2023-2024學(xué)年北京市西城區(qū)重點(diǎn)名校中考數(shù)學(xué)四模試卷

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再

選涂其它答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題(本大題共12個(gè)小題，每小題4分，共48分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.)

1.中國(guó)傳統(tǒng)扇文化有著深厚的底蘊(yùn)，下列扇面圖形是中心對(duì)稱(chēng)圖形的是()

2.定義運(yùn)算：a*b=2ab.若a,b是方程x2+x.m=0(m>0)的兩個(gè)根，則(a+1)*a-(b+1)*b的值為()

A.0B.2C.4mD.-4m

3.如圖，點(diǎn)P(x,y)(x>0)是反比例函數(shù)(k>0)的圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以點(diǎn)P為圓心，OP為半徑的圓與

X

X軸的正半軸交于點(diǎn)A,若小OPA的面積為S,則當(dāng)x增大時(shí)，S的變化情況是()

A.S的值增大B.S的值減小

C.S的值先增大，后減小D.S的值不變

4.若a+b=3,4：+方：=，，則ab等于()

A.2B.1C.-2D.-1

5.如圖，已知AAKC,按以下步驟作圖：①分別以凡C為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于兩點(diǎn)M,

N；②作直線MN交AB于點(diǎn)D,連接CD.若CO=AC,ZA=50c,則NAC5的度數(shù)為()

A.90°B.95°C.105°D.110°

6.下列運(yùn)算正確的是（）

B.(3a3)2=6a6

C.(a+h)2=a2+h2D.(〃+2)(〃-3)=6/*-a-6

7.如果三角形滿(mǎn)足一個(gè)角是另一個(gè)角的3倍，那么我們稱(chēng)這個(gè)三角形為“智慧三角形”.下列各組數(shù)據(jù)中，能作為一個(gè)

智慧三角形三邊長(zhǎng)的一組是（）

A.1,2,3B.1,1,72C.1,1,6D.1,2,6

8.為了節(jié)約水資源，某市準(zhǔn)備按照居民家庭年用水量實(shí)行階梯水價(jià)，水價(jià)分檔遞增，計(jì)劃使第一檔、第二檔和第三檔

的水價(jià)分別覆蓋全市居民家庭的80%,15%和5%.為合理確定各檔之間的界限，隨機(jī)抽查了該市5萬(wàn)戶(hù)居民家庭上

一年的年用水量（單位：〃”），繪制了統(tǒng)計(jì)圖，如圖所示.下面有四個(gè)推斷:

①年用水量不超過(guò)180ml的該市居民家庭按第一檔水價(jià)交費(fèi)；

②年用水量不超過(guò)240m1的該市居民家庭按第三檔水價(jià)交費(fèi)；

③該市居民家庭年用水量的中位數(shù)在150~180mi之間；

④該市居民家庭年用水量的眾數(shù)約為110m）

其中合理的是（）

A.①@B.①@C.②③D.②④

9.如圖，在矩形ABCD中，AB=O,AD=2,以點(diǎn)A為圓心,AD的長(zhǎng)為半徑的圓交BC邊于點(diǎn)E,則圖中陰影部

分的面積為（）

A.2>/2—1-----B.2>/2—1----C.2>/2—2-----D.2>/2—1-----

3224

10-如圖'已知線段AB'分別以A'B為圓心，大于;AB為半徑作弧'連接弧的交點(diǎn)得到直線L在直線I上取一點(diǎn)

C,使得NCAB=25。，延長(zhǎng)AC至點(diǎn)M,則NBCM的度數(shù)為（)

11.已知一組數(shù)據(jù)a,b,c的平均數(shù)為5,方差為4,那么數(shù)據(jù)a?2,b?2,c?2的平均數(shù)和方差分別是.（）

A.3,2B.3,4C.5,2D.5,4

12.如阿，從一塊圓形紙片上剪出一個(gè)圓心角為90。的扇形ABC,使點(diǎn)A、B、C在圓周上,將剪下的扇形作為一個(gè)圓錐

側(cè)面，如果圓錐的高為3而077,則這塊圓形紙片的直徑為（）

A.12cmB.20cmC.24cmD.28cm

二、填空題：（本大題共6個(gè)小題，每小題4分，共24分.）

13.在平面直角坐標(biāo)系中，智多星做走棋的游戲，其走法是：棋子從原點(diǎn)出發(fā)，第1步向上走1個(gè)單位，第2步向上

走2個(gè)單位，第3步向右走1個(gè)單位，第4步向上走1個(gè)單位……依此類(lèi)推，第n步的走法是：當(dāng)n被3除，余數(shù)為

2時(shí)，則向上走2個(gè)單位；當(dāng)走完第2018步時(shí)，棋子所處位置的坐標(biāo)是_____

14.如圖所示，三角形ABC的面積為Icm）AP垂直NB的平分線BP于P.則與三角形PBC的面積相等的長(zhǎng)方形是

（）

0.5cm

0.9cm

D0.5cm

1.2cm

15.若尸立一3+J3-X+2,則第'=

16.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A是拋物線產(chǎn)a(x-3『+k與》軸的交點(diǎn)，點(diǎn)B是這條拋物線上的另一點(diǎn)，且

17.若2x+y=2,則4x+l+2y的值是.

18.分解因式：mx2-6mx+9m=.

三、解答題：(本大題共9個(gè)小題，共78分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

19.(6分)(定義)如圖1,A,B為直線1同側(cè)的兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作直線1的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A。連接交直線I于點(diǎn)P,連

接AP.則稱(chēng)點(diǎn)P為點(diǎn)A,R關(guān)于直線1的“等角點(diǎn)”.

(運(yùn)用)如圖2,在平面直坐標(biāo)系xOy中，已知A(2,VW)，B(-2,-Q)兩點(diǎn).

(1)C(4,y),D(4,y),E(4,9三點(diǎn)中，點(diǎn)是點(diǎn)A,B關(guān)于直線x=4的等角點(diǎn);

(2)若直線1垂直于x軸，點(diǎn)P(m,n)是點(diǎn)A,B關(guān)于直線1的等角點(diǎn)，其中m>2,ZAPB=a,求證：tan=1；

JJ

(3)若點(diǎn)P是點(diǎn)A,B關(guān)于直線)=@*+1)(a/))的等角點(diǎn)，且點(diǎn)P位于直線AB的右下方，當(dāng)NAPB=60。時(shí)，求b的

(1)X2-4^-3=0;(2)(X-1)2-2(X2-1)=0

21.(6分)如圖，以40〃心的速度將小球沿與地面成30。角的方向擊出時(shí)，小球的飛行路線是一條拋物線.如果不考

慮空氣阻力，小球的飛行高度無(wú)(單位：山)與飛行時(shí)間，(單位：s)之間具有函數(shù)關(guān)系/，=10”5巴小球飛行時(shí)間

是多少時(shí)，小球最高？最大高度是多少？小球飛行時(shí)間(在什么范圍時(shí)，飛行高度不低于15/〃？

22.（8分）如圖,AB=16,O為AB中點(diǎn)點(diǎn)C在線段OB上（不與點(diǎn)O,B重合），將OC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)270。后得到扇

形COD,AP,BQ分別切優(yōu)弧CD于點(diǎn)P,Q,且點(diǎn)P,Q在AB異側(cè)，連接OP.

求證：AP=BQ；當(dāng)BQ=4g時(shí)，求QO的長(zhǎng)（結(jié)果保留乃）；若AAPO

的外心在扇形COD的內(nèi)部，求OC的取值范圍.

23.（8分）讀詩(shī)詞解題：（通過(guò)列方程式，算出周瑜去世時(shí)的年齡）

大江東去浪淘盡，千古風(fēng)流數(shù)人物;

而立之年督東吳，早逝英年兩位數(shù);

十位恰小個(gè)位三，個(gè)位平方與壽符;

哪位學(xué)子算得快,多少年華屬周瑜?

24.（10分）關(guān)于x的一元二次方程（m+2）=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.求利的取值范圍；若切為符合條件

的最小整數(shù)，求此方程的根.

25.（10分）如圖，△ABC內(nèi)接于。O,過(guò)點(diǎn)。作8C的垂線交。O于點(diǎn)E在8C的延長(zhǎng)線上，且NO￡C=NBAC.求

證：是。。的切線；若AC〃OE,當(dāng)A8=8,CE=2時(shí)，求。。直徑的長(zhǎng).

26.（12分）如圖1,2分別是某款籃球架的實(shí)物圖與示意圖，已知底座BC的長(zhǎng)為0.60m,底座BC與支架AC所成

的角NACB=75。，點(diǎn)A、H、F在同一條直線上，支架AH段的長(zhǎng)為Im,HF段的長(zhǎng)為l.50m,籃板底部支架HE的

長(zhǎng)為0.75m.求籃板底部支架HE與支架AF所成的角ZFHE的度數(shù).求籃板頂端F到地面的距離.（結(jié)果精確到0.1m；

參考數(shù)據(jù)：cos75°=0.2588,sin75Ko.9659,tan75°=：3.732,6川.732,拉=1.414)

27.（12分）某公司投入研發(fā)費(fèi)用80萬(wàn)元（80萬(wàn)元只計(jì)入第一年成本），成功研發(fā)出一種產(chǎn)品.公司按訂單生產(chǎn)（產(chǎn)

量;銷(xiāo)售量），第一年該產(chǎn)品正式投產(chǎn)后，生產(chǎn)成本為6元/件.此產(chǎn)品年銷(xiāo)售量y（萬(wàn)件）與售價(jià)x（元/件）之間滿(mǎn)足

函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=?x+l.求這種產(chǎn)品第一年的利潤(rùn)Wi（萬(wàn)元）與售價(jià)x（元/件）滿(mǎn)足的函數(shù)關(guān)系式；該產(chǎn)品第一年的利

潤(rùn)為20萬(wàn)元，那么該產(chǎn)品第一年的售價(jià)是多少？第二年，該公司將第一年的利潤(rùn)20萬(wàn)元（20萬(wàn)元只計(jì)入第二年成本）

再次投入研發(fā)，使產(chǎn)品的生產(chǎn)成本降為5元/件.為保持市場(chǎng)占有率，公司規(guī)定第二年產(chǎn)品售價(jià)不超過(guò)第一年的售價(jià)，

另外受產(chǎn)能限制，銷(xiāo)售量無(wú)法超過(guò)12萬(wàn)件.請(qǐng)計(jì)算該公司第二年的利潤(rùn)W2至少為多少萬(wàn)元.

參考答案

一、選擇題（本大題共12個(gè)小題，母小題4分，共48分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）

1、C

【解析】

根據(jù)中心對(duì)稱(chēng)圖形的概念進(jìn)行分析.

【詳解】

A、不是中心對(duì)稱(chēng)圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B、不是中心對(duì)稱(chēng)圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C、是中心對(duì)稱(chēng)圖形，故此選項(xiàng)正確；

D、不是中心對(duì)稱(chēng)圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

故選：C.

【點(diǎn)睛】

考查了中心對(duì)稱(chēng)圖形的概念.中心對(duì)稱(chēng)圖形是要尋找對(duì)稱(chēng)中心，旋轉(zhuǎn)180度后兩部分重合.

2、A

【解析】【分析】由根與系數(shù)的關(guān)系可得a?b=-l然后根據(jù)所給的新定義運(yùn)算a*b=2ab對(duì)式子(a+1)*a?(brl)*b用新定

義運(yùn)算展開(kāi)整理后代入進(jìn)行求解即可.

【詳解】Va,b是方程x2+x?m=0(m>0)的兩個(gè)根，

a+b=-L

???定義運(yùn)算：a*b=2ab,

(a+1)*a-(b+1)*b

=2a(a+l)-2b(b+l)

=2a2+2a-2b2-2b

=2(a+b)(a-b)+2(a-b)

=-2(a-b)+2(a-b)=0,

故選A.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，新定義運(yùn)算等，理解并能運(yùn)用新定義運(yùn)算是解題的關(guān)鍵.

3、I)

【解析】

作PBYOA于5,如圖，根據(jù)垂徑定理得到。6A3,則SAPOB=S^PAB,再根據(jù)反比例函數(shù)k的幾何意義得到SApoB=~\k\t

2

所以3=方，為定值.

【詳解】

作P3_L0A于3,如圖，貝產(chǎn)SA/MS.

???SA/W=L|川，.?.S=2A,.??S的值為定值.

2

故選D.

【點(diǎn)睛】

L

本題考杳了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義：在反比例函數(shù)嚴(yán)一圖象中任取一點(diǎn)，過(guò)這一個(gè)點(diǎn)向x軸和y軸分別作垂線,

x

與坐標(biāo)軸圍成的矩形的面積是定值I&I.

4、B

【解析】

Va?b=3?

：?(a+b)2=9

?'.a2+2ab+b2=9

Va2+b2=7

A7+2ab=9,7+2ab=9

/.ab=l.

故選B.

考點(diǎn)：完全平方公式；整體代入.

5、C

【解析】

根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到NCDA=NA=50。，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得NDCA=80。，根據(jù)題目中作圖步驟可知，

MN垂直平分線段BC,根據(jù)線段垂直平分線定理可知BD=CD,根據(jù)等邊對(duì)等角得到NB=NBCD,根據(jù)三角形外角性

質(zhì)可知NB+NBCD=NCDA,進(jìn)而求得NBCD=25。，根據(jù)圖形可知NACB=NACD+NBCD,即可解決問(wèn)題.

【詳解】

VCD=AC,ZA=50°

AZCDA=ZA=50°

VZCI)A+ZA+ZDCA=180°

:.ZDCA=80°

根據(jù)作圖步驟可知，MN垂直平分線段BC

.*.BD=CD

/.ZB=ZBCD

VZB+ZBCD=ZCDA

A2ZBCD=50°

AZBCI)=25°

:.ZACB=ZACD+ZBCD=80o+25o=105°

故選C

【點(diǎn)睛】

本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、線段垂直平分線定理以及三角形外角性質(zhì)，熟練掌握各個(gè)性質(zhì)定

理是解題關(guān)鍵.

6、D

【解析】

【分析】根據(jù)同底數(shù)塞的乘法、積的乘方、完全平方公式、多項(xiàng)式乘法的法則逐項(xiàng)進(jìn)行計(jì)算即可得.

【詳解】A?a2-a5=a7,故A選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

B.(3a3)2=9a6,故B選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

C.(a+b)2=a2+2ab+b2,故C選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

D.(a+2)(a-3)=a2-a-6,正確，符合題意，

故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查了整式的運(yùn)算，熟練掌握同底數(shù)幕的乘法、積的乘方、完全平方公式、多項(xiàng)式乘法的運(yùn)算法則是解

題的關(guān)鍵.

7、D

【解析】

根據(jù)三角形三邊關(guān)系可知，不能構(gòu)成三角形，依此即可作出判定；

B、根據(jù)勾股定理的逆定理可知是等腰直角三角形，依此即可作出判定；

C、解直角三角形可知是頂角120。，底角30。的等腰三角形，依此即可作出判定；

D、解直角三角形可知是三個(gè)角分別是9。。，60°,30“的直角三角形，依此即可作出判定.

【詳解】

,?T+2=3,不能構(gòu)成三角形，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B,V12+12=(V2)2,是等腰直角三角形，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C、底邊上的高是(且)2=_1,可知是頂角120。，底角30。的等腰三角形，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；

V22

D、解直角三角形可知是三個(gè)角分別是90。，60。，30。的直角三角形，其中90。?30。=3,符合“智慧三角形”的定義，故

選項(xiàng)正確.

故選D.

8、B

【解析】

利用條形統(tǒng)計(jì)圖結(jié)合中位數(shù)和中位數(shù)的定義分別分析得出答案.

【詳解】

①由條形統(tǒng)計(jì)圖可得：年用水量不超過(guò)180ml的該市居民家庭一共有(0.25+0.75+1.5+1.0+0.5)=4(萬(wàn))，

4

-xl00%=8()%,故年用水量不超過(guò)180ml的該市居民家庭按第一檔水價(jià)交費(fèi)，正確；

②;年用水量超過(guò)240ml的該市居民家庭有(0.15+0.15+0.05)=0.15(萬(wàn))，

035

???」一xl(W%=7%,5%,故年用水量超過(guò)24。1幡的該市居民家庭按第二檔水價(jià)交費(fèi)，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

5

③二飛萬(wàn)個(gè)數(shù)據(jù)的中間是第25000和25001的平均數(shù)，

，該市居民家庭年用水量的中位數(shù)在120-150之間，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

④該市居民家庭年用水量為110ml有15萬(wàn)戶(hù)，戶(hù)數(shù)最多，該市居民家庭年用水量的眾數(shù)約為110ml因此正確,

故選B.

【點(diǎn)睛】

此題主要考查了頻數(shù)分布直方圖以及中位數(shù)和眾數(shù)的定義，正確利用條形統(tǒng)計(jì)圖獲取正確信息是解題關(guān)鍵.

9、B

【解析】

先利用三角函數(shù)求出NA4￡=45。，貝!N，4E=45。，然后根據(jù)扇形面積公式，利用圖中陰影部分的面積

=S矩形A8C”-SAABE-S座彩進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】

ABR

解：9：AE=AD=2而AB=O,：.cosZBAE=——=—,AZBAE=450工BE=AB=母,ZBEA=45°.

fAE2f

,?FD〃3C,???NZME=N“EA=45。，???圖中陰影部分的面積=S矩形.0)-34附-5*形""=2'頁(yè)--x72x-

故選B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了扇形面積的計(jì)算.陰影面積常用的方法：直接用公式法；和差法；割補(bǔ)法.求陰影面積的主要思路是將不

規(guī)則圖形面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積.

10、B

【解析】

解：??,由作法可知直線/是線段Ab的垂直平分線，

：.AC=BCf

：.ZCAB=ZCBA=25°t

:.ZBCM=NCAB+N。84=25。+25。=50。.

故選B.

11、B

【解析】

試題分析：平均數(shù)為1(a-2+b-2+c-2)=1(3x5-6)=3；原來(lái)的方差：-5)，?(6?歹?(C-5)二1=4；新

333L」

的方差：(a-2-3)*+(fr-2-3)**?,(c-2-3)2l=-r(a-5):*(i-5)**(c-5):l=4,故選B.

3。J3L」

考點(diǎn)：平均數(shù)；方差.

12、C

【解析】

設(shè)這塊原形紙片的半徑為K,圓錐的底面圓的半徑為，，利用等腰直徑三角形的性質(zhì)得到利用圓錐的側(cè)面

展開(kāi)圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng)得到2"="上畫(huà)，解得后也R,然后利用勾股定理得到

1804

(&K)2=(3回)2+(也R)2,再解方程求出R即可得到這塊圓形紙片的直徑.

4

【詳解】

設(shè)這塊眼形紙片的半徑為此圓錐的底面圓的半徑為「，則凡根據(jù)題意得：

2口及R,解得：口立R,所以(0A)2=(3同)2+(互R)2,解得：R=12,所以這塊圓形紙片的直

18044

徑為24cin.

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了圓錐的計(jì)算：圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng)，扇形的半徑等于圓錐的

母線長(zhǎng).

二、填空題：(本大題共6個(gè)小題，每小題4分，共24分.)

13、(672,2019)

【解析】分析：按照題目給定的規(guī)則，找到周期，由題意可得每三步是一個(gè)循環(huán)，所以只需要計(jì)算2018被3除，就可

以得到棋子的位置.

詳解：

解：由題意得，每3步為一個(gè)循環(huán)組依次循環(huán)，且一個(gè)循環(huán)組內(nèi)向右1個(gè)單位，向上3個(gè)單位，

:2018+3=672?,.2,

???走完第2018步，為第673個(gè)循環(huán)組的第2步，

所處位置的橫坐標(biāo)為672,

縱坐標(biāo)為672x3+3=2019,

?,?棋子所處位置的坐標(biāo)是(672,2019).

故答案為：(672,2019).

點(diǎn)睛：周期問(wèn)題解決問(wèn)題的核心是要找到最小正周期，然后把給定的數(shù)(一般是一個(gè)很大的數(shù))除以最小正周期，余

數(shù)是幾，就是第幾步，特別余數(shù)是1,就是第一步，余數(shù)是0,就是最后一步.

14、B

【解析】

過(guò)P點(diǎn)作PE±BP,垂足為P,交BC于E,根據(jù)AP垂直NB的平分線BP于P,即可求出^ABP^ABEP,又知△APC

和ACPE等底同高，可以證明兩三角形面積相等，即可證明三角形PBC的面積.

【詳解】

解：過(guò)P點(diǎn)作PE_LBP,垂足為P,交BC于E,

ZABP=ZEBP,

又知BP=BP,ZAPB=ZBPE=90°,

AAABP^ABEP,

/.AP=PE,

VAAPC和4CPE等底同高，

SAAPC=SAPCE,

，三角形PBC的面積三角形ABC的面積=[cmi,

22

選項(xiàng)中只有B的長(zhǎng)方形面積為gcml

2

故選B.

15、1.

【解析】

試題分析：y=Jx-3+J3—x+2有意義，必須塞一320,3-xNO,解得：x=3,代入得：y=0+0+2=2,；?爐=3?=1.故

答案為L(zhǎng)

考點(diǎn)：二次根式有意義的條件.

16、18o

【解析】

根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，拋物線y=a(x-3)2+k的對(duì)稱(chēng)軸為x=3。

YA是拋物線y=a(x-3『+k與y軸的交點(diǎn)，點(diǎn)B是這條拋物線上的另一點(diǎn)，且AB〃x軸。

:.A,B關(guān)于x=3對(duì)稱(chēng)。???AB=6。

又???△ABC是等邊三角形，，以AB為邊的等邊三角形ABC的周長(zhǎng)為6x3=18。

17、1

【解析】

分析：將原式化簡(jiǎn)成2(2x+y)+L然后利用整體代入的思想進(jìn)行求解得出答案.

詳解：原式=2(2x+y)+l=2x2+l=l.

點(diǎn)睛：本題主要考查的是整體思想求解，屬于基礎(chǔ)題型.找到整體是解題的關(guān)鍵.

18、m(x-3)L

【解析】

先把二提出來(lái)，然后對(duì)括號(hào)里面的多項(xiàng)式用公式法分解即可。

【詳解】

口口―匚二+9口

=二(二：-仁+夕)

二叩田

【點(diǎn)睛】

解題的關(guān)鍵是熟練掌握因式分解的方法。

三、解答題：(本大題共9個(gè)小題，共78分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

19、(1)C(2)e(3)bV■;且b黃?2\：或b>7V3

JJ

【解析】

(1)先求出B關(guān)于直線x=4的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B，的坐標(biāo)，根據(jù)A、B，的坐標(biāo)可得直線AB，的解析式，把x=4代入求出P點(diǎn)的

縱坐標(biāo)即可得答案；(2)如圖：過(guò)點(diǎn)A作直線1的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A，，連A，B，，交直線1于點(diǎn)P,作BHJL1于點(diǎn)H,根據(jù)對(duì)稱(chēng)

性可知NAPG=ATG,由NAGP=NBHP=90。可證明△；\GP^ABHP,根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例可得m=^

根據(jù)外角性質(zhì)可知NA=NA，=,在RtAAGP中，根據(jù)正切定義即可得結(jié)論；(3)當(dāng)點(diǎn)P位于直線AB的右下方，

NAPB=60。時(shí)，點(diǎn)P在以AB為弦，所對(duì)圓周為60。，且圓心在AB下方，若直線y=ax+b(a,0)與圓相交，設(shè)圓與直

線產(chǎn)axib(a/0)的另一個(gè)交點(diǎn)為Q

根據(jù)對(duì)稱(chēng)性質(zhì)可證明AABQ是等邊三角形，即點(diǎn)Q為定點(diǎn)，若直線y=ax+b(a*0)與圓相切，易得P、Q重合，所以

直線y=ax+b(a#))過(guò)定點(diǎn)Q,連OQ,過(guò)點(diǎn)A、Q分別作AM_Ly軸，QN_Ly軸，垂足分別為M、N,可證明

△AMO-AONQ,根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例可得ON、NQ的長(zhǎng)，即可得Q點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)A、B、Q的坐標(biāo)可求

出直線AQ、BQ的解析式，根據(jù)P與A、B重合時(shí)b的值求出b的取值范圍即可.

【詳解】

(1)點(diǎn)B關(guān)于直線x=4的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為B，(10,-0),

二直線AB懈析式為：y=■亍二一9,

當(dāng)x=4時(shí)，丫=三，

故答案為：C

(2)如圖，過(guò)點(diǎn)A作直線1的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)"，連交直線I于點(diǎn)P

作BH_L1于點(diǎn)H

???點(diǎn)A和關(guān)于直線I對(duì)稱(chēng)

/.ZAPG=ZATG

VZBPH=ZATG

AZAPG=ZBPH

VZAGP=ZBHP=90°

.?.△AGP^ABHP

?30DOZ-；C-二

??三=5?B即n三3=彳，

/.mn=2\即m=T,

VZAPB=a,AP=APr,

AZA=ZAr=S

3

在RtAAGP中，ta咔=rr=T—T=7

p

BH

(3)如圖，當(dāng)點(diǎn)P位于直線AB的右下方，NAPB=60。時(shí),

點(diǎn)P在以AB為弦，所對(duì)圓周為60。，且圓心在AB下方

若直線y=ax+b(a/))與圓相交，設(shè)圓與直線y=ax+b(a#0)的另一個(gè)交點(diǎn)為Q

由對(duì)稱(chēng)性可知：ZAPQ=ZATQ,

XZAPB=60°

AZAPQ=ZATQ=60°

，NABQ=NAPQ=60°,ZAQB=ZAPB=60°

AZBAQ=60°=ZAQB=ZABQ

???△ABQ是等邊三角形

??,線段AB為定線段

???點(diǎn)Q為定點(diǎn)

若直線y=ax+b(a,0)與圓相切，易得P、Q重合

，直線y=ax+b(a,0)過(guò)定點(diǎn)Q

連OQ,過(guò)點(diǎn)A、Q分別作AM_Ly軸，QN_Ly軸，垂足分別為M、N

VA(2,H)，B(-2,-<3)

AOA=OB=\

???△ABQ是等邊三角形

AZAOQ=ZBOQ=90°,OQ=、f二二=\77,

AZAOM+ZNOD=90°

又「ZAOM+ZMAO=90°,ZNOQ=ZMAO

VZAMO=ZONQ=9()0

/.△AMO^AONQ

.2DDOQC

…口廠DO-CJC'

?,乃=三=不，

AON=2V3,NQ=3,???Q點(diǎn)坐標(biāo)為（3,-2V?）

設(shè)直線BQ解析式為y=kx+b

將B、Q坐標(biāo)代入得

，直線BQ的解析式為：y=邛匚一斗,

設(shè)直線AQ的解析式為：y=mx+n,

將A、Q兩點(diǎn)代入

解得二

（一=\l3.

?,?直線AQ的解析式為：y=?3、*?二一入弓,

若點(diǎn)P與B點(diǎn)重合，則直線PQ與直線BQ重合，此時(shí)，b=■苧,

若點(diǎn)P與點(diǎn)A重合，則直線PQ與直線AQ重合，此時(shí)，b=、q,

又..'uax+b（aRO）,且點(diǎn)P位于AB右下方，

?；bV-丁且bR-2v＜或

【點(diǎn)睛】

本題考查對(duì)稱(chēng)性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、根據(jù)待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式及銳角三角函數(shù)正切的定義，熟練

掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵.

20、(1)%=2+>/^,Xy=2—；(2)%=I,工2=-3?

【解析】

(1)利用公式法求解可得；

(2)利用因式分解法求解可得.

【詳解】

(1)解：=h=-4fc=-3>

I.△=A二-4〃c=(-4y-4xlx(-3)=28>0,

-6±"2一4"4)±后_4±2療

2土幣，

F-i^\-—F

**?X1-2+5/7,w=2—5/7；

(2)解：原方程化為：*一1)2-2(1+1)*-1)=0,

因式分解得：(工一1升(工一1)一2(工+1)]=0,

整理得：(x-l)(-x-3)=O,

??x—1=0或—x—3=0>

：?X]=1,%2=-3.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開(kāi)平方法、因式分解法、公式

法、配方法，結(jié)合方程的特點(diǎn)選擇合適、簡(jiǎn)便的方法是解題的關(guān)鍵.

21、(1)小球飛行時(shí)間是用時(shí)，小球最高為10m：(1)12.

【解析】

(1)將函數(shù)解析式配方成頂點(diǎn)式可得最值；

(1)畫(huà)圖象可得t的取值.

【詳解】

(1)*：h=-5/'+10/=-5(t-1)410,

二當(dāng)，=1時(shí)，A取得最大值10米；

答：小球飛行時(shí)間是1S時(shí)，小球最高為10加;

解得：h=1,八=3,

由圖象得：當(dāng)10K3時(shí)，后15,

則小球飛行時(shí)間1丕3時(shí)，飛行高度不低于15m.

【點(diǎn)睛】

本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，主要考查了二次函數(shù)的最值問(wèn)題，以及利用二次函數(shù)圖象求不等式，并熟練掌握二次函

數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

14

22>(1)詳見(jiàn)解析；(2)—萬(wàn)；(3)4<OC<1.

3

【解析】

(1)連接OQ,由切線性質(zhì)得NAPO=NBQO=90。，由直角三角形判定HL得RtAAPOgR3BQO,再由全等三角

形性質(zhì)即可得證.

(2)由(1)中全等三角形性質(zhì)得NAOP=NBOQ,從而可得P、O、Q三點(diǎn)共線，在RtABOQ中，根據(jù)余弦定義可

得cosB=空，由特殊角的三角函數(shù)值可得NB=30。，NBOQ=60。，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得OQ=4,結(jié)合題意可

OB

得NQOD度數(shù)，由弧長(zhǎng)公式即可求得答案.

(3)由直角三角形性質(zhì)可得△APO的外心是OA的中點(diǎn)，結(jié)合題意可得OC取值范圍.

【詳解】

(1)證明；連接OQ.

VAPsBQ是。。的切線，

AOP±AP,OQ±BQ,

AZAPO=ZBQO=90o,

在RtAAPO和RtABQO中，

OP=OQ

OA=OB'

/.RtAAPO^RtABQO,

AAP=BQ.

(2)VRtAAPO^RtABQO,

AZAOP=ZBOQ,

???P、O、Q三點(diǎn)共線，

「在RtABOQ中,cosB=Z^=&叵=—,

0882

AZB=30o,ZBOQ=60°,

/.OQ=yOB=4,

VZCOD=90°,

:.ZQOD=90+600=150。，

小“210?萬(wàn)?414

?*.優(yōu)弧QD的長(zhǎng)=---------=—/r,

1803

(3)解：設(shè)點(diǎn)M為RIAAPO的外心，則M為OA的中點(diǎn)，

VOA=1,

AOM=4,

，當(dāng)△APO的外心在扇形COD的內(nèi)部時(shí)，OMVOC,

AOC的取值范圍為4<OC<1.

【點(diǎn)睛】

本題考食了三角形的外接圓與外心、弧長(zhǎng)的計(jì)算、扇形面枳的計(jì)算、旋轉(zhuǎn)的性偵以及全等三角形的判定與性質(zhì)，解題

的關(guān)鍵是；(1)利用全等三角形的判定定理HL證出RtAAPO^RtABQO；(2)通過(guò)解直角三角形求出圓的半徑；(3)

牢記直角三角形外心為斜邊的中點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

23、周瑜去世的年齡為16歲.

【解析】

設(shè)周瑜逝世時(shí)的年齡的個(gè)位數(shù)字為X,則十位數(shù)字為x-1.根據(jù)題意建立方程求出其值就可以求出其結(jié)論.

【詳解】

設(shè)周瑜逝世時(shí)的年齡的個(gè)位數(shù)字為x,則十位數(shù)字為由題意得；

2

10(x-1)+x=xt

解得：xi=5,刈=6

當(dāng)x=5時(shí)，周瑜的年齡25歲，非而立之年，不合題意，舍去；

當(dāng)x=6時(shí)，周瑜年齡為16歲，完全符合題意.

答：周瑜去世的年齡為16歲.

【點(diǎn)睛】

本題是一道數(shù)字問(wèn)題的運(yùn)用題，考查了列一元二次方程解實(shí)際問(wèn)題的運(yùn)用，在解答中理解而立之年是一個(gè)人10歲的年

齡是關(guān)鍵.

9

24、(1)m>----；(2)xi=0,X2=l.

4

【解析】

解答本題的關(guān)鍵是是掌握好一元二次方程的根的判別式.

(1)求出△=5+4m>0即可求出m的取值范圍；

(2)因?yàn)閙=-l為符合條件的最小整數(shù)，把m=-l代入原方程求解即可.

【詳解】

解：(1)△=1+4(m+2)

=9+4m>0

.9

..tn>—.

4

(2)???J〃為符合條件的最小整數(shù)，

/.m=-2.

，原方程變?yōu)閂-x=()

??Xl=0>X2=1?

考點(diǎn)：1.解一元二次方程；2.根的判別式.

25、(1)見(jiàn)解析；(2)。。直徑的長(zhǎng)是4石.

【解析】

（1）先判斷出BD是圓O的直徑，再判斷出BD_LDE,即可得出結(jié)論；

（2）先判斷出ACJLBD,進(jìn)而求出BC=AB=8,進(jìn)而判斷出△BDC^ABED,求出BD,即可得出結(jié)論.

【詳解】

證明：（1）連接50,交AC于F,

*：DC±BEt

:.NBCO=NOCE=90。，

?