圓錐曲線(xiàn)離心率（15題型提分練）

更盤(pán)點(diǎn)?置擊塔考

目錄

題型一：離心率基礎(chǔ)計(jì)算..........................................................................1

題型二：定義型求離心率..........................................................................3

題型三：第三定義型（點(diǎn)差法）....................................................................5

題型四：雙曲線(xiàn)：漸近線(xiàn)型離心率..................................................................8

題型五：中點(diǎn)與離心率...........................................................................11

題型六：a、b、c齊次型..........................................................................13

題型七：焦點(diǎn)三角形：內(nèi)切圓型...................................................................17

題型八：焦點(diǎn)三角形：焦半徑型...................................................................20

題型九：焦點(diǎn)三角形：離心率范圍最值.............................................................24

題型十：焦點(diǎn)弦定比分點(diǎn)求離心率.................................................................26

題型十一：焦點(diǎn)三角形：余弦定理.................................................................29

題型十二：焦點(diǎn)三角形：雙角度型.................................................................32

題型十三：重心型...............................................................................35

題型十四：雙曲線(xiàn)橢圓共焦點(diǎn)型...................................................................39

題型十五：離心率“小題大做”型.................................................................42

^突圍?檐;住蝗分

題型一：離心率基礎(chǔ)計(jì)算

;指I點(diǎn)I迷I津

:圓錐曲線(xiàn)的離心率的常見(jiàn)基本思維方法和基礎(chǔ)計(jì)算：

；定義法：通過(guò)已知條件列出方程組，求得生。得值，根據(jù)離心率的定義求解離心率e；

：基礎(chǔ)計(jì)算：由已知條件得出關(guān)于的二元齊次方程或不等式，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的一元二次方程或不等式,

：結(jié)合離心率的定義求解；

：特殊值計(jì)算法：根據(jù)特殊點(diǎn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系，利用取特殊值或特殊位置，求出離心率問(wèn)題.

22

1.（24-25高三?重慶?階段練習(xí)）已知橢圓「言+方=1（。＞6＞0）的焦距為2c,若直線(xiàn)丘-3y+（左+8）c=0恒

與橢圓r有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，則橢圓「的離心率范圍為（）

°4

A.°5B.C.P1D.

【答案】A

【分析】根據(jù)橢圓焦點(diǎn)坐標(biāo)以及直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)可得點(diǎn)8在橢圓內(nèi)部，整理不等式目c＜且可得離心率

33a

0<e<-.

3

【詳解】將直線(xiàn)h—3歹+（左+8）c=0整理可得左（x+c）—3y+8c=0,

易知該直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)卜,iq,

=0恒與橢圓「有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，可知點(diǎn),c,：c）在橢圓內(nèi)部;

若直線(xiàn)丘-3》+（左+8）c

易知橢圓上的點(diǎn)當(dāng)其橫坐標(biāo)為-c時(shí)，縱坐標(biāo)為士Q,即可得5c〈工,

a3a

整理可得3c?+8ac-3a2c0,gp3e2+8e-3<0,解得0<e<；.故選：A

2

2.（2025?安徽,模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線(xiàn)。:％2-方=1僅＞0）的左焦點(diǎn)為尸，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)。作C的一條漸近

線(xiàn)的垂線(xiàn)/,直線(xiàn)/與C交于/,8兩點(diǎn)，若尸的面積為38,則C的離心率為（）.

3

A.3B.V5C.2D.V3

【答案】B

IIb

【分析】根據(jù)題意可得/：X=-勿，聯(lián)立方程解得|y|=cj62T,根據(jù)面積關(guān)系可得6=2,即可得離心率.

則尸（-c,0）,

x=-by

IIb

不妨取一條漸近線(xiàn)為y=6x,貝〃：工=-勿，聯(lián)立方程2r_)解得,由對(duì)稱(chēng)性可知：點(diǎn)。

Ix'W

為線(xiàn)段"的中點(diǎn)，則也一口一小小島與

即而］=，解得6=2,則c=J1+V=一，所以C的離心率為e=g=退.故選：B.

3.（24-25高三?全國(guó)?模擬）設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為片，F(xiàn)2,過(guò)月作橢圓長(zhǎng)軸的垂線(xiàn)交橢圓于點(diǎn)P,若△￡時(shí)

為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是（）

B.C.V2-1D,

AT24

【答案】C

【分析】設(shè)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a,半焦距為c,則由題意可得|尸引=2c,\PFt\=242c,然后結(jié)合橢圓的定義

列方程化簡(jiǎn)可求出橢圓的離心率.

設(shè)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a,半焦距為c,則閨閭=2c,

貝1Pg|=2c,|P7?|=2V2C,于是2a=|尸胤+|尸閭=2也c+2c,.-.e=-|=||=^^^=72-1.故選：C

2222

4.（23-24高三?河南瀑河?階段練習(xí)）已知橢圓G：三r+乙-p=1與雙曲線(xiàn)G：上Y-夫p=1（9＜左＜16）,

16916-A-k-9

下列關(guān)于兩曲線(xiàn)的說(shuō)法正確的是（）

A.C/的長(zhǎng)軸長(zhǎng)與G的實(shí)軸長(zhǎng)相等B.G的短軸長(zhǎng)與的虛軸長(zhǎng)相等

C.焦距相等D.離心率不相等

【答案】CD

【分析】利用定義分別寫(xiě)出橢圓和雙曲線(xiàn)的長(zhǎng)短半軸、實(shí)半軸虛半軸以及焦慮和離心率，就可以對(duì)四個(gè)選

項(xiàng)進(jìn)行判斷了.

【詳解】橢圓G：長(zhǎng)軸半…，短半軸—，焦半距=內(nèi)離心率

雙曲線(xiàn)c：長(zhǎng)軸半,=J16-左,短半軸4=五二？，焦半距02=療，離心率02=2=J;

2出V16—k

W4，???選項(xiàng)A不正確;?咕W(wǎng)/，工選項(xiàng)B不正確；???。1=g，???選項(xiàng)C正確;

,W6,.?.選項(xiàng)D正確；故選：CD

22

5.（24-25高三上?北京,階段練習(xí)）已知雙曲線(xiàn)。:二-3=1僅＞0）的兩條漸近線(xiàn)互相垂直，則C的離心

ab

率為.

【答案】V2

【分析】利用雙曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性得出一條漸近線(xiàn)的傾斜角，從而判定。力關(guān)系，再求離心率即可.

jrhTT

【詳解】根據(jù)雙曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性可知該雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)傾斜角為7,所以廠(chǎng)

則其離心率為e=Yd二=VL故答案為：72

a

題型二：定義型求離心率

指I點(diǎn)I迷I津

解題時(shí)要把所給的幾何特征轉(zhuǎn)化為Ac的關(guān)系式.求離心率的常用方法有：

(1)根據(jù)條件求得。也c,利用e=￡或e=Jl+￡求解；

aVa23

(2)根據(jù)條件得到關(guān)于。力"的方程或不等式，利用e=￡將其化為關(guān)于e的方程或不等式，然后解方程或不等式

a

即可得到離心率或其范圍.

22

1.(23-24高二下?湖南郴州?模擬)已知P為橢圓C:\+2=l(a>6>0)上一動(dòng)點(diǎn)，原與分別為其左右焦

ab

點(diǎn)，直線(xiàn)用與c的另一交點(diǎn)為用的周長(zhǎng)為16.若尸片的最大值為6,則該橢圓的離心率為()

【答案】C

【分析】利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其參數(shù)6、c的關(guān)系即可得出結(jié)果.

4a=16

【詳解】設(shè)橢圓的半焦距為C,則由題設(shè)得｛

Q+C=6

1

解得｛a=4、，所以橢圓的-離心率為e=Rr=：.故選：C.

c=2a2

22

2.(2023?廣西南寧?模擬預(yù)測(cè))已知橢圓C:三+[=l(a>b>0),片，耳分別為橢圓的左右焦點(diǎn)，直線(xiàn)y=

ab

與橢圓交于4、8兩點(diǎn)，若片、/、耳、8四點(diǎn)共圓，則橢圓的離心率為()

A.且B.V3C.V3-1D.3匚

32

【答案】C

【分析】

根據(jù)四點(diǎn)共圓及丁=底的傾斜角得到名為等邊三角形，故|。8|=|/月|=。，進(jìn)而求出恒胤=小，利

用橢圓定義得到方程，求出離心率.

【詳解】因?yàn)槠?、月、8四點(diǎn)共圓，。為圓心，所以|/同=|耳用=2c,故|/O|=c,又y=氐的傾斜角

為故△/。耳為等邊三角形，故叫=|48卜c,由勾股定理得耳|=J閨閶2_恒用2=Gc,由橢

c2/~

圓定義可得HW+H居1=2。,即c+gc=2a,解得「=^^=43-1.故選：C

22

3.（2024?貴州?三模）已知橢圓C:\+A=l（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為片，耳，過(guò)點(diǎn)月的直線(xiàn)/與橢圓C

ab

交于尸，。兩點(diǎn)，若優(yōu)。|：閨耳：|百。|=1：3:5,則該橢圓的離心率為（）

A.—B.—C.立。.旦

2323

【答案】A

【分析】

根據(jù)條件，結(jié)合橢圓的定義，可判斷點(diǎn)尸的位置，再結(jié)合橢圓的幾何性質(zhì)，即可求解.

【詳解】由內(nèi)Q|：陽(yáng)尸|：閨。|=1：3:5,設(shè)區(qū)Q|=x,陽(yáng)P|=3x,陽(yáng)Q|=5x,

由橢圓的定義可知,閨。|+|8。|=|耳尸|+K/=6X,

所以區(qū)尸卜內(nèi)尸|=3x,所以點(diǎn)尸在短軸端點(diǎn),如圖，則國(guó)尸|=3x,|尸Q|=4x,閨Q|=5x

所以尸耳，尸名，貝11|「￡|=a|。用，即4=gc，所以橢圓的離心率e=￡=正.故選：A

a2

22

4.（23-24高三?云南?階段練習(xí)）橢圓C：I+2=l（“>6>0）的左、右兩焦點(diǎn)分別是昂巴，其中

ab

|丹q=2c.過(guò)左焦點(diǎn)的直線(xiàn)與橢圓交于42兩點(diǎn).則下列說(shuō)法中正確的有（）

A.乙的周長(zhǎng)為4a

*

B.若的中點(diǎn)為所在直線(xiàn)斜率為3則七.?左=-彳

a

C.若|48|的最小值為3c,則橢圓的離心率e=：

_______,「右1

D.若/片?/工=3°2,則橢圓的離心率的取值范圍是—

【答案】ACD

【分析】對(duì)于A,根據(jù)橢圓的定義即可；對(duì)于B,利用點(diǎn)差法結(jié)合斜率公式即可；

對(duì)于C,根據(jù)通經(jīng)的性質(zhì)結(jié)合離心率即可；對(duì)于C,根據(jù)向量的數(shù)量積整理函數(shù)解析式即可.

【詳解】???直線(xiàn)過(guò)左焦點(diǎn)耳.?.-3"的周長(zhǎng)為|/耳|+|/用+忸耳|+忸閶=4a,A正確;

22

4+處,①

設(shè)/（西,弘）,3（%2，%），則「，點(diǎn)?%+馬必+%'.,".=富?由'ab

2222

之+共=1,②

、ab

22

①-②得（網(wǎng)+編?「切=（必+%）（%-%）.乂一%（玉+x2）Z?1b762M

------3,?二7左。河?左二—①，故B錯(cuò)

2k

abxx-x2（必+%）/oMa------------a

22i_l

誤；當(dāng)ZB/x軸時(shí)，|叫最小，令工=一1+2=1,解得k±幺，

aba

?A21

—=3c,整理得2/+3ac—2a2=0,即2/+3e—2=0,解得。=彳或-2（舍去），故C正確；

a2

__________________________________________2

AF]—（一。—王，一切），AF?=（c-%],一必），.二4F1，A,F2=（-c/）（c一石）+=x；+—c2=-5%；+/—2/—3c2，

?.?》；€「0,1],，/一2024「d+/一2°24/—o2,^a2-2c2<3c2<a2-c2,即可得

1LJa215a24

e=-e當(dāng),!，則橢圓的離心率的取值范圍是，D正確.故選：ACD.

〃[52J]52

22

5.（20-21?河南駐馬店?模擬）已知片，月是雙曲線(xiàn)。：彳-）=1（a〉08>0）的左右焦點(diǎn)，過(guò)耳且傾斜角

為60。的直線(xiàn)/與C的左、右兩支分別交于A、3兩點(diǎn).若3名，耳巴，則雙曲線(xiàn)C的離心率為.

【答案】2+百

【分析】依題意可得|明|=4c,忸q=2小,由雙曲線(xiàn)定義可得結(jié)果.

【詳解】在直角片中，NBFE=60。，耳=90。，忻m=2c,則忸團(tuán)=4c,\BF2\=2^3C.

C]r-

由雙曲線(xiàn)定義得|的T優(yōu)|=2a,即4c-2辰=2a,解得0=廠(chǎng)？一百=2+6.

故答案為:

題型三：第三定義型（點(diǎn)差法）

指I點(diǎn)I迷I津

22

橢圓:設(shè)直線(xiàn)和橢圓丫22的兩個(gè)交點(diǎn)2（再,必），BQ2,%），代入橢圓方程，得飛+"=1；

工+里=1ab

4b2

222222

（匹+%2）（再一12）_（必+%）（.%-%）

與+0=1；將兩式相減，可得為二?+必二必二0；

a2b2a2b2a2

/（%+%）（%-%）

最后整理得：1=

2+%2）（2）2

b（xx占一工bx0

1=".西

同理，雙曲線(xiàn)用點(diǎn)差法，式子可以整理成:

2

Z）（X[+X2）（X1-x2）

拋物線(xiàn)：設(shè)直線(xiàn)和曲線(xiàn)的兩個(gè)交點(diǎn)幺（七,必）,8（X2，%），代入拋物線(xiàn)方程，得以2=22再；%2=2網(wǎng);

尸=（乂+%）（…）-。

可得占一%

22

1.（22-23高三?山西長(zhǎng)治?模擬）已知直線(xiàn)>=-龍+1與橢圓:0+4=1（。>6>0）相交于43兩點(diǎn)，且線(xiàn)段42

ab~

的中點(diǎn)在直線(xiàn)x-2y=0上，則此橢圓的離心率為（）

A.且B.-C.—D.叵

3222

【答案】C

fV=-X+121工2

【解析】聯(lián)立c八，得到線(xiàn)段42的中點(diǎn)為（不丁），設(shè)尸-X+1與=+4=1的交點(diǎn)分別為心，必）,

[x-2y=033a2b2

B&,為），利用點(diǎn)差法能求出橢圓的離心率.

【詳解】聯(lián)立廣。八，得％="一

[1一2>=033

???直線(xiàn)”-X+1與x-2y=0的交點(diǎn)為“（；2,；1），.?.線(xiàn)段似的中點(diǎn)為（；251），

設(shè)N=-x+l與=+2r=1的交點(diǎn)分別為小不，%），B（X2,y2）,則占+馬=:，%+%=3,

ab33

I22

玉:%-11

22T+VF-

分別把4%,%）,吃，％）代入橢圓/力13>。），得：22，兩式相減得:

二+二=1

（%一％）?（必+%）=_j_=a2=lb2,:.a=Cb=Cc，e=~^'"故選:C

2

（X；-x2）-（Xj+x2）2a

22

2.（20-21高三?江西南昌?模擬）雙曲線(xiàn)斗-々=1（°>0,6>0）的右焦點(diǎn)為尸（4,0）,設(shè)A、3為雙曲線(xiàn)上關(guān)

ab

于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)，疝7的中點(diǎn)為"，郎的中點(diǎn)為N,若原點(diǎn)。在以線(xiàn)段為直徑的圓上，直線(xiàn)48的

斜率為史，則雙曲線(xiàn)的離心率為（）

7

A.4B.2C.V5D.V3

【答案】B

【解析】設(shè)出再,必）,則8（-再,-“），得到四（土獸片）,N（書(shū)心,胃），根據(jù)題設(shè)條件,化簡(jiǎn)得到=告,

2222alb/

結(jié)合〃=02-/,求得。的值，根據(jù)離心率的定義，即可求解.

【詳解】設(shè)4（再,必）,貝”（一百,一必）,

因?yàn)?尸的中點(diǎn)為監(jiān)研的中點(diǎn)為N,所以火審爭(zhēng)以^^,段），因?yàn)樵c(diǎn)。在線(xiàn)段為直徑的

圓上，所以NNOM=90°,可得bI??而=；（16-=0,①

（22

又因?yàn)辄c(diǎn)A在雙曲線(xiàn)上，且直線(xiàn)的斜率為辿，所以"2”,②聯(lián)立消去王，弘，可得

73y7

r-Xi

19J⑸

二一市一〒③

又由點(diǎn)尸（4,0）是雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)，可得62=。2一/=16一/,代入③，化簡(jiǎn)整理得/-32/+7X16=0,解

得力=4或/=28,由于/<02=]6,所以02=28（舍去）,

故標(biāo)=4,解得。=2,所以離心率為e=￡=2.故選：B.

a

221

3.（20-21高三?江西撫州?模擬）己知橢圓的方程為三+與=1伍>6>0）,斜率為-二的直線(xiàn)/與橢圓相交

ab2y'3

于A,8兩點(diǎn)，且線(xiàn)段的中點(diǎn)為M（1,2）,則該橢圓的離心率為（）

A.-B.-C."

353

【答案】C

2

【解析】由點(diǎn)差法化簡(jiǎn)可得4A=42,再由橢圓離—心率公式即可得解.

a23

b

【詳解】設(shè)/（再,%）,鞏處％）,則":\,兩式作差得）仆+苫2）+（“一%?+%）=0,

工2J2ab

[a2b2

又附:，線(xiàn)段48的中點(diǎn)為M（l,2）,所以再+X2=2，M+%=4,

X]—%3

所以2（丁）+4叱%）=o即!=一2（'-%）=|；所以該橢圓的離心率為e=￡=旦.

z

abaxx-x23a\a3

故選：c.

2

4.（202”河北石家莊?二模）已知雙曲線(xiàn)C：^-x2=l（a>0）,其上、下焦點(diǎn)分別為片，月，。為坐標(biāo)原

點(diǎn).過(guò)雙曲線(xiàn)上一點(diǎn)作直線(xiàn)/,分別與雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)交于尸，0兩點(diǎn)，且點(diǎn)M為尸。中點(diǎn)，則下

列說(shuō)法正確的是（）

A.若軸，則|尸。|=2.

B.若點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1,2）,則直線(xiàn)/的斜率為［

C.直線(xiàn)P。的方程為誓-x°x=l.

a

D.若雙曲線(xiàn)的離心率為1,則三角形。P。的面積為2.

2

【答案】ACD

【分析】利用雙曲線(xiàn)基本性質(zhì)，點(diǎn)差法及三角形面積的表示，即可得到結(jié)果.【詳解】若/，歹軸，則直線(xiàn)/

過(guò)雙曲線(xiàn)的頂點(diǎn)，M（0，土.）,雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為>=±辦，易得尸，。兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)為±1,

??.|尸。|=2,即A正確；

若點(diǎn)M的坐標(biāo)為。,2）,則人=0,易得雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)方程為丁—2x2=0,設(shè)尸（西,必）,。（打%）,

利用點(diǎn)差法：療一2x；=0,y；-2x；=0,兩式作差可得，y：-￡=2x：-2只，即

弁-2月,二^=2上士紅=2x：=l,即B錯(cuò)誤；

xrXz必+%2

若利用點(diǎn)差法同樣可得用=叢二成=力工±三=爪…直線(xiàn)p。的方程為尸為=￡A（x-*

七一工2%%y0

即九丁一了：=//》一片1,為了一02七％=4一/x：=/...誓一,故C正確；

若雙曲線(xiàn)的離心率為包，則雙曲線(xiàn)方程為片-/=1,.??漸近線(xiàn)方程為>=±2x,設(shè)尸（占,2芯）,°卜2，-2%）,

24

1.ill-%%=12-2

S.OPQ=~|X1^2~X2J71|=2l%lX2|，聯(lián)立方程土4可得演=一，同理可得工2=—，

2y=2x%-%+2xo

2_288

??.5.0如=2,％|=2----------T-=>—.-\=~：=2,故D正確，故選：ACD

%-2xoy+2x0%-4項(xiàng)4

22

5.（23-24高三?黑龍江哈爾濱?模擬）已知直線(xiàn)y=-x+l與橢圓會(huì)+會(huì)=l（a>6>0）相交于45兩點(diǎn)，且

線(xiàn)段的中點(diǎn)在直線(xiàn)八尸4尸0上，則此橢圓的離心率為.

【答案】—/^

22

【分析】

[y=-x+1（41、f

聯(lián)立k4y=0'得到線(xiàn)段"的中點(diǎn)為「，[，設(shè)>=T+1與會(huì)方=1（。>6>。）的交點(diǎn)分別為

/（4切），B（x2,y2）,利用點(diǎn)差法能求出橢圓的離心率.

4

X=—

y=-x+\54J

【詳解】聯(lián)立得:所以直線(xiàn)y=-x+l與直線(xiàn)x-4y=0的交點(diǎn)坐標(biāo)為

%—4y=015?5

22

所以線(xiàn)段42的中點(diǎn)為,設(shè)V=T+1與；■+親■=l（Q>b>0）的交點(diǎn)分別為，（國(guó),必）,B?，%），

所以上產(chǎn)=g,號(hào)區(qū)=1,則西+%=|,%+%=：,分別把/（七,乂），8（X2,打）代入到橢圓

上+日-1

22

x//b2（%-%）.（"+%）_b

二+”=l（a>6>0）侍：22，兩式相減用：/—

x｝x+xa

abx2y2~2）\i2）

L2b2

因?yàn)橹本€(xiàn)為：，=T+1,所以31=一1，且M=所以一%>（t）T'

所以與」，即/=破，所以。2=4（/-2）,所以3/=府，所以9=3,所以

2

a4''a24a2

故答案為：且

2

題型四：雙曲線(xiàn)：漸近線(xiàn)型離心率

指I點(diǎn)I迷I津

雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)性質(zhì)：

（1）焦點(diǎn)到漸近線(xiàn)的距離為b

（2）定點(diǎn)到漸近線(xiàn)的距離為5

a

V22A2

（3）一直線(xiàn)交雙曲線(xiàn)二-v-二1的漸近線(xiàn)于A.B兩點(diǎn)。A,B的中點(diǎn)為M,則％OM?左”==.

aba

（4）過(guò)雙曲線(xiàn)5=1上任意一點(diǎn)P做切線(xiàn)，分別角兩漸近線(xiàn)于M,N兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)則有如下結(jié)論:

ab

①OM?ON=a2+b2；②ON?（W=a?+b?；③SAo?w=ab

22

1.（2022高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）雙曲線(xiàn)C:工-與=l（“>0,b>0）的右焦點(diǎn)為尸，若以點(diǎn)尸為圓心，半徑

ab

為。的圓與雙曲線(xiàn)C的漸近線(xiàn)相切，則雙曲線(xiàn)C的離心率等于（）

VfB.V2C.2D.2V2

2

【答案】B

be

【分析】由題意得雙曲線(xiàn)方程為±6x-qv=0,則圓心尸到漸近線(xiàn)的距離"==。，化簡(jiǎn)后可求出離

yja2+b2

心率.

【詳解】根據(jù)題意得：圓心尸（。,0）,半徑為。，雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)方程為y=±2x,即±6x-砂=0,

a

???以點(diǎn)尸為圓心，半徑為。的圓與雙曲線(xiàn)C的漸近線(xiàn)相切，且°2=/+〃，

be

圓心下到漸近線(xiàn)的距離d即Q=6,

/a2+b2

c=yla2+b2=[a2+/=,2〃?則雙曲線(xiàn)C的禺心率e='=,故選：B

22

2.（2022?山西晉中?二模）已知雙曲線(xiàn)C：二等=l（a>0,6>0）的左、右焦點(diǎn)分別為片（-c,0）,鳥(niǎo)（c,0）,

4

平面內(nèi)一點(diǎn)P滿(mǎn)足至，桃，△打;鳥(niǎo)的面積為點(diǎn)。為線(xiàn)段尸片的中點(diǎn)，直線(xiàn)。。為雙曲線(xiàn)的一條漸近

線(xiàn)，則雙曲線(xiàn)C的離心率為（）

A.百B.亞或叵C.—D.2

22

【答案】B

【分析】先求△耳。。邊長(zhǎng)，然后根據(jù)相似三角形求尸邊長(zhǎng)，再由面積得。、6、c的齊次式，然后可求.

【詳解】由題意，可得圖象如圖所示，因?yàn)槭c，P&,。為斗弓的中點(diǎn)，。為尸耳的中點(diǎn)，

\-bc\be

所以。0〃尸￡,所以耳。，。0,因?yàn)榻裹c(diǎn)耳（-c,0）到漸近線(xiàn)及+町=0的距離d=J：=一=」,所以

y/b2+a2c

\FlQ\=b,又因?yàn)閨OG|=c,F.QLOQ,

所以|。。|=后方=a,所以|尸閶=2a,|P周=26,所以S△"百三為磔=2加=，所以

2224

25a（c-a）=4C,所以4e“一25。?+25=0,解得e?=5或/=：,

22

3.（2024?全國(guó),模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線(xiàn)C：^-4=1（。>0,b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為月，耳，過(guò)不

ab

作以月為圓心，虛半軸長(zhǎng)為半徑的圓的切線(xiàn)，切點(diǎn)為“，若線(xiàn)段兒陰恰好被雙曲線(xiàn)c的一條漸近線(xiàn)平分，

則雙曲線(xiàn)C的離心率為（）

A.B.5/3C.2D.yfs

【答案】D

【分析】首先由條件可知〃與《關(guān)于雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，利用對(duì)稱(chēng)性，列式求點(diǎn)n的坐標(biāo)，再根據(jù)

點(diǎn)”在圓上，代入后轉(zhuǎn)化為關(guān)系凡。的齊次方程，求雙曲線(xiàn)的離心率.

【詳解】由題意可知，線(xiàn)段兒明與雙曲線(xiàn)C的一條漸近線(xiàn)相交于點(diǎn)N,O,N分別是耳心和孫的中點(diǎn)，所以

ON//MF2,而"E，九陰，所以O(shè)N,孫，切點(diǎn)M與片關(guān)于雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，由對(duì)稱(chēng)性不妨取

雙曲線(xiàn)C的一條漸近線(xiàn)y=2x,設(shè)因?yàn)樵拢路謩e是雙曲線(xiàn)C的左、右焦點(diǎn)，所以耳（-c,0）,

a

2.2=7b2-a2

X0=(廿2

工(c,0),則尤。a解得3,所以"------.易知以月為圓心，虛半軸長(zhǎng)為

%+0_bXQ-C2abIc

y=----

.2~~aT~0

半徑的圓的方程為（x—c）2+/=/,將《，一了）弋入圓的方程，得+（-子）=b2,

化簡(jiǎn)整理得5/=02,所以閆=氐

故選：D.

4.（22-23高三?河北保定?模擬）已知雙曲線(xiàn)。：3-4=1（0〉0/〉0）的左、右焦點(diǎn)分別為公，B，點(diǎn)、M

為雙曲線(xiàn)C右支上一點(diǎn)，且兒/1_訝，若崢與一條漸近線(xiàn)平行，則（）

A.雙曲線(xiàn)C的離心率為石

B.雙曲線(xiàn)C的漸近線(xiàn)方程為＞=土瓜

C.△龍用巴的面積為/

D.直線(xiàn)肛與圓。:％2+必相切

【答案】ACD

【分析】設(shè)直線(xiàn)M平行于雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)/：了=-2X，得到直線(xiàn)肛的方程為y=：（x+c）,聯(lián)立方程組

ab

求得坐標(biāo)，代入方程化簡(jiǎn)得C2=5/,利用雙曲線(xiàn)的離心率公式判斷A,利用雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)方程判斷

B,結(jié)合屈縱坐標(biāo)求得△兒用石面積判斷C,利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式判斷D.

【詳解】不妨設(shè)直線(xiàn)兒見(jiàn)平行于雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)/：丁=-2孫

a

從而可得/是線(xiàn)段兒陰的垂直平分線(xiàn)，且直線(xiàn)兒用的方程為y=*（x+c）,

b

y=——%X=-------(2

Cab、

設(shè)直線(xiàn)M與直線(xiàn)/相交于點(diǎn)N(x,y),聯(lián)立方程組v0,解得-,即N-----

a(xab

V=Z(x+c)y=~

又％(―c,0),結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式，可得”

22

代入雙曲線(xiàn)1-與=1,可得，整理得02=5〃，〃=4〃,

ab

b2

對(duì)于A,雙曲線(xiàn)的離心率e=￡=石，故A正確；

a

對(duì)于B,雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)了=±2%=±2尤，故B錯(cuò)誤；

a

對(duì)于C,的面積S=J片丹JM=；X2C.y=2"=/,故C正確;

acac=a

對(duì)于D,圓心(0,0)到直線(xiàn)兒陰：ax-如+ac=0的距離d=一,

/a2+b2c

故直線(xiàn)M片與圓O：x2+V=/相切，故D正確.故選：ACD

5.(21-22高三上?遼寧?階段練習(xí))等軸雙曲線(xiàn)是一種特殊的雙曲線(xiàn)，特點(diǎn)是漸近線(xiàn)互相垂直且離心率為

亞,y=~(4w0)的圖象是等軸雙曲線(xiàn)，設(shè)雙曲線(xiàn)f=葉|的焦點(diǎn)為N、B,則直線(xiàn)N8的方程為

若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的面積為.

【答案】y=-x-22V2

【分析】根據(jù)雙曲線(xiàn)的圖像與性質(zhì)，結(jié)合反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)，對(duì)比分析即可求得直線(xiàn)N