2023?2024學年九年級數學下冊舉一反三系列（蘇科版）專題5.1二次

函數的圖象與性質（一）?重難點題型（舉一反三）（蘇科版）專題5.1

二次函數的圖象與性質（一）?重難點題型

【蘇科版】

衣

”片蘆，?三

【知識點1二次函數的概念】

一般地，形如的函數，叫做二次函數.其中X、y是變量，a、b、c

是常量，是二次項系數，—是一次項系數，—是常數項.y=ax2+bx+c（a、b、c是常數，a#O）

也叫做二次困數的一般形式.

【知識點2二次函數的取值范圍】

一般情況下，二次函數中自變量的取值范圍是，對實際問題，自變量的取值范圍還需使實際問題

有意義.

【題型1判斷二次函數的個數】

【例1】（2020秋?太康縣期末）下列函數：①y=3-島2；②產今③），=x（3-5x）；@y=（心）（1

-2r）,是二次函數的有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【變式1-1]（2020?渦陽縣一模）已知函數：?y=2x-1：@y=-2?-I；③），=3.P-2?；@y=2?-x-

1；⑤其中二次函數的個數為（）

A.IB.2C.3D.4

【變式1-2]（2020秋?揚州期末》下列函數是關于x的二次函數的有（)

①y=x⑵?1）；②y=③y=亨/一1；@y=a^+2x（a為任意實數）；?y=（x-1）2-x2；

@y=Vx24-x+1.

A.2個B.3個C.4個D.5個

【變式1-3］（2020秋?廣漢市期中）觀察：①），=6/；②y=-3*+5；③），=200f+400,什200：④y=.d-2r；

⑤y=/—+3點@y=（x+l）2-?.這六個式子中，二次函數有________.（只填序號）

Ji4

【總結】

【題型2利用二次函數的概念求字母的值】

［ft2］（2020秋?沙坪壩區校級月考）若函數y=（a+l）/a2+i|是關于x的二次函數，則。的值為.

【變式2-1］（2020秋?肅州區期末）如果函數），=（A-3）/2-合+2十七什］是二次函數，則A的值是.

【變式2-2］（2020秋?江油市校級月考）函數y=（/n2-3///+2）jp,+inx+i-in,則當機=時，它為正

比例函數；當〃?=時，它為一次函數；當〃?時，它為二次函數.

【變式2-3］（2020秋?新昌縣校級月考）已知函數尸（謁+加a2_2加+2.

（1）當函數是二次函數時，求〃?的值；；

（2）當函數是一次函數時，求機的值..

【總結】

【題型3二次函數的一般形式】

【例3】（202（）秋?防城區期中）設出b,c分別是二次函數），=-/+3的二次項系數、一次項系數、常數

項，則（）

A.a=-I,/?=3,c=0B.a=-1,b=0,c=3

C.a--1,b=3,c=3D.a=1,〃=0,c=3

【變式3-1］（2020秋?遂溪縣校級期中）關于函數），=（50（）-100（40+x）,下列說法不正確的是（）

A.y是％的二次函數B.二次項系數是70

C.一次項是100D.常數項是20000

【變式3-2］（2020春?肇東市期末）已知二次函數），=15x+3）,則二次項系數a=，一次項系數〃

=,常數項c=.

【變式3-3]（2020秋?新昌縣期末）若二次函數），=（2.V-1）2+1的二次項系數為4,一次項系數為〃，常

數項為c,則g-4ac0（填寫“>”或"V”或“=”）

【總結】

【知識點3根據實際問題列二次函數表達式的步驟】

（1）:找出實際問題中的已知量和變量（自變量，因變量），將文字或圖形語言轉化為數學語言；

（2）：找到已知量和變量之間的關系，列出等量關系式；

（3）：設出表示變量的字母，把等量關系式用含字母的式子替換，將表達式寫成用白變量表示

的函數的形式.

【題型4根據實際問題列二次函數（銷售類）】

【例4】（2020秋?研口區期中）某商品的進價為每件40元，現在的售價為每件60元，每星期可賣出300

件.市場調查反映；如調整價格，每漲價1元，每星期要少賣出10件.則每星期售出商品的利潤y（單

位：元）與每件漲價x（單位：元）之間的函數關系式是（）

A.y=3（）（）-10xB.y=3（X）（60-40-x）

C.y=（300+10、）（60-40-x）D.y=（300-10、）（60-40+.v）

【變式4.1】（2020秋?朝陽期中）某農產品市場經銷?種銷售成本為40元的水產品.據市場分析，若按每

千克50元銷售，一個月能售500千克；銷售單價每漲2元，月銷售量就減少10千克.設每千克漲x

元，月銷售利潤為y元，則y與工的函數關系式為（）

A.y=（50+.V-40）（500-IDx）B.y=（x+40）（10.V-500）

C.y=（x-40）[500-5（x-50）]D.y=（50+.V-40）（500-5x）

【變式4-2]（2020春?西湖區校汲月考）某商品的進價為每件40元，如果售價為每件50元，每個月可賣

出21（）件；如果售價超過50元但不超過80元，每件商品的售價每上漲I元，則每個月少賣1件，如果

售價超過80元后，若再漲價，則每漲1元每月少賣3件.設每件商品的售價x元（”為整數），每個月

的銷售量為），元.

（1）求），與x的函數關系式并直接寫出自變量x的取值范圍；

（2）設每月的銷售利潤為W,請直接寫出W與工的函數關系式.

\\\\\\\\\\\

墻

門

M7:-----1---X--------M

A.>*=-%2+26x(2Wx<52)

B.>>=-1X2+50X(2WX<52)

C.y=-X2+52A-(2^X<52)

D.產-#+27x-52(2WxV52)

【變式5-2](2()20秋?思明區校級期中)如圖，某小區進行綠化改造，矩形花園的一邊由墻AB和一節籬

笆8川構成，另三邊由籬笆AOEV圍成，籬笆總長40米，墻48長16米,若BF=x米，花園面積是S

平方米，則S關于x的函數關系式是：___________.

「

D1---------------------]E

【變式5-3]（2020秋?東營期中）如圖，某農場要蓋一排三間長方形的羊圈,打算一面利用歸墻，其余各

面川木材圍成柵欄，該計劃用木材圍成總長24〃?的柵欄，設面積為s（〃『），垂直于墻的一邊長為X（小）

米.則s關于X的函數關系式：______（并寫出自變量的取值范圍）

/////〈///“//〈/

【總結】

【題型6根據實際問題列二次函數（幾何類）】

[例6]（2（）2（）?西湖區校級模擬）在RtAABC中，ZC=90°,BC=a,AC=b,AB=Cy若a+h=5,則

RtAABC的面積S關于邊長c的函數關系式為（）

A.B.C.D.S=：25+C2

4

【變式6-1］（202（）秋?翼城縣期末）如圖，在RtZXABO中，且人8=。8=3,設直線工=/截此三

角形所得的陰影部分的面積為S,則S與/之間的函數關系式為（）

B.(0V/W3)

C.S=?(0V/W3)D.5=7-1(0V/W3)

【變式6-2］（2021?江夏區模擬）如圖，在△4/3。中，AB=AC,BC=6,石為AC邊上的點且AE=2EG

點D在BC邊上且滿足BD=DE,設BD=y,SMBC=X,則y與x的函數關系式為（）

B-尸薪

4n

C,v=8lOA+2D->?=8lOr+2

【變式6-3］（2020秋?孝感期末）如圖，正方形43co的邊長是4,E是A8上一點，F是AQ延長線上的

一點，BE=DF.四邊形AEGF是矩形，矩形AEGF的面積y與8E的長x的函數關系是

【總結】

專題5.1二次函數的圖象與性質(一)一重難點題型

【蘇科版】

》孫必I先力

。加千一及三

【知識點1二次函數的概念】

一般地，形如y=a%2+bx+c(a、b、c是常數，a#0)的函數，叫做二次函數.其中x、y是變量，a、b、c

是常量，a是二次項系數，b是一次項系數，c是常數項.y=a%2+bx+c(a、b、c是常數，aKO)也叫做二

次函數的一般形式.

【知識點2二次函數的取值范圍】

一般情況下，二次函數中自變量的取值范圍是全體實數，對實際問題，自變量的取值范圍還需使實際問題

有意義.

【題型1判斷二次函數的個數】

【例1】(2020秋?太康縣期末)下列函數：?y=3-V3x2；②產備@y=x(3-5x)；@y=(l+2x)(1

-2x),是二次函數的有()

A.1個B.2個C.3個D.4個

【分析】利用二次函數定義進行分析即可.

【解答】解：?y=3-V3x2；③y=x(3-5.i)；?y=(l+2x)(1-2x),是二次函數，共3個，

故選：C.

【點評】此題主要考查了二次函數定義，關鍵是掌握判斷函數是否是二次函數，首先是要看它的右邊是

否為整式，若是整式且仍能化簡的要先將其化簡，然后再根據二次函數的定義作出判斷，要抓住二次項

系數不為。這個關鍵條件.

【變式1-1](2020?渦陽縣一模)已知函數：?y=2x-1；@y=-2A2-1；③)，=3--2r\④),=2^-

1；⑤+以+c,其中二次函數的個數為（）

A.IB.2C.3D.4

【分析】根據二次函數定義：一般地，形如y=o?+云+c（〃、力、c是常數，〃W0）的函數，叫做二次函

數進行分析即可.

【解答]解：②?是二次函數，共2個，

故選：B.

【點評】此題主要考查了二次函數的定義，關鍵是掌握丁=/+灰+。（〃、仄。是常數，aWO）是二次函

數，注意〃KO這一條件.

【變式1-2]（2020秋?揚州期末）下列函數是關于x的二次函數的有（）

22

①y=x⑵-1）；@y=^；③y=苧/一1；④產蘇+2%（〃為任意實數）；@y=（x-1）-x；

@y=Vx2+x+1.

A.2個B.3個C.4個D.5個

【分析】根據二次函數的定義：一般地，形如＞，=⑥2+法+cQ、力、。是常數，。工0）的函數，叫做二次

函數進行分析可得答案.

【解答】解：是關于X的二次函數的有①③，

故選:A.

【點評】此題主要考查了二次函數定義，判斷函數是否是二次函數，首先是要看它的右邊是否為整式，

若是整式且仍能化簡的要先將其化簡，然后再根據二次函數的定義作出判斷，要抓住二次項系數不為0

這個關鍵條件.

【變式1-3]（2020秋?廣漢市期中）觀察：①y=6/；②y=-3/+5；③），=200，+400.計200；④y=9-2x；

⑤、=/一。+3]?y=（x+l）2-?.這六個式子中，二次函數有________.（只填序號）

人乙

【分析】根據二次函數的定義可得答案.

【解答】解：這六個式子中，一次困數有：①y=6/；②y=-3『+5；@y=2CX）x2+400.r+200；

故答案為：①②?.

【點評】本題主要考查的是二次函數的定義，熟練掌握二次函數的概念是解題的關鍵.

【題型2利用二次函數的概念求字母的值】

[ft2]（2020秋?沙坪壩區校級月考）若函數y=（a+l）/a2+i|是關于x的二次函數，則。的值為.

【分析】根據二次函數定義可得|/+“=2且a+lHO,求解即可.

【解答】解：???函數y=（a+l）/a2+il是關于x的二次函數,

，|M+］|=2且C

解得。=1,

故答案為：1.

【點評】本題考杳的是二次函數的定義，二次函數的定義：一般地，形如,，=/+歷；+0（隊b、。是常數,

,7^0）的函數，叫做二次函數.

【變式2-1］（2020秋?肅州區期末）如果函數尸（八3）*』+2+&+［是二次函數，則4的值是.

【分析】利用二次函數定義可得爐-34+2=2,且女?3工0,再解ILH的值即可.

【解答】解：由題意得：F?3A+2=2,且k-3W0,

解得:k=0,

故答案為：0.

【點評】此題主要考查了二次函數定義，關鍵是掌握形如,=aF+/zx+c"、/八c是常數，。三0）的函數,

叫做二次函數.

【變式2-2］（2020秋?江油市校級月考）函數y=Cm2-3/?+2）X2+//LV+1-m,則當/〃=時，它為正

比例函數；當〃?=時，它為一次函數；當機時，它為二次函數.

【分析】首先解方程，進而利用正比例函數、一次函數與二次函數的定義得出答案.

【解答】解：?3〃?+2=0,

則（/??-1）（/n-2）=0,

解得：〃?1=1,"72=2,

故〃岸1且機W2時，它為二次函數：當加=1或2時，它為一次函數，當加=1時，它為正比例函數；

故答案為：1;1或2；〃?W1且

【點評】此題主要考查了一次函數與二次函數的定義，正確解方程是解題關鍵.

【變式2-3］（2020秋?新昌縣校級月考）已知函數尸（〃P+M%匠一2m+2.

（1）當函數是二次函數時，求機的值；；

（2）當函數是一次函數時，求〃?的值..

【分析】（1）這個式子是二次函數的條件是：毋?2〃?+2=2并且病+小工0；

（2）這個式子是一次函數的條件是：川-26+2=1并且〃P+〃?W0.

【解答】解：⑴依題意，得nr-2〃計2=2,

解得m=2或〃?=0；

又因rrr+m^O,

解得mWO或-1；

因此加=2.

（2）依題意，得謂-222=1

解得m=l;

又因加2+〃?WO,

解得m#0或/〃#-I；

因此m=1.

【點評】本題主要考查一次函數與二次函數的定義與一般形式.

【題型3二次函數的一般形式】

【例3】（2020秋?防城區期中）設小b,c?分別是二次函數y=-7+3的二次項系數、一次項系數、常數

項，貝|J（）

A.a=-1,0=3,c=0B.a=-\,〃=0,c=3

C.a=-i,b=3,c=3D.a=1,〃=0,c=3

【分析】根據二次函數的定義：一般地，形如），="2+辰+c（人力、。是常數，aWO）的函數，叫做二次

函數.其中r），是變量，〃、4、c是常量，。是二次項系數，b是一次項系數,。是常數項作答.

【解答】解：二次函數y=?f+3的二次項系數是〃=?1,一次項系數是〃=0,常數項是c=3；

故選：B.

【點評】此題主要考查了二次函數的定義，關鍵是注意在找二次項系數，一次項系數和常數項時，不要

漏掉符號.

【變式3-1］（2020秋?遂溪縣校級期中）關于函數），=（500-10A）（40+X）,下列說法不正確的是（）

A.y是x的二次函數B.二次項系數是-10

C.一次項是100D.常數項是20000

【分析】根據形如丁=。?+&+°是二次函數，可得答案.

【解答】解：y=-10?+100^+20000,

A、y是x的二次函數，故A正確；

B、二次項系數是-10,故8正確；

C、一次項是100A-,故C錯誤；

D、常數項是20000,故。正確;

故選：c.

【點評】本題考杳了二次函數的定義，化成二次函數的一般式是解題關鍵.

【變式3-2］（2020春?肇東市期末）已知二次函數），=1-5/3/，則二次項系數。=,一次項系數8

=,常數項c=.

【分析】根據二次函數的定義，可得答案.

【解答】解：二次函數y=l-5x+3/，則二次項系數。=3,一次項系數〃=-5,常數項c=l,

故答案為：3,-5,1.

【點評】本題考查了二次函數的定義，熟記二次函數的定義是解題關鍵.

【變式3-3］（2020秋?新昌縣期末）若二次函數y=（lv-1）2+1的二次項系數為一次項系數為從常

數項為c,則b2-4ac0（填寫“>”或“<”或“二”）

【分析】根據二次函數的解析式得出a,b,c,的值，再代入戶-4〃,計算，判斷與0的大小即可.

【解答】解：*.>=（2A-1）2+1,

，a=4,b=-4,c=2,

.,.序-4〃。=16-4X4X2=-16<0,

故答案為<.

【點評】本題考查了二次函數的定義以及各項系數，掌握a,b,。的確定是解題的關鍵.

【知識點3根據實際問題列二次函數表達式的步驟】

（1）理解題意:找出實際問題中的己知量和變量（自變量，因變量），將文字或圖形語言轉化為數學語言；

（2）分析關系:找到已知量和變量之間的關系，列出等量關系式；

（3）列函數表達式:設出表示變量的字母，把等量關系式用含字母的式子替換，將表達式寫成用自變量表

示的函數的形式.

【題型4根據實際問題列二次函數（銷售類）】

【例4】（2020秋?研口區期中）某商品的進價為每件40元，現在的售價為每件60元，每星期可賣出300

件.市場調查反映；如調整價格，每漲價I元，每星期要少賣出10件.則每星期售出商品的利潤），（單

位：元）與每件漲價大（單位：元）之間的函數關系式是（）

A.y=300-10xB.y=3（X）（60-40-x）

C.>'=（300+lO.v）（60-40-x）D.y=（300-10x）（60-40+x）

【分析】由每件漲價x元，可得出俏售每件的利潤為（60?40+K）元，每星期的銷售量為（300-IQv）,

再利用每星期售出商品的利潤=銷售每件的利潤X每星期的俏售量，即可得出結論.

【解答】解：???每漲價1元，每星期要少賣出10件，每件洸價x元，

???銷售每件的利潤為(60-40-x)元，每星期的銷售量為(300-10.r),

每星期售出商品的利潤丁=C300-10A)(60-40+x).

故選：

【點評】本題考查了根據實際問題列二次函數關系式，根據各數量之間的關系，找出y與工之間的函數

關系式.

【變式4-1](2020秋?朝陽期中)某農產品市場經銷一種銷售成本為40元的水產品.據市場分析，若按每

千克50元銷售，一個月能售出500千克；銷售單價每漲2元，月銷售量就減少1()千克.設每千克漲x

元，月銷售利潤為)，元，則)，與x的函數關系式為()

A.y=(50+X-40)(500-10x)B.y=(.r+40)(10x-500)

C.>'=(x-40)1500-5(x-50)]D.y=(50+.r-40)(500-5x)

【分析】直接利用銷量X每千克利澗=總利澗，得出函數關系式即可.

【解答】解：設每千克漲x元，月銷售利潤為y元，則y與入?的函數關系式為：

y=(50+X-40)(500-5x).

故選：D.

【點評】此題主要考查了根據實際問題列函數關系式，正確表示出銷量是解題關鍵.

【變式4-2](202()春?西湖區校級月考)某商品的進價為每件4()元，如果售價為每件50元，每個月可賣

出210件；如果售價超過50元但不超過80元，每件商品的售價每上漲1元，則每個月少賣1件，如果

售價超過80元后，若再漲價，則每漲1元每月少賣3件.設每件商品的售價x元(%為整數)，每個月

的銷售量為)，元.

(1)求)，與x的函數關系式并更接寫出自變量x的取值范圍；

(2)設每月的銷售利潤為W,請直接寫出卬與x的函數關系式.

【分析】(1)當售價超過50元但不超過80元，每件商品的售價每上漲I元，則每個月少賣1件，)，=

260-x,500W80,當如果售價超過80元后，若再漲價，則每漲1元每月少賣3件，y=420-3x,80

VxWl40,

(2)由利潤=(售價-成本)X銷售量列出函數關系式，

【解答】解：(1)當50WxWB0時,y=2\0-(x-50),艮]y=260-x,

當80VxW140時，>'=210-(80-50)-3(x-80),即y=420?3%.

Jy=260-x(50<x<80)

'(y=4ZU-3x(80<x<140)：

（2）由題意可得,

W=-A300X-10400（50Wx<80）,

W=-3?+540.v-16800（80<.v<140）.

【點評】本題主要考查二次函數的應用，根據題意列出函數關系式是解決本題的關鍵.

【變式4-3］（2020?諸城市一模）某廠生產某種零件，該廠為鼓勵銷售商訂貨，提供了如下信息：

①每個零件的成本價為40元；

②若訂購量不超過100個，出廠價為60元；若訂購量超過100個時，每多訂1個，訂購的全部零件的出

廠單價就降低0.02元；

③實際出廠單價不能低于51元.

根據以上信息，解答下列問題：

（1）當一次訂購量為個時，零件的實際出廠單價降為51元.

（2）設一次訂購量為x個時，零件的實際出廠單價為F元，寫出F與x的函數表達式.

（3）當銷售商一次訂購500個零件時，該廠獲得的利潤是多少元？如果訂購1000個，利潤又是多少元？

（工廠售出一個零件的利潤=實際出廠價-成本）.

【分析】（I）由題意設每個零件的實際出廠價恰好降為51元時，一次訂購量為x個，則x=

100+華浮=550進而得出答案；

（2）前100件單價為P,當進貨件數大于等于550件時，P=51,則當1（）0V.EV55（）時，0=60-0.02（x

-100）=62-4得到。為分段函數，寫出解析式即可；

（3）設銷售商的一次訂購量為x個時，工廠獲得的利潤為L元，表示出L與x的函數關系式，然后令x

=500,1000即可得到對應的利潤.

【解答】解：（1）設每個零件的實際出廠價恰好降為51元時.，一次訂購量為x個，則x=100+耳需=550,

根據實際出廠單價不能低于51元，

因此，當一次訂購量為大于等于550個時，每個零件的實際出廠價恰好降為51元.

故答案為:2550；

（2）當OVxWlOO時，P=60

當100?550時,0=60-002（x-100）=62-余

OV

當x》550時，P=51

60(0<x<100)

62-^(100<x<550)；

(51(550<x)

（3）設銷售商的一次訂購量為x個時，工廠獲得的利潤為L元，

（20x（0<100）

則L-（P-40）x={Yz

I22%-^（100<x<500）

當x=500時，L=22X500-=6000（元）；當x=1000時，L=（51-40）X1000=11000（元），

因此，當銷售商一次訂購500個零件時，該廠獲得的利潤是6000元；如果訂購100（）個，利潤是11000

元.

【點評】本小題主要考查了二次函數的應用以及分段函數的應用，注意利用自變量取值范圍得出函數解

析式是解題關鍵.

【題型5根據實際問題列二次函數（面積類）】

［例5］（2020?平陽縣一模）某農場擬建一間矩形種牛飼養室，飼養室的一面靠現有墻（墻足夠長），并

在如圖所示位置留2機寬的門，已知計劃中的建筑材料可建圍墻（不包括門）的總長度為50%設飼養

室長為X”?，占地面積為"〃2,則關于工的函數表達式是（）

A.y=-X2+5O.VB.）=一袋+24%

1A19

C.y=—&尸+25xD.y=—之r+26工

【分析】根據題意表示出矩形的寬，再利用矩形面積求法得出答案.

【解答】解：設飼養室長為X”!，占地面積為

則y關于x的函數表達式是：y=x*~（50+2-x）=-1.V2+26A-.

故選：D.

【點評】此題主要考查了根據實際問題列二次函數關系式，正確表示出矩形的寬是解題關鍵.

【變式5-1］（2020秋?沙坪壩區校級期中）如圖，某農場擬建?間矩形奶牛飼養室，打算一邊利用房屋現

有的墻（墻足夠長），其余三邊除大門外用柵欄圍成，柵欄總長度為50〃?，門寬為2,〃.若飼養室長為

工小，占地面積為則關于x的函數表達式為()

\\\\\\\\\\\

墻

7門1-----------------------

M:----------X-----------M

A.y=-#+26x(2Wx<52)

B.y=—ix2+50x(2W/V52)

C.y=?』+52J(2《xV52)

D.y=-1x2+27x-52(2?52)

【分析】直接根據題意表示出垂直與墻飼養室的一邊長，再利用矩形面枳求法得出答案.

【解答】解：y關于x的函數表達式為：y=i(50+2-x)x

=-iv2+26.v(2WxV52).

故選：A.

【點評】此題主要考查了根據實際問題列二次函數關系，正確表示出另一邊長是解題關鍵.

【變式5-2](2020秋?思明區校級期中)如圖，某小區進行綠化改造，矩形花園的一邊由墻/W和一節籬

笆3F構成，另三邊由籬笆4OE廠圍成，籬笆總長40米，墻A8長16米，若4F=x米，花園面積是S

平方米，則S關于x的函數關系式是：.

【分析】根據題意分別表示出長方形的長與寬進而得出答案.

40—%—16—3

【解答】解：由題意可得：5=(16+x)-------------------

=(16+x)(12-x)

=-『-4x+192.

故答案為：5=-A2-4X+192.

【點評】此題主要考查了根據實際問題抽象出二次函數關系式，正確表示出矩形的長與寬是解題關鍵.

【變式5-3](2020秋?東營期中)如圖，某農場要蓋一排三間長方形的羊圈，打算一面利用舊墻，其余各

面用木材圍成柵欄，該計劃用木材圍成總長24〃?的柵欄，設面積為s（〃』），垂直于墻的一波長為

米.則s關于x的函數關系式：（并寫出自變量的取值范圍）

【分析】先根據柵欄的總長度24表示出三間羊圈與舊墻平行的一邊的總長為（24-4x）,再根據長方形

為面積公式表示即可得到s關于x的函數關系式；找到關于/的兩個不等式：24-4￡>0,心>0,解之即

可求出x的取值范圍.

【解答】解：根據題意可知，三間羊圈與舊墻平行的一邊的總長為（24-44），

則：s=（24-4.r）x=-4A2+24X

由圖可知：24?4x>0,x>0,

所以x的取值范圍是0VxV6,

故答案為：s=-4X2+24X（0<X<6）.

【點評】此題主要考查了結合實際問題列二次函數解析式.本題中主要涉及的知識點有：二次函數的表

示方法，自變量取值范圍的解法，找到關于x的不等式.

【題型6根據實際問題列二次函數（幾何類）】

[例6]（2020?西湖區校級模擬）在RtA4BC中，NC=90°,BC=a,AC=b,AB=c,若a+b=5,則

RtAABC的面積S關于邊長c的函數關系式為（.）

AJ25-c225-c2C.S=^^

A.5=-4—B.S==^-D.5=半

【分析】直接利用直角三角形的性質結合完全平方公式得出S與c的關系.

【解答】解：VZC=90°,BC=a,AC=b,AB=c,

:./+后=d,

???□△ABC的面積S,

S=^ab,

*.*?+/?=5>

/.Ca+b）2=25,

：.a-+b-+2ab=25,

?32+45=25,

25-c2

故選：A.

【點評】此題主要考查了根據實際問題列二次函數關系式，正確掌握直角三角形的性質是解題關鍵.

【變式6-1］（2020秋?翼城縣期末）如圖，在RtZVlB。中，ABVOB,W.AB=OB=3,設直線x=f截此三

角形所得的陰影部分的面積為S,則S與,之間的函數關系式為（）

A.S=t(0VW3)B.5=暴(0VW3)

C.S=r(0V/W3)D.S=1r-1(0</^3)

【分析】Rt^AOB中，AB_LO8,且48=08=3,所以很容易求得NAO8=NA=45°；再由平行線的性

質得出NOCO=NA,即N4OD=NOCQ=45°,進而證明。。=。。=/；最后根據三角形的面積公式，

解答出S與l之間的函數關系式.

【解答】解：如圖所示，

?.?RiZXAOB中，ABLOB,且人8=08=3,

???NAO3=N4=45°,

：,CD//ABf

：.Z0CD=ZA,

???NAOO=NOCO=45°,

：,OD=CD=t,

?*.S^OCD=IXODXCD

=1r(0V/W3),即S=1(0V/W3).

故選：B.

【點評】本題主要考查的是二次函數解析式的求法，解題的關鍵是能夠找到題目中的有關面積的等量關

系，難度不大.

【變式6-2］（2021?江夏區模擬）如圖，在△A8C中，AB=AC,BC=6,E為AC邊上的點且AE=2EC,

點。在BC邊上且滿足設SMBC=X,則『與式的函數關系式為（）

4。5

B-y=810r+2

U尸焉82D?產薪f+2

【分析】過A作人過？作EP_LBC,則A，〃EP,由此得出關于x和3，的方程，即可得出關系式.

【解答】解：過A作A〃J_4C,過￡作￡。3_5。，則A〃〃七戶,

:.HC=3,PC=\,BP=5,PE=

■:BD=DE=y,

???在RtZ\EOP中，＞-2=(5-y)2+PE2,

???x=6AH+2=34H,

故選：A.

【點評】此題主要考查了根據實際問題列二次函數關系式的知識，關鍵是根據等腰三角形的性質進行分

析，難度適中.

【變式6-3](2020秋?孝感期末)如圖，正方形ABCD的邊長是4,E是48上一點，尸是AD延長線上的

一點，BE=DF.四邊形AEG尸是矩形，矩形AEG/的面積y與8E的長x的函數關系是.

【分析】設3E的長度為x(0&V4),則AE=4-x,4尸=4+弟根據矩形的面積即可得出)，關于x的

函數關系式，此題得解.

【解答】解：設8E的長度為x(0WxV4),則AE=4?x,4/=4+x,

.\y=AE*AF=(4-x)(4+x)=16-，.

故答案為：y=16-/(0<x<4).

【點評】本題考查了根據實際問題列二次函數關系式，根據矩形的面積找出)，關于x的函數關系式是解

題的關鍵.

專題5.2二次函數的圖象與性質（二）一重難點題型

【蘇科版】

》孫必I先力

”片蘆，?三

【知識點1二次函數的配方法】

y=ax2+bx+c(aH0)

=Q(/++§①提取二次項系數：

="卜+"+恁)2-篇②配方：加上再減去一次項系數絕對值一半的平方;

=小+獷+甘③整理：前三項化為平方形式，后兩項合并同類項;

=(+獷+鏟④化簡：去掉中括號.

二次函數的一般形式y=以2+尿+c（a工0）配方成頂點式y=a（x++等泮，由此得到二次函數對

稱軸為頂點坐標為心‘與聲

【題型1二次函數的配方法】

【例I】用配方法將下列函數化成），=〃（X+/?）2+k的形式，并指出拋物線的開口方向，對稱軸和頂點坐標.

（1）y=-iv2+6x-17；

（2）y=（2-x）（l+2x）.

【解題思路】（1）利用配方法先提出二次項系數，再加上一次項系數的一半的平方來湊完全平方式，把

一般式轉化為頂點式；

（2）化為一般式后，利用配方法先提出二次項系數，再加上一次項系數的一半的平方來湊完全平方式，

把一般式轉化為頂點式.

【解答過程】解：(1)y=-1v2+6x-17=(/-⑵+36：+18-17=(x-6)2+1,

,:a=一；<0,

，開口向下，

對稱軸為直線x=6,頂點坐標為(6,1)；

902

-^285

(2))，=(2-x)(\+2x)=-2X2+3X+2=84

Va=-2<0,

，開口向下，

o325

對稱軸為直線戶弓，頂點坐標為(：，—).

,48

【變式1-1】用配方法確定下列函數的對稱軸和頂點坐標，

(1)y=2?-12x+3

(2)y=-5/+80x-319

(3)y=2(T)(X-2)

(4)y=3(2x+l)(2-A)

【變式1-2］用配方法把下列函數化成)，=a(x?〃)2的形式，并寫出函數圖象的頂點坐標、開口方向及對

稱軸.

(1)y=4/-4x+l；

(2)y=J/+2x+2；

132L

⑶y=—□-V+^x/Bx-1.

【變式1-3］利用配方法，把下列函數寫成)，=〃(x-〃)2+4的形式，并寫出它們圖象的開口方向、對稱軸

和頂點坐標.

(1)y=~/+6x+l

(2)y=2AT-3x+4

(3)y=-

(4)y=jr+px+q.

【知識點2二次函數的五點繪圖法】

利用配方法將二次函數），"/+取+c化為頂點式j，”（x-4+-確定其開口方向、對稱軸及頂點坐標，

然后在對稱軸兩側，左右對稱地描點畫圖.一般我們選取的五點為：頂點、與y軸的交點（0,c）、以及（0,c）

關于對稱軸對稱的點（2人c）、與k軸的交點（內，0）,（與，0）（若與x軸沒有?交點，則取兩組關于對稱軸

對稱的點）.畫草圖時應抓住以下幾點：開口方向，對稱軸，頂點，與X軸的交點，與J?軸的交點.

【題型2二次函數的五點繪圖法】

【例2】（2020秋?番禺區校級期中）已知二次函數.\，=/-以-3,在給定的直角坐標系中畫出這個函數的

【解題思路】求出與大軸的交點坐標，然后再利用配方法把函數解析式化為頂點式找出頂點坐標與函數

的對稱軸直線，即可作出大致圖象；

【解答過程】解：當尸0時，w?2"3=0,

解得X1=-1,X2=3,

???與x軸的交點坐標是（7,0）,（3,0）,

又?；），=7-2x-3=（x-1）2-4,

???頂點坐標是（1,-4）,對稱軸是直線x=l,

圖象如圖所示:

【變式2-1]（2020秋?虹口區期末）已知二次函數的解析式為尸分2?2x.

（1）用配方法把該二次函數的解析式化為），=，，（A+W）2+k的形式；

（2）選取適當的數據填入下表，并在如圖所示的平面直角坐標系X。）'內描點，畫出該函數的圖象.

???

X…__________-----------—------------

y…???

--------------------—

【變式2?2】（2020秋?岑溪市期中）已知二次函數），=?f+4x.

（1）下表是y與人的部分對應值，請補充完整；

X???01234

???

y0———0

（2）根據上表的數據，在如圖所示的平面直角坐標系中描點，并畫出該函數圖象;

（3）根據圖象，寫出當），VOE寸，x的取值范圍.

【變式2-3］（2020秋?渾源縣期末）已知二次函數），=『-4%+3.

（1）將二次函數表達式），=/-4x+3化成），=。（廣力）2+人?的形式，并直接寫出其頂點坐標;

（2）完成下列表格并在如圖所示的直角坐標系內畫出該函數的大致圖象;

01234

【知識點3二次函數的圖象與各系數之間的關系】

①二次項系數總結起來，a決定了拋物線開口的大小和方向，a的正負決定開口方向，同的大小決定

開口的大小.

②一次項系數8：在。確定的前提下，b決定了拋物線對稱軸的位置，對稱軸x=-2在y軸左邊則ab>0,

2a

在y軸的右側則。6