCA＝∠OCT＝45°，∴∠DCT