PAGEPAGE1第5講概率與統計■真題調研——————————————【例1】[2024·全國卷Ⅱ]11分制乒乓球競賽，每贏一球得1分，當某局打成10∶10平后，每球交換發球權，先多得2分的一方獲勝，該局競賽結束．甲、乙兩位同學進行單打競賽，假設甲發球時甲得分的概率為0.5，乙發球時甲得分的概率為0.4，各球的結果相互獨立．在某局雙方10∶10平后，甲先發球，兩人又打了X個球該局競賽結束．(1)求P(X＝2)；(2)求事務“X＝4且甲獲勝”的概率．解：(1)X＝2就是10∶10平后，兩人又打2個球該局競賽結束，則這2個球均由甲得分，或者均由乙得分．因此P(X＝2)＝0.5×0.4＋(1－0.5)×(1－0.4)＝0.5.(2)X＝4且甲獲勝，就是10∶10平后，兩人又打了4個球該局競賽結束，且這4個球的得分狀況為：前兩球是甲、乙各得1分，后兩球均為甲得分．因此所求概率為[0.5×(1－0.4)＋(1－0.5)×0.4]×0.5×0.4＝0.1.【例2】[2024·全國卷Ⅲ]為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內的殘留程度，進行如下試驗：將200只小鼠隨機分成A，B兩組，每組100只，其中A組小鼠給服甲離子溶液，B組小鼠給服乙離子溶液．每只小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同．經過一段時間后用某種科學方法測算出殘留在小鼠體內離子的百分比．依據試驗數據分別得到如下直方圖：甲離子殘留百分比直方圖乙離子殘留百分比直方圖記C為事務：“乙離子殘留在體內的百分比不低于5.5”，依據直方圖得到P(C)的估計值為0.70.(1)求乙離子殘留百分比直方圖中a，b的值；(2)分別估計甲、乙離子殘留百分比的平均值(同一組中的數據用該組區間的中點值為代表)．解：(1)由已知得0.70＝a＋0.20＋0.15，故a＝0.35.b＝1－0.05－0.15－0.70＝0.10.(2)甲離子殘留百分比的平均值的估計值為2×0.15＋3×0.20＋4×0.30＋5×0.20＋6×0.10＋7×0.05＝4.05.乙離子殘留百分比的平均值的估計值為3×0.05＋4×0.10＋5×0.15＋6×0.35＋7×0.20＋8×0.15＝6.00.【例3】[2024·北京卷]改革開放以來，人們的支付方式發生了巨大轉變．近年來，移動支付已成為主要支付方式之一．為了解某校學生上個月A，B兩種移動支付方式的運用狀況，從全校學生中隨機抽取了100人，發覺樣本中A，B兩種支付方式都不運用的有5人，樣本中僅運用A和僅運用B的學生的支付金額分布狀況如下：支付金額(元)支付方式(0,1000](1000,2000]大于2000僅運用A18人9人3人僅運用B10人14人1人(1)從全校學生中隨機抽取1人，估計該學生上個月A，B兩種支付方式都運用的概率；(2)從樣本僅運用A和僅運用B的學生中各隨機抽取1人，以X表示這2人中上個月支付金額大于1000元的人數，求X的分布列和數學期望；(3)已知上個月樣本學生的支付方式在本月沒有改變．現從樣本僅運用A的學生中，隨機抽查3人，發覺他們本月的支付金額都大于2000元．依據抽查結果，能否認為樣本僅運用A的學生中本月支付金額大于2000元的人數有改變？說明理由．解：(1)由題意知，樣本中僅運用A的學生有18＋9＋3＝30人，僅運用B的學生有10＋14＋1＝25人，A，B兩種支付方式都不運用的學生有5人．故樣本中A，B兩種支付方式都運用的學生有100－30－25－5＝40人．所以從全校學生中隨機抽取1人，該學生上個月A，B兩種支付方式都運用的概率估計值為eq\f(40,100)＝0.4.(2)X的全部可能值為0,1,2.記事務C為“從樣本僅運用A的學生中隨機抽取1人，該學生上個月的支付金額大于1000元”，事務D為“從樣本僅運用B的學生中隨機抽取1人，該學生上個月的支付金額大于1000元”．由題設知，事務C，D相互獨立，且P(C)＝eq\f(9＋3,30)＝0.4，P(D)＝eq\f(14＋1,25)＝0.6.所以P(X＝2)＝P(CD)＝P(C)P(D)＝0.24，P(X＝1)＝P(Ceq\x\to(D)∪eq\x\to(C)D)＝P(C)P(eq\x\to(D))＋P(eq\x\to(C))P(D)＝0.4×(1－0.6)＋(1－0.4)×0.6＝0.52，P(X＝0)＝P(eq\x\to(C)eq\x\to(D))＝P(eq\x\to(C))P(eq\x\to(D))＝0.24.所以X的分布列為X012P0.240.520.24故X的數學期望E(X)＝0×0.24＋1×0.52＋2×0.24＝1.(3)記事務E為“從樣本僅運用A的學生中隨機抽查3人，他們本月的支付金額都大于2000元”．假設樣本僅運用A的學生中，本月支付金額大于2000元的人數沒有改變，則由上個月的樣本數據得，P(E)＝eq\f(1,C\o\al(3,30))＝eq\f(1,4060).答案示例1：可以認為有改變．理由如下：P(E)比較小，概率比較小的事務一般不簡單發生．一旦發生，就有理由認為本月的支付金額大于2000元的人數發生了改變．所以可以認為有改變．答案示例2：無法確定有沒有改變．理由如下：事務E是隨機事務，P(E)比較小，一般不簡單發生，但還是有可能發生的，所以無法確定有沒有改變．【例4】[2024·全國卷Ⅰ]為治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進行動物試驗．試驗方案如下：每一輪選取兩只白鼠對藥效進行對比試驗．對于兩只白鼠，隨機選一只施以甲藥，另一只施以乙藥．一輪的治療結果得出后，再支配下一輪試驗．當其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時，就停止試驗，并認為治愈只數多的藥更有效．為了便利描述問題，約定：對于每輪試驗，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得－1分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得－1分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分．甲、乙兩種藥的治愈率分別記為α和β，一輪試驗中甲藥的得分記為X.(1)求X的分布列；(2)若甲藥、乙藥在試驗起先時都給予4分，pi(i＝0,1，…，8)表示“甲藥的累計得分為i時，最終認為甲藥比乙藥更有效”的概率，則p0＝0，p8＝1，pi＝api－1＋bpi＋cpi＋1(i＝1,2，…，7)，其中a＝P(X＝－1)，b＝P(X＝0)，c＝P(X＝1)．假設α＝0.5，β＝0.8.(ⅰ)證明：{pi＋1－pi}(i＝0,1,2，…，7)為等比數列；(ⅱ)求p4，并依據p4的值說明這種試驗方案的合理性．解：(1)X的全部可能取值為－1,0,1.P(X＝－1)＝(1－α)β，P(X＝0)＝αβ＋(1－α)(1－β)，P(X＝1)＝α(1－β)．所以X的分布列為(2)(ⅰ)由(1)得a＝0.4，b＝0.5，c＝0.1.因此pi＝0.4pi－1＋0.5pi＋0.1pi＋1(i＝1,2，…，7)，故0.1(pi＋1－pi)＝0.4(pi－pi－1)，即pi＋1－pi＝4(pi－pi－1)．又因為p1－p0＝p1≠0，所以{pi＋1－pi}(i＝0,1,2，…，7)為公比為4，首項為p1的等比數列．(ⅱ)由(ⅰ)可得p8＝p8－p7＋p7－p6＋…＋p1－p0＋p0＝(p8－p7)＋(p7－p6)＋…＋(p1－p0)＝eq\f(48－1,3)p1.由于p8＝1，故p1＝eq\f(3,48－1)，所以p4＝(p4－p3)＋(p3－p2)＋(p2－p1)＋(p1－p0)＝eq\f(44－1,3)p1＝eq\f(1,257).p4表示最終認為甲藥更有效的概率．由計算結果可以看出，在甲藥治愈率為0.5，乙藥治愈率為0.8時，認為甲藥更有效的概率為p4＝eq\f(1,257)≈0.0039，此時得出錯誤結論的概率特別小，說明這種試驗方案合理．■模擬演練——————————————1．[2024·南昌二模]某品牌餐飲公司打算在10個規模相當的地區開設加盟店，為合理支配各地區加盟店的個數，先在其中5個地區試點，得到試點地區加盟店個數分別為1,2,3,4,5時，單店日平均營業額y(單位：萬元)的數據如下：加盟店個數x12345單店日平均營業額y/萬元10.910.297.87.1(1)求單店日平均營業額y(單位：萬元)與所在地區加盟店個數x的線性回來方程；(2)該公司依據(1)中所求的回來方程，確定在其他5個地區中，開設加盟店個數為5,6,7的地區數分別為2,1,2.小趙與小王都打算加入該公司的加盟店，但依據公司規定，他們只能分別從這5個地區的30個加盟店中隨機抽取一個加入．記事務A：小趙與小王抽取到的加盟店在同一個地區，事務B：小趙與小王抽取到的加盟店預料日平均營業額之和不低于12萬元，求在事務A發生的前提下事務B發生的概率．(參考數據及公式：eq\i\su(i＝1,5,x)iyi＝125，eq\i\su(i＝1,5,x)eq\o\al(2,i)＝55，線性回來方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，其中eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x))解：(1)由題可得，eq\x\to(x)＝3，eq\x\to(y)＝9，設所求線性回來方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，則eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,5,x)iyi－5\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,5,x)\o\al(2,i)－5\x\to(x)2)＝eq\f(125－135,55－45)＝－1，將eq\x\to(x)＝3，eq\x\to(y)＝9代入eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)，得eq\o(a,\s\up6(^))＝9－(－3)＝12，故所求線性回來方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝－x＋12.(2)依據(1)中所得回來方程，加盟店個數為5的地區單店預料日平均營業額為7萬元，加盟店個數為6的地區單店預料日平均營業額為6萬元，加盟店個數為7的地區單店預料日平均營業額為5萬元．P(A)＝eq\f(C\o\al(2,5)×2＋C\o\al(2,6)＋C\o\al(2,7)×2,C\o\al(2,30))＝eq\f(77,435)，P(AB)＝eq\f(C\o\al(2,5)×2＋C\o\al(2,6),C\o\al(2,30))＝eq\f(35,435)，所以P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(5,11).2．[2024·武漢4月調研]中共十九大以來，某貧困地區扶貧辦主動實行國家精準扶貧的要求，帶領廣闊農村地區人民群眾脫貧奔小康．經過不懈的奮力拼搏，新農村建設取得巨大進步，農夫年收入也逐年增加．為了更好地制定2024年關于加快提升農夫年收入，力爭早日脫貧的工作支配，該地區扶貧辦統計了2024年50位農夫的年收入(單位：千元)并制成如下頻率分布直方圖：(1)依據頻率分布直方圖，估計50位農夫的年平均收入eq\x\to(x)(單位：千元)(同一組數據用該組數據區間的中點值表示)．(2)由頻率分布直方圖，可以認為該貧困地區農夫年收入X聽從正態分布N(μ，σ2)，其中μ近似為年平均收入eq\x\to(x)，σ2近似為樣本方差s2，經計算得s2＝6.92.利用該正態分布，解決下列問題：①在2024年脫貧攻堅工作中，若使該地區約有占總農夫人數的84.14%的農夫的年收入高于扶貧辦制定的最低年收入標準，則最低年收入大約為多少千元？②為了調研“精準扶貧，不落一人”的落實狀況，扶貧辦隨機走訪了1000位農夫．若每個農夫的年收入相互獨立，問：這1000位農夫中年收入不少于12.14千元的人數最有可能是多少？附：參考數據與公式eq\r(6.92)≈2.63，若X～N(μ，σ2)，則①P(μ－σ<X≤μ＋σ)≈0.6827；②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)≈0.9545；③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)≈0.9973.解：(1)eq\x\to(x)＝12×0.04＋14×0.12＋16×0.28＋18×0.36＋20×0.10＋22×0.06＋24×0.04＝17.40(千元)．(2)由題意，X～N(17.40,6.92)．①P(X>u～σ)≈eq\f(1,2)＋eq\f(0.6827,2)≈0.8414，μ－σ≈17.40－2.63＝14.77，即最低年收入大約為14.77千元．②由P(X≥12.14)＝P(X≥μ－2σ)≈0.5＋eq\f(0.9545,2)≈0.9773，得每個農夫的年收入不少于12.14千元的事務的概率為0.9773，記這1000位農夫中年收入不少于12.14千元的人數為ξ，則ξ～B(103，p)，其中p＝0.9773，于是恰好有k位農夫的年收入不少于12.14千元的事務的概率是P(ξ＝k)＝Ck103pk(1－p)103－k，從而由eq\f(Pξ＝k,Pξ＝k－1)＝eq\f(1001－k×p,k×1－p)>1，得k<1001p，而1001p＝978.2773，所以，當0≤k≤978時，P(ξ＝k－1)<P(ξ＝k)，當979≤k≤1000時，P(ξ＝k－1)>P(ξ＝k)．由此可知，在所走訪的1000位農夫中，年收入不少于12.14千元的人數最有可能是978.3．[2024·鄭州質量預料二]目前，浙江和上海已經成為新高考綜合試點的“排頭兵”，有關其他省份新高考改革的實施支配，教化部部長在十九大上做出明確表態：到2024年，我國將全面建立起新的高考制度．新高考規定：語文、數學和英語是考生的必考科目，考生還需從物理、化學、生物、歷史、地理和政治六個科目中選取三個科目作為選考科目．若一個學生從六個科目中選出了三個科目作為選考科目，則稱該學生的選考方案確定；否則，稱該學生選考方案待確定．例如，學生甲選擇“物理、化學和生物”三個選考科目，則學生甲的選考方案確定，“物理、化學和生物”為其選考方案．某校為了解高一年級840名學生選考科目的意向，隨機選取60名學生進行了一次調查，統計選考科目人數如下表：選考方案探討狀況物理化學生物歷史地理政治男生確定的有16人16168422待確定的有12人860200女生確定的有20人610201626待確定的有12人2810002(1)估計該學校高一年級選考方案確定的學生中選考生物的學生有多少人？(2)將2×2列聯表填寫完整，并通過計算推斷能否有99.9%的把握認為選歷史與性別有關？選歷史不選歷史總計選考方案確定的男生選考方案確定的女生總計(3)從選考方案確定的16名男生中隨機選出2名，設隨機變量ξ＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0，2名男生選考方案不同,1，2名男生選考方案相同，))求ξ的分布列及數學期望E(ξ)．附：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋ba＋cc＋db＋d)，n＝a＋b＋c＋d.P(K2≥k0)0.050.010.0050.001k03.8416.6357.87910.828解：(1)由題意可知，選考方案確定的男生中確定選考生物的學生有8人，選考方案確定的女生中確定選考生物的學生有20人，則該學校高一年級選考方案確定的學生中選考生物的學生約有eq\f(28,36)×eq\f(36,60)×840＝392(人)．(2)2×2列聯表填寫完整為選歷史不選歷史總計選考方案確定的男生41216選考方案確定的女生16420總計201636由2×2列聯表可得，K2的觀測值k＝eq\f(36×4×4－12×162,20×16×20×16)＝eq\f(36×162×112,20×16×20×16)＝eq\f(1089,100)＝10.89＞10.828，所以有99.9%的把握認為選歷史與性別有關．(3)由題表中數據可知，選考方案確定的男生中有8人選擇物理、化學和生物；有4人選擇物理、化學和歷史；有2人選擇物理、化學和地理；有2人選擇物理、化學和政治．由已知得ξ的取值為0,1.P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(2,8)＋C\o\al(2,4)＋C\o\al(2,2)＋C\o\al(2,2),C\o\al(2,16))＝eq\f(3,10)，P(ξ＝0)＝1－P(ξ＝1)＝eq\f(7,10)(或P(ξ＝0)＝eq\f(C\o\al(1,8)C\o\al(1,8)＋C\o\al(1,4)C\o\al(1,4)＋C\o\al(1,2)C\o\al(1,2),C\o\al(2,16))＝eq\f(7,10))，所以ξ的分布列為ξ01Peq\f(7,10)eq\f(3,10)所以E(ξ)＝0×eq\f(7,10)＋1×eq\f(3,10)＝eq\f(3,10).4．[2024·濟南模擬]某客戶打算在家中安裝一套凈水系統，該系統為三級過濾，運用壽命為十年，如圖1所示．兩個一級過濾器采納并聯安裝，二級過濾器與三級過濾器為串聯安裝．其中每一級過濾都由核心部件濾芯來實現，在運用過程中，一級濾芯和二級濾芯都須要不定期更換(每個濾芯是否須要更換相互獨立)，三級濾芯無需更換，若客戶在安裝凈水系統的同時購買濾芯，則一級濾芯每個80元，二級濾芯每個160元．若客戶在運用過程中單獨購買濾芯，則一級濾芯每個200元，二級濾芯每個400元，現需決策安裝凈水系統的同時購買濾芯的數量，為此參考了依據100套該款凈水系統在十年運用期內更換濾芯的相關數據制成的圖表，其中圖2是依據200個一級過濾器更換的濾芯個數制成的柱狀圖，表是依據100個二級過濾器更換的濾芯個數制成的頻數分布表：圖1圖2二級濾芯更換頻數分布表：二級濾芯更換的個數56頻數6040以200個一級過濾器更換濾芯的頻率代替1個一級過濾器更換濾芯發生的概率，以100個二級過濾器更換濾芯的頻率代替1個二級過濾器更換濾芯發生的概率．(1)求一套凈水系統在運用期內須要更換的各級濾芯總個數恰好為30的概率；(2)記X表示該客戶的凈水系統在運用期內須要更換的一級濾芯總數，求X的分布列及數學期望；(3)記m，n分別表示該客戶在安裝凈水系統的同時購買的一級濾芯和二級濾芯的個數．若m＋n＝28，且n∈{5,6}，以該客戶的凈水系統在運用期內購買各級濾芯所需總費用的期望值為決策依據，試確定m，n的值．解：(1)由題意可知，若一套凈水系統在運用期內須要更換的各級濾芯總個數恰好為30，則該套凈水系統中的兩個一級過濾器均需更換12個濾芯，二級過濾器須要更換6個濾芯．設“一套凈水系統在運用期內須要更換的各級濾芯總個數恰好為30”為事務A.因為一個一級過濾器須要更換12個濾芯的概率為0.4，二級過濾器須要更換6個濾芯的概率為0.4，所以P(A)＝0.4×0.4×0.4＝0.064.(2)由柱狀圖可知，一個一級過濾器須要更換的濾芯個數為10,11,12的概率分別為0.2,0.4,0.4.由題意，X可能的取值為20,2